江苏省南通高中高三数学小题校本作业(25)三角函数的图象 苏教版

(k∈Z) __________
对称轴 l：
对称中心 kπ ( ，0)(k∈Z) ________________ 2
π x ＝ kπ＋ ________ 性 对称轴 l： 2
(k∈Z) ___________
x＝kπ(k∈Z) ____________
无 对称轴 l：_____
思考感悟 正弦函数、余弦函数的对称中心是正弦函数、 余弦函数与 x 轴的交点，所以函数 y ＝ Asin(ωx ＋φ)＋B的对称中心就是该函数与x轴的交点， 这种说法对吗？ 提示：不对，应是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B与 直线y＝B的交点．
(2)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上
的图象时，一般先求出ωx＋φ的范围，然后在这
个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点
一起列表．
π 例1 已知函数 y＝2sin(2x＋ )． 3 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y＝2sin(2x＋ )的图象可由 y＝sinx 的图 3 象经过怎样的变换而得到． 【思路分析】 (1) 由振幅、周期、初相的 定义即可解决；(2)五点法作图，关键是找出 与 x 相对应的五个点； (3) 只要看清由谁变换 得到谁即可．
函 数y＝sinx源自y＝cosxy＝tanx
π kπ－ ，kπ 2kπ](k∈Z) 上递 在(_________ 单 2kπ＋π](k∈Z) ___________ 2 π 2 __________ 上递增； )(k∈Z) kπ，(2k ＋ π 2 调 增； 在[2 __________ _________ 上 [2kπ＋ ，2kπ 在________________ 2
第四节

教课资料范本2021版高考数学苏教版： 4.4三角函数的图象与性质含答案编辑： __________________时间： __________________第四节三角函数的图象与性质[最新考纲 ] 1.能画出 y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x 的图象、认识三角函数的周期性 .2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2 π]上的性质 (如单一性、最大值和最小值、图ππ象与 x 轴的交点等 )、理解正切函数在区间－2，2内的单一性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图π正弦函数 y＝sin x、 x∈ [0,2 π]图象的五个重点点是： (0,0)、2 ，1、(π、0)、3π2，－ 1 、(2 π、0)．π余弦函数 y＝cos x、 x∈ [0,2 π]图象的五个重点点是： (0,1)、2 ，0、(π、－1)、3π2， 0 、(2 π、1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函y＝ sin x y＝cos x y＝tan x数图象定义R R错误 !域值[－ 1,1][ －1,1]R域递加区间：[2kπ－递加区间：π、单错误!、2kπ]、递加区间k∈ Z 、k∈Z、调错误!、递减区间：递减区性k∈ Z 错误!、间：k∈Z[2kπ、2kπ＋π]、k∈Z奇奇函数偶函数奇函数偶性对称中对称中心对称中心心kπ(kπ、 0)、k∈Z错误!、2，0对k∈Z、k∈Z称对称轴性对称轴x＝πx＝kπ＋2kπ(k∈Z(k∈Z))周期2π2ππ性[ 常用结论 ]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周1期、相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．函数拥有奇偶性的充要条件函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 ?函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 ?函数 y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 ?函数 y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 ?φ＝kπ(k∈Z)；πφ＝kπ＋2 (k∈Z)；πφ＝kπ＋2 (k∈ Z)；φ＝kπ(k∈Z)．一、思虑辨析 (正确的打“√”、错误的打“×” )(1)函数 y＝ sin x 的图象对于点 (kπ、0)(k∈ Z)中心对称．()(2)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数． ()(3)已知 y＝ ksin x＋1、x∈R、则 y 的最大值为 k＋1.()(4)y＝ sin |x|与 y＝|sin x|都是周期函数．()[答案](1)√ (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．函数 y＝tan 2x 的定义域是 ()πA.x x≠kπ＋4，k∈ZkππB. x x≠2＋8，k∈ZπC.x x≠kπ＋8，k∈ZkππD. x x≠2＋4，k∈ZπkππD[由 2x≠kπ＋2、k∈Z 、得 x≠2＋4、k∈Z 、kππ∴ y＝ tan 2x 的定义域为x x≠2＋4，k∈Z.]2．函数f(x)＝cos 2x＋π的最小正周期是．42ππ[T＝2＝π.]3．y＝sin 2x－π的单一减区间是．43π＋kπ，7π＋kπ ∈[由π＋2kπ≤2x－π≤3π＋π、∈Z得88(k Z)2422k k 3π7π8＋ kπ≤x≤8＋kπ、k∈ Z .]4．y＝3sin 2x－π在区间上的值域是．6考点 1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域其实是结构简单的三角不等式 (组 )、常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和 cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝ Asin(ωx＋φ)＋ k 的形式、由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把 sin x、 cos x、 sin xcos x 或 sin x±cos x 换成 t、转变为二次函数求解．π1.函数f(x)＝－ 2tan 2x＋6的定义域是()ππD [由正切函数的定义域、得2x ＋ 6 ≠k π＋ 2 、k ∈Z 、k π π即 x ≠ 2 ＋ 6 (k ∈ Z)、应选 D.]2．(20xx ·全国卷 Ⅰ)函数 f(x)＝ sin2x ＋3π－3cos x 的最小值为．2－2x ＋ 3π 24[f(x)＝sin－ 3cos x ＝－ cos 2x －3cos x ＝－ 2cos x－＋ 、23cos x 1令 cos x ＝t 、则 t ∈[－ 1,1]．3217f(t)＝－ 2t 2－3t ＋ 1＝－ 2 t ＋ ＋ 4 8 、易知当 t ＝1 时、 f(t)min ＝－ 2×12－ 3× 1＋ 1＝－ 4.故 f(x)的最小值为－ 4.]．已知函数f(x) ＝2asin 2x ＋π ＋a ＋b(a ＜0)的定义域为 0，π、值域为 [ －3 6 25,1]、则 a ＋ b ＝.ππ π 7ππ－ 1 [ 由于 x ∈ 0， 2 、 因此 2x ＋ 6 ∈ 6， 6 、 因此 sin 2x ＋ 61 由于 ＜ 、因此 ∈ ＋ 、 ．由于函数的值域为 － 、因此 ∈－，1. f(x) [5,1]3a 2a 0 [3ab b]＋b ＝－ 5、b ＝1、因此 a ＝－ 2、因此 a ＋b ＝－ 1.]4．函数 y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为 ．[设 t ＝ sin x －cos x 、则 t 2＝sin 2＋ 2 －· 、x cos x 2sin x cos xsin xcos x ＝1－t2、且－ 2≤t ≤ 2.2t211＝－2(t－ 1)2＋ 1、 t∈[ － 2、 2]．∴y＝－2＋t＋2当 t＝1 时、 y max＝1；1当 t＝－2时、 y min＝－2－ 2.∴函数的值域为.]求解三角函数的值域(最值 )常有的几种种类(1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为y＝ Asin(ωx＋φ)＋ c 的形式、再求值域 (最值 )．(2)形如 y＝ asin2x＋bsin x＋ c 的三角函数、可先设 sin x＝t、化为对于 t 的二次函数求值域 (最值 )．(3)形如 y＝asin3x＋ bsin2x＋csin x＋ d、近似于 (2)进行换元、而后用导数法求最值．考点 2三角函数的单一性(1)形如y＝ Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题、一般是将ωx＋φ当作一个整体、再联合图象利用y＝ sin x 的单一性求解； (2)假如函数中自变量的系数为负值、要依据引诱公式把自变量系数化为正当、再确立其单一性．求三角函数的单一性π(1)函数 f(x)＝ tan 2x － 3 的单一递增区间是 ()13(2)(20xx 大·连模拟 )函数 y ＝2sin x ＋ 2 cos x的单一递加区间是．πππ(1)B (2)[(1) 由 k π－ 2 ＜ 2x － 3 ＜ k π＋ 2 (k ∈Z)、k π π k π 5π得 2 －12＜ x ＜ 2 ＋ 12 (k ∈Z)、 因此函数 π 的单一递加区间为k π－ π k π 5πf(x)＝ tan2x －， ＋∈Z) 、32 12 212(k应选 B.13π 、(2)∵y ＝ sin x ＋2 cos x ＝sin x ＋32π ππ由 2k π－ 2 ≤x ＋ 3 ≤2k π＋ 2 (k ∈Z)、解得 2kπ－5π≤x≤ 2kπ＋π66 (k∈ Z)．∴ 函数的单一递加区间为(k∈Z )、又 x∈、∴单一递加区间为.]1本例 (2) 在整体求得函数y＝2sin x3＋2 cos x 的增区间后、采纳对k 赋值的方式求得 x∈上的区间．依据函数的单一性求参数(1) 已 知 ω ＞ 0 、 函 数 f(x) ＝π πsin ωx ＋ 4 在2 ，π 上单一递减、则 ω的取值范围是 ()A ． (0,2]B. 0，121 315C. 2，4D. 2，4(2)(20xx 全·国卷 Ⅱ )若 f(x)＝cos x －sin x 在[0 、 a] 是减函数、则 a 的最大值是()ππ 3πA. 4B. 2C. 4D ．π(1)D(2)Cπ＋π≤ωx＋ π≤ 2k π＋3π、得 2k π ＋ π ≤x ≤ 2k π ＋[(1) 由 2k242ω 4ωω5π、k ∈Z 、4ωπ π由于 f(x)＝sin ωx ＋ 4在 2 ，π 上单一递减、2k ππ π1ω＋4ω ≤ 2 ，ω≥ 4k ＋ 2，由于 k ∈ Z 、 ω＞ 0、因此 2k π5π解得5ω＋4ω ≥π，ω≤ 2k ＋ 4.因此 k ＝ 0、1 51 5因此 2≤ω≤4、即 ω的取值范围为 2，4(2)f(x)＝cos x－sin x＝－2sin x－π、4ππ ππ3π当 x－4∈ －2，2、即 x∈ －4，4时、sin x－π单一递加、－2sin x－π单一递减、44π3π∴ －4，4是f(x)在原点邻近的单一递减区间、π3π联合条件得 [0、a]?－4，4、3π3π∴ a≤4、即 a max＝4、应选 C.]已知单一区间求参数范围的 3 种方法求出原函数的相应单一区间、由已知区间是所求某区间的子集、子集法列不等式 (组)求解由所给区间求出整体角的范围、由该范围是某相应正、余弦函数反子集法的某个单一区间的子集、列不等式(组)求解1周期性法由所给区间的两个端点到其相应付称中心的距离不超出4周期列不等式(组)求解1.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0) 在区间上单一递加、在区间上单一递减、则ω＝.3T π4π2π 32[ 由已知得4＝3、∴T＝3、∴ω＝T＝2.]2．函数 f(x)＝sin － 2x＋π的单一减区间为．3π[由已知、得函数为y＝－ sin 2x－3、欲求函π数的单一减区间、只要求y＝sin 2x－3的单一增区间即可．πππ由 2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2、k∈ Z 、π5π得 kπ－12≤x≤kπ＋12、k∈Z .故所求函数的单一减区间为(k∈Z)． ]考点 3三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y＝ sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题、其本质都是依据y＝sin x 的对应性质、利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(20xx 全·国卷 Ⅱ)以下函数中、以ππ π单一递加的是 ( )2 为周期且在区间 4 ， 2A ． f(x)＝ |cos 2x|B ． f(x)＝ |sin 2x|C ． f(x)＝ cos|x|D ． f(x)＝ sin|x|(2)若函数 f(x)＝2tan kx ＋π的最小正周期 T 知足 1＜T ＜2、则自然数 k 的值3为．(1)A(2)2 或 3 [(1) 对于选项 A 、作出 y ＝|cos 2x|的部分图象、如图 1 所示、π ππ则 f(x)在 4 ， 2 上单一递加、且最小正周期T ＝ 2、故 A 正确．对于选项 B 、作出 f(x)＝|sin 2x|的部分图象、如图 2 所示、则 f(x)在ππ4 ， 2 上π单一递减、且最小正周期T ＝ 2 、故 B 不正确．对于选项 C 、∵f(x)＝cos|x|＝cos x 、 ∴最小正周期 T ＝2π、故 C 不正确．对于选项 D 、作出 f(x)＝sin|x|的部分图象、如图 3 所示．明显 f(x)不是周期函数、故 D 不正确．应选 A.图1图2]图 3ππ(2)由题意得、 1＜k＜2、∴k＜π＜2k、即2＜ k＜π、又 k∈Z、∴ k＝2 或 3.]公式莫忘绝对值、对称抓住“ 心”与“轴”(1)公式法求周期2π①正弦型函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋ B 的周期 T＝；②余弦型函数 f(x)＝ Acos(ωx＋φ)＋B 的周期 T＝2π；| ω|③正切型函数 f(x)＝ Atan(ωx＋φ)＋ B 的周期 T＝π. | ω|(2)对称性求周期T① 两对称轴距离的最小值等于2；T② 两对称中心距离的最小值等于2；T ③ 对称中心到对称轴距离的最小值等于4.(3)特点点法求周期① 两个最大值点之差的最小值等于T；② 两个最小值点之差的最小值等于T；T③最大值点与最小值点之差的最小值等于2.特点点法求周期本质上就是由图象的对称性求周期、由于最值点与函数图象的对称轴相对应． (说明：此处的 T 均为最小正周期 )三角函数的奇偶性π已知函数f(x)＝3sin 2x－3＋φ 、φ∈ (0、π)．(1)若 f(x)为偶函数、则φ＝；(2)若 f(x)为奇函数、则φ＝.5π[(1) 由于 f(x)＝ 3sin 2x－π(1)6π (2) 33＋φ 为偶函数、ππ因此－3＋φ＝kπ＋2、k∈Z 、5π又由于φ∈ (0、π)、因此φ＝6 .π(2)由于 f(x)＝3sin 2x－3＋φ 为奇函数、π因此－3＋φ＝kπ、 k∈Z 、又φ∈(0、π)、π因此φ＝3 .]若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠ 0)、π则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝2＋kπ(k∈ Z )；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈ Z)．三角函数的对称性21/25π(1) 已知函数f(x)＝ 2sin ωx ＋ 6 (ω＞0)的最小正周期为 4π、则该函数的图象 ()πA ．对于点 3 ，0对称B ．对于点5π，0 对称 3πC ．对于直线 x ＝ 3 对称5πD ．对于直线 x ＝ 3 对称(2)已知函数 y ＝sin(2x ＋φ) －π＜φ＜ π 的图象对于直线 x ＝ π 对称、则 φ的2 2 3值为．π[(1) 由于函数 f(x) ＝ 2sin ωx ＋π(1)B (2)－ 66(ω＞ 0)的最小正周期是 π、42π1而 T ＝ ω ＝ 4π、因此 ω＝ 2、x π即 f(x)＝2sin 2＋ 6 .x π π2π令 2＋ 6 ＝ 2 ＋k π(k ∈Z)、解得 x ＝ 3 ＋2k π(k ∈Z)、2π故 f(x)的对称轴为 x ＝ 3 ＋2k π(k ∈Z)、22/25xππ令2＋6＝kπ(k∈Z)、解得 x＝－3＋2kπ(k∈Z)．π故 f(x)的对称中心为－3＋2kπ，0 (k∈ Z)、对照选项可知B 正确．π2π(2)由题意得 f3＝sin3＋φ ＝±1、2πππ∴3＋φ＝kπ＋2 (k∈Z)、∴φ＝kπ－6 (k∈Z)．πππ∵φ∈ －2，2、∴φ＝－6 .]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法π若求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴、则只要令ωx＋φ＝2＋kπ(k∈Z)、求 x；若求 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标、则只要令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)、求 x.23/25π1.设函数f(x) ＝cos x ＋ 3 、则下列结论错误的选项是 ( )A ． f(x)的一个周期为－ 2π8πB ． y ＝f(x)的图象对于直线 x ＝ 3 对称πC ． f(x ＋π)的一个零点为x ＝ 6πD ． f(x)在 2 ，π 上单一递减πD [A 项、由于 f(x)＝cos x ＋ 3 的周期为 2k π(k ∈Z)、因此 f(x)的一个周期为－2π、 A 项正确；ππB 项、由于 f(x)＝cos x ＋ 3 图象的对称轴为直线x ＝ k π－ 3 (k ∈ Z)、因此 y ＝8πf(x)的图象对于直线 x ＝ 3 对称、 B 项正确；4π πππC 项、 f(x ＋π)＝cos x ＋ 3 4＝k π＋ 2 (k ∈ Z)、得 x ＝k π－5.令 x ＋ 3 6 、当 kπ＝1 时、 x ＝ 6 、π因此 f(x ＋π)的一个零点为 x ＝ 6 、 C 项正确；ππ 2πD 项、由于 f(x)＝cos x ＋ 3 的单一递减区间为 2k π－ 3 、2k π＋3 (k ∈Z)、24/252k π＋ 2π、2k π＋5π单一递加区间为 3 3 (k ∈Z)、π 2ππ， 32因此 2 是 f(x)的单一递减区间、3 、 π是 f(x)的单一递加区间、 D 项错误． ]2． (20xx ·成都模拟 )已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ) ω＞ 0，| φ| ＜ π的最小正周2期为 4π、且 ? x ∈R 、有 f(x)≤f π建立、则 f(x)图象的一个对称中心坐标是 ()3 A. －2π， 0 B. －π ，0 3 32π 5πC.3 ，0D.3 ，01A [由 f(x)＝sin(ωx＋ φ)的最小正周期为 4π、得 ω＝2.π由于 f(x)≤f3 恒建立、π因此 f(x)max ＝f 3 、1 ππ即 2× 3 ＋φ＝ 2 ＋2k π(k ∈Z)、π π由 |φ|＜ 2 、得 φ＝ 3 、1 π故 f(x)＝sin 2x ＋ 3 .1 π2π令 2x ＋ 3 ＝k π(k ∈Z)、得 x ＝ 2k π－ 3 (k ∈Z)、故 f(x) 图象的对称中心为 2k π－ 2π ，0 ∈ 、3 (k Z )当 k ＝0 时、 f(x)图象的对称中心为 －2π，0 .]325/25。

【方法归类】 对于 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象平移后图象关于 y 轴或原点对称处理 方法有两种．一、 若平移后所得函数解析式为 y＝Asin(ωx＋φ＋θ)，要关于原点对 称，则 φ＋θ＝kπ；要关于 y 轴对称，则 φ＋θ＝kπ＋2π.二、 利用平移后的图象关于 y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用 y＝sinx 的对称性去求解．
(2) 当 x∈－π2，π2时，2x＋56π∈－6π，116π， 令－π6≤2x＋56π≤π2或32π≤2x＋56π≤116π， 得－π2≤x≤－π6或π3≤x≤π2. 所以 f(x)的单调递增区间是－π2，－π6和π3，π2.
目标 3 三角方程及三角函数零点 例 4 (1) 函数 f(x)＝(x－1)sinπx－1(－8＜x＜10)的所有零点之和为________．
又当 0<x<π，t＝sinx－cosx＝ 2sinx－π4∈(－1， 2]，设 u＝t＋1∈(0， 2＋1]， 则 y＝12·1＋uu－12＝12·u2－2uu＋2＝12u＋2u－2≥2 22－2＝ 2－1，当且仅当 u＝ 2 时取等号．
点评：三角函数的值域或最值的求解方法主要有三种： ① 将所给函数化归为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，再令 t＝ωx＋φ，再结合 y＝sinx 的图象 求解． ② 换元法：若函数解析式存在“sinxcosx，sinx±cosx”可以考虑换元，转化为二次 函数或分式函数；若函数解析式中存在“cos2x，sinx(或 cosx)”也可以利用换元法 转化为二次函数． ③ 导数法：对于如 y＝2－cossixnx，y＝sinx＋x 这样的复杂函数可以求导数，研究其 在给定区间上的单调性，再根据单调性求其值域．
1. 若将函数 f(x)＝ 3cosx－sinx 的图象向右平移 θ 个单位长度后得到的图象关于直

南通中学数学高考小题专题复习练习三角函数的概念一、填空题（共12题，每题5分）1、已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为___________．2、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为___________．3、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α是第___________象限角．4、 “6πα=”是“1cos 22α=”的_______条件5、若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是第___________象限角.6、设02θπ≤<，如果sin 0θ>且cos20θ<，那么θ的取值范围是7、圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是8、函数y =___________．9、若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .10、设角α是第二象限角，且cos cos 22αα=-，则角2α的集合是___________． 11、如果角α的终边经过点(,)P x y ,y x ,恰为方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-253225123y x y x 的解，则 sin α=___________12、某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、 二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 若角α终边过点(2)sin P a α=，且，求a 的值．。