2011-2012第二学期线性代数B试卷A

第 1 页 共 5 页上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第二学期期末考试试题答案《 线 性 代 数 》（B 卷）班级 学号 姓名 总分一、填空题（共9题10空，每空3分，共30分）请将正确答案写在题目后面的横线上。

1．()734=A ， ()111=B ，则A B T ＝ 。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛734734734 2．设21,αα是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321,,βββ的线性相关性是 。

答案 线性相关3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为答案 <<-λ315315 4. 设3351110243152113------=D ，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，则3231A A += 答案 245．设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式48|2|-=A ,则λ= . 答案λ=-1.6．已知()1,1,1,2，()a a ,,1,2，()a ,1,2,3，()1,2,3,4线性相关，并且1≠a ，a = ．--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 5 页答案 1/27．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，则_________,==y x 。

答案 1,0==y x8．要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=43211211t A 的秩最小，则__________=t 。

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

2011~2012学年秋季学期线性代数（B ）(A 卷)课程考试试卷（解答）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中） 1. 设,A B 都是n 阶矩阵，且它们的行列式分别为3 2 A B ==-，，则AB 2= 62 n -⨯．2．若向量组T T T123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)t ααα===线性相关，则t = 5 ．3. 设n 阶矩阵A 与B 相似，且3A E +不可逆，则B 的一个特征值为 3 -． 4．设3阶矩阵A 的特征值互不相同, 若行列式||0=A , 则A 的秩为 2 ．5. 若二次型()()222212312332f x ,x ,x x t x t x =+--是正定的，那么t二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．已知四阶行列式312D 201321=-，则13332A A +的值为【 C 】． （其中ij A 为行列式D 中元素a ij 的代数余子式．）(A) 2； (B) 1； (C) 0； (D) 3． 2． 设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【 B 】．(A) 对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠，则12,,,s a a a 线性无关；(B) 若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++=；(C) 12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ；(D) 若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．3.设3阶矩阵A 的特征值为123221λλλ==-=，，，对应的特征向量依次为123,,p p p ，令()123,,P =p p p ，则1-P AP =【D 】． (A) 200020001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B)100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭；(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(D) 200020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.4.已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则Ax b =的通解为【 A 】．(A)k k k k R 112212121()(,)2ααββ+++∈； (B)k k k k R 112212121()(,)2ααββ++-∈。

20122013年理⼯线性代数考试A卷答案《线性代数》考试A 卷答案及评分标准⼀、填空题(共10⼩题,每⼩题2分,共20分)1.已知,A B 均为三阶矩阵,且 (,,),(,,)A B αβγαβδ==,及 2,3A B ==,则272.A B +=2.设,A B 均为三阶矩阵,且 4,2A B ==-,*A 为矩阵A 的伴随矩阵,则⾏列式18(3)27B A -*=-、 3.设矩阵2112A ??= ?-??,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满⾜2BA B E =+,则矩阵1111B -??=、4、设矩阵A 满⾜240A A E +-=,则 11()(2)2A E A E --=+、5.齐次线性⽅程组1231232302030x kx x x x x kx x ++=??++=??+=?只有0解,则k 应满⾜的条件就是 35k ≠、6.设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k αβ==-(1,1,4)Ty =--线性相关,则 1k =、7.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若⾏列式0A =, 则矩阵A 的秩为 2 、 8.设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,则⾏列式 143AE --=、9.⼆次型221231123(,,)22f x x x x x x x =++的规范形就是 222123y y y +-、10.当t 满⾜ 01t <<时,⼆次型22212312312(,,)2f x x x x x tx tx x =+++为正定⼆次型。

⼆、选择题(共10⼩题,每⼩题2分,共20分)1、若15423214j k a a a a a 就是五阶⾏列式A 的⼀项(除去符号),则有( B ) (A) 3,5j k ==,此项为正 (B) 3,5j k ==,此项为负 (C) 5,3j k ==,此项为正 (D) 以上全不对2.若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3,它们的余⼦式分别为2、3、4,则⾏列式D =( C )(A) -8 (B) -20 (C) 8 (D) 20 3.已知向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性⽆关,则: ( A ) (A)1α必能由234,,ααα线性表⽰。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

4．0000000004321a a a a =（ ）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（ ） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（ ）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D)B A OBA O ⋅=9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（ ） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（ ）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A 2=（ ）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（ ） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16． 如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（ ） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 119．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（ ） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（ ）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（ ）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（ ）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（ ）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O（C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ） （A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（ ） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+BA等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ ）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（ ）(A ) 1-*=n AA (B) A A =* (C) nA A =* (D) 1-*=A A33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（ ） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ （C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的 (D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A kn 1(C) *A k n (D) *-A k139．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（ ） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 0 41．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（ ） （A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆 （C ）A ，B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O（C ）A+B=O （D ）O B A =+ 44．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B46．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（ ） （A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（ ）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a48．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1302α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7033α与向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333x β等秩，则x=（ ）(A) －1 (B) －2 (C) 3 (D ) 1 49．设有向量组()4,2,1,11-=α，()2,1,3,02=α，()14,7,0,33=α，()0,2,2,14-=α，()10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组是( )(A) ;321,,ααα (B ) ;421,,ααα (C) ;521,,ααα (D) ;5421,,,αααα 50．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组4312ααα++，42αα-，43αα+，2αα+，3212ααα++的秩是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 51．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，AB=0则（ ）(A) B=0 (B ) 00==A B 或 (C) BA=0 (D) ()222B A B A +=-52．A ，B 为n 阶方阵，则（ ） (A) A 或B 可逆，必有AB 可逆 (B ) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆(D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆53．A 为n 阶方阵，则下列矩阵中是对称矩阵的有（ ） (A)A A '- (B)()阶矩阵为任意n C C CA ' (C )A A ' (D)A A '+254．设A 为三阶方阵，且2=A ，则*-+A A 14=（ ）(A) 214(B) 12 (C)6 (D ) 10855．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 56．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 57．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 58．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 59．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示60．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量 (C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 61．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关62．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中 (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 63．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中 (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合 64．设矩阵A=),,,,(54321ααααα经过初等行变换后变为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311012110231111A ，则A 的秩为3，i α为A 的第i 列向量, 且( )成立 (A ) s αααα++=214 (B) s αααα++=21423 (C) s αααα++-=2142 (D)列向量组线性无关 65．设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为η1 ，η2 ，η3 ，η4则()也是该齐次线性方程组的基础解系 （A ）1443,3221,,ηηηηηηηη----（B ）1443,3221,,ηηηηηηηη++++（C ）4321321,211,,ηηηηηηηηηη++++++（D ）1443,3221,,ηηηηηηηη--++66．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关67．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 68．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 133221,,αααααα-++(B) 3213221,,ααααααα++++(C ) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++69．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关70．设m ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( ) (A) 若02211=+++m m k k k ααα , 则m ααα,,,21 线性相关(B )若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα,,,21 线性无关(C)若m ααα,,,21 线性相关则对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211=+++m m k k k ααα(D) 若000021=+++m ααα , 则m ααα,,,21 线性无关 71．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关 (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关72．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数(C )某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数 73．下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关74．如果向量b 可由向量组s ααα,,,21 线性表示, 则下列结论中哪个正确 (A )存在一组数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立(B)存在一组不全为零的数使s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (C)存在一组全为零的数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (D)对b 的线性表达式唯一75．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关 76．设向量组Ⅰ: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3121111a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3222122a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3323133a a a α 向量组Ⅱ: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=413121111a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=423222122a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=433323133a aa a β, 则( ) (A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关77．设向量组Ⅰ: ()1111,,c b a =α,()2222,,c b a =α,()3333,,c b a =α向量组Ⅱ:()11111,,,d c b a =β,()22222,,,d c b a =β,()33333,,,d c b a =β, 则( )(A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 78．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组79．设t ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个n 维向量组, 且秩(t ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 )=r, 则 (A)两向量组等价, 也即可相互线性表出 (B)秩(t ααα,,,21 ,s βββ,,,21 )=r(C )当t ααα,,,21 被s βββ,,,21 线性表出时,两向量组等价 (D)当s=t 时,两向量组等价80．设向量s αααα+++= 21(s>1), 而s s ααβααβααβ-=-=-=,,,221 则( )(A )秩(s ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 ) (B)秩(s ααα,,,21 )>秩(s βββ,,,21 ) (C)秩(s ααα,,,21 )<秩(s βββ,,,21 )(D)不能确定秩(s ααα,,,21 )与秩(s βββ,,,21 )间的关系 81．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例(C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D) s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关 82．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关 (C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 83．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 84．设s ααα,,,21 和t βββ,,,21 均为nR 中向量，且秩（s ααα,,,21 ）=秩（t βββ,,,21 ）=r ，则（ ） (A)两个向量组相等价(B)秩(s ααα,,,21 ,t βββ,,,21 )=r(C )当s ααα,,,21 能被t βββ,,,21 线性表示时两向量组等价 (D)当s=t 时两向量组等价 85．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,86．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ ）时321,,ααα线性相关。

课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。

二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。

三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。

(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。

四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。

(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。

五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。

六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。

七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。