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24,1,2垂径定理习题课

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垂径定理习题课

垂径定理习题课

•E •O
•垂径定理的应用
3.已知:△ABC中,∠A=900,以AB为半径作 ⊙A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.
•A
•E
•B
•D
•C
例2、已知在以点O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8， 且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
垂径定理习题课
•学习目标： •1. 掌握垂径定理， •2.能应用定理解决有关弦 的计算和证明问题。
•垂径定理
• 垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
•题设
•结论
•｝•｛ •（1）直径
•（2）垂直于弦
•（3）平分弦 •（4）平分弦所对的优弧
•（5）平分弦所对的劣弧•M•垂径定理 Nhomakorabea•O
•1.如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是
⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP
、PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F， 则EF=•5——。
•O •A
•E
•B •F
•P
•变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 面半径为5dm。则水深__•_2_或__8___dm.
•2.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
•EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
•的弦心距OF=__•1__;CD=_____.
•D
•F
•A
•B
•C
•已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . •⑴若半径R = 5 ，AB = 8 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 5，OE = 3，求AB、DE 的长. •⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？

垂径定理1-3课时

垂径定理1-3课时

BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。

对称轴是 ，对称中心是 。

2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。

观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。

求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。

几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。

三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。

求证：AC=BD 。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。

24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。

按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。

结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。

垂径定理习题课课件

垂径定理习题课课件

提升练习题
提升练习题1
已知圆O的直径为10，弦AB=8， 点P是AB上一点，且OP垂直于AB ，求AP的长。
提升练习题2
在圆O中，过直径AB上一点P作 线段PC与圆O相切于点C，且 PC=12，PB=4，则圆O的半径为 多少。
综合练习题
综合练习题1
在圆O中，过直径AB上一点P作线段 PC与圆O相切于点C，且PC=12， PB=4，求弦AC的长。
定理应用二
解决与圆相关的最值问题。
定理应用三
证明与圆相关的几何命题。
02
经典习题解析
Chapter
单一问题解析
总结词
考察垂径定理的基本应用
详细描述
通过单一问题的解析，让学生掌握垂径定理的基本应用，包括如何利用垂径定 理解决与圆相关的计算问题。
综合问题解析
总结词
考察垂径定理与其他知识的结合
详细描述
解题思路分析
垂径定理的应用场景
首先明确题目中涉及到的几何图形和 已知条件，判断是否符合垂径定理的 应用场景。
垂径定理的推导
解题思路的总结
在解题过径定理的推导过程，逐步推导 出与题目相关的结论。
常用解题方法
代数法
通过代数运算，将问题转 化为方程或不等式求解。
通过综合问题的解析，让学生了解如何将垂径定理与其他数学知识结合，如勾股 定理、全等三角形等，解决复杂的几何问题。
实际应用问题解析
总结词
将垂径定理应用于实际问题
详细描述
通过实际应用问题的解析，让学生了解垂径定理在日常生活和生产实践中的应用，如建筑设计、机械制造等领域 。
03
习题解答技巧
Chapter
3
学习进阶内容

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

人教版版九年级上册数学 24-1-2垂径定理 教学课件

人教版版九年级上册数学 24-1-2垂径定理 教学课件

把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，Ａ⌒Ｃ和Ｂ⌒Ｃ重合，Ａ⌒Ｄ和Ｂ⌒Ｄ重合．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴 （2）线段：AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
C
·O
E
A
B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 ＡＣ⌒Ｂ
C
为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘
宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
E A
DF
B O
按遵上尊不律听起要离窗时守课衣敬做秩立爱涂注开、上课时、老与序提期必护写意教关课堂衣超师。有问间须公、保室闭学，礼着短堂问。按共刻持要电离生不仪要裙服教题座财划整源开课得，整、从学位物。室理教堂无与洁拖任应表，环好室行故老，鞋课关先就不境桌须为缺师不等老的举坐得卫椅经规课问得进师事手。在生，老范、候穿入管，课。并师的迟。无教理保经桌协允内到袖室。持教、助许容、背。课师门老后是早心堂同窗师方：退、良意关可。吊好后墙离带纪，壁门开 。
B
可推得
C B
O
A D
CD⊥AB,
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD.

《24.1.2垂径定理1》课件

《24.1.2垂径定理1》课件
人教版九年级上册
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·O
∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC=BC AD=BD
O
C
B
垂径定理推论
是 3cm≤O。P≤5cm
O
5
3
A 4 CP
B
3.如图，CD为圆O的直径，弦
A
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
F
D
E C
O
B
4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
2
2
O
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
R2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
A
D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于

九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件


5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分

垂径定理及其推论练习题课件


推论的意义和价值
意义
垂径定理的推论是圆中弦长与圆心到直线的距离和半径之间关系的深刻揭示，对 于解决实际问题中涉及圆和直线的问题具有重要的指点意义。
价值
推论的应用范围广泛，不仅在几何、代数等领域有广泛应用，而且在工程、建筑 、天文等领域也有实际应用价值。例如，在桥梁设计和建造过程中，垂径定理的 推论可用于计算桥梁主跨的长度和拱高，以确保桥梁的安全性和稳定性。
证明的思路和方法
思路
通过构造辅助线，将垂径定理的证明 转化为直角三角形的问题，利用勾股 定理进行证明。
方法
作直径端点与圆心的连线，构造两个 直角三角形，利用勾股定理证明垂径 定理。
证明过程
步骤1
作直径端点与圆心的连线。
步骤2
根据勾股定理，证明垂径定理成立。
步骤3
总结垂径定理的内容和适用范围。
证明中的注意事项
PART 04
垂径定理的练习题
垂径定理的练习题
• 请输入您的内容
PART 05
练习题的解答和分析
解答过程
题目1
解答
题目2
解答
已知圆O的半径为5，弦AB的 长度为8，求弦AB的中垂线与 半径OA之间的夹角。
第一，利用垂径定理计算出圆 心O到弦AB的垂线段OC的长 度为$sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ 。然后，利用直角三角形的性 质，可以求出角COB的大小为 $60^circ$。
垂径定理的重要性
基础几何知识
垂径定理是几何学中的基 础知识点，是进一步学习 其他几何知识的前提。
解决实际问题
垂径定理在实际问题中有 着广泛的应用，掌握它能 够更好地解决实际问题。
培养逻辑思维
学习垂径定理需要严谨的 逻辑思维和推理能力，有 助于培养学生的数学素养 和解决问题的能力。

【人教版】数学九年级全一册24.垂直于弦的直径——垂径定理随堂练习(课件版)


⊙O 的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O 的半径为
5，则弦 AB 与弦 CD 的4 或 3
D．7 或 1
(2)如图，点 P 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OP＝
3，在过点 P 的所有弦中长度为整数的弦的条数有
_______4_______．
三级检测
5.如图，CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，则下列结论
不一定成立的是( B )
A.EA＝EB B.EO＝ED
⌒ C.DA
＝D⌒B
⌒ D.CA
＝C⌒B
6.如图，在⊙O 中，半径 OC⊥AB 于点 E，AE＝2，
则下列结论正确的是( D )
A.OE＝2 B.EC＝2 C.AB 垂直平分 OC D.OC 垂直平分 AB
(2)解：由(1)可知，OE⊥AB 且 OE⊥CD， 连接 OC，OA，如图．
由题意，得 OE＝6. 在 Rt△OCE 中， CE＝ OC2－OE2 ＝ 82－62 ＝2 7 ， 在 Rt△OAE 中， AE＝ OA2－OE2 ＝ 102－62 ＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7 .
10.【分类讨论思想】(1)(青海中考)已知 AB，CD 是
3.如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，AB＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径及 ED 的长．
解：如图，连接 OB. ∵AB＝8，CD⊥AB，∴EB＝82 ＝4. 在 Rt△OEB 中， OB＝ OE2＋EB2 ＝5. ∴⊙O 的半径为 5. ∴ED＝OD－OE＝2.
利用垂径定理解决问题的方法总结
4.【教材习题】如图所示，AC，AB 是⊙O 的弦，AC ＝AB，且 AC⊥AB，若 OD⊥AB，OE⊥AC，垂足 分别为 D，E.求证：四边形 ADOE 是正方形．

24.1.2 垂直于弦的直径(1) 人教版数学九年级上册课件


C
E
O
A
D
B
巩固提高
3.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为 有水部分，如果水面AB宽为16cm，水面最深地 方的高度为4cm，求该输水管的半径.1、这节课你有什么收获？ 2、你还有哪些疑惑？
达标检测
1.如图，已知⊙Ｏ的半径为5cm，一条弦AB的长为8cm，
则圆心O到这条弦的距离为
2. 把一个圆形纸片沿着它的圆心 顺时针或逆时针任意旋转，你发 现了什么？由此你能得到什么结 论？
(1)圆也是中心对称图形.
●O
(2)它的对称中心就是圆心.
结论：圆既是轴对称图形，也是中心对称 图形.
看一看
如图，AB是⊙O的一条弦，CD 是⊙O的直径,
交AB于点E, 当AB和CD有怎样的位置关系时，
作OD AB于点D,则AB 2AD,
在RtAOD中，A
30,OD
1
OA
A
3，
2
AD OA2 OD2 62 32 3 3，
AB 2AD 6 3(cm).
C
O
┓ B
D
探究释疑
如图，圆O的弦CD＝8 ㎝ ，直径AB⊥CD于
E， AE＝2㎝，求半径OA的长.
B
解：连接OC,设OC OA x,
④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2
A
E
B
A C
E
图4 B O
D
垂径定理的应用
例1. 如图,已知⊙O的弦AB的长为8, OC⊥AB于C, OC的 长为3，求⊙O的半径长。
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五、小结
本节课你学到了什么？
六、课后升华
如图，A、B、C在圆上，且AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求圆的半径。疑惑：主备执笔
课型
使用者
审核
课时
使用时间
九年级
田咏梅
习题课
1
教学目标
使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
教学重点
垂径定理，能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
教学难点
垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
九年级数学：24.1.2《垂径定理》习题课
一、知识链接
1．垂经定理及推论：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧；平分弦(不是直径)的直径于弦，并且弦所对的弧．
2.在⊙O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离（即弦心距）为3cm，则弦AB的长为。
3.在⊙O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为。
4.⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.
二、自主学习：
1．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB
4、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长。
三、合作探索
1、储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度
2、如图所示，两个同心圆 ，大圆的弦 交小圆于 、
.求证：
四、巩固检测
如图，AB为⊙O直径，D是 中点，OE交BC于点D，BD=3，AB =10，求AC的长.
，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．
A．CE=DE B．
C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB
的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD