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钢管压杆稳定计算实例
钢管压杆稳定计算实例钢管压杆是一种常用的结构元件，用于承受压力和稳定结构。
在设计和使用钢管压杆时，稳定性是一个重要的考虑因素。
本文将通过一个实例，详细介绍钢管压杆的稳定计算。
假设我们有一个钢管压杆，长度为L，直径为d，材料的弹性模量为E。
我们需要计算该压杆在某一外力作用下的稳定性。
我们需要确定压杆的截面积A。
钢管的截面积可以通过公式 A = π * (d/2)^2来计算。
其中，π为圆周率，d为钢管的直径。
将这些参数代入公式，即可得到截面积A。
接下来，我们需要计算压杆的临界压力Pcr。
临界压力是指当施加到压杆上的外力达到一定值时，压杆会发生屈曲。
临界压力的计算公式为Pcr = (π^2 * E * I) / L^2。
其中，E为材料的弹性模量，I为钢管截面的惯性矩，L为压杆的长度。
通过计算，我们可以得到压杆的临界压力Pcr。
我们需要计算实际外力作用下的稳定系数。
稳定系数的计算公式为K = P / Pcr。
其中，P为实际外力的大小。
通过计算，我们可以得到稳定系数K。
根据计算结果，当稳定系数K大于1时，表示压杆在外力作用下是稳定的。
当稳定系数K小于1时，表示压杆在外力作用下会发生屈曲，不稳定。
通过以上的计算步骤，我们可以对钢管压杆的稳定性进行准确的评估。
在实际工程中，我们可以根据计算结果来选择合适的钢管尺寸和材料，以确保结构的稳定性和安全性。
总结一下，钢管压杆稳定计算是一个重要的设计环节，通过计算截面积、临界压力和稳定系数，我们可以对钢管压杆的稳定性进行评估。
这样可以确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解钢管压杆的稳定计算过程，并在实际工程中应用。
压杆稳定计算范文
压杆稳定计算范文压杆稳定计算是结构力学中的重要内容，用于分析和设计物体中受压的杆件的稳定性。
杆件在受到外部压力时，容易出现挠曲和屈曲的现象，这会导致杆件失去稳定性，影响物体的整体结构。
因此，进行压杆稳定计算是确保结构强度和稳定性的关键一步。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、计算方法以及相关的应用。
一、压杆稳定的基本原理当杆件受到外部压力作用时，会产生应力和应变。
应力是单位面积上的力，应变是物体变形的程度。
杆件的稳定性取决于杆件截面形状、材料性能以及受到的外部压力。
具体而言，压杆稳定的基本原理包括以下几个方面：1.压杆失稳的形式：压杆失稳主要分为弯曲失稳和屈曲失稳两种形式。
当杆件受到压力时，会产生挠曲，如果挠度过大，会导致压杆失稳。
另外，当杆件超过一定的压力阈值时，会发生屈曲失稳，即杆件发生整体屈曲变形。
2.稳定条件：杆件的稳定性取决于杆件强度和刚度之间的平衡。
在一定条件下，杆件的稳定性与截面形状及尺寸有关，一般情况下，截面越大、形状越不易变形的杆件越稳定。
3.弯矩和轴力关系：杆件在受到外部压力作用时，既会产生弯矩，也会产生轴力。
弯矩会导致杆件产生弯曲变形，而轴力会导致杆件产生拉伸或压缩变形。
两者之间的关系可以通过结构力学中的梁柱理论进行计算。
二、压杆稳定的计算方法压杆稳定的计算方法可以分为两类：一是理论方法，即基于理论分析的计算方法；二是实验方法，即基于实验数据的计算方法。
下面将对这两种计算方法进行详细介绍。
1.理论方法理论方法主要包括基于公式推导的解析解法、基于数值计算的有限元分析以及基于力学模型的计算法。
这些方法都需要根据具体的杆件结构和外部压力条件，进行相应的力学分析和计算。
其中，有限元分析是一种比较常用的分析方法，可以通过数值计算的方式预测杆件的应力和变形情况，进而评估杆件的稳定性。
2.实验方法实验方法主要是通过制作试验样品，在实验室中施加压力进行测试，得到杆件的实际应力和变形情况。
根据实验结果，可以评估杆件的稳定性。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
(整理)压杆稳定(教材).
第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。
构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。
考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。
实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。
若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。
杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。
工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。
因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。
机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。
还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。
这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。
(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。
例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。
图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。
(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。
压杆稳定计算
压杆稳定计算压杆稳定计算与强度计算类似，也可以解决常见的三类问题，即稳定校核、确定容许荷载及设计截面。
对于前两种计算相对较简单，而在设计截面时，由于稳定条件中截面尺寸未知，所以柔度λ和稳定系数ϕ也未知，因而要采用试算的方法确定截面。
试算时可按图1所示的流程进行。
一般先假设10.5ϕ=，由式[]NF Aϕσ≤，求得截面积1A ，用式I i A =及liμλ=，求得λ，再由λ查出1ϕ'；若 与假设的1ϕ值相差较大，再进行第二次试算。
第二次试算可假设1122ϕϕϕ'+=，重复以上步骤，可查出2ϕ'，当2ϕ'与2ϕ值相差较小，可停止试算。
否则可重复试算，直至i ϕ与i ϕ'相差不大，最后再进行稳定校核。
图1例题1 如例题1（a ）图所示，结构是由两根直径相同的轧制圆杆组成，材料为235Q 钢。
已知h=4m ，直径d=20mm ，材料的容许应力[]170MP σ=，荷载F=15KN 。
试校核两杆的稳定性。
例题1图解：分别对AB 和AC 两杆进行计算。
（1）求每根杆所承受的压力。
取结点A 为研究对象，作受力图如例题1（b ）图所示。
由平衡条件得00000 cos 45cos3000 sin 45sin 300NAB NAC xyNAB NAC F F F FF F F =-+==---=∑∑解方程得二杆的轴力为13.44()10.98()NAB NAC F KN F KN =-=-（2）求各杆的工作应力。
323213.441042.8()3.141010.981034.9()3.1410NAB AB NAC ACF MPa A F MPa A σσ-⨯===-⨯-⨯===-⨯（3）计算柔度，查稳定系数。
105()22R i mm === 二杆的长度分别为：0.566 0.8AB AC l m l m == ， 二杆的柔度分别为：1566113518001605ABAB ACACl i l iμλμλ⨯===⨯===由表查得该二杆为a 类截面，查表得：0.541 0.302AB AC ϕϕ==。
压杆稳定计算简介
式中的系数j为折减系数，它决定于压杆的材 料和柔度，折减系数j反映了柔度对压杆稳 定性的影响。j值可以从折减系数表中查得。
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
7-3压杆稳定计算-精选文档
5m
7m
9m
d
2 2 9 E ( 200 × 10 ) = = 99 . 35 6 p= 200 × 10 P
c > p
属于大柔度杆 （a） （b） (c)
故用欧拉公式计算临界压力
2 EI Fcr 3136 KN 2 = ( l )
例2 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
σ σ
∴ σcr ≤σp
2E 有 p = p
或
E p
2
3、对λ<λp的压杆，不能用欧拉公 式，可用后面介绍的经验公式.
第三节
欧拉公式的适用范围
经验公式
三、经验公式 （1） 三类不同的压杆
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp 中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲，失稳 λs < λ <λp 或 σp < σcr < σs
例1:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为
Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求： 1.哪一根压杆易丧失稳定？ 2.三杆中最大的临界压力值。
解： 压杆的柔度越大，临界压力 越小，越容易失稳。 1.计算柔度
4 I d × 4 d i= = 2 = A 64 × d 4 l 1 5 杆a: 1 2 5 2 i 4 1 0 l 0 . 7 7 杆b: 1 2 2 . 5 2 i 4 1 0 l 0 . 5 9 杆c: 1 1 2 . 5 2 i 4 1 0
粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服 λ <λs 或
σs < σcr
第四节
压杆的稳定性计算
压杆稳定2
Fcr nst
236 .6 3
78.9KN
再由
1 F 4 FNCD
F FNCD 78.9 19.7KN
44
例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直
径为： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰
支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）
木杆 : 80时, 3000 2
第三次试算，修正 2
3
2
2
2
0.33 0.2 2
0.265
例：上端自由下端固定的立柱，F＝200kN, L=2m, 材料Q235钢，
[ ]=160MPa.在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为
d =70mm的圆孔，试选择工字钢型号。
x
第三次试算，修正 2
F
z
y
3
2
2
2
0.33 0.2 2
0.265
行计算。
二、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅 与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。
例 图示结构，①、②杆材料、长度相同，已知：Q
=120 kN, E=200 Gpa, l = 0.8m, λP=99.3, λ0=57, 经验公 式σcr=304-1.12λ(MPa), nst=2。校核结构的稳定性。
201KN
c．比较[P1] 和[P2]确定[P]=162KN（取小者）
例 结构受力如图a 所示，CD柱由Q235钢制成，E=200GPa，σp= 200MPa，许用应力[σ]=120MPa。柱的截面积为a = 60 mm 的正方形。 试求：（1）当F=40kN 时，CD柱的稳定安全系数n；（2）如设计要求 稳定安全系数 nst = 3，结构的许用载荷[F] 。
工程力学29-压杆稳定计算
33. 压杆的稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
压杆稳定计算简介
念概个几清分
参考食物 reference food 用于测定食物GI值的基准物质，通常为食品级或
药品级葡萄糖或葡萄糖溶液。 参考食物的GI值定为100。
待测食物 test food 用于GI值测定的食物。 如为加工食品，要求配方组成、生产工艺明确。
求要本基定测
GI测定应遵守相关伦理要求。
测定机构设施与条件应符合附录B的要求。
碳 水 ] 全谷物
] 薯类、根茎类
源]] 豆 蔬化合类菜 物 ] 水果
] 脱脂奶
] 糖来作物
] 含糖饮料
DF高 粗加工 天然
添加
可利用碳水化合物
包括糖、淀粉（抗性淀粉除外）和部分具有生血糖作 用的糖醇。
不可利用碳水化合物的组分列表
（不可消化）低聚糖
果聚糖 (低聚果糖、果寡糖、菊粉) 棉籽糖 水苏糖 低聚半乳糖 低聚木糖 — — — — —
案设计、组织与管理；以及具有执业资格的医护人员负责现场操作。
择选者试受
受试者人数要求: 不少于12人。
健康成年人（年龄在18岁～60岁），男女各半 无对待测食物过敏史和不耐受史。能够维持至少10h的空腹状态。 近3个月内未服用影响糖耐量的营养素补充剂，以及未口服避孕 药、乙酰水杨酸、类固醇、蛋白酶抑制剂和抗精神病药等药物。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ； μL－计算长度
压杆长度系数
杆端约 两端固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
一端自由
长度系
0.5
≈0.7
1.0
2.0
数
压杆的 挠曲线 形状
pcr
2 EI ( L) 2
根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可 从下列几方面来考虑：
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第16 章压杆稳定16.1 压杆稳定性的概念在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。
但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F 达到屈服强度载荷F s （或抗压强度载荷F b），杆件发生强度破坏时为止。
但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F 比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F 逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。
我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。
此时，F1可能远小于F s （或F b）。
可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆（图16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳（图16-4）。
本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。
实际上它是指平衡状态的 稳定性。
我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。
先用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。
因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。
当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后， 小球将继续下滚， 不再回到原来的平衡位置。
因此， 小球原有的干衡状态是不稳定平衡。
第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O 1 再次处于平 衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。
因此。
我们称小球原有的平衡 状态为随遇平衡。
图 16-5图 16-6通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。
因此。
在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于图 16-3直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a 所示。
当轴向压力F 由小变大的过程中，可以观察到：1) 当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。
若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b 所示。
所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。
2) 当压力值F2超过其一限度F cr 时，平衡状态的性质发生了质变。
这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d 所示。
因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。
3) 界于前二者之间，存在着一种临界状态。
当压力值正好等于F cr 时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c 所示。
因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。
临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用F cr 表示。
由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。
当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。
所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。
16.2 两端铰支细长压杆的临界力图16-7a 为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。
图16-7 根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。
在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。
因此，可以认为能精品文档精品文档 够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为 临界力 。
选取坐标系如图 l6-7a 所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图 所示。
由保留部分的平衡得M x F cr v (a)在式(a) 中，轴向压力 F cr 取绝对值。
这样，在图示的坐标系中弯矩M 与挠度 v 的符号 总相反，故式 (a) 中加了一个负号。
当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线 近似微分方程有 2 d v M xF cr v dx 2 EI EI 由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。
弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的 小惯性矩。
令式( b )可改写为此微分方程的通解为 16-7b (b)因而，杆件的微小I 应该是横截面的最 k 2F cr EI(c) d 2vdx 2 k 2v 0 (d)式中 C 1、 C 2为积分常数。
v C 1sinkx C 2coskx 由压杆两端铰支这一边界条件 (e)x 0， v 0 x l ， v 0 将式(f) 代入式(e) ，得 C 2 0，于是 v C 1sinkx(f)(g)(h) 式(g) 代入式 (h) ，有C 1sinkl 0 在式(i) 中，积分常数 C 1不能等于零，否则将使有 v 0 ， 状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有sinkl 0(i) 这意味着压杆处(j)由式 (j) 解得 kl n n 0，1，2， k ＝ n l(k) k 2 n 2 2l 2 F crEIF cr n2 2EI n 0，1，2， (l)l 2 因为 n 可取 0，1，2，⋯中任一个整数，所以式 (1) 表明，使压杆保持曲线形态平衡的精品文档压力，在理论上是多值的。
而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。
取n=0，没有意义，只能取n=1。
于是得两端铰支细长压杆临界力公式2EIF cr 2 (16-1)2crl式(16-1) 又称为欧拉公式。
在此临界力作用下，k＝，则式(h) 可写成v C1 sin x (m)1l可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。
将x 2l代入式(m) ，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度v l C1 sin x l C1 v maxx2l 2C1 是任意微小位移值。
C1之所以没有一个确定值，是因为式(b) 中采用了挠曲线的近似微分方程式。
如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么C1 值便可以确定。
这时可得到最大挠度v max 与压力F之间的理论关系，如图16-8 的OAB曲线。
此曲线表明，当压力小于临界力F cr 时, F 与v max之间的关系是直线OA，说明压杆一直保持直线平衡状态。
当压力超过临界力F cr 时，压杆挠度急剧增加。
C1图16-8在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力 F 是轴向压力，压杆材料均匀连续。
这是一种理想情况，称为理想压杆。
但工程实际中的压杆并非如此。
压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均匀或存在缺陷的情况。
实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在杆件上的压力有一精品文档精品文档个微小的偏心距 e 。
试验结果表明，实际压杆的 F 与 v max 的关系如图 16-8 中的曲线 OD 表示，偏心距愈小，曲线 OD 愈靠近 OAB 。
16.3 不同杆端约束细长压杆的临界力压杆临界力公式 (16-1) 是在两端铰支的情况下推导出来的。
由推导过程可知，临 界力与约束有关。
约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有 影响。
但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法 求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类比的方法导出几种常见约束 条件下压杆的临界力计算公式。
16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力图 16-9 为—端固定另一端自由的压杆。
当压杆处于临界状态时，它在曲线形式 下保持平衡。
将挠曲线 AB 对称于固定端 A 向下延长，如图中假想线所示。
延长后挠 曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。
所以， 对于—端固定另一端自由且长为 l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为 2l 的压杆的临 界力，即2EI F cr 2 cr 2l 2图16-9图 16-10 图 16-1116.3.2 两端固定细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线如图 16-10 所示。
该曲线的两个拐点 C 和 D 分别 在距上、下端为 l 处。
居于中间的 l 长度内，挠曲续是半波正弦曲线。
所以，对于两42精品文档端固定且长为 l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为 l 的压杆的临界力，即 216.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图 16-11 所示。
在距铰支端 B 为0.7l 处， 该曲线有一个拐点 C 。
因此，在 0.7l 长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。
所以，对 于一端固定另一端铰支且长为 l 的压杆，其临界力等于两端铰支长为 0.7l 的压杆的临 界力，即2 F 2 EI F cr 2cr 0.7l 2 综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度，便可 将任何杆端约束条件的临界力统一写F cr E 2I (16-2)cr l 2 称为欧拉公式的一般形式。
由式 (16-2) 可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数 上。
称 为长度系数， l 为压杆的 相当长度 ，表示把长为 l 的压杆折算成两端铰支压 杆后的长度。
几种常见约束情况下的长度系数 列入表 16-1 中。
表 16-1 中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂， 对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。
16.4 欧拉公式的适用范围 经验公式16.4.1 临界应力和柔度将式 (16-2) 的两端同时除以压杆横截面面积A ，得到的应力称为压杆的临界应力精品文档F cr2精品文档 cr ，i(16-4)则有 2E cr 2(16-5)式(16-5) 就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。
式中， i 称为压杆的 柔度或长细比 ，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等 因素对临界应力的影响。
从式 (16-5) 可以看出， 压杆的临界应力与柔度的平方成反比， 柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。