44相似多边形

《相似多边形》讲义一、相似多边形的定义在数学的广袤世界里，相似多边形是一个重要的概念。

那什么是相似多边形呢？简单来说，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。

比如说，有两个四边形 ABCD 和 A'B'C'D'，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C ＝∠C'，∠D ＝∠D'，而且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝CD/C'D' ＝ DA/D'A'，那么四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'就是相似的。

这里要注意的是，对应角相等和对应边成比例这两个条件必须同时满足，缺一不可。

二、相似多边形的性质相似多边形具有许多有趣的性质。

首先，相似多边形的对应边成比例。

这是相似多边形的核心性质之一。

比如，一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与之相似的三角形对应边的比例是 2:1，那么这个相似三角形的三边就分别是 6、8、10。

其次，相似多边形的对应角相等。

还是以上面的三角形为例，第一个三角形的三个角分别是 30°、60°、90°，那么相似三角形的对应角也分别是 30°、60°、90°。

再者，相似多边形的周长比等于相似比。

相似比就是对应边的比值。

假设两个相似多边形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。

还有，相似多边形的面积比等于相似比的平方。

例如，两个相似三角形的相似比是 2，那么它们的面积比就是 4。

三、相似多边形的判定那怎么判定两个多边形是否相似呢？方法一：根据定义，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那它们就是相似多边形。

方法二：如果两个多边形的所有对应边分别平行，那么这两个多边形相似。

方法三：如果两个多边形的对应边分别相等，那么这两个多边形相似。

相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。

相似多边形具有相同的形状，但是大小可以不同。

在本文中，我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。

一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。

即使边长和内角都不相等，只要多边形的形状相同，就可以称它们为相似多边形。

相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。

例如，若多边形A和多边形B的边比为a:b，那么我们可以表示为A∼B，表示多边形A与多边形B相似。

二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性：1. 边的比例关系：相似多边形的对应边的比值相等，即A∼B，则对应边AB的比值等于a:b。

2. 角的对应关系：相似多边形的内角相等，即A∼B，则对应角的度数相等。

3. 面积的比例关系：相似多边形的面积比等于边长比的平方，即A∼B，则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。

三、判断相似多边形的条件在实际问题中，我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。

常见的判断相似多边形的条件包括：1. 边比例相等：两个多边形的对应边的比值相等。

2. 角度相等：两个多边形的对应角度相等。

3. 边角关系：如果两个多边形的对应边比例相等，并且对应角度相等，那么它们是相似的。

四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系，从而确定合适的尺寸和比例。

2. 地图制作：在地图制作中，相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系，帮助人们更好地理解地理信息。

3. 电影特效：在电影特效中，相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型，通过调整大小和比例来创造逼真的效果。

4. 工程测量：在工程测量中，相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸，通过相似性关系来推算出实际尺寸。

4.4相似多边形学习目标、重点、难点【学习目标】1、 相似多边形的定义；2、 相似多边形的特征；【重点难点】相似多边形的定义和特征.知识概览图相似多边形⎩⎨⎧相似多边形的特征相似多边形的定义 新课导引观察下图所示的图形．【问题探究】观察上述三组图形，每组图形的对应角和对应边之间有什么关系?【点拨】每组图形的对应角相等，对应边的比相等．教材精华知识点 相似多边形各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.拓展 这个定义跟其他定义一样，有两个功能：一方面，如果两个多边形的角都对应相等，且边都对应成比例，那么我们就可以判定这两个多边形是相似的；另一方面，如果已知两个多边形相似，那么它们的对应角一定相等，对应边一定成比例，这是相似多边形的本质特征，用它可以解决有关的问题．相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE 与五边形E D C B A '''''相似，记作：五边形ABCDE ∽五边形E D C B A '''''．相似多边形对应边的比叫做相似比．拓展 (1)“多边形”的“多”字包含3或3以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形”“相似四边形”……．(2)前面我们学过图形的全等，全等其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为l 的相似图形．多边形相似的判定：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例.拓展 (1)判定两个多边形相似，这三个条件缺一不可．(2)两个边数不相同的多边形一定不相似．相似多边形的特征：如果两个边数相同的多边形相似，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例．相似多边形特征的应用：应用相似多边形的特征，可以证明角相等、线段成比例. 课堂检测基础知识应用题1、(1)正三角形ABC 与正三角形DEF 相似吗?(2)正方形ABCD 与正方形EFGH 相似吗?综合应用题2、如图4-33所示，梯形ABCD 与梯形D C B A ''''相似，求未知边x ，y ，z 的长度和角α，β的度数．探索创新题3、小强将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，则整张报纸的长和宽的比是 ( )A ．2∶lB ．4∶1C ．2∶1D ．1.5∶l体验中考1、如图4-35所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为 ．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 根据相似多边形的定义和等边三角形、正方形的性质来判定．解：(1)由于正三角形的每个内角都等于60°， 所以∠A ＝∠D ＝60°，∠B ＝∠E ＝60°，∠C ＝∠F ＝60°．由于正三角形的三条边都相等，所以FDCA EF BC DE AB ==．所以正三角形ABC 与正三角形DEF 相似． (2)由于正方形的每个内角都是直角，所以∠A ＝∠E ＝90°，∠B ＝∠F ＝90°，∠C ＝∠G ＝90°，∠D ＝∠H ＝90°．由于正方形的四条边都相等，所以EHAD GH CD FG BC EF AB ===， 所以正方形ABCD 与正方形EFGH 相似．【解题策略】 根据相似多边形的定义来确定．2、分析 解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．解：由于梯形ABCD 与梯形D C B A ''''相似，所以对应边成比例，所以 4.5 4.8324 3.22x y z ====， 所以x ＝3，y ＝6，z ＝3．由于对应角相等，所以α＝∠D ＝180°-∠A ＝180°-62°=118°，β＝∠B ＝180°-∠C ＝180°- 110°＝70°．【解题策略】 准确掌握相似多边形的特征及梯形上、下底平行这一条件是解决此题的关键．3、分析 抓住题中的关键：整张报纸和半张报纸相似，设原报纸的长为x ，宽为y ，则对折后得到的半张报纸的长为y ，宽为x 21，如图4-34所示，由相似多边形的定义知AB AD AE AB =，所以y 2=x ·x 21，所以2122=x y ，所以2x y=.故选A.体验中考1、分析 本题考查相似三角形的性质．∵△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ．又∵∠A ＝30°，∴∠D ＝30°．故填30°．【解题策略】 相似多边形(包括三角形)的对应角相等．。

第20讲相似多边形1.相似多边形的有关概念.2.掌握相似三角形的性质.一、相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点1：相似图形的判断例1．下面一定相似的一组图形为（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个等边三角形D．两个菱形．【答案】C【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】解：A.两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；C.两个等边三角形一定相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．例2．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似【答案】C【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．【解析】解：A、所有的等边三角形的角都为60 ，都相似，不符合题意；B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；D、正八边形都相似，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．例3．下列说法正确的是（）A．菱形都是相似图形B．各边对应成比例的多边形是相似多边形C．等边三角形都是相似三角形D．矩形都是相似图形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可．【解析】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑．例4．下列说法正确的有（）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.考点2：相似多边形的性质及对应性例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．【答案】相等比例相似多边形相似比相等成比例【解析】略例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）A．120°B．87°C．75°D．60°【答案】B∠=︒，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【分析】根据相似多边形的性质，可得1138【解析】解：如图，例例______．【分析】根据相似三角形对应角相等，分情况讨论解答即可．【解析】易得∠C=60°，与∠D是对应角.则①当∠E与∠A是对应角时，∵∠A=50°，∴∠E=50°，②当∠E与∠B是对应角时，∵∠B=70°，∴∠E=70°，综上，∠E的度数为50°或70°，故答案为50 或70 .【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角不确定的时候需要分类讨论.例9．如图，如果五边形ABCDE∽五边形POGMN，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN的周长之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【答案】B【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形POGMN的周长之比是3：2，故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．考点3：相似多边形性质的应用例10．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上x，则x __________．去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为cm【答案】10【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【解析】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴40402 6060152x+=+⨯，解得：故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．例11．如图，一块矩形绸布的长矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即是多少？例＞EF ），设例使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边A ．2a b =B ．2a b =C ．a =例似比为例【答案】1 256．【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．一、单选题1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于()．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情二、填空题一、单选题1．下列图形中不一定是相似图形的是（）．B．．．【答案】A【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．【解析】解：∵441.235=，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；A．4.14B．2.56【答案】A【分析】设整个车身长为AB，点C 项判断即可．【解析】如图，设整个车身长为AB根据题意，AC=1.58米,对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对二、填空题11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．【解析】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图【答案】80︒144 5【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案【答案】132+或2【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．【解析】∵ABFE 是正方形，∴AB =EF =AE ，∵矩形GFCH 和矩形EGHD ∴EG =DH =GF =HC ，设∴AD =2y x +，AB =2x ，∵矩形ABCD 和矩形EGHD ∴AD GH AB GF =或AD GF AB GH=①当AD GH AB GF =时，∴22y x x y y+=，解得：x ∴AD ：AB =:2:x y y y =②当AD GF AB GH=时，22y 解得：132y x +=，∴AD ：AB =13:2y x +=故答案为：2或13+．三、解答题19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？【答案】d 与（1）相似，e 与（2）相似【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案．【解析】解：d 与（1）相似，e 与（2）相似理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d ）是半圆，所以图形与图形相似；图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e ）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；故答案是：d 与（1）相似，e 与（2）相似．【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点．20．如图，两个四边形相似，求未知边x 、y 的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【解析】∵两个四边形相似，∴20：5=x ：6=y ：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴α=3607085130︒︒︒︒---=75°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于【答案】915cm,cm 22EF FG ==．(1)D'∠的度数为_______，四边形ABCD与四边形(2)分别求边BC BC与边CD的长度．（1）求BC 、CD 的长度；（2）求D ∠、D '∠的大小；。