18版高考数学一轮复习第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法理

第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法 理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 【知识拓展】1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30答案 B解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n n ＋1 ，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142C.148D.154 答案 B3．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋ －1 na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋ －1 2a 1＝2，a 3＝1＋ －1 3a 2＝12，a 4＝1＋ －1 4a 3＝3，a 5＝1＋ －1 5a 4＝23.4．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－(n －112)2＋1214，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n －12(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例 2 (1)(2017·南昌月考)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1；(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(32)nD.12n －1答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2(2)B解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝(32)n －1，故选B.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( )A ．－16B ．16C ．31D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列． 命题点2 数列的周期性 例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝____________________________. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值 例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12．解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第________项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析． 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3.答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }中的项 B ．3只是数列{a n }中的第2项 C ．3只是数列{a n }中的第6项 D ．3是数列{a n }中的第2项和第6项 答案 D解析 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6. 3．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B ．(n ＋1n)n －1C ．n 2D ．n答案 D解析 ∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21·1＝n . 4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( ) A ．3B ．2C.12D.23答案 A 解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23， a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( ) A ．5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B. 6．(2016·开封一模)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n (n ∈N *)，则a 2 015的值为( )A ．4 029B ．3 029C ．2 249D ．2 209 答案 A解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x ，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f －2－a n ，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________.答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，则数列{a n }的项取最大项时，n=________． 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2 · 67 n ≥ n ＋1 · 67 n －1， n ＋2 · 67 n ≥ n ＋3 · 67 n ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5， 又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5， 故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝________.答案 3解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1， ∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1] ＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .*13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2 n －1 (n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2 n －1 (n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2 n －1 ＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

第01节数列的概念与简单表示法【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测1.高频考向:利用a n与S n的关系求通项,递推数列求通项.2.低频考向:数列的周期性、数列的概念了解数列的概念和表示单调性及最值.2016浙江13和表示方法方法(列表、图象、公式) 3.特别关注:(1)构造特殊数列求通项;(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值.【知识清单】一．数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{a}.n对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限a a递增数列n 1 n 按项与项间的大小关系分类递减数列a an 1 n其中n∈N＋1常数列a n1a n有界数列存在正数 M ，使 aMn按其他标准分 类摆动数列a 的符号正负相间，如 1，－n1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集 N 和正整数集 N 的有限子集.所以数列的函数 的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列a 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数n列的通项公式．即af n ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通n项公式.5.数列a 的前 n 项和nS 和通项 a 的关系： nnanS (n 1) 1S S (n 2)nn 1. 对点练习： 1 已知数列的前几项为12, 1 2 3 ,1 3 4 , 1 4 5,…，则数列的一个通项公式为 .【答案】 a1nn1 n n 1.二．数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法2的特殊性．对点练习：n 1已知数列a ,(nN*)n3n 16 ，则数列{a}最小项是第项.n【答案】5【考点深度剖析】关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．【重点难点突破】考点1数列的基本概念，由数列的前几项求数列的通项公式【1-1】【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）】只用“加减乘除”就可解决问题.88511，16351，？，10251；“？”处应填的数字是__________．【答案】73155【解析】1+6=7 6-3=33*5=15 51 5故得到73155．【1-2】【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底考试理】若有穷数列a1,a2,,a n n N* 满足a aaa ，就称该数列为“相邻等和数列”，n n 1 n 2 n 3已知各项都为正整数的数列a是项数为8的“相邻等和数列”，且n a a ，a a，1 2 8 2 3 9则满足条件的数列a有__________个．n【答案】4【解析】设a a，由题意知，1 a a a a aa，2 8 ,3 1 ,4 7a a aa，5 2 ,6 6aa a a .∵数列73 , 8 5a 各项都为正整数，∴1a 4,aN * ，则满足条件的数列na 有 4个.n3【领悟技法】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用1或n n 11 来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【触类旁通】【变式一】【2018届重庆市第一中学高三上学期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（）A. B. C. D.【答案】C【变式二】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】数列a满足na，1 14a，23 a12na （ n1, 2,），则 a 等于nn3A. 5B. 9C. 10D. 15【答案】D 【解析】令 n 1，则 3 2 ，即，则 a a；故选1,a2n 1 an 1n35 2 5 3 15D.考点 2 由前 n 项和公式推导通项公式，即 a 与 nS 的关系求通项 ann【2-1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列a与b 的前 n 项和分别为nnS ， nT ，n且 a 0， 6Sa23a ,nN * ，nnnn2anbnaa2 1 21nn 1，若nN *,k T 恒成立，则nk 的最小值是( )A.1 7B . 149C . 49D.8 441【答案】B因为0 a 1a0,a1a 3.a，所以nnnnn即数列a是以 3为首项，3为公差的等差数列，所以33 1 3 ann . nn2 81 11ann所以bnaannnn8 1817 8 1 8111121 21nn.所以1 1 1 1 1 11 1 11 1 T.n2 23 n n 1 n 17 8 1 8 1 8 1 8 18 1 81 7 7 8 1 49要使 n N *,k Tk.恒成立，只需1n495故选B.【2-2】【2017届河北省石家庄市高三毕业班第二次模拟考试数学（理）】已知数列a满足na an a n，n N*．n 11 2 2 1 2 2n（Ⅰ）求数列a的通项公式；n（Ⅱ）若bn1log loga a2 n 2 n 1，T b b b，求证：对任意的nN*，n 1 2 n3T .n4【答案】（1）a 2n（2）见解析n所以a 2n，n当n 1时，a，1 2所以a 2n，n N*．n（Ⅱ）因为a 2n，n bn1 1 1 1 1log log 2 2 2a a n n n n.2 n2 n 2因此T n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11.2 3 2 2 4 2 3 5 2 n 1 n 1 2 n n 21 1 11 12 2 n 1 n 23 1 1 1 34 2 n 1 n 24所以，对任意 nN * ，3 T． n4【领悟技法】6已知数列a的前n项和n S，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：n(1)先利用a S求出a；1 1 1(2)用n 1替换S中的n得到一个新的关系，利用an n S S (n 2) 便可求出当n 2 时n n 1a的表达式；n(3)对n 1时的结果进行检验，看是否符合n 2 时a的表达式，如果符合，则可以把数列的n通项公式合写；如果不符合，则应该分n 1与n 2 两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】已知正项数列a的首项na ，前n项和为1 11S ，若以a,S 为坐标的点在曲线y x x 上，则数列1 a的通n n n n2项公式为________．【答案】a nn【变式二】【2018届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷】已知正项数列a满足n12* a a a...a a1 n N.1 2 3 n n4（1）求数列a的通项公式；n（2）设2n b的前n项和T.b a，求数列n n n n7【答案】（1）2 1an （2）T 6 2n2n31nn【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1） 式 中 令 n=1,求 得 a， n 用 n-1代 ， 得11 1a aaaa，两式作差可得 aa12 ，可求得 ...1a 。

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第六章数列 6。

1 数列的概念与简单表示法理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1__〉__a n其中n∈N＊递减数列a n＋1__<__a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3。

数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列｛a n｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．【知识拓展】1．若数列｛a n}的前n项和为S n，通项公式为a n,则a n＝错误!2．在数列{a n｝中，若a n最大,则错误!若a n最小,则错误!3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）所有数列的第n项都能使用公式表达．( ×)(2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(3)1，1，1，1，…,不能构成一个数列．( ×)(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列．（×)(5）如果数列{a n｝的前n项和为S n，则对∀n∈N＊，都有a n＋1＝S n＋1－S n.（√）1．把1，3,6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）．则第7个三角形数是（)A．27 B．28C．29 D．30答案B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。

必考部分
第六章数列
§数列的概念与简单表示
考纲展示►.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
考点由数列的前几项求数列的通项公式
.数列的概念()数列的定义：按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．()数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集*(或它的有限子集)为的函
数＝()．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
()数列有三种表示法，它们分别是、和．
答案：()一定顺序项()定义域
()列表法图象法通项公式法
．数列的分类
答案：有限无限＞＜
．数列的两种常用的表示方法()通项公式：如果数列{}的第项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做
这个数列的通项公式．()递推公式：如果已知数列{}的第项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与
它的前一项－(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递
推公式．
答案：()序号＝()
．已知数列{}的前项和，则＝(\\(，＝，,，≥.))
答案：－－
()[教材习题改编]已知数列{}的前四项分别为，给出下列各式：
①＝；
②＝；
③＝；
④＝π)；。

第六章数列第1讲 数列的概念与简单表示法、选择题5 7 91 •数列｛a n ｝: 1,—门応，一二，…的一个通项公式是 ( )8 15 24 n +i 2 n — 1A. a n = ( — 1) r (n € N) n + nn —12n +1B. a n = ( — 1) J (n € N+) n + 3nC. a n = ( — 1) +' 2 (n € N+) n + 2nn —12n +1D. a n = ( — 1) n 2+ 2n (n € N+)答案 D2 .把1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示）.卜、 八、,、 * * X X卜、八\■ —■ 4 —£ —* 一 •一、 ■■ ■L 3 6 10 15则第七个三角形数是（ ）.A 27B . 28 C. 29 D. 30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+ 2 + 3+ 4+ 5 + 6+ 7= 28.答案 B3.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S= 2a n — 1(n € N *)，贝U &=( ).A — 16B . 16C . 31 D. 32解析当 n = 1 时，S = a 1 = 2a 1 — 1，— a 1 = 1,解析 观察数列｛a n ｝各项，可写成: 3 1X3 5 72X4，3X5 94X6 ,故选D.又S n—1= 2a n —1 —1(n》2) ,.•. S —S n—1 = a n = 2( a n—a n—1).n —1 4a n= 1X2 , . a5 = 2 = 16.答案B4 .将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列A 2 020 X 2 012 B. 2 020 X 2 013 C. 1 010 X 2 012 D. 1 010 X 2 013 解析 结合图形可知，该数列的第 n 项a n = 2+ 3+4 +…+ ( n + 2) •所以a 2 014- 5= 4+ 5 + •••+ 2 016 = 2 013 X 1 010.故选 D. 答案 D 5.在数列｛a n ｝中，a n =- 2n 2+ 29n + 3,则此数列最大项的值是 ( ). 865 825 A 103 B. C. D. 108 8 8•••n = 7时，a n 取得最大值，最大项 a 7的值为108. 答案 D 对任意 a , b € R,满足① a *b = b *a ；② a *0 = a ； (3)( a *b )*c = c *( ab ) + 1 y = x + -在[1 ,+^)上为增函数, X 所以数列｛刘为递增数列. 答案 C 二、填空题 7.在函数f (X ) =&中，令x = 1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前 5项是 __________________ 答案 1 , ■. 2, 3, 2, 5 8 .已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1，且 a n = n (a n +1-a n )(n € N *)，贝U a 2 = __________ ； a n = ________ . 解析根据题意并结合二次函数的性质可得: n-/3+ 841 6.定义运算“ *”， (a *c ) + (c *b ).设数列｛ a n ｝的通项为 1a n = n *—*0 , n 则数列｛a n ｝为( ). A 等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列 解析由题意知a n = ”打0 = 0]n • n + (n *0) + =1 + n +2,显然数列｛a n ｝ 既不是等差数列也不是等比数列；又函数 解析由 a n = n ( a n +1 — a n )，可得 a n + 1 n + 1 a n … an a n -1a n - 2 贝U a n = • • a n — 1 a n — 2a n — 3 a 2 a -a 1 = n n - 1 n -1 n -2 n -2 n -3 …a 2= 2, a n = n .答案 2 n9. _________________ 已知f(x)为偶函数，f(2 + x) = f (2 —x),当一2< x <0 时，f(x) = 2x,若门€ N*,少=f ( n), 贝y a2 013 =.解析•/ f (x)为偶函数，••• f (x) = f ( —x),••• f(x + 2) = f (2 —x) = f (x —2).故f (x)周期为4,—i 1a2 013 = f (2 013) = f(1) = f ( —1) = 2—= 21答案1210. 已知数列｛&｝的前n项和S= n—9n,第k项满足5 v a k< 8，贝U k的值为______________ .解析T S= n2—9n,.•.n》2 时，a n = Si —Si-1 = 2n—10,ai = S = —8 适合上式，•• a n = 2n —10( n€ N),• 5< 2k —10< 8,得7.5 < k< 9. • k = 8.答案8三、解答题11. 数列｛a n｝的通项公式是a n= n2—7n + 6.(1) 这个数列的第4项是多少？(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？2解(1) 当n= 4 时，a4= 4 —4X7+ 6=— 6.2(2) 令a n= 150,即n—7n+ 6= 150,解得n= 16,即150是这个数列的第16项.2(3) 令a n = n—7n+ 6>0,解得n>6 或n<1(舍),•从第7项起各项都是正数.112. 若数列｛a n｝的前n项和为S,且满足a n+ 2SS—1= 0( n》2), a1 = 7(1) 求证：€ |成等差数列；(2) 求数列｛a n｝的通项公式.(1)证明当n时，由a n + 2SiS n—1 = 0,1 1得S—S— 1 =—2S n Si—1,所以$—= 2,S n S n—11 1 1又S=a=2，故1是首项为2,公差为2的等差数列.1 1⑵解由⑴可得§ = 2n，- 亦当n》2时,a n= S1—S1 -丄12n —2 n-]n- 1 —n2n n-]12n n-]1当n = 1时，a 1 = 2不适合上式.-12，n = 1,故a n =_____ L_ .2n n-113. 设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S.已知 a 1= a (a ^3), a n +1= S+ 3n , n € N.(1) 设b n = S n - 3：求数列｛b n ｝的通项公式；(2) 若a n +1 > a n , n € N ,求a 的取值范围.解 (1)依题意，S n + 1 — S n = a n + 1 = S + 3 ,即 S+1 = 2S + 3n ，由此得 S+1-3n +1 = 2(S — 3n ), 又S -31= a -3(a ^3)，故数列｛S — 3n ｝是首项为a -3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为 b n = S — 3n = (a -3)2 n —1, n € N *. (2)由(1)知 S = 3n + (a -3)2 n —1, n € N , 于是，当 n 》2 时，a. = S — S-1 = 3n + (a -3)2 n — 1-3n — 1-(a -3)2 n — 2= 2X3n —1+ (a -3)2 n —2, 当n = 1时，a 1= a 不适合上式，又 a 2= a 1+ 3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是［—9,+s ).14 .在等差数列｛a n ｝中，a 3+ a 4+ a 5= 84, a 9 = 73.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 对任意N*，将数列｛a n ｝中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为 "，求数 列｛ bn ｝的前m 项和S m解 ⑴ 因为｛a n ｝是一个等差数列，所以 a 3 + a 4 + a 5= 3a 4= 84,即 a 4 = 28.设数列｛a n ｝的公差为 d ,贝y 5d = a 9-a 4= 73-28= 45,故 d = 9. 由 a 4= a i + 3d 得 28= a i + 3x 9,即卩 a i = 1.,n 》2. 故a n = a , n = 1,2X3n -1 + ch +1 — a n =4X3 1 + (a - 3)2当n 》2时, a n + 1》a n ? 12 - 3 n -2+ a -3》0? a 》-9. 2 n 》2.所以a n= a i+ ( n—1) d= 1+ 9( n —1) = 9n —8( n € N).⑵对m€ N ,若9m< a n V 92m,则9m+ 8 < 9n< 92m+ 8,因此9"1+1< n <92m—1,故得b m= 92m T—9m—1.于是S m= b1 + b2+ b3+…+ b m=(9 + 93+…+ 92m—1) —(1 + 9+-+ 9m1)=9X I —81m 1—9m= 1 —81 — 1 —92m+1 m s9 —10X9 +1= 80 .。