论线性方程组

第三章 线性方程组本章说明与要求:本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I )，需要研究以下两个问题：(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？。

本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.。

本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.§1 线性方程组的消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n 元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．例1．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x(1)解：交换第一、三两个方程的位置： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--2531252321321321x x x x x x x x x第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：⎪⎩⎪⎨-=+-=+1385433232321x x x x第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x(2) 第三个方程乘以(–71)，求得x 3=–1，再代入第二个方程，求出x 2=–1，最后求出x 1=2．这样就得到了方程组(1)的解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=6，得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x(3)用类似的方法，可以把方程组化为 ⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x (4)即 ⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=5，作出新的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212532321321321x x x x x x x x x(5)用类似的方法，可得到⎪⎩⎪⎨-=-=+104332321x x (6)显然方程组无解． 上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 交换方程组中某两个方程的位置；2. 用一个非零数乘某一个方程；3. 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k 后加到第一个方程上，这样，得到新方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++++mn mn m m n n n n n b x a x a x a b x a x a x a kb b x ka a x ka a x ka a 22112222212121212221212111)()()( (I ' ) 设x i =c i (i =1，2，…，n )是(I)的任意一个解．因(I)与(I ' )的后m –1个方程是一样的，所以，x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I ' )的后m –1个方程 ．又x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I)的前两个方程，所以有⎩⎨⎧=+++=+++22222211211122121111b x c a x c a x c a b x c a x c a x c a n n n n n n 把第二式的两边乘以k ，再与第一式相加，即为21212221212111)()()(kb b c ka a c ka a c ka a n n n +=++++++这说明x i =c i (i =1，2，…，n )又满足(I')的第一个方程，故x i =c i (i =1，2，…，n )是(I')的解．类似地可以证明(I ')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I ')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x 1的系数．如果x 1的系数a 11， a 21， … ， a m 1全为零，那么方程组(I)对x 1没有任何限制，x 1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x 2， …， x n 的方程组来解．如果x 1的系数不全为零，不妨设a 11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x 1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的)(111a a i -倍加到第i 个(i =2，3，…， m )方程，于是方程组(I)变成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 222222*********(Ⅱ) 其中 n j m i a a a a a j i ij ij ,,2 ,,,2 ,'1111⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (Ⅲ)其中c ii ≠0， i =1，2，…，r ．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r +1个方程0 = d r +1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为d r+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：1) 当r =n 时，阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 (Ⅳ)其中c ii ≠0， i =1，2，…， n ．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如 前面讨论过的方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x2) 当 r <n 时，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++++=++++++++++++211221122222111111212111d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r其中 c ii ≠0， i =1，2，…， r ， 写成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=++---=+++++++++n rn r rr r rr n n r r r r n r r n r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 112211222222111111212111(Ⅴ)当x r+1，…，x n 任意取定一组值，就唯一确定出x 1，…，x r 值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x 1，x 2…，x r 的值由x r+1，…，x n 表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因x r+1，…，x n 可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x 将x 1，x 2用x 3表示出来即有⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 这就是方程组(3)的一般解，而x 3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b 1= b 2=…= b m = 0时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a(Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x 1= x 2=…= x n =0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n ，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r ≤m<n ，所以它有无穷多个解，因而有非零解．§2 线性方程组有解判别定理从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211它称为线性方程组的系数矩阵．已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’) 交换矩阵的某两列的位置；2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ， 即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}．所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．例1 判断方程组有解还是无解．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++=+--72512420563432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→----→---=5000011216700563172432140112167005631712151241205631A 显然，r (A )=3，而r (A )=2，所以方程组无解．下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．设线性方程组(1)有解，则r (A )=r (A )=r ，因而A 必有一个r 阶子式D ≠0(当然它也是A 的不为零的r 阶子式)．为方便叙述起见，不妨设D 位于A 的左上角．显然这时D 所在的行是A 的一个极大无关组，第r +1， r +2， …， m 行都可由它们线性表出．因此方程组(1)与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++r n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(2)同解．当r =n 时，由克拉默法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解． 当r<n 时，把方程组(2)改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+++---=+++---=+++++++++n rn r r r r r rr r r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a 112211212222222121111111212111 (3)此方程组作为x 1，x 2，…，x r 的方程组时，其系数行列式正是D ，而D ≠0，由克拉默法则，对于x r+1，x r+2，…，x n 的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解．x r+1，x r+2，…，x n 就是方程组(1)的一组自由未知量．对于(3)用克拉默法则，可解出x 1，x 2，…，x r ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++'+'='++'+'='++'+'=++++++n rn r rrr r n n r r n n r r x c x c d x x c x c d x x c x c d x 11211222111111 (4)这就是线性方程组(1)的一般解．从上面的讨论可得：定理2 当线性方程组有解时，(1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解．(2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．例2 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-1223223553132432143214321x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵A 作初等行变换化为阶梯形矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=104101041011321122322355311321A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000001041011501000001041011321由于r (A )=r (A )=2<4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为⎩⎨⎧+-=++-=424314151x x x x x x 3、x 4为自由未知量．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0 例3 λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++0)3()1(30)1(02)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 有非零解？并求其一般解．解：计算系数行列式λλλλλλλλλλλλλλλλλλ 0 0 1 1 0 21 1 1 0 1 1 02 1 31 1 02 13 )1(31 1 2 1 3-=+--=+-=++-+=D =λ2(λ–1)令D =０，知λ=0或 λ=1时，方程组有非零解．(1) 当λ=０时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=3231x x x x x 3为自由未知量．(2) 当λ=1时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=32312x x x x x 3为自由未知量．思考题：1. 当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 2. 当a 与b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 有解？在有解的情况下，求它的一般解．§3 线性方程组的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一，它不仅可以广泛地应用于科学、工程计算和统计分析等领域，同时也应用于财经类的后继课程. 很多实际问题的处理最后也往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题, 由于数学软件的优化普及, 使线性方程组能够更好地解决我们现实中的问题. 本节将简要介绍线性方程组在几何学、运筹学、经济学等方面的基本应用.一、在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合, 它将几何体用代数形式巧妙的表示出来, 然后通过研究代数方程的相关性质, 从而揭示几何图形的内在本质. 例1 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=,2L ：230bx cy a ++=, 3L ：230cx ay b ++=,试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L , 2L , 3L 交于一点, 则线性方程组232323ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(1) 有唯一解, 故系数矩阵222a b A b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与增广矩阵232323a b c A b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩均为2, 于是det()0A =, 即22223det()236()()23ab cA bc a a b c a b c ab ac bc cab-=-=++++----=0, 所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=, 则从必要性的证明可知, det()0A =, 故()3r A <. 而22222132()2[()]2[()]0224a bac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠,因此()()2r A r A ==. 所以线性方程组(1)有唯一解, 即三直线1L ,2L ,3L 交于一点. 例2 要使得平面上三点()111,x y P , ()222,x y P , ()333,x y P 在同一条直线上, 则需满足什么条件？解 三点位于平面同一条直线上, 不妨令直线为0ax by c ++=, ,,a b c 不全为零. 三点坐标满足齐次线性方程组112233000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 从而有以,,Y X Z 为未知量的方程组112233000x Yy x Yy x Yy X ++Z =⎧⎪X ++Z =⎨⎪X ++Z =⎩ 存在非零解 ,,a Y b Z c X ===； 由线性方程组解的判别方法可知：齐次线性方程组有非零解等价于1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭(n 为未知量的个数)； 因此, 平面上三点,()i i i x y P (1,2,3i =)在1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭条件下共线. 二、在运筹学中的应用在运筹学中, 很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解．例3 有三个生产同一产品的工厂1A 、2A 和3A , 其年产量分别为40吨、20吨和10吨, 该产品每年有两个用户1B 和2B , 其用量分别为45吨和25吨, 由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C (千米), 如下表所示(1,2,3,1,2i j ==). 各厂的产品如何调配才能使运费最少？(按每吨产品每千米的运费为1元计算)解 为了解决这个问题, 我们假设各厂i A 调运到各用户j B 的产品数量为ij x (1,2,3,1,2i j ==).容易看出, 三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等, 所以对产地来说产品应全部调出, 因此有111240x x +=, (2)212220x x +=, (3) 313210x x +=, (4)同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的, 因此又有11213145x x x ++=, (5) 12223225x x x ++=, (6)以上方程(2)-(6)就是ij x 应满足的一些条件． 要使运费最小, 即使得112131122232455892587236s x x x x x x =+++++达到最小.于是, 题目要解决的问题是：如何选择非负数ij x ,1,2,3,1,2i j ==, 使之满足(2)-(6), 而是总运费s 最小.三、在经济学中的应用例4 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配见下表, 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 以第二列为例, 能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业, 10%分配到机械行业, 余下的供本行业使用. 因为考虑了所有的产出, 所以每一列的小数加起来必须等于 1. 把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格(即货币价值)分别用123,,p p p 表示. 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.产出分配购买者五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.50.10.2机械假设一个国家的经济分为很多行业, 例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等. 我们知道每个部门一年的总产出, 并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”.把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格(price). 我们有如下结论： 存在赋给各部门总产出的平衡价格, 使得每个部门的投入与产出都相等.解 表可以看出, 沿列表示每个行业的产出分配到何处, 沿行表示每个行业所需的投入. 例如, 第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出, 由于三个行业的总产出价格分别是123,,p p p , 因此五金化工行业必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4p p p 元. 五金化工行业的总支出为1230.20.80.4p p p ++. 为了使五金化工行业的收入1p 等于它的支出, 因此希望11230.20.80.4p p p p =++.采用类似的方法处理上表中第2、3行, 同上式一起构成齐次线性方程组1123212331230.20.80.40.30.10.40.50.10.2p p p p p p p p p p p p=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 该方程组的通解为1233 1.4170.9171.000p p p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此即经济系统的平衡价格向量, 每个3p 的非负取值都确定一个平衡价格的取值. 例如, 我们取3p 为 1.000亿元, 则1 1.417p =亿元，20.917p =亿元. 即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元， 则能源行业产出价格为0.917亿元, 机械行业的产出价格为1.000亿元, 那么每个行业的收入和支出相等. 在研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组. 例如, 城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售, 许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．例5 下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数）．假设 (1) 流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2) 全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 请确定该交通网络未知部分的具体流量.100x x解 首先写出表示流量的线性方程组, 然后求出方程组的通解. 图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点 流入量流出量A 24x x + 1300x +B 100400+ 26x x +C 7200x +3400x +D 300500+ 45x x +E 56x x +200600+F 400600+ 78x x +G 300600+ 9500x +H 9200x + 10xJ 10500x +400700+整个系统20001381000x x x +++根据假设(1)和(2), 经过简单整理, 可得到该网络流系统满足的线性方程组为124263745567891013830050020080080010004006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+=⎪⎪-+=⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=⎪⎪=⎪⎪++=⎩ 交通流量模式(即方程组的通解)为124385464789102005008008001000400600x x xx x x x x x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=-⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎪=⎪⎪=⎩,48,x x 是自由变量.。

求解线性方程组的方法探讨摘要:线性方程组在数学领域中的应用十分广泛，而且它的求解方法在代数的学习中有着重要的作用，线性方程组的求解方法与行列式、矩阵、线性变换、向量组的线性相关性有着很大的关系，而在《高等代数》中只介绍了高斯消元法以及克莱姆法则，所以解法比较单一，有一定局限性。

本论文首先对课题的背景、意义、国内外研究状况进行阐述。

而后介绍其概念和他的性质定理。

然后对线性方程组的求解方法进行归纳和总结。

在例题中说明对每种解法的步骤及其特点，并对各种方法的优缺点、适用性进行分析。

线性方程组的解法虽多，但是根据线性方程组的不同结构来选用合适的解题方法，才能提高解题的效率,更快更好的得到结果。

关键词：线性方程组；矩阵；初等变换；高斯消元法Discussion on Methods of Solving Linear EquationsAbstarct:Linear equations are widely used in mathematics, and its solution plays an i mportant role in learning algebra.The method of solving linear equations has a great r elationship with determinant, matrix, linear transformation and linear correlation of ve ctor groups.However, only gauss elimination and Cramer&apos;s Law are introduced in Advanced Algebra, so the solution is relatively simple and has certain limitations.Fi rstly, this paper expounds the background, significance and research status at home an d abroad of the subject.Then the concept and his property theorem are introduced.The n, the methods of solving the linear equations are summarized.In the examples, the ste ps and characteristics of each method are explained, and the advantages, disadvantage s and applicability of each method are analyzed.Although there are many solutions to linear equations, only by choosing appropriate solutions according to different structur es of linear equations can we improve the efficiency of solving problems and get bette r and faster results.Key words：linear equations; matrix; Elementary transformation; gauss elimination目录1.绪论 (1)1.1 线性方程组的求解的背景及意义 (1)1.2 线性方程组国内外研究现状及评价 (1)2.线性方程组的概念和基础理念 (2)2.1 线性方程组的概念及形式 (2)2.2线性方程组有无解的判定定理[]1 (2)2.3 线性方程组的解的结构 (3)2.3.1 齐次方程组的解的结构 (3)2.3.2 非齐次方程组的解的结构 (4)3.线性方程组的求解方法 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 LU分解法 (7)3.3 克莱姆（Cramer）法则 (8)3.4 逆矩阵解法 (10)3.5 分块矩阵解法[]75- (12)3.6 齐次线性方程组的基础解系求解方法 (13)3.7 非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法[]8 (14)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)1.绪论1.1线性方程组的求解的背景及意义线性方程组求解在中国有着悠久历史，对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早一千多年，记载于我国古代第一部数学专著《九章算术》的方程章。

线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。

线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。

本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。

一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。

下面将详细介绍这三种方法。

1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。

通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。

举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。

然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。

2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。

通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。

仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。

3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。

通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。

考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。

通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。

二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。

关于线性方程组的解的几个结论
1、关于线性方程组的解：
(1)线性方程组有唯一解：当且仅当它的系数矩阵是可逆的时候，线性
方程组有唯一的解。

(2)线性方程组的解的形式：线性方程组的解可以用矩阵的乘法表示出来，也可以用分解的方式表示出来。

(3)线性方程组有无穷多个解：如果系数矩阵是奇异的，则线性方程组
有无穷多个解；如果系数矩阵是正确的，则线性方程组有唯一解。

(4)线性方程组无解：如果系数矩阵不正确，则线性方程组不存在解。

(5)特征根与解：如果系数矩阵有特征根，则线性方程组有无限多个解。

(6)特殊解：如果系数矩阵有非常规解，则线性方程组也有可能存在非
常规解。

2、线性方程组求解的方法：
(1)列主元高斯消元法：由行级元列优先求解的算法，是一种有效的数
值方法；
(2)分解方法：分解后可得出系数矩阵，提取出其中的特征值，进而得
出解；
(3)矩阵乘法：矩阵乘法可将线性方程组化为矩阵形式，可求出解；
(4)块分解法：使用这种法可以利用稀疏性，把矩阵分解成小的子矩阵，进行求解。

3、线性方程组的应用：
(1)统计学中的概率分布：利用多元正态分布可使用线性方程组来求解
均值和方差；
(2)复数可能性：利用复数线性方程组可以用来解决涉及多个平行、垂
直可能性组合的复数学问题；
(3)数据分析：线性方程组可以用来分析因变量与自变量之间的关系；
(4)线性规划：线性方程组可以用来解决线性规划问题，求出一组最优解。

线性方程组的解的性质线性方程组是数学中的一个重要概念，它描述了一组关于未知数的线性关系。

线性方程组的解是指满足所有方程的未知数值组合。

在本文中，我们将讨论线性方程组解的性质。

一、解的存在性和唯一性解的存在性是指线性方程组是否有解。

对于一个线性方程组而言，解的存在性可以通过矩阵的行列式来判断。

若行列式的值为非零，则线性方程组有解；若行列式的值为零，则线性方程组无解。

解的唯一性是指线性方程组解的个数。

对于一个线性方程组，解的个数取决于方程的个数和未知数的个数。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值不为零，那么线性方程组存在唯一解。

如果线性方程组含有n个方程和n个未知数，并且行列式的值为零，那么线性方程组可能存在无穷多个解，也可能无解。

二、解的线性相关性在解的性质中，我们还需要讨论解的线性相关性。

解的线性相关性是指线性方程组的解之间是否存在线性关系。

如果线性方程组有解且解之间存在线性关系，那么解是线性相关的；如果线性方程组有解且解之间不存在线性关系，那么解是线性无关的。

线性相关性的判断可以通过矩阵的秩来进行。

对于一个n阶矩阵A，如果它的秩r等于未知数的个数n，那么线性方程组的解是线性无关的；如果秩r小于n，那么线性方程组的解是线性相关的。

三、解空间和基础解系解空间是指线性方程组所有解构成的集合。

解空间的维数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

解空间的维数也可以理解为线性方程组解的自由变量的个数。

基础解系是指线性方程组解空间中的一组向量，它们可以通过线性组合得到解空间中所有解。

基础解系的个数等于未知数的个数n减去矩阵A的秩r。

四、解的特殊情况除了一般情况下的解的性质，线性方程组还存在一些特殊情况。

1. 无解情况：当线性方程组中出现矛盾的方程时，线性方程组无解。

2. 无穷多解情况：当线性方程组的方程个数小于未知数个数时，线性方程组可能存在无穷多个解。

此时解空间的维数大于0，存在自由变量。

通过以上讨论，我们可以看出，线性方程组的解的性质有：存在性和唯一性、线性相关性、解空间和基础解系以及特殊情况。