复曲线中间缓和曲线正矢计算新方法
摘要：通过实例提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，并对该方法作了简要分析和论证
关键词：复曲线 中间缓和曲线 正矢计算方法
一、引 言
目前铁路线路仍有相当数量的复曲线存在，其中间缓和曲线的正矢计算方法，很多教科书以及铁路专业书，包括《铁路工务技术手册（线路业务）》，以及崔恩波、娄永录所著论述曲线的专著《曲线设备与曲线整正》（中国铁道出版社）等，均没有提及。本文在此提出一种计算复曲线中间缓和曲线的方法，即计算曲线上任一点的直角坐标，来间接计算曲线上任意弦长、任意两点间的正矢。这种方法的优点在于原理简单，计算精确，消除了传统计算方法的误差，可以将计算结果控制在任意需要的精度。 二、复曲线中间缓和曲线正矢的计算方法推导
对于复曲线的中间缓和曲线，无论采用哪种布设方法，均应满足如下条件：
1、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处半径相等。
2、中间缓和曲线与两端圆曲线在连接处具有公共的切线。 我国采用的常用缓和曲线其长度和半径的关系为：
00
00l R l R l R l R l ⋅=⋅----缓和曲线上距始点长度为处的半径缓和曲线上任意一点距始点的距离
缓和曲线终点处半径缓和曲线长度
如图1，两圆半径为1R ，2R 且12R R >；延长中间缓和曲线至ZH '，使
其半径从2R 渐变到R =+∞，则可求得中间缓和曲线的全长L
21()n L R L l R ⨯=-⨯ ∴ 1
12
n R L l R R =
⨯- L -中间缓和曲线全长
n l -中间缓和曲线长度
图1
如图1，曲线上A B C 、、均为测点，有两各情况：
1、测点的始、终点均不位于中间缓和曲线上。则正矢的计算与普通曲线一样，在此不作论述。
2、测点的始、终点有一个或均位于中间缓和曲线上，其正矢的计算在此提出如下的方法，假设A B C 、、的位置如图所示。
如果A B C 、、在同一坐标系内的坐标能够求出，则A B 、（或B C 、）
点的正矢可以用坐标计算。连接A B 、及B C 、，AB 的中点为1
P ， AB 的中点为D ，BC 的中点为2P ， BC 的中点为E ，则1P D 、2
P E 即为A B 、及B C 、点的正矢。采用这一方法计算正矢，关键在于计算曲线上各点的坐标。
以ZH '为原点，以ZH '的切线方向为x 轴建立坐标系，A 点位于1R 上，设A 点的坐标为()A A A x y ，。为计算A 点的坐标，首先计算1YH 点的坐标。因为计算出的L 可能很长，为保证有足够的精度，在缓和曲线L 上，取：
59
2244
223
7
11
3355
222403456633642240l l x l R L R L l l l y R L R L R L
=-+=-+ （11-）
上式中：0l L ≤≤
1YH 点位于L 上，当l l '=时，即为1YH 点的坐标111()YH x y ，，同样，当l L
=时，即为2HY 点的坐标222()HY x y ，。
过1YH 作L 及1R 的公切线，连接点A 与1YH ，如图2。则A 点的坐标：
1111cos()
2
sin()
2
A A x x a y y a α
ϕα
ϕ=-⋅-=-⋅-
（12-）
图2
其中： 2
111122sin 22AYH l a R R R L
α
αϕ'=⋅==，，
B D E 、、均在n l 上，其坐标参见式（11-）计算。
C 点位于2R 上，设C 点的坐标为()C C C x y ，。过2HY 点作2R 及n l 的公
切线，连接点C 与2HY ，如图3。则C 点的坐标：
图3
2222cos()
2
sin()
2
C C x x c y y c β
ϕβ
ϕ=+⋅+
=+⋅+
（13-）
其中： 2
2222
2sin 22HY C L c R R R β
βϕ=⋅==，，
有了A B C D E 、、、、的坐标，则：
1P 点的坐标为：1(
)22A B A B
x x y y P ++， 2P 点的坐标为：2()22
B C B C
x x y y P ++，
则A B 、
点的正矢1PD = B C 、
点的正矢2P E =这种方法计算量较大，但具有前述的优点，且现在计算机应用普遍，可以用EXCEL 表格或高级语言编程实现自动计算。 三、计算实例
以成昆线白石岩3#隧道内曲线为例（单位：除正矢为mm ，角度为弧度外，其余均为m ），其曲线要素及各点里程如下：
112212123:360950.069:361050.069
:362537.729:362557.729:362932.557
:363062.557
45040010020130
ZH K HY K YH K HY K YH K HZ K R R L L L ++++++=====（中间缓和曲线起点）（中间缓和曲线终点），，，，
按传统的以ZH 点为正点，每10米点布置，则中间缓和曲线上及相邻各测点分别为：
159:362530.069160:362540.069
161:362550.069162:362560.069
F K F K F K F K ++++
159F 位于1R 上，160F 、161F 位于中间缓和曲线上，162F 位于2R 上。
下面计算这四点的正矢。
11245020180450400
n R L l R R =⨯=⨯=--，18020160n l L l '=-=-=
按（11-）式，取160l l '==，及180l L ==得：
11159.4959.460x y ==，； 22179.09113.451x y ==，
158F 点的坐标，按（12-）式，
11537.729-520.0690.0392450
AYH R α===
10.03922sin 2450sin()17.6622
a R α
==⨯⨯=
22
121600.17777822400180
l R L ϕ'===⨯⨯
158159.49517.66cos(0.1777780.0196)142.055F x =-⨯-= 1589.46017.66sin(0.1777780.0196) 6.679F y =-⨯-= 同样由式（12-）得：
