第3章平面图形几何性质

几何形及其性质几何形是研究空间形状和结构的一门学科。

它研究的对象是由点、线、面等几何元素构成的图形，通过对这些几何元素和图形特性的研究，可以揭示出各种几何形的性质和规律。

本文将介绍几何形的基本概念、分类以及与其相关的性质。

一、基本概念1. 点：几何学的基本元素，没有长度、面积和体积。

2. 线段：由两个点确定的、具有长度的几何元素。

3. 射线：由一个点向一个方向延伸出去的线段。

4. 直线：无限延伸的同一方向上的点的集合。

5. 角：由两条射线共享一个端点所组成的图形。

角的度量单位为度或弧度。

二、常见几何形1. 三角形：由三条线段组成的几何形。

根据边长和角度的不同关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、钝角三角形等。

2. 四边形：由四条线段组成的几何形。

根据边和角的性质，四边形可以分为矩形、正方形、平行四边形、梯形等。

3. 多边形：由多条线段组成的几何形。

根据边的数量，多边形可以分为三边形、四边形、五边形等。

4. 圆形：平面上任意一点到某一固定点的距离相等的点的集合。

圆形具有诸多性质，如直径、半径、弧长、圆心角等。

三、几何性质1. 平行性质：若两条直线在平面上没有相交的点，则称其为平行线。

平行线具有等效定理、平行线之间的夹角关系等性质。

2. 垂直性质：两条直线相交时，相交的角度为90度，则称两条直线垂直。

垂直直线之间的关系可以应用于垂直角度定义、垂直直线的判定等方面。

3. 对称性质：对称是一种图形在某一中心轴或某一中心点关于形状、大小或位置上的一种变换。

常见的对称有关于直线对称、关于点对称等。

4. 相似性质：如果两个图形的形状相同但大小不同，则称这两个图形相似。

相似性质可以应用于图形的比例、相似三角形的性质等方面。

5. 等腰性质：等腰三角形是指具有两边相等的三角形。

等腰性质可以应用于等腰三角形的一些性质的证明和问题的解决。

6. 等边性质：等边三角形是指具有三边长度相等的三角形。

等边性质可以应用于等边三角形的一些性质的证明和问题的解决。

第3讲1-3、几何作图1-4、平面图形的尺寸标注1-5、徒手绘图的方法教学目标：1、掌握对平面图形的尺寸分析；2、掌握平面图形的画图步骤；3、掌握平面图形的尺寸标注方法。

教学重点难点：平面图形的画图步骤和尺寸标注教学方法：教学用具：多媒体，绘图工具。

教学过程：一、1-3几何作图机件的轮廓一般都是由直线、圆、圆弧或其他曲线组合而成的。

因此，熟练地掌握它们的基本作图方法，是绘制机械图的基础。

下面介绍几种常见几何图形的作图方法。

1.3.1 等分线段任意等分直线段的方法如图1—14所示(如将线段A四等分)。

图1-14 等分线段1.3.2 圆弧连接用已知半径的圆弧将两已知线段(直线或圆弧)光滑地连接起来，这类作图问题称为圆弧连接。

这个起连接作用的圆弧称为连接弧。

如图所示，连杆的平面轮廓就是由许多圆弧连接而成的。

为保证连接光滑，必须使连接弧与已知线段(直线或圆弧)相切。

因此，作图时应准确地求出连接弧的圆心及切点1．圆弧连接的基本原理(表1—6)2．圆弧连接的形式及作图法圆弧连接的基本形式有三种，其作图方法与步骤见表1—7。

；1.3.3 椭圆的画法椭圆有两条相互垂直而且对称的轴，即长轴和短轴。

它的几何性质是：自椭圆上任意一点到两定点(焦点)的距离之和恒等于椭圆的长轴。

椭圆的画法很多，常见的椭圆画法有两种。

(1)理论画法(同心圆法) 先求出曲线上一定数量的点，再用曲线板光滑地连接起来；图1-16 用同心圆法画椭圆(2)近似画法(四心圆法) 求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。

图1-17 用四心圆法画椭圆下面介绍这两种椭圆的作图方法和步骤。

1、理论画法已知椭圆长轴AB和短轴CD，用同心圆法作椭圆的步骤如下：(1)以长轴AB和短轴CD为直径画两同心圆，然后过圆心作一系列直线与两圆相交，如图2-13a所示；(2)自大圆交点作垂线，小圆交点作水平线，得到的交点就是椭圆上的点，如图2—13b 所示；(3)用曲线板光滑连接各点，即得所求椭圆(图2—13b)。

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆x2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？提示 利用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．知识梳理椭圆的离心率：e ＝ca ∈(0,1)．注意点： (1)e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c 2. (2)离心率的范围为(0,1)．(3)e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆．例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其几何性质． 、二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e ＝63.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程是__________．三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．延伸探究1．若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法或不等式法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km ，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为 3 476 km ，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) A.125 B.340 C.18 D.35(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 的长为185，若△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率．2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e ＜1及长轴长与a 的关系．1．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34D ．离心率为322．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )A.x 236＋y 227＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 29＋y 26＝13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.644．若椭圆C ：x 2m ＋y 2m 2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C 的长轴长为________．课时对点练1．(多选)为使椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，正数m 的值可以是( )A ．1 B. 3 C.83 D.322．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋25y 2＝400，则关于椭圆C 下列叙述正确的是( ) A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，则|PQ |＝3253．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C.14 D ．45．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地心最近的一点)距地面m km ，远地点B (离地心最远的一点)距地面n km ，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R km ，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率．10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝112．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，113．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.14．如图，把椭圆x 216＋y 29＝1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 7F |的值为________．15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，255 D.⎣⎡⎭⎫255，116．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．+。

点线面的分类及其几何性质点、线、面是几何学中最基本的概念。

它们分别代表了空间中最简单的三种不同类型的图像，点不具备长度和宽度，线只有长度没有宽度，而面则具备长度和宽度。

它们之间的分类和几何性质有助于深入理解空间几何学的本质。

一、点的分类及其几何性质点是几何学中最基本的概念，它没有大小、没有方向，是空间中定位和描述物体位置的基础。

根据空间点的性质和性质的不同分类方法，点可以分为以下几类。

1、二维点：在平面几何中，点是二维的基本元素，被定义为没有长度和宽度的空间。

在坐标系中，二维点可以表示为(x, y)。

它是平面上最简单的图形，没有任何的弯曲和表面。

它没有任何角度，也没有任何曲率。

因此，它在几何计算中扮演了重要的角色。

2、三维点：在立体几何中，点是三维的基本元素，被定义为没有长度、宽度和高度的空间。

它在三维坐标系统中可以表示为(x, y, z)。

三维点相比二维点更加复杂。

它需要更多的计算才能得到准确的数据。

因此，在立体几何中使用三维点的情况更为常见。

点作为空间几何学的基础，它具有一系列的几何性质，如可比性、互异性、无序性等。

这些性质为空间中的其他几何图形奠定了基础。

点的位置和坐标的计算也是几何学中的基础内容。

二、线的分类及其几何性质线是空间中的一条路径，它由一系列无穷个相邻的点所连成。

线只有长度，但没有具体的宽度，可以看做是一条无限细的长条。

根据空间中的线的性质和性质的不同分类方法，线可以分为以下几种。

1、直线：直线是一种没有弯曲的线段，由无穷个点沿着一定方向依次连接而成。

直线是几何学中最基本的几何图形之一，它是空间中的一维形体，不具备具体的大小和宽度，但可以延伸到无限远。

2、曲线：曲线是由有穷个点连成的线段，它具有弯曲的特性，可以呈现出各种不同的形态。

曲线是一种复杂的几何图形，需要对它的曲线延伸进行多次计算。

曲线通常用于表达图形的详细性和复杂性。

线相对于点来说更具有内在结构，它有方向、长度和曲率等几何性质。

——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。

当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。

这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。

在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。

定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。

如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。

图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。

设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。

根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。

对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。

2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。

实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。

例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。

对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。