2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时平面与平面垂直学案新人教B版必修2(含答案)
- 格式：doc
- 大小：235.00 KB
- 文档页数：6
1.2.3 第2课时 平面与平面垂直
[学习目标] 1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.
[知识链接]
1.直线与平面垂直的判定定理
定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面； 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 2.直线与平面垂直的性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 符号表示：
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .
[预习导引]
1.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.
要点一 平面与平面垂直判定定理的应用
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .
证明连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
跟踪演练1 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，
求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明设AC∩BD＝O，连接OE，
∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
要点二面面垂直性质定理的应用
例2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
解已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.
求证：l⊥γ.
方法一在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，
则PA⊥α，PB⊥β.
∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.
又PA∩PB＝P，且PA⊂γ，PB⊂γ，
∴l⊥γ.
方法二在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又n⊂β，∴m∥β.
又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.
规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质.
跟踪演练2 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
要点三线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，如图，
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，
∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪演练3 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
证明：PA⊥BD.
证明如图，取BC的中点O，
连接PO、AO.
∵PB＝PC.
∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，。
