2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用考情分析年份题号题型分值结合背景解题关键点设问形式202225解答题8抛物线型——隧道截面(1)理解题意，得顶点坐标；(2)点A、B纵坐标为6(一对对称点)(也可理解为抛物线与直线y=6的交点)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线上两点坐标（对称点）典例精讲例已知篮筐距地面3.05m，小亮站在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，篮球的运行路线是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐．篮球和篮筐均看作一个点，建立如图所示的平面直角坐标系，y轴经过抛物线的顶点．例题图(1)求小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式；(2)已知小亮的身高是1.8m，在这次跳投中，篮球在他头顶上方0.25m处出手，求球出手时小亮跳离地面的高度是多少米？(3)若小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被距篮筐水平距离为5m处的小明跳起来接住，小明接球的高度为2.3m．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2m时到达最高点．若小明不接球，让篮球自由落地，则落地点到篮筐的水平距离是多少m?抛物线型实际应用题解题关键点是理解题意，从题干中梳理信息，把实际情境下的数字信息转化为数学问题，借助函数图象解决.练习(2022宁夏真题卷)2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米．以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4，12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3∶4(即34 CEDE)．练习题图求：(1)点A的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．(精确到0.1米) (≈1.73)练习1夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．壮壮测得菜罩的跨度为80厘米，高度为32厘米，壮壮就以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系(如图②)．练习1题图(1)求抛物线的解析式；(2)壮壮的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为2.5厘米的盘子，要使菜罩紧贴桌面，菜罩内一排能放下三个这样的盘子吗？请说明理由．练习2某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥，已知道路AB的宽为40米，桥面最高处C点距离路面的距离OC为8米．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.练习2题图(1)求这座彩虹桥的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个桥墩进行支撑，若要保障道路AB的正常通行，两个桥墩之间的距离至少需要30米，求桥墩的最大高度(不考虑桥墩的宽度);(3)若在该彩虹桥下方有一个限高4米的横杆，现要在横杆上方设置一个宽18米，高2米的广告牌，问：在不超出桥面的情况下，这个广告牌能否按计划设置(不考虑横栏的宽度)?答案典例精讲例解：(1)∵抛物线的顶点在y轴上，∴该抛物线的对称轴是y轴，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，∵小亮距y轴的水平距离为2.5m，距篮筐水平距离为4m，∴篮筐距y轴的水平距离为4－2.5＝1.5m，∴篮筐的坐标为(1.5，3.05)，把(1.5，3.05)代入抛物线解析式，得3.05＝a×1.52＋3.5，解得a＝－0.2，∴篮球运行路线所在抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5(－2.5≤x≤1.5)；(2)设球出手时，小亮跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，解得h＝0.2，∴篮球出手时，小亮跳离地面的高度为0.2m；(3)∵篮球弹出后运行的水平距离为2m时到达最大高度，篮筐到y轴的距离为1.5m，∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴是直线x＝1.5－2＝－0.5，∴设该抛物线的解析式为y＝a′(x＋0.5)2＋k，∵小明到篮筐的水平距离为5m，∴小明距y轴的水平距离为3.5m，∴抛物线经过点(－3.5，2.3)，(1.5，3.05)，代入抛物线解析式可得，222.3=(3.50.5)=0.153.653.05(1.50.5)a k aka k''⎧-++-⎧⎪⎨⎨='=++⎪⎩⎩，解得，∴抛物线的解析式为y＝－0.15(x＋0.5)2＋3.65，令－0.15(x＋0.5)2＋3.65＝0，解得x10.5，x20.5(舍去)，∴篮球落地点距y 轴(0.5)m ，0.5＋1.5＝2)m ，∴若小明不接球，则篮球落地点到篮筐的水平距离为(3＋2)m.课堂练兵练习解：(1)点A 的坐标为(0，4)；(2)∵抛物线最高点B 的坐标为(4，12)，∴点B 是抛物线顶点，抛物线可设为y ＝a (x －4)2＋12(a ≠0)，把点(0，4)代入得a (0－4)2＋12＝4，解得a ＝－12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x －4)2＋12，即y ＝－12x 2＋4x ＋4；(3)在Rt △CDE 中，∵34CE DE =；∴设CE ＝3x ，则DE ＝4x ，由勾股定理得CD ＝5x ＝2.5，解得x ＝0.5，∴CE ＝1.5，DE ＝2，∴点D 的纵坐标为－1.5，将y D ＝－1.5代入抛物线y ＝－12(x －4)2＋12，得－12(x D －4)2＋12＝－1.5，解得x D ＝4＋或4－(舍去)，∴OC ＝x D －ED ＝4＋2＝2＋≈7.2(米)．∴起跳点A 与着陆坡顶端C 之间的水平距离OC 的长约为7.2米．课后小练练习1解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，由题意知，其顶点坐标为(40，32)，则抛物线为y ＝a (x －40)2＋32，把点(80，0)代入，得0＝a (80－40)2＋32，解得a ＝－150.∴抛物线的解析式为y ＝－150(x －40)2＋32；(2)能放下．理由如下：当x ＝803242-⨯＝4时，y ＝－150×(4－40)2＋32＝6.08>2.5.∴菜罩内一排能放下三个这样的盘子．练习2解：(1)∵AB ＝40，∴OB ＝20.设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，又∵抛物线经过点C(0，8)和点B(20，0)，∴＝8，400＋＝0，解得＝－0.02，＝8，∴抛物线的解析式为y＝－0.02x2＋8(－20≤x≤20)；(2)∵两个桥墩之间的距离至少为30米，且对称安置，∴桥墩距离中心OC的距离至少为15米．令x＝15，得y＝－0.02×152＋8＝3.5，∴桥墩的最大高度3.5米；(3)由题意可得，广告牌的最高处距离路面的距离为4＋2＝6米．令y＝6，则－0.02x2＋8＝6，解得x1＝－10，x2＝10，∴距离路面的距离为6米时桥面的宽度为20米．∵18＜20，∴这个广告牌能按计划设置．。
