利用正、余弦定理解决实际问题一、考情分析三角函数本身起源于人们对大自然中物体的测量,直到科技发达的今天,仍然有不少领域、不少技术涉及到三角函数,可以说,三角函数的出现,是人类的文明进步的一个重大体现,也是人类进步不可或缺的重要工具.正因为如此,我们在学习三角函数中,一定要重视它的实用性,利用三角函数,特别是利用正余弦定理解决实际问题,成为高考考查的一个热点,应该引起大家的高度重视.二、经验分享1.求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．(2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理．2.解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．三、知识拓展1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②)． 4. 坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比． 5．三角形的面积公式：S ＝()()()p p a p b p c --- (p ＝a ＋b ＋c2),S ＝abc 4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径,r 为三角形内切圆半径,p ＝a ＋b ＋c 2)．四、题型分析(一) 正弦定理的应用正弦定理是解三角形的一个重要工具,在三角形的三边和三角这六个条件中,如果涉及两边及一边对角,或者两角与一边问题时,通常利用正弦定理作为入手点,可以很快求出第四个量,为后面解三角形铺平道路.【例1】如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____________________.【分析】在知道∠ACB 的情况下,只要知道BC 的长即可,因此在△BCD 中,知道两角及一角对边,求另一角对边,可以使用正弦定理.【答案】10m【点评】如果知道两角及其一角对边,或者两边及其一边对角,可以利用正弦定理.当然,如果与外接圆半径有关的边角关系,也可以考虑正弦定理.【牛刀小试】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67o,30o,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈o ,cos670.39≈o ,sin 370.60≈o ,cos370.80≈o,3 1.73≈）【答案】60【分析】本题以直角三角形为依托,解斜三角形,知道一边及相关的角,用正弦定理是首选.【解析】92AC =,46cos 67AB=o,sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈o o o o . 【例2】如图,山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a.(1)若以B,C 为观测点,在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α,在塔底C 处测得A 处的俯角为β,用a,α,β表示山的高度；(2)若将观测点选在地面的直线AD 上,其中D 是塔顶B 在地面上的射影.已知石塔高度a=20,当观测点E 在AD 上满足6010DE =时看BC 的视角(即∠BEC)最大,求山的高度h.【分析】在△EBC 中,知道一边及两角,可使用正弦定理先求出AC 或AB,然后在直角三角形中求山高.【解析】在ABC ∆中,ββα+=∠-=∠090,BCA ABC由正弦定理得：BCA ABBAC BC ∠=∠sin sin()()()βαββαβα-=-+=∴sin cos sin 90sin 0a AB则()()分4sin sin cos sin sin cos sin ΛΛβαβαβααβα-=--=-⋅=a a a a AB h设20,tan ,tan h hDE x BED CED h x+=∠=∠=Q CED BED CEDBED BEC ∠⋅∠+∠-∠=∠∴tan tan 1tan tan tan()()()20102020201202+≤++=++=h h xh h x x h h x 当且仅当()xhh x 20+=即()20+=h h x 时,BEC ∠tan 最大,从而BEC ∠最大由题意,()106020=+h h ,解得h=180【牛刀小试】如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点,从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒,已知山高100BC =m,求山高MN .【答案】m 150【分析】（1）在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;（2）在三角形中,注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选用定理和公式,熟记正弦定理的内容和正弦定理的变形公式,求解三角形,把实际问题转化为三角形数学问题.【解析】在Rt ABC ∆中,45CAB ∠=︒,100BC =m,所以1002AC =m 在AMC ∆中,75MAC ∠=︒,60MCA ∠=︒,从而45AMC ∠=︒,由正弦定理得,sin 45sin 60AC AM=︒︒,因此1003AM =m 在Rt MNA ∆中,1003AM =m,60MAN ∠=︒,由sin 60MNAM=︒得31003150MN =⨯=m. 考点：正弦定理在实际中应用. (二) 余弦定理的运用余弦定理主要用于三边及一角的三角形相关问题.当知道三角形的两边及其夹角,求第三边时,余弦定理是首选；当然,知道三边求一角时,余弦定理也是手到擒来.【例3】某班设计了一个八边形的班徽（如图）,它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成,则该八边形的面积为 .【分析】从条件中可知,边上的三角形都是知道两边及其夹角,面积立即可得,关键是求出内部正方形的面积,于是,只需利用余弦定理求出正方形边长即可.【牛刀小试】要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度,在珠江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是．【分析】与AB相关的两个三角形都是直角三角形,且知道一个锐角的大小,于是,另一直角边可用塔高x表示,于是,在△BCD中,就变成三边(与x相关)和一角的关系,利用余弦定理,可以求出塔高x.【解析】依题意设AB x =,则,3BC x BD x ==,在BCD ∆中由余弦定理得方程222(3)5002500cos120x x x =+-⋅⋅⋅o ,解得500x =.【答案】500 m【例4】【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域,在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米,设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍,三角形ABC 的面积为S （千米2）.试用θ和a 表示S ；（2）若恰好当60θ=o 时,S 取得最大值,求a 的值.【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ=⋅+- （2）23a =+【分析】（1）设边BC x = ,则AC ax = ,由余弦定理求出22112cos x a a θ=+-,则面积211sin 2212cos a S ax x sin a a θθθ=⋅⋅=⋅+-；（2）对S 进行求导,得到()()2222cos 121212cos a a a S a a θθ+-+-'=⋅,则当0060θθ==时,面积最大,此时0221cos 12a a θ==+，解得23a =+【解析】(1)设边BC x = ,则AC ax = , 在三角形ABC 中,由余弦定理得：22212cos x ax ax θ=+-,所以22112cos x a a θ=+- ,所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θθθ=⋅⋅=⋅+- ,（2）因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθθ+--⋅=+-'⋅ , ()()2222cos 121212cos a a aa a θθ+-=⋅+- , 令0S '= ,得022cos ,1aa θ=+ 且当0θθ<时, 022cos 1aa θ>+, 0S '>, 当0θθ>时, 022cos 1aaθ<+, 0S '<, 所以当0θθ=时,面积S 最大,此时0060θ= ,所以22112a a =+, 解得23a =± , 因为1a > ,则23a =+.【点评】解三角形的实际应用,首先将图形对应到三角形,找到已知条件,本题中对应知道一个角,一条边,及其余两边的比例关系,利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中,若函数比较复杂,则借助导数去求解最值. (三) 正弦定理、余弦定理综合运用由于三角形问题的实际生活背景非常丰富,平面的和空间的都可以涉及,因此,一个问题中同时涉及正弦定理和余弦定理的情况屡见不鲜,解析中应充分注意条件与结论的关系,合理使用两个定理解决问题.【例5】【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】如图所示,某公路 一侧有一块空地,其中,．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ,其中M ,N 都在边AB 上（M ,N 不与A ,B 重合,M 在A ,N 之间）,且∠MON ＝30°． （1）若M 在距离A 点2 km 处,求点M ,N 之间的距离；（2）为节省投入资金,人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积．【答案】（1）（2）最小面积是【分析】（1）先利用余弦定理分别求出,再利用角度转化和正弦定理求出；（2）设,利用三角形之间的正余弦定理转化应用,解得,应用函数化简技巧,解得最小值.【解析】（1）在△OAB中,因为OA＝3,OB＝3,∠AOB＝90°,所以∠OAB＝60°．在△OAM中,由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝7,所以OM＝,所以cos∠AOM＝＝,在△OAN中,sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．在△OMN中,由＝,得MN＝×＝．（2）解法1：设AM＝x,0＜x＜3．在△OAM中,由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cos A＝x2－3x＋9,所以OM＝,所以cos∠AOM＝＝,在△OAN中,sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．由＝,得ON＝·＝．所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝,0＜x＜3．令6－x＝t,则x＝6－t,3＜t＜6,则S△OMN＝＝ (t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝,即t＝3,x＝6－3时等号成立,S△OMN的最小值为．所以M 的位置为距离A 点6－3km 处,可使△OMN 的面积最小,最小面积是km 2．解法2：设∠AOM ＝θ,0＜θ＜在△OAM 中,由＝,得OM ＝．在△OAN 中,由＝,得ON ＝＝．所以S △OMN ＝OM ·ON ·sin∠MON ＝···＝＝＝＝＝,0＜θ＜．当2θ＋＝,即θ＝时,S △OMN 的最小值为．[]所以应设计∠AOM ＝,可使△OMN 的面积最小,最小面积是km 2．【牛刀小试】如图,在平面四边形ABCD 中,32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA ,3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长【分析】（1）本小题中先在CED ∆中用余弦定理求得CD,再在CDE ∆中用正弦定理求得sin CED ∠,注意在用这两个定理时,要找足条件,并正确选择三角形；（2）本小题中23AEB CED π∠=-∠,而2cos cos()3AEB CED π∠=-∠用两角差的余弦公式展开求得,又在Rt EAB ∆中,cos ,EA AEB BE ∠=故cos EABE AEB =∠即可求得其值.（2）由题设知,0,3πα<<于是由（1）知,227cos 1sin αα=-=, 而23AEB πα∠=-,所以 222137cos cos()cos cos sin sin cos 3332AEB πππααααα∠=-=+=-=, 在Rt EAB ∆中,2cos ,EA AEB BE BE ∠== 故247cos 714BE AEB ===∠考点：余弦定理,正弦定理,同角三角函数的基本关系,直角三角形的边角关系,两角差的余弦公式.五、迁移运用1．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】我校为丰富师生课余活动,计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平方米）的AMPN 矩形健身场地,如图,点M 在AC 上,点N 在AB 上,且P 点在斜边BC 上,已知60ACB ∠=︒, 30AC =米, AM x =米, []10,20x ∈.设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为S元,再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪,每平方米的造价为S元（k 为正常数）（1）试用x 表示S ,并求S 的取值范围；（2）求总造价T 关于面积S 的函数()T f S =;（3）如何选取AM ,使总造价T 最低（不要求求出最低造价）【解析】（1）在Rt PMC ∆中,显然30,60MC x PCM =-∠=︒,)tan 330PM MC PCM x =⋅∠-,矩形AMPN 的面积()[]330,10,20S PM MC x x x =⋅=-∈ 于是20032253S ≤≤为所求（2）矩形AMPN 健身场地造价137T S =又ABC ∆的面积为3即草坪造价)23T S S =, 由总造价122163,25,20032253T T T T k S S =+∴=≤≤⎭(3) 21631263S S≥Q 当且仅当2163S S =即2163S =时等号成立,此时, ()3302163x x -=解得12x =或18x =答：选取AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.2．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）】在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯,路宽OD 为123米,灯杆AB 长4米,且与灯柱OA 成120︒角,路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM , BN )都成30︒角,当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时,灯罩轴线正好通过OD 的中点.（1）求灯柱OA 的高h 为多少米;（2）设ABC θ∠=,且5122ππθ≤≤,求灯所照射路面宽度MN 的最小值.【解析】（1）连接AC , 设ACO α∠=,则60ACB α∠=-o ,在直角ACO ∆中, 63cos OC AC α==在直角ACB ∆中, ()()4sin 60sin 60AB AC αα==--o o , ()634sin 60α=-o ,解得53tan α= , 在直角ACO ∆中, 53tan 310AO ON α=⋅== . （2）以O 为坐标原点, ON , OA 分别为,x y 轴,建立直角坐标系,则()()()0,10,23,12,123,0A B D ,又5,122ABC ππθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦①若2ABC π∠=,由（1）知, 83MN = ②若5,122ABC ππθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭, 则直线BM 的方程为()tan 2312y x θ=-+,则12230tan M x θ=-+>； 直线BN的方程为()tan 23123y x πθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,则1223123tan 3N x πθ=-+<⎛⎫+ ⎪⎝⎭；所以1112tan tan 3M N MN x x πθθ⎛⎫ ⎪ ⎪=-=-⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =cos cos 312sin sin 3πθθπθθ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=636311sin sin sin 23264ππθθθ=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又5,122ABC ππθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭,所以当且仅当512πθ=时, MN 取最小值12123-； 综合①②知,当512πθ=时, MN 取最小值12312-. 3．如图所示,某镇有一块空地OAB ∆,其中3,33OA km OB km ==,090AOB ∠=．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN ∆,其中M,N 都在边A,B 上,且030MON ∠=,挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山,剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场．为了安全起见,需在OAN ∆的一周安装防护网．（Ⅰ）当32AM km =时,求防护网的总长度； （Ⅱ）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面积的3倍,试确定AOM ∠的大小．【答案】（Ⅰ）9km ．（Ⅱ）015AOM ∠=【解析】（1）在OAB ∆中,因为03,33,90OA OB AOB ==∠=,所以060OAB ∠=,在AOM ∆中,033,,602OA AM OAM ==∠=, 由余弦定理,得332OM =, 所以222OM AM OA +=,即OM AN ⊥,所以030AOM ∠=,所以OAN ∆为正三角形,所以OAN ∆的周长为9,即防护网的总长度为9km ．4．如图,为对某失事客轮AB 进行有效援助,现分别在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明,其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 长为100米,105ADN ∠=︒,30BDM ∠=︒,45ACN ∠=︒,60BCM ∠=︒．（1）求BCD ∆的面积；（2）求船AB 的长．【解析】（1）由题,30BDM ∠=o ,45ACN ∠=o ,60BCM ∠=o ,得30CBD ∠=o ,所=100BC BD =,所以11sin =100100sin12022BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠⨯⨯⨯o 25003=（2）由题,75ADC ∠=o ,45ACD ∠=o ,45BDA ∠=o ,在ACD ∆中,sin sin CD AD CAD ACD =∠∠,即100sin 60sin 45AD =o o ,所以10063AD =在BCD ∆中,22222cos 1001002100100cos120=1003BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯o 在ABD ∆中,222cos AB AD BD AD BD BDA =+-⋅∠22100100(6)1003261003cos 4533=+-⨯⨯⨯o （）1001535．在海岸A 处,发现北偏东045方向,距离A 为31)海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西075方向距离A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇奉命以103/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向逃窜,问辑私艇沿什么方向,才能最快追上走私船？需要多长时间？【答案】沿北偏东060追击,需106小时． 【解析】 试题分析：本题主要考查解三角形、三角形中的几何计算等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在ABC ∆中,利用余弦定理,求出BC 的值,然后在CBD ∆中,BCD ∠,设缉私船用t 小时在D 处追上走私船,则有103,10CD t BD t ==,在三角形中利用正弦定理解出所求时间．试题解析：如图,设需要t 小时追上走私船．∵2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅∠ 2202(31)22(31)cos1206=+--⨯⨯-=,∴6BC =,在CBD ∆中,0120CBD ∠=,cos CBD ∠=tt t BD BC DC BD BC 10623001006222222⨯-+=⋅⋅-+ 整理,得21005630t t --= ,解得6t =或6t =- （舍去） 又∵DCBBD CBD DC sin sin = ,即：DCB t t sin 10120sin 310=︒ 解得030DCB ∠=答：沿北偏东060追击,需106小时．【方法点睛】正弦定理：在一个三角形中,各边和它的对角的正弦之比相等,该比值等于该三角形外接圆的直径,2sin sin sin a b c R A B C===,在式子中两个边两个角知三求一； 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,2222cos b a c ac B =+-,2222cos c a b ab C =+-,在式子中,已知三角形的两边及其夹角,可求角的对边,或已知三角形的三边,可以求出三角形的三个内角．6.【江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测】如图,一块弓形余布料EMF ,点M 为弧EF 的中点,其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内）,∠EOF =23π．将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD (不计损耗), AD∥EF ,且点A 、D 在弧EF 上,设∠AOD =2θ．（1）求矩形ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形ABCD 的面积最大时,求cos θ的值．【解析】 (1) 设矩形铁片的面积为S ,∠AOM ＝θ.当0＜θ＜3π 时(如图1),AB ＝4cos θ＋2,AD ＝2×4sin θ, S ＝AB ×AD ＝ (4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．当3π≤θ＜2π，时(如图2),AB ＝2×4cos θ,AD ＝2×4sin θ, 故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin 2θ.综上得,矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()162cos 1,03{ 322,32sin S sin πθθθππθθ+<<=≤< (2) 当0＜θ＜时,求导,得S ′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)] ＝16(4cos 2 θ＋cos θ－2)．令S ′＝0,得cos θ＝. 记区间03π⎛⎫ ⎪⎝⎭n 内余弦值等于的角为θ0(唯一存在),列表： θ (0,θ0) θ0 03π⎛⎫ ⎪⎝⎭n S ′ ＋ 0 －S极大值又当≤θ＜时,S ＝32sin2θ是单调减函数,所以当θ＝θ0,即cos θ＝331- 时,矩形铁片的面积最大． 7．【江苏省如东高级中学2018届高三上学期期中】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏,如图,固定在水面上点O 处的某种设备产生水波圈,水波圈生产t 秒时的半径r （单位： m ）满足2343r t =； AB 是铺设在水面上的浮桥,浮桥的宽度忽略不计,浮桥两端,A B 固定在水岸边.游戏规定：当点O 处刚产生水波圈时,游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的A 端跑向B 端；若该参与者通过浮桥AB 的过程中,从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关,已知tan 2AOB ∠=-, 6OA m =,浮桥AB 的某个桥墩处点M 到直线,OA OB 的距离分别为852,5m m ,且4AM m <,若某游戏参与者能以13/m s 的速度从浮桥A 端匀速跑到B 端.（1）求该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间？（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系,则()6,0A ,直线OB 的方程为20x y +=.设()0,2M x ,由0228555x +=,解得03x =或05x =-. 当03x =时, 134AM =<,符合；当05x =-时, 554AM =>,不符合.所以03x =,直线AM 的方程为23120x y +-=.由20,{ 23120x y x y +=+-=解得3,{ 6x y =-=即()3,6B -. 所以()22366313AB =--+=.所以,该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间为313313s =.（2）在OAB ∆中, 213sin 13OAB ∠=, 313cos 13OAB ∠=. 设ts 时,该参与者位于点P ,则3136136313P x t t =-⋅=-, 21313213P y t t =⋅=. 则ts 时,点P 坐标为()63,2t t -,其中03t ≤≤.()()2222632133636OP t t t t =-+=-+, 2243r t =. 令()22324133f t r OP t t =-=- ()363603t t +-≤≤, 则()242636f t t t =-+'= ()()2429t t --()0,2t ∈时()0f t '>, ()f t 在()0,2上为增函数,()2,3t ∈时()0f t '<, ()f t 在()2,3上为减函数,故当2t s =时, ()f t 取得最大值()2f . 由于()16203f =-<,所以[]0,3t ∈时, r OP <恒成立. 即该游戏参与者通过浮桥AB 的过程中,从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,所以该参与者在这个游戏中过关.8．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,摩天轮的半径OA 为50m ,它的最低点A 距地面的高度忽略不计.地上有一长度为240m 的景观带MN ,它与摩天轮在同一竖直平面内,且60AM m =.点P 从最低点A 处逆时针方向转动到最高点B 处,记(),0,AOP θθπ∠=∈.（1）当23πθ=时,求点P 距地面的高度PQ ； （2）试确定θ的值,使得MPN ∠取得最大值.【解析】（1）由题意,得5050cos PQ θ=-.从而,当23πθ=时, 25050cos753PQ π=-=. 即点P 距地面的高度为75m .（2）由题意,得50sin AQ θ=,从而6050sin ,30050sin MQ NQ θθ=-=-. 又5050cos PQ θ=-,所以6sin 65sin tan ,tan 1cos 55cos NQ MQ NPQ MPQ PQ PQ θθθθ--∠==∠==--. 从而()()121cos tan tan tan tan 1tan tan 2318sin 5cos NPQ MPQMPN NPQ MPQ NPQ MPQ θθθ-∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠--令()()()121cos ,0,2318sin 5cos g θθθπθθ-=∈--,则()()()()21218sin cos 1,0,2318sin 5cos g θθθθπθθ⨯+-=∈--'.由()0g θ'=,得sin cos 10θθ+-=,解得2πθ=.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()()0,g g θθ'>为增函数；当,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时, ()()0,g g θθ'<为减函数,所以,当2πθ=时, ()g θ有极大值,也为最大值.因为02MPQ NPQ π<∠<∠<,所以02MPN π<∠<.从而当()tan g MPN θ=∠取得最大值时, MPN ∠取得最大值. 即2πθ=时, MPN ∠取得最大值.试题点睛：本题考查了与三角函数有关的最值问题,主要还是利用导数研究函数的单调性,进一步求其极值、最值．9．【2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考】如图,矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图,其中AB ＝50米,AD ＝100米,现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中,点O 为AD 的中点,OM ⊥ON ,点M 在AB 上,点N 在CD 上）,将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元,新道路AM 成本为每米500元,设∠OMA ＝θ,记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)．（1）求f (θ)关于θ函数关系式,并写出定义域；（2）为节约投入成本,当tan θ为何值时,总费用 f (θ)最小？（2）由（1）可知,f (θ)＝1125000sin cos tan θθθ⎛⎫⋅+⎪⎝⎭, ππ63θ≤≤, ()'f θ＝()()2222220cos sin sin cos 25000sin sin cos θθθθθθθ⎡⎤----⎢⎥⋅+⎢⎥⎣⎦＝()2222sin cos 125000sin sin cos θθθθθ⎡⎤-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝()222sin 2cos 25000sin cos θθθθ-⋅,令()'f θ＝0,得0tan 2θ=,其中0ππ63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,列表：θπ6 0π6θ⎛⎫⎪⎝⎭， 0θ0π3θ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π3()'f θ-+()f θ7250003⨯ ↘ 极小值500002↗5250003⨯所以当tan 2θ=时,总费用 f (θ)取最小值500002,可节约投入成本．10．【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】如图,在某商业区周边有 两条公路和,在点处交汇,该商业区为圆心角,半径3的扇形,现规划在该商业区外修建一条公路,与,分别交于,要求与扇形弧相切,切点不在,上.（1）设试用表示新建公路的长度,求出满足的关系式,并写出的范围；（2）设,试用表示新建公路的长度,并且确定的位置,使得新建公路的长度最短.【解析】（1）在中,；由余弦定理得：；所以；如图,以为原点,所在直线为轴,建立直角坐标系,则,所以直线的方程为,即；因为与扇形弧相切,所以,即.（2）因为是圆的切线,所以.在中,,在中,,所以,所以,,设,则,当且仅当,即时取等号. 此时时,新建公路的长度最短.11．【江苏省南京市溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟】如图,在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l 上设立了,A B 两个报名点,满足,,A B C 中任意两点间的距离为10km .公司拟按以下思路运作：先将,A B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于,A B 两点),然后乘同一艘轮游轮前往C 岛．据统计,每批游客A 处需发车2辆, B 处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2a 元,游轮每千米耗费12a 元．（其中a 是正常数）设∠CDA a =,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本为S 元．(1) 写出S 关于a 的函数表达式,并指出a 的取值范围； (2) 问：中转点D 距离A 处多远时, S 最小？ 【解析】 (1) 由题知在△ACD 中,∠CAD ＝3π,∠CDA ＝α,AC ＝10,∠ACD ＝23π－α. 由正弦定理知10233CD AD sin sinsin ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭,即CD＝53sinα, AD＝2103sinsinπαα⎛⎫-⎪⎝⎭,所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a＝2603403sinsinπαα⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦a＋80a ＝3cos203sinαα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a＋60a233ππα⎛⎫<<⎪⎝⎭12．【2017届江苏泰州中学高三上学期期中】如图,太湖一个角形湖湾,2AOB AOBθ∠=（常数θ为锐角）. 拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择：方案一如图1,围成扇形养殖区OPQ,其中PQ l=；方案二如图2,围成三角形养殖区OCD,其中CD l=；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大,应选择何种方案？并说明理由.【解析】（1）设OP r =,则2l r θ=,即12r θ=,所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭. （2）设,OC a OD b ==.由余弦定理,得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,所以()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时,“=”成立.所以()221sin 2sin 2241cos 24tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=- ,即224tan l S θ=.。
