高二数学学业水平考试模拟试题

2023-2024学年北京市高二下学期第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.函数的定义域为()A. B. C. D.3.在复平面内，复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.4.如图，在三棱柱中，底面是BC的中点，则直线()A.与直线AC相交B.与直线AC平行C.与直线垂直D.与直线是异面直线5.如图，四边形ABCD是正方形，则()A. B. C. D.6.已知是定义在R上的奇函数，则()A. B.0 C.1 D.27.在下列各数中，满足不等式的是()A. B. C.1 D.28.命题“”的否定是()A. B.C. D.9.()A. B. C. D.10.在下列各数中，与相等的是()A. B. C. D.11.在下列函数中，在区间上单调递减的是()A. B. C. D.12.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，Ox为始边，终边在y轴上的角的集合为()A. B.C. D.14.在中，，则()A. B. C. D.315.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为根据上述信息，下列结论中正确的是()A. B. C. D.16.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.17.已知，则下面不等式一定成立的是()A. B. C. D.18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为()A. B. C. D.19.在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数()A.1B.2C.3D.420.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为()A.108B.162C.180D.189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023江苏普通高中学业水平合格性考试模拟试卷二一、单选题（本大题共28小题，每题3分，共84分）1．已知集合{}{}1,2,3,1,3A B ==-，那么集合A B ⋃等于（）A ．{}3B ．{}1,1,2,3-C ．{}1,1-D ．{}13x x -≤≤2．函数()f x =）A ．{}2x x >-B ．{}2x x <-C ．{}2x x ≠-D ．{}2x x ≠3．设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（）A ．sin y x=B ．2y x=C ．24y x =-+D ．3y x=-5．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b+>+C ．b a a b a b->-D ．22a b aa b b+>+6．命题“21,0x x x ∃>->”的否定是（）A ．21,0x x x ∃≤->B ．21,0x x x ∀>-≤C ．21,0x x x ∃>-≤D ．21,0x x x ∀≤->7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为（）A ．25B ．252C ．254D ．2588．已知3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）．A ．2425-B ．2425C ．725-D ．7259．函数sin 2cos 2y x x =是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数10．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．293x y x -=-与3y x =+B．y =1y x =-C ．()00y xx =≠与()10y x =≠D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z=-∈11．设()1232,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．312．函数1π()cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π13．在平行四边形ABCD 中，AB BD AC +-=（）A ．DCB ．BAC ．BCD ．BD14．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)15．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =-+，则()3f -=()A ．－12B ．12C ．9D ．－916．在下列区间中，函数()33x f x x =--的一个零点所在的区间为（）．A ．()0,1B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)17．已知tan 2θ=-，则sin 2cos 2θθ-的值为（）A ．34-B ．23C ．25D ．15-18．将函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（）A ．12sin(23y x π=+B ．12sin()26y x π=+C ．2sin(2)3y x π=+D ．22sin(2)3y x π=+19．若平面向量a 与b的夹角为120°，2a ＝，()()233a b a b -⋅+＝，则b ＝（）A ．12B ．13C ．2D ．320．已知两个单位向量a 与b的夹角为θ，则“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21．sin110cos 40cos 70sin 40-= （）A ．B ．12-C ．12D ．222．在同一个坐标系下，函数2x y =与函数12log y x =的图象都正确的是（）A ．B ．C ．D ．23．函数()12020(1x f x a a +=+>，且1a ≠)恒过定点（）A ．()0,1B ．()0,2021C ．()1,2022-D ．(1,0)-24．已知1a b ==r r ，向量a 与b的夹角为60︒，则34a b -= （）A ．5B C ．D 25．函数π2πsin 63y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，的值域是（）.A ．[1,1]-B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122⎡⎢⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦26．已知向量()1,2a =- ，(),1b m =- ，若()R a b λλ=∈，则m =（）A ．-2B ．12-C ．12D ．227．若7sin cos 5θθ+=，则sin cos θθ=（）A ．2425B ．1225C ．2425±D ．2425-28．已知0.2log 2a =，20.3b =，0.32c =，则（）A ．c<a<bB ．a c b<<C ．b<c<a D ．a b c<<二、解答题（本大题共2小题，共16分）29．已知二次函数()f x 的最小值为1,且()()023f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,求实数a 的取值范围.30．已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值；(2)求函数()f x 的单调递减区间．参考答案：1．B【分析】由并集的定义求解即可【详解】因为{}{}1,2,3,1,3A B ==-，所以A B ⋃{}1,1,2,3=-故选：B 2．A【详解】分析：由函数()f x 中被开方数大于或等于0，且分母不等于0，可以求得()f x 的定义域.解析： 函数()12f x x =+，∴2020x x +≥+≠，∴2x >-.故选：A.点睛：（1）给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．（2）①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为a ≤g (x )≤b 的解集；②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为y ＝g (x )在[a ，b ]上的值域．3．B【分析】根据复数的乘法及复数的概念即得.【详解】因为()2i i 2i a a +=-+，又其实部与虚部互为相反数，所以20a -+=，即2a =．故选：B.4．A【详解】由题意得函数sin y x =在()0,1上为增函数，函数22,4,3y y x y x x==-+=-在()0,1上都为减函数．选A ．5．C【分析】对A ，B ，C ，D 选项作差与0比较即可得出答案.【详解】对于A ，因为0a b >>，故101(1)b b b a a a a a +--=<++，即11b b a a +<+，故A 错误；对于B ，111()1a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无法判断，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，()10b a a b a b a b a b ab +⎛⎫⎛⎫---=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为0a b >>，故2()()02(2)a b a b a b a a b b a b b ++--=<++，即22a b aa b b+<+，故D 错误．故选：C ．6．B【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.【详解】 存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“∃"改成量词“∀”,再将结论否定，∴该命题的否定是“21,0x x x ∀>-”.故选：B.7．D【分析】由a >0，b >0知，结合基本不等式有目标式21122()222a b ab a b +=⋅≤⋅，又a ＋2b ＝5即可求最大值【详解】a >0，b >0，a ＋2b ＝5而2112252()2228a b ab a b +=⋅≤=，当且仅当55,24a b ==时取等号故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，找到目标式与已知等式中代数式的关系，应用基本不等式的知识转化为不等式形式且让不等号的一边含已知等式的代数式部分即可求最值，另外注意基本不等式使用前提“一正二定三相等”8．A【详解】∵3cos 5α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴45sin α=-，∴24sin 22sin cos 25ααα==-．故选A ．9．A【分析】化简函数1sin 42y x =，即可求出函数的周期，再由奇偶性的定义即可得出答案.【详解】函数1sin 2cos 2sin 4,2y x x x ==∴函数的周期242T ππ==，()()()11sin 4sin 422f x x x f x -=-=-=- ，∴函数是奇函数，所以函数sin2cos2y x x =是周期为2π的奇函数.故选：A.10．C【分析】当两函数的定义域相同，对应关系相同时，两个函数是同一个函数，由此分析判断即可【详解】对于A ，因为293x y x -=-的定义域为{}3x x ≠，3y x =+的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A 错误，对于B，y =(,1][1,)∞∞--⋃+，1y x =-的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B 错误，对于C ，两个函数的定义域为{}0x x ≠，因为01y x ==，所以对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C 正确，对于D ，两个函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以D 错误，故选：C 11．B【分析】根据分段函数，先求得(2)f ，再求((2))f f 即可.【详解】因为()1232,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()23(2)log 211f =-=，所以()11((2))121f f f -===，故选：B 12．D【分析】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【详解】∵1π()cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 最小正周期2π4π12T ==．故A ，B ，C 错误.故选：D.13．B【分析】根据向量的加减法法则可求出结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，AB BD AC AD AC CD BA +-=-== ．故选：B ．14．C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >.故选：C 15．B【分析】先计算出()3f ，然后利用函数的奇偶性即可完成.【详解】()33412f =-⨯=-，因为函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，所以()()3312f f -=-=，故选：B.16．B【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()33x f x x =--，可得(0)2,(1)1,(2)4,(3)21,(4)74f f f f f =-=-===，所以()()120f f ⋅<，结合零点的存在定理，可得函数()f x 的一个零点所在的区间为(1,2).故选：B.17．D【分析】利用同角关系计算即可.【详解】222sin 1tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,cos cos 5θθθθθθθθ==-∴=-+== ，()221sin 2cos 22sin cos 2cos 16cos 15θθθθθθ-=--=-+=-；故选：D.18．C【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为2sin(2)3y x π=+，故选：C.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题.19．B【解析】直接化简()()233a b a b -⋅+ ＝，求出答案.【详解】化简()()()()222236463a b a b a a b bb b -⋅++⋅-=--=＝，13b = 或12b =- （舍去）.故选：B.20．A【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：若60θ=︒,则由a 、b 是单位向量可知11cos 601122a b a b =⨯⨯︒=⨯⨯= ，即充分性得证；必要性：若12a b ⋅= ,则1cos 2a b a b θ=⨯⨯= 由a 、b 是单位向量可知1cos 2θ=，因为0180θ︒≤≤︒,所以60θ=︒,必要性得证.所以“60θ=︒”是“12a b ⋅= ”的充分必要条件.故选：A 21．C【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为()sin110sin 18070sin 70=-=，所以，()sin110cos 40cos 70sin 40sin 70cos 40cos 70sin 40sin 7040-=-=-1sin 302==.故选：C.22．A【分析】根据函数的单调性判断函数图象．【详解】解：指数函数2x y =是增函数，对数函数12log y x =是减函数，故选：A.23．C【分析】利用指数函数恒过()0,1点即可求解.【详解】当=1x -时，()1120211202120221f a -+=+=+=-，所以函数恒过定点()1,2022-.故选：C 24．D【分析】由已知先求出a b ⋅，然后根据34a b - .【详解】∵1a b ==r r ，向量a 与b的夹角为60︒∴1cos 602a b a b ⋅=︒=∴34a b -=故选：D.25．B【分析】判断sin y x =在π2π63x 上的单调性，确定sin y x =的最大值和最小值，从而确定值域；【详解】sin y x = sin y x ∴=在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减π2π63xsin y x ∴=在62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在23π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减∴当=2x π时sin y x =取最大值max sin12y π==min 2sin ,sin 63y ππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 且12sin =sin =6232ππ当=6x π时sin y x =取最大值min 1sin62y π==∴函数π2πsin 63y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 26．C【分析】由向量的坐标运算可求得结果.【详解】因为向量()1,2a =-，(),1b m =-，()R a b λλ=∈，所以()()1,2,1m λ-=-，所以1,2,m λλ-=⎧⎨=-⎩所以12m =．故选：C 27．B【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数的基本关系式化简后求得sin cos θθ的值.【详解】由7sin cos 5θθ+=两边平方得2249sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即4912sin cos 25θθ+=，解得12sin cos 25θθ=.故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.28．D【分析】根据指对数函数的性质判断对数式、指数幂的大小关系.【详解】0.3022.log 20120.3b a c ==<<<<=，∴a b c <<.故选：D29．(1)2()243f x x x =-+；(2)102a <<.【分析】(1)根据二次函数有最小值,可以设出二次函数的顶点式方程,根据()()023f f ==可以求出所设解析式的参数.(2)求出二次函数的对称轴,根据题意可得不等式组,解不等式即可求出实数a 的取值范围.【详解】(1)因为二次函数()f x 的最小值为1,所以设()2()1(0)f x a x h a =-+>,因为()()023f f ==,所以222113()2432(2)13h ah f x x x a a h ⎧=+=⎧⇒⇒=-+⎨⎨=-+=⎩⎩；(2)由(1)可知：函数()f x 的对称轴为：1x =,因为()f x 在区间[]2,1a a +上不单调,所以有121102a a a <<+⇒<<,所以实数a 的取值范围为102a <<.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式,考查了二次函数在区间上不单调求参数取值范围问题.30．(1)最小值为1-，此时ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数()f x 的最小值及取得最值时相应的x 的取值集合；（2）令π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，求得x 的范围，从而可得函数()f x 的单调递减区间．【详解】（1）当πcos 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值为1-，此时π22π,Z 6x k k -=∈,即ππ,Z 12x k k =+∈，所以函数()f x 的最小值为1-，x 的取值集合为ππ,Z 12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由π2ππ22π,Z 6k x k k -≤-≤∈，可得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，所以()f x 单调减区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。

安徽省2024届普通高中学业水平合格考试数学模拟试题一、单选题1．设集合{}3,5,6,8A =，{}4,5,8B =，则A B =I （ ） A ．{}3,6B ．{}5,8C ．{}4,6D ．{}3,4,5,6,82．在复平面内，(3i)i +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（ ） A ．5人B ．6人C ．7人D ．8人4．“a b >”是“ac bc >”的什么条件（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知(),4a x =r ，()2,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则x 等于（ ） A ．4B ．-4C ．2D ．-26．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点()3,4-，则cos α=（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35-7．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ） A ．棱柱的侧棱互相平行B ．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥C ．正三棱锥的各个面都是正三角形D ．棱台各侧棱所在直线会交于一点8．某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数（ ） A ．61B ．53C ．58D ．649．已知函数πsin ,1()6ln ,1x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，则()(e)f f =（ ）A ．1B ．12CD10．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（ ）A ．17B ．111C ．536D ．11211．在ABC V 中，13BD BC =u u u r u u u r ，设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则AD =u u u r（ ）A ．2133a b +r rB ．2133a b -+r rC ．4133a b -r rD ．4133a b +r r12．设0.20.10.214,,log 42a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<c a bD ．a c b <<13．在ABC V 中，下列结论正确的是（ ）A ．若AB ≥，则cos cos A B ≥ B ．若A B ≥，则tan tan A B ≥C ．cos()cos +=A B CD ．若sin A ≥sin B ，则A B ≥14．已知某圆锥的母线长为4，高为 ）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π15．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．[)3,-+∞B ．(],3-∞-C ．(],5-∞D ．[)3,+∞16．已知幂函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．12()f x x = B ．23()f x x = C ．2()f x x -=D ．3()f x x -=17．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）A ．“至少有1个红球”与“都是黑球”B ．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C ．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D ．“都是红球”与“都是黑球”18．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(],0-∞上单调递减，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题19．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则||z =. 20．已知()()321f x x a x =+-为奇函数，则实数a 的值为．21．已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥rr r ，则a r 与b r 的夹角为.22．在对树人中学高一年级学生身高（单位：cm ）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为．三、解答题23．已知函数()f x 是二次函数，且满足(0)2f =，(1)()2f x f x x +=+. (1)求函数()f x 的解析式； (2)当x ＞0时，求函数()f x xy x+=的最小值. 24．如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点．(1)若PF ＝FC ，求证：P A ∥平面BDF ； (2)若BF ⊥PC ，求证：平面BDF ⊥平面PBC ． 25．已知()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.f x的最小正周期及单调增区间；(1)求()(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()f A △ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值.。

1 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合P ＝{0，1}，Q ＝{0，1，2}，则P ∩Q ＝( )A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {0，1，2}2. 直线x ＝1的倾斜角为( )A. 0°B. 45°C. 90°D. 不存在3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是( )(第3题)A. 圆锥B. 正方体C. 正三棱柱D. 球4. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y ＝x ＋1B. y ＝1xC. y ＝log 3xD. y ＝(12)x5. 下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A. y ＝1xB. y ＝x 2C. y ＝2xD. y ＝x 36. 若直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0，则直线l 在x 轴与y 轴上的截距分别为( )A. －1，2B. 1，－2C. －1，－2D. 1，27. 已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，x )．若a ∥b ，则x 等于( )A. 2B. －3C. 6D. －68. 已知实数a ，b ，满足ab >0，且a >b ，则( )A. ac 2>bc 2B. a 2>b 2C. a 2<b 2D. 1a <1b9. 求值：sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝( )A. －32 B. －12 C. 12 D. 3210. 设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝()a －2()a －3，则有( )A. M >NB. M ≥NC. M <ND. M ≤N11. 已知sin α＝35，且角的终边在第二象限，则cos α＝( )A. －45 B. －34 C. 45 D. 3412. 已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则a 5＋a 7＝( )A. 16B. 18C. 22D. 2813. 下列有关命题的说法正确的个数是( )①命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为“两直线不平行，同位角不相等”；②“若实数x ，y 满足x ＋y ＝3，则x ＝1且y ＝2”的否命题为真命题；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0, 则p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. 已知()3，2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A. 点()－3，－2不在椭圆上B. 点()3，－2不在椭圆上C. 点()－3，2在椭圆上D. 无法判断点()－3，－2，()3，－2，()－3，2是否在椭圆上15. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件16. 下列各式：①(log 23)2＝2log 23; ②log 232＝2log 23；③log 26＋log 23＝log 218; ④log 26－log 23＝log 23.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17. 下列函数中只有一个零点的是( )A. y ＝x －1B. y ＝x 2－1C. y ＝2xD. y ＝lg x18. 下列各式中，值为32的是( )A. sin 215°＋cos 215°B. 2sin15°cos15°C. cos 215°－sin 215°D. 2sin 215°－119. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝23，且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 420. 已知实数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5构成等比数列，其中a 1＝2，a 5＝8，则a 3的值为( )A. 5B. 4C. －4D. ±421. 已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则直线y ＝x sin θ＋1的倾斜角的取值范围是( )A. [0，π2] B. [0，π6] C. [0，π3] D. [0，π4](第22题)22. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于()A. 62 B. 63C. 33D. 2223. 若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1，2)，则ab 积的值为( )A. 3B. 2C. －3D. －224. 已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确( )A. a ∥bB. a ⊥bC. |a |＝|b |D. a ＋b ＝a －b25. 已知平面α内有两定点A ，B ，||AB ＝3，M ，N 在α的同侧且MA ⊥α，NB ⊥α，||MA ＝1，||NB ＝2.在α上的动点P 满足PM ，PN 与平面α所成的角相等，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. 9πB. 8πC. 4πD. π二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CD →＋CD →|＝________．27. 函数y ＝x ＋1x (x >0)的值域是________． 28. 若直线2()a ＋3x ＋ay －2＝0与直线ax ＋2y ＋2＝0平行，则a ＝________．29. 若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________．30. 已知数列{a n }是非零等差数列，且a 1，a 3，a 9组成一个等比数列的前三项，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． 三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)已知cos α＝35，3π2<α<2π，，求cos 2α，sin 2α的值．32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)[第32题(A)](A)如图所示 ，四棱锥P －ABCD 的底面为一直角梯形，BA ⊥AD, CD ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥ 底面ABCD ，E 为PC 的中点．(1)求证：EB ∥平面PAD ；(2)若PA ＝AD ，证明：BE ⊥平面PDC .(B)如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .[第32题(B)](1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值．33. (本题8分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝3 5.(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求点P 的坐标．34. (本题8分)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意的x ∈D ，存在常数M >0，都有||f （x ）≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．1 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)1. C2. C3. A4. B5. A6. C7. D8. D 9. D 10. A 11. A 12. C 13. C 14. C15. A 16. B 17. D 18. C 19. A 20. B21. D 22. B 23. B 24. B25. C [提示：由题意知△AMP ∽△BNP ，所以|PB |＝2|PA |，不妨以AB 所在直线为x 轴，中点为原点建立直角坐标系，设P (x ，y )，则(x －32)2＋y 2＝4[(x ＋32)2＋y 2]⇒(x ＋52)2＋y 2＝4，所以P 的轨迹是半径为2的圆，因此面积为4π.] 26. 2 27. [2，＋∞) 28. 629. －14 [提示：因为是双曲线，所以m <0，－1m ＝4，得m ＝－14.] 30. 1或1316 [提示：设公差为d ，则a 1·(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2⇒a 1d ＝d 2，∴若d ＝0，a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1；若d ≠0，则a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1316.] 31. 解：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，∵3π2<α<2π，∴sin α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－1225. 32. (A)证明：(1)取PD 的中点Q ，连接EQ ，AQ ，则QE ∥CD ，CD ∥AB ，∴QE ∥AB .又∵QE ＝12CD ＝AB ，∴四边形ABEQ 是平行四边形，∴BE ∥AQ .又∵AQ ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .(2)PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA .又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴AQ ⊥CD .若PA ＝AD ，∴Q 为PD 中点，∴AQ ⊥PD ∴AQ ⊥平面PCD .∵BE ∥AQ ，∴BE ⊥平面PCD .(第32题)(B)(1)如图：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF . (2)以点D 为坐标原点，直线DB ，DC 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2 3，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)．平面CDF 的法向量为DA →＝(0，0，2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217. 33. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4.(第33题)(2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)． 34. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M >0，使得|f (x )|≤M 成立．所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[1，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，设2x ＝t ，g (t )＝－4t －1t ，h (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，所以g (t )在[1，＋∞)上递减，h (t )在[1，＋∞)上递增，g (t )max ＝g (1)＝－5，h (t )min ＝h (1)＝1，所以 a ∈[－5，1]．。

一、单选题1. 已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 在梯形中，，，且，若与交于点，则（ ）A．B．C．D．3. 已知集合，，则等于A．B．C．D．4. 设向量，且，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 设i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数为（ ）A．B．C．D．6. 如图l ，在高为h 的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（）A．B．C．D．7. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则（ ）.A．B．C．D．8.函数函数的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03(1)江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x 的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ）A ．函数在区间上单调递增B ．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D ．，10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D ．函数的图象上存在点P ，使得在P点处的切线斜率为11. 已知双曲线满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线C的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（ ）A ．双曲线C 上的任意点P都满足B ．双曲线C 的虚轴长为4C ．双曲线C 的一个顶点与抛物线的焦点重合D ．双曲线C的渐近线方程为12.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（）A ．与所成的角是B．与平面所成的角的正弦值是C ．平面与平面所成的锐二面角余弦值是D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为13.已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________.14. 在锐角三角形中，，，，则________15. 小张计划从个沿海城市和个内陆城市中随机选择个去旅游，则他至少选择个沿海城市的概率是__________.16. 为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：男女需要2010不需要1015（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）（2）能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？17. 中的内角的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)求的最大值，并求出取得最大值时角的值.18. 已知等差数列的前n项和为，又对任意的正整数，都有，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.19. 已知函数，其中且的最小值为0.（1）求的值；（2）证明：当时，.20. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.21. 如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知.（1）求证：；（2）若是线段上异于端点的点，求过三点的平面被长方体所截面积的最小值.。

一、单选题1. 函数的部分图像大致为（ ）A．B ．C．D．2. 设全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知点F 为双曲线(，)的左焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A 、B 两点(点B 在双曲线左支上)，连接BF 并延长交双曲线于点C ，且，AF ⊥BC ，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．4.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B ．“”是“”的必要不充分条件C ．命题“，使得”的否定是：“，均有”D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题7. 已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）A． B．江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题01二、多选题三、填空题C． D．8. 设集合A={1，2，3}，B={x |x 2-2x +m=0}，若A ∩B={2}，则B=（ ）A．B．C．D．9. 如图，在直三棱柱中，，，则（）A ．平面B．平面平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D ．点，，，均在半径为的球面上10. 已知，且，则（ ）A．B．C．D．11. 已知直线与椭圆交于两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，，使得B．当时，，C ．当时，，使得D ．当时，，12. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（）A．B．C．D．四、解答题13. 已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为_____________________.14. 已知函数在处有极值8，则等于______．15. 样本数据的众数是______．16. 2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例分别约为.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表：等级比例赋分区间已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B 等级中的最高分.(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分.17. 北京时间2022年11月21日0时，卡塔尔世界杯揭幕战在海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次．已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖．假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．(1)任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；(2)任选2名成功下单金额达500元的顾客，记为他们获得的奖金总数，求的分布列和数学期望．18. “学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.19. 已知，求的值．20. 近段时间，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中喜欢上网课的为，女生中喜欢上网课的为，得到如下列联表．喜欢上网课不喜欢上网课合计男生女生合计(1)请将列联表补充完整，试判断能否有的把握认为喜欢上网课与否与性别有关；(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人，若所选2名学生中的女生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. 函数f(x)=的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围．。

高二数学学生学业水平测试模拟试题（一） 数 学1．考试采用书面答卷闭卷方式，考试时间90分钟，满分100分。

2．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

其中，第I 卷（选择题）的答案须填在第I 卷后的答题卡上。

第I 卷（选择题 共45分）一选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

请将正确答案填在第I 卷后的答题卡上。

）1：已知21{|0},{|0},x M x x x N x x-=-<=<则有 A ．M N N = B. M N M = C.M N N = D. M N R =2.在三角形ABC 中,()0AB AB BC +=,则三角形ABC 的形状是Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形 Ｄ．正三角形 ３．已知函数()f x =的定义域为M ，()2x g x e =-的值域为N ，则M N = Ａ．[)+∞,2 Ｂ． ()2,∞- Ｃ ．（－２，２） Ｄ．∅４．下面程序输出的结果为A ． 9， 4 B. 4, 5C. 9, －1D. －1, 95.有一种波,其波形为函数sin()2y x π=-的图像,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图像的最高点,则正整数t 的最小值是A.5B.6C.7D.86.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C成等差数列，b =ABC 的外接圆半径为 A ．21B.1C.2D.4 7.从5个男生、2个女生中任选派人,则下列事件中必然事件是 ( )A.3个都是男生B. 至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生 8.某赛季甲、乙两面名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如下图所示:则下列说法正确的是A. 甲总体得分比乙好,且最高得分甲比乙高;B. 甲总体得分比乙好,且最高得分乙比甲高;C. 乙体得分比甲好,且最高得分乙比甲高;D. 乙体得分比甲好,且最高得分甲比乙高;9.已知点A(2,0),B(0,3),C(-1,-2),则ABCD 的顶点D 的坐标为A.(1,-5)B.(-3,1)C.(1,-3)D.(-5,1) 10.在数列{}n a 中,a 1=21,1221n n a a +=+,则a 2008的值为 A.1002 B.1003 C.1004 D.100511.下面的三视图(依次为正视图、侧视图、俯视图)表示的几何体是A.六棱柱六棱台 D.六边形 12.若直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k=A.-21 B.21C.-2D.2 13.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,则圆C 的半径R 的取值范围是A.(0,20 )B.(0,5)C.(0,25)D.(0,10)14.若2α与2β互余,则(1tan )(1tan )αβ++的值为A.1B.2C.3D.415.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面,那么MA 与BD 的位置关系是A.平行,B.垂直相交C.异面D.相交但不垂直16.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半,则此截面分圆锥的高为上 、 下两段 的比为 A.1:1) B.1:2 C.1: 2 .1:417.实数x 、y 满足不等式组 00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩,则11y w x -=+的取值范围 ( )AA.[-1,31] B.[-21,31] C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21 18.函数sin()(0,0,)2y A x A πωφωφ=+>><的图像如图所示,则y 的表达式为( )A.102sin()116x y π=+B. 102sin()116x y π=- C. 2sin(2)6y x π=+ D. 2sin(2)6y x π=-二、填空题(本大题共计4小题，每小题4分，共计16分，把答案填在题中横线上) 19．如图所示，随机往正方形中扔一颗豆子（落在正方形外不算），则它落到阴影部分的概率是20．某厂去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，则此种规格电子元件年产量y 随年数x 的变化的函数关系是21．某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占50人，属高收入者；中层管理人员占200人，属中等收入者；一般员工占750人，属低收入者。

云南省2025届高二上数学期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知过抛物线24x y =焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，则94||||MF NF -的最小值为（）A.-B.2C.D.32．圆C ：22226430x y x y ++--=的圆心坐标和半径分别为（ ） A.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭和4B.（－3，2）和4C.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭和2D.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知,x y 满约束条件20201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.34．已知数列{}n a 满足122n n a a +=+且11a =，则（） A.{}n a 是等差数列 B.{}n a 是等比数列 C.{}1n a +是等比数列D.{}2n a +是等比数列5．Rt ABC △绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（） A.圆台B.圆台或两个圆锥的组合体C.圆锥或两个圆锥的组合体D.圆柱6．下列数列是递增数列的是（ ） A.{12}n -B.12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.1352n -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭D.213n n -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于（ ） A.－2 B.0 C.3D.68．过点()1,3P -且平行于直线230x y -+=的直线方程为（） A.270x y -+= B.250x y +-= C.250x y +-=D.210x y +-=9．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（ ） A.1 B.﹣2C.23-D.1或﹣210．已知圆2221:210C x y mx m +-+-=和圆2222:290C x y ny n +-+-=恰有三条公共切线，则22(6)(8)m n -+-的最小值为（）A.6B.36C.1011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则4a =（ ） A.274B.94C.278D.9812．点F 是抛物线28y x =的焦点，点(4,2)A ，P 为抛物线上一点，P 不在直线AF 上，则△PAF 的周长的最小值是（） A.4 B.6C.6+D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二年级学业水平考试模拟考数学试卷（考试时间：100分钟； 试卷满分：100分）【注意事项】1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效。

参考公式∶如果事件 A 、B 互斥，那么P （AUB ）= P （A ）+P （B ）.球的表面积公式：S=4πR 2，体积公式;V =43πR 3，其中R 表示球的半径. 柱体的体积公式∶V= Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式∶V=13Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.第Ⅰ卷（选择题 共66分）一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂.1. 已知集合S ={0，1，2}，T ={2，3}，则S ∪T =（ ）.A. {0，1，2}B. {0，2}C. {0，1，2，3}D. {2}2. 数学中，圆的黄金分割的张角是137.5°，这个角称为黄金角，黄金角在植物界受到广泛青睐，例如车前草的轮生叶片之间的夹角正好是137.5°，按这一角度排列的叶片，能很好的镶嵌而又互不重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度的获得阳光，从而有效提高植物光合作用的效率。

那么，黄金角所在的象限是（ ）.A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 一元二次不等式的解集为（ ）.A. B. C. D.4. 已知向量a =（1，2），b =(-2，0)，则a b ⋅的值等于（ ）.A. -4B. -3C. -2D. 1 5. 已知i 是虚数单位，复数5−i 1+i 的虚部是（ ）. A. -3 B. -3iC. 2D. 2i 220x x -<{}02x x <<{}20x x -<<{}22x x -<<{}11x x -<<6. 下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）.7. 224log log 55+的值为（ ）. A. 12 B. 2 C. 1029 D. 29108. 0000sin 79cos34cos79sin34-的值为（ ）.A. 1B. 2C. 2D. 129. 已知角α的终边过点P （−1，√3），则cosα的值为（ ）.A. √32B. 12C. −12D. −√3210. 在ABC ∆中， A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角的度数之比A:B:C= 1:2:3，那么三边长之比a:b:c 等于（ ）.A. 1:2:3B. 2C. 2D. 3:2:1 11．为了得到函数的图像,只需把的图像上所有的点（ ）.A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C.横坐标变为原来的π3倍，纵坐标不变D. 纵坐标变为原来的π3倍，横坐标不变12. 已知，若，则的最小值为（ ）. A. 1 B. C. 2 D.13. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5. 2x A y =. B y x =-1. C y x =0.5. log D y x =sin(),3y x x R π=-∈sin ,y x x R =∈3π3π0,0x y >>2xy =12x y+214. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ）. A. 3 B. 22 C. 6 D. 315. 已知sinθ=−45，且θ为第四象限的角，则tan θ的值等于（ ）. A. 35 B. 34- C. 35 D. 43- 16. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币，则两次均正面向上的概率为（ ）. A .14 B .12 C .34D .1 17. 函数2()log f x x =在区间[2，8]上的值域为（ ）.A. (-∞，1]B. [2，4]C. [1，3]D. [1， +∞) 18. 设50.31,0.3,5a b c ===，则下列不等式正确的是（ ）.A ．a b c >>B ．b a c >> C.c a b >> D ．a c b>> 19 .已知向量a =（2，3），b =(4，x )，若a ⃗∥b⃗⃗，则实数x 的值为（ ）. A.−6 B. 6 C. 83 D. −8320. 一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆锥与球的体积之比是（ ）.A. 1:3B. 2:3C. 1:2D. 2:921.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间(]0,∞-上为减函数，则)1(f 、)2(-f 、)3(f 的大小关系是（ ）.)A （)3()2()1(f f f >-> )B （)3()1()2(f f f >>-)C （)2()3()1(-<<f f f )D （)3()2()1(f f f <-<22. 已知函数()123,0,log ,0x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( ). A. (8，，∞) B. (，∞，0)∪(8，，∞) C. (0,8) D. (，∞，0)∪(0,8)第Ⅱ卷（非选择题共34分）二、填空题:本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上.23. 昆明市某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工共1000名，现用分层抽样的方法从公司的员工中抽取80人进行收入状况调查.若该公司有中层管理人员100名，则从中层管理人员中应抽取的人数为______.24. 已知向量a=（2，1），b=(3，λ)，若a⃗⊥b⃗⃗，则λ=25. 函数1lg(2)y x x的定义域是 .f-的值是________________.26. 若函数()f x为奇函数，当0x>时，()10xf x=，则(1)三、解答题:本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.27. 小李到某商场购物，并参加了一次购物促销的抽奖活动，抽奖规则是：一个袋子中装有大小相同的红球3个、白球2个，每个球被取到的概率相等，红球上分别标有数字1、2、3，每个红球上只标有一个数字.一次从袋中随机取出2个球，如果2个球都是红球则中奖(其他情况不中奖)，而且2个红球上标记的数字之和表示所得奖金数(单位:元).求小李所得奖金数为3元或者5元的概率.28. 已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=bcosC+csinB.（1）求角B；（2）若b=2，求三角形∆ABC面积的最大值.29. 如图，点P为菱形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点E为PA的中点.（1）求证: PC//平面BDE；（2）求证: BD⊥平面PAC.第五次学业水平测试模拟考试参考答案二、填空题23、 8 24、 -6 25、 [1,2） 26、 -10三、解答题27、解：设袋子中的两个白球标号为A、B，三个红球的标号为上面的数字，即为1、2、3；一次从袋子中随机取出2个球的结果用（x,y）表示，则所有可能的结果有：（A,B）,(（A,1）,（A,2）,（A,3）,（B,1）,（B,2）,（B,3）,（1,2）,（1,3）,（2,3）,共10种。

普通高中学业水平合格性考试数学（答案在最后）一､选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列元素与集合的关系中，正确的是（）A.*3-∈NB.0∉NC.12∈Z D.R【答案】D 【解析】【分析】由元素与集合的关系即可求解.【详解】由题意*13,0,2-∈∉∉N Z N R .故选：D.2.下列向量关系式中，正确的是（）A.MN NM =B.AB AC BC+= C.AB CA BC+= D.MN NP PQ MQ++= 【答案】D 【解析】【分析】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.【详解】MN NM =-，A 选项错误；BC AC AB=-，B 选项错误；AB CA CA AB CB =+=+，C 选项错误；由向量加法的运算法则，有MN NP PQ MQ ++=，D 选项正确.故选：D.3.已知角α的终边经过点125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.512-B.125-C.1213-D.513【答案】A 【解析】【分析】由三角函数定义即可得解.【详解】由题意5125tan 131312α⎛⎫=÷-=- ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知i 为虚数单位，则复数23i i z =-+的虚部为（）A.1B.1- C.iD.i-【答案】B 【解析】【分析】由复数四则运算以及虚部的概念即可求解.【详解】由题意2i 3i i 2z =-+=-，所以复数23i i z =-+的虚部为1-.故选：B.5.“21x >”是“1x >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据21x >得到1x >1x <-，从而得到答案.【详解】由21x >，解得1x >或1x <-.所以“21x >”是“1x >”的必要而不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.6.已知lg3,lg5x y ==，则用,x y 表示lg45为（）A.2xy B.3xyC.2x y+ D.2x y-【答案】C 【解析】【分析】运用对数运算性质计算.【详解】()2lg45lg 53lg 52lg 32x y =⨯=+=+.故选：C.7.已知函数()23f x x x=--，则当0x <时，()f x 有（）A .最大值3+ B.最小值3+C.最大值3- D.最小值3-【答案】B 【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+-+-≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x =.故选：B.8.已知一组样本数据12,,,n x x x 的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据1y ，2,,n y y ，其中()11,2,3,,i i y x i n =+= ，则12,,,n y y y 的平均数和中位数分别为（）A.3，4 B.3，5C.4，4D.4，5【答案】D 【解析】【分析】由平均数的定义及12,,,n x x x 的大小排列顺序与变化后的12,,,n y y y 的大小排列顺序一致，即可求出结果.【详解】由题意知，123n x x x n +++= ，则()()()121211134n n x x x y y y n ny n n n++++++++++==== ，又因为()11,2,3,,i i y x i n =+= ，所以12,,,n x x x 的大小排列顺序与变化后的12,,,n y y y 的大小排列顺序一致，由于12,,,n x x x 的中位数为4，则12,,,n y y y 的中位数为5.故选：D.9.已知函数()()ln 2f x x =-，则下列结论错误的是（）A.()30f = B.()f x 的零点为3C.()f x 在()0,∞+上为增函数D.()f x 的定义域为()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由函数()()ln 2f x x =-性质依次判断各选项可得出结果.【详解】()()3ln 32=ln1=0f =-,可知函数()f x 的零点为3，可知A,B 正确；()()ln 2f x x =-中，由20x ->，解得：2x >，故函数的定义域为()2,∞+，且函数在()2,∞+为增函数，故C 错误，D 正确.故选：C10.已知i 为虚数单位，复数z 满足13z ≤≤，则复数z 对应的复平面上的点Z 的集合所表示的图形是（）A.正方形面B.一条直线C.圆面D.圆环面【答案】D 【解析】【分析】设i,(,)z a b a b =+∈R ，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.【详解】设i,(,)z a b a b =+∈R ，则由13z ≤≤可得13≤≤，即2219a b ≤+≤，所以复数z 对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.故选：D.11.已知函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 的最大值为2C.()f x 的图象关于直线π6x =对称D.()f x 的图象关于坐标原点对称【答案】C 【解析】【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.【详解】()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；()f x 的最大值为1，故B 错误；因为πcos 016f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =对称，故C 正确；因为()π10cos 032f ⎛⎫=-=≠ ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于坐标原点对称，故D 错误.故选：C .12.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（指汽车刹车后，由于惯性往前滑行的距离）S （米）和汽车的刹车前速度x （千米/小时）有如下的关系：211909S x x =-．在一次交通事故中，测得某辆这种汽车的刹车距离为80（米），则这辆汽车在出事故时的速度为（）A.90千米/小时B.80千米/小时C.72千米/小时D.70千米/小时【答案】A 【解析】【分析】题意可得，，求解一元二次方程即可.【详解】由题意可得，21180909S x x =-=，化简为21080900x x --⨯=，解得80x =-或90x =，又因为0x ≥，所以90x =.故选：A.13.若π32cos()410α-=，则sin2α=（）A.725B.1625C.1625-D.725-【答案】C 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到.【详解】由πcos()410α-=得3cos sin 5αα+=，平方得223(cos sin )()5259αα+==，22cos 2sin cos sin 259αααα++=即1sin 2295α+=，得16sin225α=-.故选：C14.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（）A.0.85B.0.80C.0.70D.0.29【答案】D 【解析】【分析】由对立事件概率、互斥加法以及独立乘法即可求解.【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为()()10.800.850.8010.850.170.120.29-⨯+⨯-=+=.故选：D.15.已知函数()log a f x x =与()()0,1xg x aa a =>≠互为反函数．若()ln f x x =的反函数为()g x ，则(2)g =（）A.ln 2B.e2 C.2e D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得到()x g x e =，代入2x =，即可求解.【详解】由函数()log a f x x =与()()0,1xg x aa a =>≠互为反函数，若()ln f x x =的反函数为()x g x e =，则2(2)e g =.故选：C.16.已知4,a e = 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量为（）A.2eB.2e -C.D.-【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.【详解】根据题意可得向量a 在向量e 上的投影向量为222π41cos 321a e e a e e e e ee e⨯⨯⋅⋅⋅===-；故选：B17.从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件A =“2个数都为偶数”，B =“2个数都为奇数”，C =“至少1个数为奇数”，D =“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（）A.A 与B 是互斥事件B.A 与C 是互斥但不对立事件C.B 与D 是互斥但不对立事件D.C 与D 是对立事件【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断.【详解】根据题意()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5,=(){}()()(){}2,4,1,3,1,5,3,5,A B ==()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,5,3,4,3,5,4,5,C =，()()()()()()(){}1,2,1,4,3,2,3,4,2,5,4,5,2,4,D =则A B ⋂=∅，所以A 与B 是互斥事件，A 正确；,A C A C =∅=Ω ，所以A 与C 是互斥且对立事件，B 错误；,B D B D =∅=Ω ，所以B 与D 是互斥且对立事件，C 错误；()()()()()(){}1,2,1,4,3,2,3,4,2,5,4,5,C D ⋂=所以C 与D 不是对立事件，D 错误.故选：A.18.在三棱锥-P ABC 中，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，且PA PB PC ==，则点O 一定是ABC 的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合勾股定理，求得OA OB OC ==，即可求得答案.【详解】如图所示，分别连接,,OA OB OC ，因为PO ⊥平面ABC ，可得,,PO OA PO OB PO OC⊥⊥⊥又因为PA PB PC ==，利用勾股定理，可得OA OB OC ==，所以点O 一定是ABC 的外心.故选:B.二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．19.设集合{}()(){}1,2,3,4,140A B x x x ==--=，则A B =ð____________．【答案】{}2,3##{}3,2【解析】【分析】根据补集的定义即可得解.【详解】()(){}{}1401,4B x x x =--==，则{}2,3A B =ð.故答案为：{}2,3.20.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=，则()4f =____________．【答案】0【解析】【分析】由函数为奇函数可得()00f =，再根据函数的周期性即可得解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，所以()()400f f ==.故答案为：0.21.已知,a b 是两个不共线的向量，若,AB a b AC a b λ=+=-，且AC AB μ=，则λ=____________．【答案】1-【解析】【分析】由平面向量基本定理列出方程组,1μλμ==-即可求解.【详解】由题意()AC a b AB a b a b λμμμμ=-=++== ，且,a b是两个不共线的向量，所以,1μλμ==-，所以1λ=-.故答案为：1-.22.已知ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设其面积为S，若)2224S b c a =+-，则角A 等于______．【答案】60 【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理化简tan A =，结合A 的范A 的值．【详解】由题意，因为)2224S b c a =+-，所以14sin 2cos 2bc A bc A ⋅=，即tan A =，又由000180A <<,所以060A =，故答案为060【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记正、余弦定理和三角形的面积公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．三､解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．23.从甲、乙两班某次学业水平模拟考试成绩中各随机抽取8位同学的数学成绩．甲班：78，69，86，58，85，97，85，98乙班：66，78，56，86，79，95，89，99规定考试成绩大于或等于60分为合格．（1）求甲班这8位同学数学成绩的极差，并估计甲班本次数学考试的合格率；（2）估计乙班本次考试数学成绩的平均分，并计算乙班这8名同学数学成绩的方差．【答案】（1）极差为40；87.5%；（2）平均分为81分；方差184.【解析】【分析】（1）根据极差定义计算可得结果，由成绩可知这8名同学中有7人合格，可得合格率为87.5%；（2）根据平均数以及方差的定义计算可得平均分为81分，方差为184.【小问1详解】甲班这8位同学数学成绩的极差为985840-=；因为甲班这8名同学中合格的有7人，所以可以估计甲班本次数学考试的合格率为787.5%8=；【小问2详解】因为乙班这8名同学的数学平均分为5666787986899599818+++++++=，所以可以估计乙班本次考试数学成绩的平均分为81分；乙班这8名同学本次考试数学成绩的方差为2222222221(5681)(6681)(7881)(7981)(8681)(8981)(9581)(9981)8s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦14721848==．24.如图，四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，E 为侧棱1D D 的中点．（1）证明：1//BD 平面ACE ；（2）若1D D ⊥底面ABCD ，且14D D =，求四棱锥1D ABCD -的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）36.【解析】【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理容易证出；（2）容易推导出四个侧面都是直角三角形，进而1D ABCD -表面积可求.【小问1详解】如下图，连接BD ,设BD 与AC 相交与点M ,连接EM .因为底面ABCD 是边长为3的正方形，所以M 为BD 中点，又因为E 为侧棱1D D 的中点，所以1//BD EM ，又1BD ⊄平面ACE ，EM ⊂平面ACE ，所以1//BD 平面ACE .【小问2详解】因为1D D ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1D D AB ⊥，又AB AD ⊥，11,,DD AD D DD AD ⋂=⊂平面1D AD ，所以AB ⊥平面1D AD ，而1AD ⊂平面1D AD ，所以1AB AD ⊥，同理可证1BC CD ⊥，所以1111,,,D AD D AB D BC D CD △△△△均为直角三角形，则四棱锥1D ABCD -的表面积为()111112S D D AD D D CD D A AB D C BC AB CB =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()212342353362=⨯⨯+⨯⨯+=，所以四棱锥1D ABCD -的表面积为36.25.如图，OABC 为正方形，()()2,0,0,2A C ，点()()2cos ,2sin P θθθ++∈R 为直角坐标平面内的一点，M 为线段AB 的中点，设()f PO PM θ=⋅ ．（1）求点B 的坐标；（2）求()fθ的表达式；（3）当()f θ取最大值时，求sin θ的值．【答案】（1）()2,2；（2）()33sin 2cos f θθθ=++；（3）313sin 13θ=．【解析】【分析】（1）由OA CB = 和向量的坐标运算可解；（2）由数量积的坐标运算求解；（3）化简()f θ得()()13sin 3f θθϕ=++，由正弦函数最值求解.【小问1详解】设(),B x y ，因为ABCD 为正方形，所以OA CB = ，又()()2,0,,2OA CB x y ==- ，所以2,2x y ==，所以点B 的坐标为()2,2；【小问2详解】因为M 为线段AB 的中点，所以()2,1M ，因为()()2cos ,2sin ,cos ,1sin PO PM θθθθ=----=--- ，所以()()()()2cos cos 2sin 1sin 33sin 2cos PO PM θθθθθθ⋅=---+----=++ ，所以()33sin 2cos f θθθ=++；【小问3详解】因为()()33sin 2cos 3f θθθθϕ=++=++，其中sinϕϕ==所以当()π2π2k k θϕ+=+∈Z ，即π2π2k θϕ=+-时，()f θ有最大值3+，此时πsin sin 2πcos 213k θϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，故当()f θ取最大值3+313sin 13θ=．。