26.2 实际问题与反比例函数

26.2 实际问题与反比例函数《262 实际问题与反比例函数》在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，反比例函数就是其中一个重要的数学工具。

它不仅存在于课本中的数学问题里，更与我们实际生活中的许多现象和问题紧密相连。

让我们先从一个简单的实际问题说起。

假设有一项工作，总量固定为 100 个单位。

如果一个人单独完成这项工作需要 20 小时，那么每小时他能完成的工作量就是5 个单位。

现在假设增加到5 个人一起工作，那么完成工作所需的时间就会相应减少。

因为工作总量不变，而参与工作的人数增加，所以每个人每小时完成的工作量与所需的时间之间就存在反比例关系。

再来看一个关于压力和受力面积的例子。

当我们在雪地上行走时，如果穿上面积较大的雪地鞋，对雪地产生的压强就会较小，我们就不容易陷入雪中。

这是因为压力（人的体重）是固定的，而受力面积越大，压强就越小。

这里的压强和受力面积之间就构成了反比例函数关系。

反比例函数在物理学中也有广泛的应用。

比如，在电学中，电压一定时，电流与电阻成反比例关系。

我们都知道，通过一个导体的电流强度等于电压除以电阻。

当电压不变时，如果电阻增大，电流就会减小；反之，如果电阻减小，电流就会增大。

在工程问题中，反比例函数同样发挥着重要作用。

例如，修建一条公路，工程总量是固定的。

如果每天投入的工人数量增加，那么完成工程所需的天数就会减少；反之，如果工人数量减少，完成工程所需的天数就会增加。

还有一个常见的例子是汽车行驶问题。

假设汽车油箱的油量是固定的，汽车的耗油量与行驶的里程之间就存在反比例关系。

当汽车的耗油量增大时，能够行驶的里程就会减少；而当汽车耗油量降低时，行驶的里程就会增加。

在经济学中，反比例函数也有体现。

比如成本和产量之间的关系。

在总成本一定的情况下，单位产品的成本与产量成反比例关系。

产量越高，单位产品分担的固定成本就越低；产量越低，单位产品分担的固定成本就越高。

反比例函数还可以用来解决资源分配问题。

第二十六章反比例函数26.2 实际问题与反比例函数习题课【教学目标】1.能建立反比例函数模型解决实际问题.2.经历建立函数模型解决问题的过程，体会数学建模思想.【教学重点】建立反比例函数模型解决行程问题和药物浓度问题.【教学过程】教学环节教学内容设计意图如图所示，反比例函数y=!的图象经过点A（3，2），B（a，-4），"则下列说法中错误的是（C ）yA.k=6B.a=-# A$C.y 随x 的增大而减小O xD.当x＞3 时，0＜y＜2 B 复习待定系数法求反比例函数解析式、反复习引入比例函数的图象和性质，为新课学习做准备.例1 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h 的平均速度用以学生最熟悉的行程6h 到达目的地. 问题为背景，起点低，问题设置有梯（1）当他按原路匀速返回时，回到甲地用4.8h，那么返程时的平度，让每个学生都敢均速度是多少？于思考并体会问题中变量之间的依存关（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t 有怎样的函系，独立建立起反比数关系？例函数模型.（3）如果该司机必须在5 h 之内回到甲地，那么返程时的平均速行程问题度不能小于多少？列表格，清晰地揭示题目分析：了三个量之间的关系，当路程一定时，v，t 之间建立的是反比例函数关系式，把生活中的实际问题转化为数学中反比例函数的模型；然后利用了函数的性质、图象解决了数学问题，从而解决了实际问题。

解：（1）由题意，知甲乙两地的路程为80×6=480（km），回到甲地用4.8h，返程时的平均速度是%&'=100（km/h）.%.&（2）由vt=480，可得汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v=%&'.)（3）把t=5 代入v=%&'，得v=%&'=96（km/h）.) *对于v=%&'，当t＞0 时，t 越大，v 越小.)因此，如果该司机必须在5 h 之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于96km/h.图象法：归纳方法：转化（速度×时间=路程）行程问题数学问题（反比例函数）方程或图象（函数的性质、数形结合）（1）根据图象，分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段时，y 与x之间的函数解析式；题目解答：解：（1）当0≤x＜4 时，设y 与x 之间的函数解析式为y=kx.把（4，8）代入y=kx，得8=4k，解得k=2.所以y=2x（0≤x＜4）.当4≤x≤10 时，设y 与x 之间的函数解析式为y=+."把（4，8）代入y=+，得8=+，解得m=32." %所以y=#$（4≤x≤10）."所以血液中药物浓度上升和下降阶段时，y 与x 之间的函数解析式分别为y=2x（0≤x＜4）和y=#$（4≤x≤10）."（2）当血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升时，y≥4.把y=4 代入y=2x，得4=2x，解得x=2；把y=4 代入y=#$，得4=#$，解得x=8." "结合图象，可知当2≤x≤8 时，y≥4.所以血液中药物浓度不低于4 微克/毫升的持续时间为8-2=6（小时）归纳方法：转化（图象）药物浓度问题数学问题（正、反比例）利用解析式求解（待定系数法、数形结合）归纳用反比例函数解决药物浓度问题的一般方法.课堂练习1.已知甲、乙两地相距s （单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （单位：h）与行驶速度v （单位：km/h）的函数图象是( C )t/h t/h t/h t/hO v/(kmO v/(km O v/(km O v/(km（A）（B）（C）（D）2.校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成1 教室的药物喷洒要5min．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y 与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害.若校医依次对一班至十一班教室进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室的药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．解：完成一间教室的药物喷洒需要5（min），所以m=5.把A（5，n）代入，y＝2x 得n＝2×5=10.设反比例函数关系式为y=!."把A（5，10）代入y=!，得10=!，解得k=50." *所以反比例函数关系式为y=*'."完成 11 间教室的药物喷洒需要55min，此时一班课室药物的浓度y=*'＜1，一班学生能进入教室.**巩固利用反比例函数解决行程问题和药物浓度问题的方法.。

实际问题与反比例函数〔根底〕【学习目的】1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解. 2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的严密联络，增强应用意识.【要点梳理】【高清课堂实际问题与反比例函数知识要点】要点一、利用反比例函数解决实际问题1.根本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2.一般步骤如下：〔1〕审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.〔2〕由题目中的条件，列出方程，求出待定系数.〔3〕写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.〔4〕利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；3.在使用杠杆时，假如阻力和阻力臂不变，那么动力是动力臂的反比例函数；4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.【典型例题】类型一、反比例函数实际问题与图象1、小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y〔km/h〕和行车时间x〔h〕之间的函数图象是〔〕A B C D【答案】B；【解析】syx，而南充到成都的间隔 S为定值.【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.举一反三：【变式1】〔2019•广西〕矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，那么y关于x的函数图象大致是〔〕A. B. C. D.【答案】C；提示：根据题意得：xy=10，∴y=，即y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，∵10＞0，x ＞0，∴函数图象是位于第一象限的曲线；【高清课堂 实际问题与反比例函数 例6】【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度也随之改变．与V 在一定范围内满足m v ρ=，它的图象如下图，那么该气体的质量m 为〔 〕.A. 1.4kgB. 5kgC. 6.4kgD. 7kg【答案】D ；提示：由题意知，当V ＝5时， ∴1.45m =，故7m =. 类型二、利用反比例函数解决实际问题2、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y 〔件〕是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元时，每日可售出30件． 〔1〕恳求出y 关于x 的函数关系式〔不必写自变量x 的取值范围〕；〔2〕假设商场方案经营此种衬衣的日销售利润为1800元，那么其单价应是多少元? 【思路点拨】〔1〕因为y 与x 成反比例函数关系，可设出函数式(0)k y k x=≠，然后根据当售价定为100元/件时，每天可售出30件可求出k 的值．〔2〕设单价是x 元，根据每天可售出y 件，每件的利润是〔x －80〕元，总利润为1800元，根据利润＝售价－进价可列方程求解．【答案与解析】解：〔1〕设所求函数关系式为(0)k y k x=≠， 那么因为当x ＝100时y ＝30，所以k ＝3000，所以3000y x=； 〔2〕设单价应为x 元，那么〔x － 80〕·3000x ＝1800， 解得x ＝200．经检验x ＝200是原方程的解，符合题意．即其单价应定为200元／件．【总结升华】此题考察反比例函数的概念，设出反比例函数，确定反比例函数，以及知道利润＝售价－进价，然后列方程求解的问题．举一反三：【变式】某运输队要运300吨物资到江边防洪．〔1〕根据运输时间t〔单位：小时〕与运输速度v〔单位：吨/时〕有怎样的函数关系?〔2〕运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2小时之内运到江边，那么运输速度至少为多少?【答案】解：〔1〕由得vt＝300．∴ t与v的函数关系式为300tv =．〔2〕运了一半后还剩300－150＝150〔吨〕．∴ t和v关系式变为150tv=，将t＝2代入150tv=，得1502v=，v＝75．∴剩余物资要在2小时之内运完，运输速度为每小时至少运75吨．3、某闭合电路中，电源电压为定值，电流I〔A〕与电阻R〔Ω〕成反比例函数．如下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，那么用电阻R表示电流I的函数关系式为〔〕A．6IR= B．6IR=- C．3IR= D．2IR=【答案】A；【解析】设UIR=，由于点B〔3，2〕在反比例函数图象上，那么有23U=，可求得U＝6．从而可求得函数关系式为6IR =．【总结升华】从图象上可以看出，这是一个反比例函数关系的问题．电流I与电阻R成反比例关系，设UIR=，再求电压U.4、〔2019•衡阳〕某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y〔微克/毫升〕与服药时间x小时之间函数关系如下图〔当4≤x≤10时，y与x成反比例〕．〔1〕根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．〔2〕问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【思路点拨】〔1〕分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；〔2〕利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．【答案与解析】解：〔1〕当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将〔4，8〕代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=，将〔4，8〕代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；〔2〕当y=4，那么4=2x，解得：x=2，当y=4，那么4=，解得：x=8，∵8﹣2=6〔小时〕，∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【总结升华】此题主要考察了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．。

数学人教版九年级下册26.2实际问题与反比例函数教学设计（推荐5篇）第一篇：数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计26.2 实际问题与反比例函数教学设计【设计理念】在很多人的印象中，数学除了繁琐的计算、抽象的符号就是让人头疼的几何证明。

实际上数学是一门具有丰富内容并且与现实世界联系非常密切的学科。

本节就体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想。

教师创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性。

让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分开发学生的潜能。

【教材分析】本节课选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册第十七章第二节“实际问题与反比例函数”的第一节。

在前面学习了反比例函数的概念及函数的图象和性质的基础上，使学生进一步体验反比例函数在现实世界中的无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题。

虽然教科书在本节安排了四个现实生活中的问题，但我们却采用了自编的关于教师上班的路程问题，因为这个问题是全校师生所熟悉的亲身经历的事件，这样能让学生真正体验到数学知识来源于实际生活又反过来服务实际生活这种数学建模思想。

同时又通过问题的内容加深学生与教师的情感，培养学生的感恩意识，更重要的是通过让学生举出一个生活中的反比例函数应用的事例培养学生的语言表达能力及与人合作的意识。

【学情分析】学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，因此学生已经有了一定的知识准备。

但由于所教学生都是农村学生，信息掌握程度不高，知识面较窄，语言表达能力较差，因此，本节课教师更换了例题，使学生从身边事物入手，真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感。

在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题。

《26.2实际问题与反比例函数 （1）》教案【教学目标】：1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想。

2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题。

3、体验数形结合的思想。

【教学重点、难点】：运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。

【教学方法】：讲练法 【教学辅助】：多媒体课件 【教学过程】： 一、忆一忆1、什么是反比例函数？它的图像是什么？具有哪些性质？2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度是x （米/分）与时间y （分）之间的关系式是 ，若他每分钟骑450米，需 分钟到达学校。

二、想一想例1、设△ABC 中BC 的边长为x(cm) ,BC 边上的高AD 为y(cm)，△ABC 的面积为常数。

已知y 关于x 的函数图像过点（3，4）。

（1） 求y 关于x 的函数解析式和△ABC 的面积。

（2） 画出函数的图像，并利用图像，求当82 x 时y 的值。

小结：1、根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式。

2、根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围，可以应用函数的性质，也可以应用函数的图像；根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围，可以应用函数的性质和图像，也可以把问题转化为解方程或不等式。

三、练一练设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。

若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y 名。

（1）求y关于x的函数解析式。

（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？四、说一说：请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.五、作业：见作业本教学反思：本节课学生对增减性质掌握很好。

学生对函数值的取值掌握很好。

表达格式较好。

26.2实际问题与反比例函数（2）【教学目标】：1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。