人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型的应用及其变式

帮你解读几何概型 山东 刘乃东１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的特点（１）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等；注：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的．３．几何概型的计算公式在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式如下：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例１ 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．解析：正方形的面积只由边长AM 确定，此题可以转化为在12cm 长的线段上取一点M ，使AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．记A =｛在AB 上取一点，使AM 的长介于6cm 与9cm 之间｝，则()P A 即为使以AM 为边的正方形面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．在AB 上取点C D ，，使6cm 9cm AC AD ==，，则3cm CD =，31()124P A ==∴． 例2 现向如右图所示的正方形随机地投掷镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解析：由63401x y y --=⎧⎨=-⎩，116A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 又(11)B -，∵，15166AB =-=∴． 同理，由16340x x y =⎧⎨--=⎩，得23y =．213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴．25(1)33BC =--=∴． 1552526336ABC S =⨯⨯=△∴． 而正方形的面积为224⨯=． 故所求的概率为2525364144=． 评注：几何概型为新增内容，预测今后高考考查的主要对象是几何概型的概率公式的应用，题目应以中，低档题为主，题型主要以选择题、解答题形式出现．。

六种常见的“几何概型” 一般地，就基本事件的空间的几何度量（长度、面积、体积等）而言，我们可以把几何概型分为：区间长度型、线段长度型、角度型、周长（弧长）型，面积型和体积型，举例说明如下： 一、区间长度型 例1.设m 在[0,5]上随机地取值，求方程02142=+++m mx x 有实数根的概率． 分析：由于m 在［0,5］上随机地取值，样本点是连续无限的，所以属于几何概型的问题，只要求出使方程02142=+++m mx x 有两数根的m 的取值范围则问题便 可迎刃而解．解：方程有实数根10)214(42-≤⇒≥+-=∆⇒m m m 或m ≥2. ∵m ∈[0,5]，方程02142=+++m mx x 有实数根时m 的取值范围为[2,5]. ∴方程02142=+++m mx x 有实根的概率为53]5,0[]5,2[==的长度区间的长度区间P ． 点评: 本题把方程与几何概型巧妙地结合起来,背景新颖且韵味无穷.二、线段长度型例2.有一根长4m 的木料，现随机地把它截成两截，求截得的两段长度都不小于1.2 m 的概率.解：如图所示，设线段AB 的长为4 m ，在线段AB 内取点C 和D ，使AC=BD=1.2 m ，则CD=4-1.2-1.2=1.6(m)．要使“把一根长4m 的木料随机地锯成两截，得到两段长度都小于1.2 m ”，则分点（锯点）必须在线段CD 上(包括端点C 、D 在内)，所以所求的概率为5246.1==P . 三、角度型例3.如图所示，在直角坐标系中，射线OA 落在800角的终边上，任意作射线OB,求射线OB 落在∠xOA 外的概率．分析：由于以O 为起点作射线OB 是随机的，而射线OB 落在直角坐标平面上任何位置上是等可能的，所以射线OB 落在∠xOA 外只与∠xOA 的大小有关.解：设事件A=｛射线OB 落在∠xOA 外｝，事件B={射线OB 落在∠xOA 内}，显然，事件A 与事件B 是对立事件．∵∠xOA=800, 9236080)(00==B P ,∴97921)(1)(=-=-=B P A P .点评:在本题中事件的“测度”是角度.本题根据射线OB 落在直角平面上任何位置是等可能的,这时与试验有关的问题,即可利用几何概型来解决.四、周长（弧长）型例4.设有一个均匀的陀螺，在其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字（所有的数字均按大小排列，且0与3重合）．旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率．解：圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为P 1，圆周上触及桌面的刻度位于[1,1.5]上的概率为P 2.∵位于区间[0.5,1]的长度只占半个圆周的21，∴[0．5，1]的长度占了整个圆周的41，∴411=P ，同理，在另一个半圆周上，由于该半圆上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字，而在该区间上的子区间[1,l.5]只占该半圆的41，所以，它的长度占了整个圆周的81. ∴812=P ,故圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为83814121=+=+=P P P . 点评:解决问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 五、面积型 例5.在区间[-2,2]上任意取两数a,b,求二次方程x 2-ax+b=0有实数根的概率.解：若原方程有实数根，则△=(-a)2-4×1×b 2≥0,即(a-2b)·(a+2b)≥0．则有⎩⎨⎧≥+≥-,02,02b a b a ,或⎩⎨⎧≤+≤-.02,02b a b a ,又a,b ∈[-2,2]，即-2≤a ≤2, -2≤b ≤2，所以基本事件的空间为{ (a, b)|-2≤a ≤2, -2≤b ≤2}，反映在直角坐标系上，就是上图所示的正方形ABCD 区域．而事件A={二次方程x 2-ax+b 2=0有实根}={(a, b)|a-2b ≤0,且a+2b ≤0}∪{(a,b)|a-2b ≥0, 且 a+2b ≥0}，反映在直角坐标系上，就是图中阴影部分的区域.故所求事件的概率为4144)1221(4=⨯⨯⨯⨯=P . 点评：本题根据二次方程x 2-ax+b=0有实数根的条件，列出不等式，画出图象利用公式求解。

精校版几何概型题型归纳山东 曹贤波几何概型适用于有无限多结果而又有某种等可能的试验．其中事件A 的概率定义为： ()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)． 对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．下面分类例说几何概型的实际应用．一、与长度有关的几何概型例１ 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于12分钟的概率（假设电台每隔一小时报时一次）．分析：假设他在0到60分钟之间任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件的概率，因为电台每隔1小时报时1次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．解：设A =｛等待的时间不多于12分钟｝，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[]4860，时间段内，因此由几何概型的概率公式，得121()605P A ==．即等待时间不多于12分钟的概率是15．二、与面积有关的几何概型例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内可再交5角再掷一次；若压在塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问： （１）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（２）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析：小圆板中心用Ｏ表示，考察Ｏ落在ABCD 的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD 的边相交接，及Ｏ落在哪个范围时能使小圆板与塑料板ABCD 的顶点相交接．（1）如图1所示，因为Ｏ落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心Ｏ到与它靠近的边的距离不超过1cm 时，所以Ｏ落在图1阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的精校版 边相交．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9cm 的正方形，图中阴影部分表示事件Ａ：“小圆板压在塑料析边上”．于是29981(cm )S =⨯=正方形，2997732(cm )S =⨯-⨯=阴影．故所求概率32()81P A =． （2）小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O 到正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1cm 时，如图2所示的阴影部分．图2中阴影部分表示事件B ：“小圆板压在塑料板顶点上”．于是29981(cm )S =⨯=正方形，22π1π(cm )S =⨯=阴影故所求的概率π()81P B =． 三、与体积有关的几何概型例3 一个球型容器的半径为3cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个SARS 病毒，从中任取1ml 水，含有SARS 病毒的概率是多少？分析：病毒在水中的分布可以看作是随机的，从中取得1ml 水可看作构成事件的区域，所有水可看作试验的所有结果构成的区域，可用体积比公式计算其概率．解：水的体积为33344ππ336π(cm )36π(ml)33R =⨯⨯==． 故含有病毒的概率为10.0088436πP =≈．。

精校版 几何概型的应用 山东 尹承利几何概型，以其形象直观的特点，倍受人们青睐．下面举例说明几何概型在几方面的应用，以使同学们感受数学美的思维之花．一、与数有关的几何概型例１ 在区间(01)，上随机取两个数m n ，，求关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率．解析：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为m n ，是(01)，与图1中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m -+=有实根，则事件40()|0101n m A m n m n ⎧-⎫⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，，所对应的区域为图1中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1()8S P A S ==阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为18． 二、与形有关的几何概型例2 在等腰ABC Rt △中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．解析：点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为试验所有结果构成的区域．在AB 上截取AC AC '=，则当点M 位于图2中线段AC '上时，AM AC <，故线段AC 即为构成事件AM AC <的区域． 于是2()()AC AC P AM AC P AM AC AB AB ''<=<===，即AM 的长小于AC 的长的概率为22． 例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率．解析：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任精校版 何位置都是等可能的．落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠的大小有关，符合几何概型的条件． 记{}B OA xOT =∠射线落在内．60xOT ∠=∵°，601()3606P B ==°∴°，即射线OA 落在xOT ∠内的概率为16． 三、与时间有关的几何概型例4 从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解析：到达乙地的时间是9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0．5的正方形．设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x y ≤，构成事件A 的区域为图4的阴影部分．由几何概型公式，得22210.50.252()0.8750.5P A -⨯==，即他能赶上车的概率为0．875． 例5 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解析：包含两个间谍谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在０到30s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间的时间段内容按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关．记Ａ＝｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉了｝，Ａ发生就是在0到23min 时间段内按错键． 213()3045P A ==∴．。

例析面积型几何概型的解法 河南省滑县第二高级中学（456400）柴春燕在几何概型的各种题型中, 面积型几何概型出现的频率比较频繁,是非常重要的概率模型.下面谈谈这类题型的一般解法.1．直接作出图形计算面积之比如图１是一个边长为1米的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图和板上被雨点打上的痕迹，则这个地图的面积为______平方米．解：由题意，雨点落在地图上的概率919183P ==+，有正方形板的面积为1平方米，故所求地图面积为11133⨯=（平方米）． 点评：雨点落在地图上的概率问题是几何概型，用面积比计算．雨点打在地图和板上是随机的，地图上有9个雨点痕迹，板上其他位置有18个雨点痕迹，由此计算雨点落在地图上的概率，反过来推导地图面积．例2 如图，以正方形ABCD 的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣，现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率．解析：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件．记飞镖落在花辫内为事件A ，设正方形边长为2r ，则22214(2)22()(2)2ABCD r r S P A S r ππ⨯--===花瓣所以，飞镖落在花辫内的概率为22π-．点评：此题的关键是正确计算花瓣的面积．这类题型中，试验全部结果的区域与构成事件A 的区域，都直接由题中条件给出，从而易解．然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律．2．在坐标系中先作出平面区域．再求面积之比例3 在半径为R 的圆周上任取A 、B 、C 三点，试问三角形A BC 为锐角三角形的概率是多少？分析：圆周上三点A 、B 、C 能构成锐角三角形的等价条件是AB 、BC 、CA 的长都小于半圆周．解析：设圆上被A 、B 、C 所分成三段弧中的两段弧长分别为x ，y ，则02,02,02x R y R x y R πππ<<<<<+<.可能结果的全体为直角边长为2R π的等腰直角三角形，三条弦构成三角形为锐角三角形的条件是00x R y R x y R πππ<<⎧⎪<<⎨⎪+<⎩，满足这些条件的区域G 为图中的阴影部分，故所求概率为22()21(2)24R P R ππ÷==÷. 点评：随机现象的可能结果可看做某区域G 中的一个点，这个区域可以在直线上，也可以在平面内或空间中，可能结果的全体或问题所感兴趣的结果都是无限的，而且这些结果具有等可能性．即落在区域内的概率与该区域的长度或面积或体积成正比，并且与其位置、形状无关，由于这种类型的概率用几何方法计算，故称为几何概型．例4 一条直线型街道的A 、B 两盏路灯之一间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B ．问A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率是多少？解析：（1）构设变量. 设A 与C 、B 与D 之间的距离分别为x 米、y 米.（2）集合表示. 用集合表示每次试验的结果，则所有可能结果为：{(,)|0120,0,0}x y x y x y Ω=<+<>>；记A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米为事件A ，则事件A 的可能结果为{(,)|40,40,0120}A x y x y x y =≥≥<+<．（3）作出区域. 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A 所构成区域是三条直线x+y=120，x=40，y ＝40所夹中间的阴影部分.（4）计算求解. 根据几何概型公式，得到：2214012()191202ABC S P A S ∆⨯===⨯阴影所以，A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率为19. 点评：此题易错误的认为，把AB 三等分，由于中间长度为40米，所以路灯C 与D 需安装在中间一段，从而CD 安装在中间的概率为13P A =（）.错误的原因是试验的结果不可能独立地安装在这一段，有可能跨这三段中的两段安装．用以上四步曲求解，我们可以得到清晰的解题思路.。

探讨几种常见的几何概型几何概型是一种基本的概率模型，它与古典型的概型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关。

下面对常见的几种几何概型做简单的探究：一、与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，每个基本事件可理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某一指定区域中的点：则()A P A =构成事件的长度试验的全部结果所构成的区域长度。

例1、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于10分钟的概率。

【分析】：假设他在0到60分钟之间任一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率，因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个是段打开收音机的概率只与给时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，之符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件的概率。

【解析】：设{}10A =等待时间不多于分钟，事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[]0,60时间段内，因此由几何概型的求解概率公式得：()101606P A ==。

即“等待报时的时间不超过10分钟的”的概率为16。

【点评】：将此题中的概率通过“比例解法”转化为“长度之比”求解，因而它属于几何概型的一种形式。

二、与面积有关的几何概型如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率为：()A P A =构成事件的面积试验的全部结果所构成的区域面积，“面积比”是去几何概率的一种重要方法。

例2、将长为l 的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率。

【解析】：设A =“3段构成三角形”，,x y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l x y --，则试验的全部结果可构成集合：(){},|0,0,0x y x l y l x y l Ω=<<<<<+<要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即：222l x y l x y x y l x l x y y y l y l x y x x +>--⇒+>+-->⇒<+-->⇒< 故所求结果构成集合(),|,,222l l l A x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩⎭由图可知，所求概率为：()22112242l A P A l ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===Ω。

几何概型疑点辨析及生活应用解疑解一、几何概型的定义1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ())()(A 面积或体积的区间长度试验的全部结果所构成面积或体积的区间长度构成事件=A P 二、疑点辨析1.概率为零的事件不一定是不可能事件不可能事件的概率一定为零，即若∅=A ，则0)(=A P 。

但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若0)(=A P ，则不一定有∅=A 。

例如,在几何概率中，设}4:),{(22≤+=Ωy x y x ，}1:),{(22=+=y x y x A .Ω为圆域，而A 为其中一圆周.则 040)(==Ω=π的面积的面积A A P 。

显然，A 是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周122=+y x 上的情况是可能发生的。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若0)(=A P ，则∅=A 。

2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一.例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.错解:因为⎪⎩⎪⎨⎧<+>+121y x y x 所以121<+<y x ,于是()211211,01,21==⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 。

错解分析：本题误把长度看作几何度量．正确解法：设三条线段的长度分别为,1,,y x y x --则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<1101010y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<1010x y x . 在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线1,0,1,0+-====x y y x x 围成如图所示三角形区域G ，每一对()y x ,对应着G 内的点()y x ,，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+y y x x y x y x 111即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->212121y x x y因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,则P (这三条线段能构成三角形)41G ==的面积的面积g . 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。