复习一几何部分相交线与平行线三角形

课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
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3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
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3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
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3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是

第四单元第 20 课时几何初步及平行线、订交线知识点回顾知识点 1：立体图形与平面图形1.常有的立体图形：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱锥、棱柱等。

平面图形：长方形、正方形、三角形、圆等。

2.主视图、俯视图与左视图 :（1）从物体的 _____观察，看到物体的正面的图形称为主视图．（2）从物体的 ______向下观察，看到物体的顶面的图形称为俯视图．（3）从物体的 _______观察，看到物体的左面的图形称为左视图．物体的主视图、俯视图与左视图合成为物体的三视图．（4）常有几何体的三视图：几何体主视图俯视图左视图3．几种常有几何体的张开图：1．圆柱张开图：上、下底面为________，侧面是 ________ ，长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。

2．圆锥张开图：底面是_______，侧面是 ________，扇形的弧长是底面圆的周长。

3．棱柱张开图：上、下底面是_____________ ，侧面都是 _________。

4．棱锥张开图：底面是__________，侧面都是 ________，这些三角形的公共极点就是棱锥的极点。

4.正方体的表面张开图 :把正方体的表面张开成平面图形后，有很多种形状，若是将经过平移、旋转等变化后可以重合的两个图形看作是同一图形，那么正方体的表面张开图共有11 种不同样的情况。

我们可以将则11 种图形分类：（ 1）“一·四·一”型，中间一行 4 个作侧面，两边各 1 个分别作上下底面，?共有 6种．如图（ 1）——（ 6）．（ 2）“二·三·一” （或一·三·二）型，中间 3 个作侧面，上（或下）边2?个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共 3 种．如图（ 7）——（ 9）．（ 3）“二·二·二”型，成阶梯状．如图（10）．（ 4）“三·三”型，两行只能有 1 个正方形相连．如图（11）．（1）（ 2）（ 3）（ 5）（ 4）（ 6）（7）（8）（9）（10）（11）例 1、（ 2009 年内蒙古包头）将一个正方体沿某些棱张开后，可以获取的平面图形是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】本题观察图形的张开与折叠中，正方体的常有的十余种张开图有关内容，可将这四个图折叠后，看能否组成正方形，显然只有 C 吻合要求。

初中数学几何部分分析初中数学几何部分共包含：相交线与平行线、三角形、四边形、圆、图形的变换和解直角三角形六部分。

近几年，宜宾中考中，几何部分考分稳定在45分左右，占总分的37.5%.我将从以下方面分析：（1）初中数学几何部分知识点。

（2）近几年宜宾市中考数学知识点分布。

（3）核心知识梳理，（4）重点难点解析或突破（高频考点、题型、举例、思路分析、答案、点评或解题技巧），进行分析。

一、几何部分知识点二、近几年考试情况统计三、近几年宜宾中考数学几何部分的高频考点。

1.三视图，选择题3分，11年-19年，每年都考。

2.平行线，多考填空题3分。

3. 全等三角形，证明题6（5）分，只有11年没考。

4.解直角三角形，解答题8分，只有12、14年没考。

5.特殊四边形，往往考填空题3分。

6.圆的综合证明，解答题10分，多为23题，每年都考。

（一）三视图：2014年：3.如图1放置的一个机器零件，若其主正视图如图2，则其俯视图是A. B. C. D.2015年：2.如图，立体图形的左视图是A. B.C. D.2016年：3.如图，立体图形的俯视图是A. B. C. D.2017年：3.下面的几何体中，主视图为圆的是A. B. C. D.2018年：3.一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 球2019年：5.已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）个。

A:10B: 9C: 8D: 7（二）全等三角形，证明题6（5）分（近5年没考SSS和H.L）2015年（SAS）：18.如图，，，求证：．2016年（ASA）：18.如图，已知，．求证：．2017年（AAS）：18.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，，求证：．2018年（AAS）：19.如图，已知，，求证：．∠=∠.2019年（SAS）：如图，AB=AD，AC=AE，BAE DAC∠=∠求证：C E（三）解直角三角形，解答题8分2015年（方位角）：21.如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为米，求供水站M分别到小区A、B的距离结果可保留根号2016年（仰角）：21.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角，求树高结果保留根号2017年（测河宽）：21.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得，，量得BC长为100米求河的宽度结果保留根号．2018年（仰角、俯角）：18.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB 、CD 均垂直于地面，点E 在线段BD 上，在C 点测得点A 的仰角为，点E 的俯角也为，测得B 、E 间距离为10米，立柱AB 高30米求立柱CD 的高结果保留根号2019年（仰角）：21. （本小题满分8分）如图，为了 测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高1米的测角仪CF 测得该建筑物顶端A 的仰角为045，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为060。

第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.

相交线与平行线（复习课）教案教学目标1 .梳理本章的知识结构.复习巩固相交线与平行线的有关概念和性质，使学生会用这些概念和 性质进行简单的推理或计算；能用直尺、三角板、量角器画垂线和平行线：经历对本章所学 知识回顾与思考的过程，将本章内容条理化，系统化，2 .通过对知识的疏理，进一步加深对所学概念的理解，经历把文字语言、符号语言和图形语言的相互转化过程.进一步熟悉和掌握几何语言，能用语言说明几何图形.3 .感受数学来源于生活又服务于生活，激发学习数学的乐趣.体验用运动变换的观点来揭示知识间内在联系.提高学生分析问题、解决问题的能力。

重点、难点重点:两条直线的相交和平行的位置关系，以及相交线、平行线的综合应用. 难点:垂直、平行线的性质和判定的综合应用.教学过程一、展示设计作品课前布置要求以小组为单位每组设计知识结构图作成手抄报形式，要求有创意体现本组特 色和风格教师给出评价二、回顾与思考出示幻灯片按知识网展开复习.L 对顶角、邻补角。

动动手 任意画两条相交直线，在形成的四个角（如图）中，两两相配共组成几对角？各对角 存在怎样的位置关系?（1）出示幻灯片 两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？ 学生回答.练习一1 .如图1，直线AB 、CD 、EF 相交于0, NA0E 的对顶角是，邻补角是, NCOF 的对顶角是, 邻补角是2如图，直线a 、b 相交，Nl=40° ,求N2、N3、Z 4的度数。

结合练习教师强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对 顶角的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共 边，另一边互为反向延长线。

线相交 两条直邻补角，对顶角 垂线及其性质对顶角相等| 点到直线的距离线的位置关系 平面内两条直三条直 两条直线所截 线被第 同位角，内错角，同旁内角平行公理性质 平移判定(3)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等，你得到什么结论？2.垂线及其性质.(1)垂线的定义及推理格式定义可以作垂线的制定方法用，也可以作垂线性质用.(2)如图所示,0为直线AB上一点，ZAOC=1 ZBOC, 0C是NAOD的平分线.3(1)求Z COD的度数；(2)判断0D与AB的位置关系，并说明理由.鼓励学生用不同方法求解变式训练渗透设未知数列方程的方法(3)垂线性质1和性质2.①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的？②垂线段最短。

4．下列命题中是真命题的是①① ③.(选填序号) ①两点之间，线段最短； ③ ②相等的角是对顶角； ③同角(或等角)的余角相等； ④两个锐角的和是钝角； ⑤同旁内角相等，两直线平行．
5．(RJ 七上 P128 练习 T3 改编)如图，点 C 为线段 AB 上一点，点 D 是线
段 AC 的中点，点 E 是线段 CB 的中点．若 AC＝5 cm, BC＝4 cm，则 AD＝
补角为11202°0 ； (2)若EF°＝3，则点E到OC的距离为 3 ；
(3)线段EG，EF，EH，EO中长度最短的是EEFF ； (4)若点F是GH的中点，EG＝3，则EH＝3 3 .
3．如图，已知 a∥b，∠1＝∠2＝50°，∠4＝70°，则∠3＝7700°°，∠5
＝5500°°，∠6＝112200°，a 与 c 的位置关系是 aa∥∥cc. °
∥b, 则∠1的大小为 A．45°
（ C）
B．60°
C．75°
D．105°
7．★(2021·湘西州第17题4分)如图，将一条对边互相平行的纸带进行 两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 4040°°.
命题点 3：命题与定理(2022 年考查 2 次，2021 年考查 4 次，2020 年
(B )
＝80°，则∠2的度数为
（ C）
A．20°
B．80°
C．100°
D．120°
5．(2022·郴州第7题3分)如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所
截，则下列条件中不能判定直线c∥d的是
（ C）
A．∠3＝∠4
B．∠1＋∠5＝180°
C．∠1＝∠2
D．∠1＝∠4
6．(2021·岳阳第5题3分)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a

1．(2021·安徽)两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，
∠E＝45°，∠C＝30°，AB 与 DF 交于点 M.若 BC∥EF，则∠BMD 的大小
为
( C)
A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°
2．(2021·聊城)如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，
第四章 三角形 第一节 几何初步及相交
线与平行线
1．(1)计算：18°30′＝1818.5.5°； (2)用度、分、秒表示：18.36°＝18°182°1′21′336″6 ； (3)48°36′的余角是 414°1°2244′′，″补角是 13131°1°224′′.
2．如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是∠AOD 内一点，已知 OE⊥AB， ∠BOD＝45°，则∠COE 的度数是 13 1355°°.
命题点：利用平行线的性质求角度(近 6 年考查 4 次) 1．(2020·宁夏第 4 题 3 分)如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝ 30°，∠C＝45°，AB 与 DE 相交于点 G，当 EF∥BC 时，∠EGB 的度数是
( D) A．135° B．120° C．115° D．105°
2．(2018·宁夏第 7 题 3 分)将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝
DE＝4.54.5 cm，图中线段共有 1 100 条．
cm
cm
5．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： 如图，已知 AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC 的度数是 2 29°9°.
【考情分析】宁夏近六年主要以选择题、填空题的形式考查平行线的性 质，多与其他知识结合考查，难度较小，分值一般 3 分．

初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。

【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。

【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。

【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。

【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。

【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。

【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。

【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。

【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。

【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。

【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。

【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。

【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。

三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。

【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。

【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

1．(1)如图①，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉
一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学原理
是 两点确定一条直线 ；
(2)如图②，从甲地到乙地有四条道路，路程最短的一条是 c ，用到的数
学原理是 两点之间线段最短
．
2025版
数学
广西专版
2．如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOD＝85°24′.
7．(2024•梧州第3题3分)下列命题中，是假命题的是( A )
A．－2的绝对值是－2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线a∥b，b∥c，那么直线a∥c
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8．(2024•贵港第8题3分)下列命题为真命题的是( C )
A. a2＝a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
＝2，则
BE
EC
的值为


.
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数学
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数学
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【考情分析】广西近6年主要以选填题的形式考查角的计算，角平分线的
定义，余角、补角的性质，平行线的性质和判定，命题的相关概念及判
断，难度小，分值一般3分．
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命题点1：直线、线段、角的有关概念及性质(近6年考查5次)
1．(2024•贺州第2题3分)如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同
位角的是( B )
A．∠1与∠2
B．∠1与∠3
C．∠2与∠3
D．∠3与∠4
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2．(2024•广西第6题3分)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( C )

中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 过程与方法：通过复习，使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神，提高学生对数学美的鉴赏能力。

二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章：三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章：四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章：圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章：几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。

2. 利用多媒体教学手段，直观展示几何图形的性质和变换过程，提高学生的空间想象能力。

3. 注重个体差异，针对不同学生进行分层教学，使每位学生都能在复习过程中得到提高。

四、教学评价1. 定期进行课堂检测，了解学生掌握几何知识的情况。

2. 组织中考模拟试题训练，检验学生的应用能力和解题水平。

3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神，进行全面评价。

五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。

2. 教学进度：按照章节顺序进行复习，每个章节安排一周时间。

3. 复习方法：先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式，进行典型例题分析，进行课堂练习和总结。

4. 课外作业：每章节安排2-3道课后习题，巩固所学知识。

5. 课后辅导：针对学生疑难问题进行解答，提供个性化的学习指导。

知识点一：邻补角定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样的关系的两个角互为邻补角。

注意：（1）邻补角形成的前提是两直线相交；（2）互为邻补角要同时满足三个条件：1、有公共顶点；2、其中一边是公共边；3、另一边互为反向延长线；（3）邻补角包含了两个角的位置关系，又包括两个角的数量关系。

“邻”指位置相邻的，“补”指两个角的和为180°。

例1． 若两个角互为邻补角且度数之比为3：2，求这两个角的度数。

知识点二：对顶角（1） 定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

例1：如图所示：直线AB 、CD 相交于点O ，OE 、OF 是过点O 的射线，其中构成对顶角的是（ ） A.∠AOF 和∠DOE B.∠EOF 和∠BOE C.∠BOC 和∠AOD D.∠COF 和∠BOD（2） 对顶角的性质：对顶角相等。

例2：如图，直线EF 交直线AB 、CD 于G 、H 两点，∠1=∠2，∠3=120°，求∠4的度数。

练：如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE=24°，∠BOC=3∠AOC ， 求∠DOF 的度数。

知识点三：垂线定义：两条直线相交成90°角，则这两条直线互相垂直。

其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。

如果a 是b 的垂线，那么b 也是a 的垂线，写成：a ⊥b 或b ⊥a 。

例：如图所示，已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且CD ⊥AB 。

∠AOE:∠AOD=2：5，求∠BOF 、∠DOF 的度数。

知识点四：垂线的画法1、 三角板画法：一落：让直角三角形的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合；二移：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。

八年级数学复习必背几何定理定义公式班级姓名第一部分相交线、平行线1、直线公理：经过两点有且只有一条直线两点确定一直线;2 、线段公理：两点之间线段最短;3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等;4、对顶角相等;5、垂线的性质：①经过一点．．有且只有一条直线和已知直线垂直;②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;简写为：垂线段最短;6、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线;7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种,相交和平行;在空间几何中两条直线的位置关系有三种,相交、平行和异面;8、平行公理：经过直线外一点．．．．．,有且只有一条直线与这条直线平行;7、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行;9、平行线的判定：①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;10、平行线的性质：①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补;第二部分三角形1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫作三角形;2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线;3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交,顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线;4、三角形的高：经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高;5、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边;6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°7、推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;8、真命题：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;9、多边形的内角和公式：n-2180°10、任意多边的外角和等于360°;11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线;从n 边形n ≥3的一个顶点可以引n-3条对角线,n 边形n ≥3一共有)3(21 n n 条对角线;12、能够完全重合的两个图形叫作全等形;13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形;全等三角形的对应边、对应角相等 ;14、全等三角形的判定：①边角边SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;②角边角ASA ：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ;③角角边AAS ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等; ④边边边SSS ：有三边对应相等的两个三角形全等;⑤斜边、直角边HL ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 第三部分 轴对称图形 1、轴对称：如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于直线成轴对称;2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形是轴对称图形;3、轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形;②如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;③两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;④真命题：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;③线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合;6、角的轴对称性：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;②在角的内部到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上;③角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合;7、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形;8、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等即等边对等角②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;9、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边10、等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形;11、等边三角形的性质：等边三角形的各角都相等,并且每个角都等于60° ;12、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;13、直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余;②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半③勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方;④在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半;⑤在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于3014、直角三角形的判定：①两个锐角互余的三角形是直角三角形;②真命题：如果三角形的一边上的中线等于这边长的一半,那么这个三角形是直角三角形;③勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形;第四部分中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于这点成中心对称;2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合,那么这个图形是中心对称图形;3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的;②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称;5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形;6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等;②平行四边形的对边相等;③平行四边形的对角线互相平分;7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②对角线互相平分的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形;⑤真命题：一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;注意：假命题．．．：一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形;×8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形;9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等;10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形;12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;13、菱形面积等于对角线乘积的一半;推而广之：真命题对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半;14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;15、正方形的定义：有一个角是直角,并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形;16、正方形性质：正方形的四个角都是直角,四条边都相等,正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;17、正方形的判定：既是矩形,又是菱形的四边形是正方形;18、梯形的定义：有一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形;19、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形;20、等腰梯形性质：①等腰梯形在同一底上的两个角相等;②等腰梯形的两条对角线相等;21、等腰梯形判定：①在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;②真命题对角线相等的梯形是等腰梯形;22、三角形的中位线的定义：连接三角形的两边中点的线段叫作三角形的中位线;23、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半;24、梯形的中位线：连接梯形的两腰中点的线段叫作梯形的中位线;25、真命题：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底之和的一半;26、真命题：梯形的两条对角线的中点的连线平行于两底,并且等于两底之差的一半;27、梯形的面积等于中位线与高的乘积;28、真命题：①连接任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形;真命题：②连接对角线相等．．．．．的四边形的各边中点所得四边形是矩形;真命题：③连接对角线互相垂直．．．．．．．的四边形的各边中点所得的四边形是菱形;。

图16－3
考点聚焦 归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD； ②∠APC＝360°－(∠PAB ＋∠PCD)； ③∠APC＝∠PAB －∠PCD； ④∠APC＝∠PCD－∠PAB. 如证明① ∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.
5
平面内有n条直线，最多可以把平面分成 2
n ＋n＋2 ______________部分 2
归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线 考点4
互为 余角
互为余角、互为补角
定义 性质 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余 相等 同角(或等角)的余角________
定义
互为 补角 性质 拓展
如果两个角的和等于180°，则这两个角互补 相等 同角(或等角)的补角________
线______ 平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 平行 直线也互相________
考点聚焦
归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
同位角相等，两直线平行
平行线的 判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE， 所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE， ∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD. 同理可证明其他的结论．
考点聚焦 归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
方法点析 平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有 关的问题的常用方法．先由“形”得到“数”，即应用特

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠42．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )A．24° B．59°C．60° D．69°3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30°C．45° D．50°4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°5．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115°C．120° D．125°6．若∠α＝35°，则∠α的补角为__________度．7．将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为__________．8．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__________.9. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG ＝90°，∠E＝35°，求∠EF B的度数．10．如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝( )A．40° B．50°C．60° D．70°11．如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )A．2 cm B．2 3 cm C．4 cm D．4 3 cm12．如图中有四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是( )A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F＝____________.14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是______.15．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__________.16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连结AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．17．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图1，∠COF和∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；(2)若将∠C OE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6．145 7.75° 8.75°9．解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°.∵GE 平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG 是△EFH 的外角， ∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 【拔高训练】 10．B 11.C 12.C 13．9.5° 14.3 15.95°16．(1)证明：∵点E ，F 分别为DB ，BC 的中点， ∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF＝12CD.又∵DB＝DC ，∴EF＝12DB.在Rt△ABD 中，∵点E 为DB 的中点， ∴AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝12DB ，∴A E ＝EF.(2)解：如图，∵AE＝EF ，AF ＝AE ，∴AE＝EF ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF＝60°. ∵EF 是△BCD 的中位线， ∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β， ∴β＋∠2＝60°.又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β. ∵AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝DE ，∴∠1＝∠ADB＝α， ∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°. 17．解：(1)∠BOE＝2∠COF.理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠AOC ，∠COF＝∠AOF－∠AOC＝12(90°＋∠AOC)－∠AOC＝12(90°－∠AOC)，∴∠BOE ＝2∠COF.(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°－∠EOF，∠BOE＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＝2∠COF. (3)∠BOE＋2∠COF＝360°.证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°＋∠EOF，∠BOE＝90°＋∠BOC＝90°＋90°－2∠EOF＝180°－2∠EOF.∴∠BOE＋2∠COF＝360°. 【培优训练】18．解：(1)∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB.又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°. ∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)11或47(3)∠AOM－∠NOC＝20°.理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠AOM＝90°－∠AON，∠NOC＝70°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(70°－∠AON)＝20°， ∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为∠AOM－∠NOC＝20°.。

图形的性质——相交线与平行线2一．选择题（共8小题）1如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30° B．35° C．36° D．40°3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30° B．60° C．120°D．150°5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A．56° B．48° C．46° D．40°7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16° B．33° C．49° D．66°二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_________ 度．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2=_________ ．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是_________ ．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=_________ ．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF=_________ ．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2=_________ ．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．图形的性质——相交线与平行线2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30°B．35°C．36°D．40°考点：平行线的性质．分析：过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．解答：解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，∴∠1+∠2=30°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=60°，所以∠2=60°．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选：D．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠3，再由邻补角性质得到∠3与∠2互补，即∠1与∠2互补，即可确定出∠1的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=120°，∠3+∠2=180°，∴∠3=60°．故选B点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据AB∥CD可得∠3=∠1=65，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．故选：D．点评：本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A．56°B．48°C．46°D．40°考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义可得∠GFE=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=42°，∵FG⊥FE，∴∠GFE=90°，∴∠2=180°﹣90°﹣42°=48°．故选：B．点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．解答：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是（）A．16°B．33°C．49°D．66°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB∥CD，∠C=33°可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE 的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BED的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=33°，∴∠ABC=∠C=33°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=66°．故选D．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等．二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=42 度．考点：平行线的性质；垂线．专题：计算题．分析：根据垂线的性质和平行线的性质进行解答．解答：解：如图，∵AB⊥BC，∠1=48°，∴∠3=90°﹣48°=42°．又∵直线a∥b，∴∠2=∠3=42°．故答案为：42．点评：本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”的性质．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2=55°．考点：平行线的性质．专题：常规题型．分析：根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．解答：解：如图，∵∠1=35°，∴∠3=180°﹣35°﹣90°=55°，∵a∥b，∴∠2=∠3=55°．故答案为：55°．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是63°．考点：平行线的性质．分析：先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．解答：解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=40°．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF=70°．考点：平行线的性质．分析：由“两直线平行，内错角相等”、结合图形解题．解答：解：如图，∵AB∥CD∥EF，∴∠B=∠1，∠F=∠2．又∠B=40°，∠F=30°，∴∠BCF=∠1+∠2=70°．故答案是：70°．点评：本题考查了平行线的性质．平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2=36°．考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，即可求出答案．解答：解：过B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，故答案为：36°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行DG∥AB，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．解答：证明：∵AD∥EF，（已知），∴∠2=∠3，（两直线平行，同位角相等），∵∠1+∠FEA=180°，∠2+∠FEA=180°，∴∠1=∠2（同角的补角相等），∴∠1=∠3（等量代换），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠CDG=∠B．（两直线平行，同位角相等）．点评：本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图是解题的关键．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：若证∠BDC+∠DGF=180°，则可证GF、CD两直线平行，利用图形结合已知条件能证明．解答：解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，（2分）∴∠2=∠DCF，（4分）∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，（6分）∴CD∥FG，（8分）∴∠BDC+∠DGF=180°．（10分）点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义．专题：证明题．分析：根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．解答：证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．点评：此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：易证AB∥DE，根据同旁内角互补和等量代换，即可解答．解答：证明：∵∠CDE=∠C，∴AC∥DE，∴∠A+∠ADE=180°，∵AD∥BE，∴∠E+∠ADE=180°，∴∠A=∠E．点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．解答：解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．点评：本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOE与∠AOB的关系，∠FOB与∠COB的关系，根据角的和差，可得答案．解答：解：OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，∠BOE=∠AOB，∠BOF=∠BOC，∵∠EOF=（∠AOB+∠BOC）=68°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°．点评：本题考查了垂线，利用了角平分线的性质．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：首先根据垂直定义以及角平分线的性质得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE 的度数．解答：解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=16°，∴∠COB=90°+16°=106°，∵OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD=53°，∴∠DOE=53°﹣16°=37°．点评：此题主要考查了角平分线的性质以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：作CM∥AB，D N∥EF，根据平行线的性质得∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，则∠2=∠BCD﹣∠1=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=25°，即∠2=∠3，根据平行线的判定得到CM∥DN，然后利用平行线的传递性得到AB∥EF．解答：解：作CM∥AB，DN∥EF，如图，∴∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，∴∠2=∠BCD﹣∠1=45°﹣25°=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=30°﹣10°=25°，∴∠2=∠3，∴CM∥DN，∴AB∥EF．点评：本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行．也考查了平行线的性质，熟记定义是解题的关键．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：延长ED交BC于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CFD=∠CDE﹣∠C，再根据邻补角的定义表示出∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．解答：解：如图，延长ED交BC于F，由三角形的外角性质得，∠CFD=∠CDE﹣∠C，所以，∠BFD=180°﹣∠CFD=180°﹣（∠CDE﹣∠C），∵∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，∴∠ABC=180°﹣（CDE﹣∠C），∴∠ABC=∠BFD，∴AB∥DE．点评：本题考查了平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，邻补角的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．。