【名师导学】2015高考数学一轮总复习 10.73 直线与圆的位置关系的判定与性质课件 理

3 3.
【答案】
－
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第九页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 1 直线与圆的位置关系 【例 1】 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为圆心 的圆与直线：x－ 3y＝4 相切． (1)求圆 O 的方程； (2)若圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x＋2y＝0 对称，且|MN| ＝2 3，求直线 MN 的方程．
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(2)设圆 O2 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22， 又圆 O1 的方程为：x2＋(y＋1)2＝4， 相减得公共弦 AB 所在的直线方程 4x＋4y＋r22－8＝0. 作 O1H⊥AB 于 H，则|AH|＝12|AB|＝ 2， ∵r1＝2， ∴|O1H|＝ r21－|AH|2＝ 2，
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【思路点拨】 (1)利用直线与圆相切，求出圆的半径， 写出圆的方程；(2)设 MN 的方程为 2x－y＋m＝0，利用|MN| ＝2 3，求 m 的值．
【尝试解答】 (1)依题意，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到 直线 x－ 3y＝4 的距离，
即 r＝ 14＋3＝2. 所以圆 O 的方程为 x2＋y2＝4.
d＜r ⇔相交； d＝r ⇔相切； d＞r ⇔相离．
(2)代数法：Δ＝―判b―2别－→式4ac＝ ＜＞000⇔ ⇔⇔
相交
相切
相离
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 圆与圆的位置关系 【例 2】 圆 O1 的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆 O2 的圆 心坐标为(2,1)． (1)若圆 O1 与圆 O2 外切，求圆 O2 的方程； (2)若圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点，且|AB|＝2 2，求 圆 O2 的方程． 【思路点拨】 (1)根据两圆外切求出圆 O2 的半径，便可 写出圆 O2 的方程． (2)设出圆 O2 方程，求出直线 AB 的方程，根据点 O1 到 直线 AB 的距离，列方程求解．

√
√
√
解：对于A，因为点A在圆C上，所以.圆心到直线 的距离，所以直线 与圆C相切，A正确.对于B，因为点A在圆C内，所以.圆心到直线 的距离，所以直线 与圆C相离，B正确.对于C，因为点A在圆C外，所以.圆心到直线 的距离，所以直线 与圆C相交，C错误.对于D，因为点A在直线上，所以.圆心到直线 的距离，所以直线与圆C相切，D正确.故选 .
解：圆的标准方程为，其圆心坐标，半径 .圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径 .则，， ，所以 ,所以两圆相交，故两圆的公切线条数为2条.故选C.
√
8.已知圆与圆 .
（1）过点作直线与圆相切，求 的方程；
（2）若圆与圆相交于，两点，求 .
解：（1）圆的方程可化为，即圆的圆心为 ，半径为1.若直线的斜率不存在，则方程为，与圆 相切，满足条件.若直线的斜率存在，设斜率为，则方程为，即 .由与圆相切,得，解得.所以的方程为 ，即 .综上,可得的方程为或 .
（2）若过点的直线与圆有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( )
A., B. C., D.,
√
解：显然直线 的斜率存在.（方法一）设直线的方程为.联立 得 .根据题意,知,即,解得 .（方法二）设直线的方程为.直线与圆有公共点，则圆心 到直线的距离,即,解得 .故选D.
【点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法.①几何法：利用与 的关系.②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用 判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.
A.1 B. C. D.0
解：设，由，得点的轨迹方程为 .圆C上存在点，满足，即圆 与圆C有公共点,则，解得故选 .

答案：B
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5．直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A、B 两点，则|AB| ＝__________.
第二十二页，编辑于星期五：十三点 八分。
解析：如图，取 AB 中点 C，连接 OC、OA，则 OC⊥AB，|OA| ＝2 2，|OC|＝|0－122＋×－0＋252|＝ 5，
方法三：(1)证明：因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 P(0,1)， 而|PC|＝ 5<2 3＝R，所以点 P(0,1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何 实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.
所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．
第三十页，编辑于星期五：十三点 八分。
●三个性质 解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
第十四页，编辑于星期五：十三点 八分。
1．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6 与直线 2x＋y－5＝0 的位置关
系是( )
第七页，编辑于星期五：十三点 八分。
3．求过点 P(x0，y0)的圆 x2＋y2＝r2 的切线方程 (1)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，
则以 P 为切点的圆的切线方程为□7 ____________.
(2)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外，则过 P 的切线方程可设为 y －y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
2．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0

直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系 .① ＞0，直线和圆订交 . ② =0，直线和圆相切 . ③＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的看法，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d ＜R ，直线和圆订交 . ② d=R ，直线和圆相切 . ③ d ＞R ，直线和圆相离 .2.直线和圆相切，这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交，这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2 22（ x+y ） +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读：圆心到直线的距离为d=1m，圆半径为m .2∵ d － r =1 m－ m = 1（m － 2 m +1） = 1（ m － 1） 2≥ 0，222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x 2＋ y 2－ 4x+4y+6=0 截直线 x － y － 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读：圆心到直线的距离为2，半径为 2 ，弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案： A3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x 2+y 2－4x=0 在点 P （ 1， 3）处的切线方程为A. x+ 3 y － 2=0B. x+ 3 y － 4=0－3 y+4=0D. x －3 y+2=0解法一：x 2+y 2－ 4x=0y=kx － k+3x 2－ 4x+（ kx － k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=3.3∴ y － 3 =3（ x － 1），即 x － 3 y+2=0.3解法二：∵点（ 1，3 ）在圆 x 2 +y 2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为（2， 0），∴3· k=－1.2 1解得 k=3，∴切线方程为 x － 3 y+2=0.3答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x － y －7=0 上，y=－3，解 得 ∴联立2x － y －7=0.∴圆心为（ 2，－ 3），半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为（ x －2） 2+（ y+3 ）2=5. 答案：（ x － 2） 2+（ y+3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 ___________.解读：利用数形联合 .答案：－ 1＜ k ≤ 1 或 k=－2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x －6y+m=0 和直线 x+2y － 3=0 交于 P 、 Q 两点，且 OP ⊥ OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解析：因为 OP ⊥ OQ ，所以 k OP · k OQ =－ 1，问题可解 .222解：将 x=3－ 2y 代入方程 x +y +x － 6y+m=0，得 5y － 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4， y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时＞0，圆心坐标为（－1，3），半径r =5. 22评论：在解答中，我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但一定注意这样的交点能否存在，这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（ y+3）2=37 的交点，且圆心在直线x－ y－4=0 上的圆的方程.解析：依据已知，可经过解方程组（x+3）2+y2=13 ，22得圆上两点，x +（ y+3） =37由圆心在直线x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3）2 +y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3）2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数λ，得圆方程 .解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ）2－ 37］ =0.睁开、配方、整理，得（x+3）2 +（y+3）2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为（－3，－3），代入方程x－ y－4=0 ，得λ=－ 7.11故所求圆的方程为（x+1）2+（ y+7）2=89. 222评论：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、 C2订交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1） +λ（ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （λ ∈R 且λ ≠－1）.它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（ x－1）2＋（ y－ 2）2＝ 25，直线l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m －4=0 （ m∈R） .（1）证明：无论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析：直线过定点，而该定点在圆内，本题即可解得.（1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，∵ m∈R，∴得x+y－4=0 ， y=1，即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .（2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 k AC＝－1，2∴l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评论：若定点 A 在圆外，要使直线与圆订交则需要什么条件呢？思虑议论求直线过定点，你还有其他方法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（ x－ 3）2＋（ y+5 ）2＝ r 2上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A. （4， 6）B.［4， 6）C.（ 4，6］D.［ 4， 6］解读：数形联合法解.答案： A2.（ 2003 年春天北京）已知直线ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得| a 0 b0c |=1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春天北京， 11）若圆 x2+y2+mx－1=0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在y 轴4的左边，则 m 的值为 ____________.解读：圆方程配方得（ x+ m）2+y2=m2 1，圆心为（－m，0） . 242由条件知－m<0，即 m>0. 2又圆与直线 y=－1 相切，则0－（－ 1） =m 2124，即 m =3，∴ m= 3 .答案：34.（ 2004年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦长等于____________.解读：由 x2+y2－ 6x－ 2y－15=0 ，得（ x－ 3）2+（ y－ 1）2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ，弦长为4 5 . 2答案： 455.自点 A（－ 3，3）发出的光芒l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在的直线与圆 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程 .解：圆（ x － 2） 2＋（ y － 2） 2＝ 1 对于 x 轴的对称方程是（ x － 2） 2＋（ y ＋ 2） 2＝ 1.设 l 方程为 y － 3＝ k （ x ＋3），因为对称圆心（ 2，－ 2）到 l 距离为圆的半径1，进而可得 k 1＝－ 3 ， k 2＝－ 4．故所求 l 的方程是 3x ＋ 4y － 3＝ 0 或 4x ＋ 3y ＋ 3＝0.436.已知 M （ x 0， y 0）是圆 x 2+y 2=r 2（ r >0）内异于圆心的一点，则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O （0， 0）到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P （ x 0， y 0）在圆内，∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ，故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2－ 4（a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方程 .解：（ 1）∵ a ≠0 时，方程为［ x －2(a1) ］2 +（ y+ 2 ） 2 = 4( a 2 2a 2) ，a a a 2因为 a 2－2a+2 ＞ 0 恒建立， ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 · a22a2=4［2( 1－ 1)2+1］，a 2a 2 2∴ a=2 时， r min 2=2.此时圆的方程为（ x － 1） 2+（ y － 1） 2=2.8.（文）求经过点A （－ 2，－ 4），且与直线 l ： x+3y － 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D － E=－ 36， 2D+4E －F=20， 8D+6E+F=－ 100. D=－ 11， ∴ E=3，F=－ 30.∴圆的方程为 x 2+y 2－ 11x+3y －30=0.（理）已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点，定点 Q （ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M （ x ， y ），则 P （ 2x － 4， 2y ），代入圆的方程得（x － 2）2+y 2=1.（ 2）设 R （ x ， y ），由| PR |= |OP|= 1 ，|RQ| |OQ | 2设 P （ m ，n ），则有3x4m=，n=3y，2代入 x 2+y 2=4 中，得 （ x － 4） 2+y 2=16（ y ≠ 0） .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M （－ 1， 0）、 N （ 1， 0）距离的比为 2，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），由题设有|PM |= 2，|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ，整理得 x 2+y 2－6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1， |MN |=2，所以∠ PMN =30°，直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3（ x+1） .3②将②代入①整理得x 2－ 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 ， x 2=2－ 3 .代入②得点 P 的坐标为（ 2+ 3 ，1+ 3 ）或（ 2－ 3，－1+ 3 ）；（ 2+ 3，－1－3 ）或（ 2－ 3，1－ 3）.直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种：相离、相切、订交.判断方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题，常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形；与圆订交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时，常常要用到距离，所以，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握，灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，必定点为A（ 1， 2），要使过定点A （1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围 .解：将圆的方程配方得（x+a）2+（ y+1）243a2C 的坐标为（－a，－2=4，圆心21），半径43a2r=4，条件是 4－ 3a2＞ 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即(1a)2(21)2＞43a 2.242化简得 a +a+9 ＞ 0.4－3a2＞ 0，由a2 +a+9＞ 0，－2 3＜ a＜2 3，33解之得a∈R.∴－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是（－23，2 3）.33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，而后将这个几何条件坐标化，即获得它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为P（ x， y），因为动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时， |PO |=|PA|+2；当动圆 P 与⊙ O 内切时， |PO |=|PA|－2.综合这两种状况，得 ||PO|－ |PA||=2.将此关系式坐标化，得| x2y2－ ( x 4)2y2|=2.化简可得（ x－ 2）2－y2=1. 3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|－ |PA||=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长=1，半焦距c =2，虚半轴长ab = c2a 2= 3 ，所以轨迹方程为（ x － 2） 2－ y 2=1.3。