(仅供参考)《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章-晶体振动和晶体的热学性质
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
《固体物理学》房晓勇习题参考解答
考虑平衡条件 (
dU mA nB ) r0 = 0 ，得 m = n ，那么（5）式可化为 dV r0 r0
(
d 2U 1 N ) = 2⋅ 2 V0 dV 9V0 2
⎡ m2 A n2 B ⎤ 1 N ⎢− m + n ⎥ = 2 ⋅ r0 ⎦ 9V0 2 ⎣ r0
⎡ mA nB ⎤ ⎢−m m + n n ⎥ r0 r0 ⎦ ⎣
)
=
( 4 / 3)
2
3
(
+
8
(1/ 2 ) ( 4 / 3)
2
+ (1/ 2 ) + (1/ 2 )
2
2
)
6
+
( 4 / 3)
3
3
(
6 1 +0 +0
2 2 2
)
6
+
( 4 / 3)
2
3
(
12 12 + 12 + 02
)
6
+ = =
( 4 / 3)
(
24
(3 / 2)
2
+ (1/ 2 ) + (1/ 2 )
=
70.1ε
σ3
u (r ) = − A B + ， rm rn
2.2 设原子之间总的相互作用能可表示为
式中，第一项为引力能，第二项为排斥能，A、B 均为正常数。证明：要使这两原子系统处于平衡态，必 须 n>m。 证明：参考陈金富 9.1
2
第二章 晶体的结合和弹性 平衡条件
⎛ mA nB ⎞ dU |r = r0 = ⎜ m +1 − n +1 ⎟ = 0 ⎜ r0 dr r0 ⎟ ⎝ ⎠
固体物理-第3章-晶体振动与晶体热学性质-3.1
第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
格波的意义
格波方程
un Aei(tnaq)
i(t 2 x )
对比连续介质波 Ae
A ei (t qx )
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动,不同 原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体 中传播，称为格波。
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
设方程解
un Aei(t naq)
naq — 第n个原子振动位相因子
un1 Aeitn1aq
un1 Aeitn1aq
得到 m2 (eiaq eiaq 2)
2 4 sin2 ( aq )
m
2
~ q —— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
两种原子振动的振 幅A和B一般不同
第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
第2n+1个M原子 M &&2n1 (22n1 2n2 2n ) 第2n个m原子 m&&2n (22n 2n1 2n1)
要求 eiNaq 1 Naq 2h
q 2 h —— h为整数
Na
波矢的取值范围 q
a
a
N h N
2
2
h — N个整数值 q 取N个不同分立值
第三章 晶格振动与晶体热学性质 §3.1 一维晶格的振动
N h N
《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
[理学]《固体物理学》房晓勇思考题参考解答
![[理学]《固体物理学》房晓勇思考题参考解答](https://img.taocdn.com/s1/m/6009ea013169a4517723a384.png)
⎧ a1 cos a1 , n = h1d ⎪ ⎪ ⎨ a2 cos a 2 , n = h2 d ⎪ ⎪ a3 cos a 3 , n = h3 d ⎩
( ( (
) ) )
(1 − 10a )
1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层 的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
1.11 面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？ 解答：参考王矜奉 1.2.11 面间距最大的晶面上的格点 最密， 格点最密的线一定分布在 格点最密的面上。 根据《固体物理学》习题 1.12，面心立方晶格中格点面密 度最大的面是面指数为（111） 的晶面， 所以面心立方晶格中原 子线密度最大的方向是晶面 （111）内如图所示，最小的晶 列周期为 2a / 2 . 体心立方晶格中，面密度最大的面是面指数为（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的 方向是晶面（110）内如图所示，最小的晶列周期为 3a / 2 . 1.12 二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示之。 解答：参考基泰尔 P6 有斜方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种。
4
第一章 晶体的结构习题
解答：王矜奉 1.1.8 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面 ( h 1 , h2 , h3 ) 与倒格式 K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 垂直，则倒格晶面
( l1l2l3 ) 与正格矢 Rl = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 正交，即晶列 [l1l2l3 ] 与倒格面 ( l1l2l3 ) 垂直。
固体物理(第三章 晶格振动与晶体的热学性质)
µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模， 问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振 动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一 个原子的振动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动 常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固体物理学：第三章 晶格振动和晶体的热学性质2
可以写为
第1式取复共轭得
因为位移为实数，所以
Q * (q) Q(q)
1 N
当
e
n 0
N 1
ina ( q q )
当q=q’时，每一项等于1，共有N项，显然成立。
q q
1 N
isna e n 0 iNa N 1
q q s, q h 2 Na
j 1
3N
引入简正坐标的目的是使系统的势能函数和动能函数都 具有简单的形式，即化为平方项之和，而无交叉项。
2 1 T Qi 2 j 1 2 2 1 V i Qi 2 j 1 3N 3N
拉格朗日函数为 定义正则动量为
L T V L Pi Q i Qi
3.2 简正振动
声子
上面讨论的方法对于进一步的理论分析并不适用，如固 体比热问题，晶格散射问题。本节采用分析力学的方法处 理晶格振动问题。
基本方法：写出晶格的动能和势能，利用正则方程建立 一组新的方程。
特点：可以直接过渡到量子理论。
如果晶体包含N个原子，平衡位置分别为Rn，偏离 平衡位置的位移为μ，把位移矢量用分量表示，N个 原子的位移矢量共有3N个分量，
1 ( 2 2 2Q 2 ) (Q ) (Q ) i i i i i 2 2 Qi i 1,2,,3N
Байду номын сангаас 本征值
i ( n 1 ) i
2
本征态为
ni (Qi ) exp(
2
2
) H ni ( )
其中
Qi
1 E i (ni )i 2 i 1 i 1
写出哈密顿量
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
注意：
（1）振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标 的振动，并不是真实粒子的振动。格波的振动频率—简正坐标振 动的圆频率。 （2）简正变换的物理实质可以作以下解释： N个独立粒子——3N个无相互作用的简谐振子。 固体中每一个粒子受到其它N-1个粒子的作用。当作用力近似为 简谐力时，可将固体看成近似由3N个谐振子组成。条件： （a）简谐力近似，若不是，则格波不独立——声子由湮没，产生 （b）简正坐标的振动——集体运动的描述。
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
mi i
Qi i2Qi 0
a
j
ij
Q j aij A sin( i t )
由此可见，全部原子都以一种频率运动，差别仅在于振幅和 相位的不同. 而且每个原子的真正位移是各种简正振动的叠加。 也可以这样理解：N个原子的热振动可看作是一个有３N个独 立简谐振动的叠加系统，系统总能量是３N个相互独立的谐振子的 能量和，即可以把N个粒子组成的相互作用能为V的固体看成是相 互独立的3N个谐振子的集合。
0301第三章晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
3N
假设存在线性变换 mi i aijQj
j1
系统的哈密顿量
H123iN1Q i2123iN1
Q 2 2
ii
拉格朗日函数
LTV1 23 i N 1Q i21 23 i N 1
Q 2 2
ii
正则动量
pi
—— 谐振子方程
本征态函数 ni(Qi) i exp(22)Hni()
Qi i /
Hni () — 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 10 / 11
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
取 V0 0
平衡位置
( V
i
)0
0
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 05 / 11
系统的势能函数
V1
3N
(
2V
2i, j1 ij
)0ij
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
原子的振动实际上没有任何不同。
(7)长波极限，当 q 0 时，sin qa 2 qa 2
1
波速
v
a
m
2
角频率 a q v q
m
与连续介质中弹性波的色散关系一致
两原子间的相位差
qa
0 ，波长
2
q
一个波长范围内包含了许多原子
因此，长波极限下，一维单原子晶格的格波可 以看做是弹性波，晶体可以看做是连续介质
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
将试探解代入原运动方程可以得到色散关系
2
q
M1M 2
M1
M2
M12
M
2 2
2M1M
2
cos
qa
1 2
第三晶体振动与晶体的热学性质
a
xn
(q
2 a
)
i
) Ae
(
(q) (q 2
q 2 )nait a
a
)
Aei
( qnat
)
ei
2n
Aei(qnat) x(q)
(q
2 )
a
max
| sin
a (q 2 ) |
2
a
max
| sin(
a 2
q
) |
(q)
（6）求状态密度
3.2.3一维双原子链的振动
2n-2
2n-1
2a
2n
2n+1
2n+2
2n+3
{m
d
2 x2 n1 dt2
(
x2
n2
x2
n
x2
n1
)
M
d 2x2n dt2
( x2n3
x2 n1 x2 n2
)
设M>m
{x2 n1 Aei[ q ( 2n1) at ] x2 n Bei[ q ( 2 n2) at ]
2 4 sin 2 qa
m
2
2 | sin qa |
m2
0
a
a
性质：(1) 长波 q 0 时,格波成为弹性波
sin
qa 2
qa 2
1
1
2
2
qa
2 qa
m 2 m
1
v相
v群
xn
(q
2 a
)
i
) Ae
(
(q) (q 2
q 2 )nait a
a
)
Aei
( qnat
)
ei
2n
Aei(qnat) x(q)
(q
2 )
a
max
| sin
a (q 2 ) |
2
a
max
| sin(
a 2
q
) |
(q)
（6）求状态密度
3.2.3一维双原子链的振动
2n-2
2n-1
2a
2n
2n+1
2n+2
2n+3
{m
d
2 x2 n1 dt2
(
x2
n2
x2
n
x2
n1
)
M
d 2x2n dt2
( x2n3
x2 n1 x2 n2
)
设M>m
{x2 n1 Aei[ q ( 2n1) at ] x2 n Bei[ q ( 2 n2) at ]
2 4 sin 2 qa
m
2
2 | sin qa |
m2
0
a
a
性质：(1) 长波 q 0 时,格波成为弹性波
sin
qa 2
qa 2
1
1
2
2
qa
2 qa
m 2 m
1
v相
v群
第三章-晶格振动和晶体热学性质
第三章 晶格振动与晶体热学性质1． 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为β的一维简单晶格，频率为ω的格波)cos(qna t A u n -=ω，求（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。
[解答]（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。
其中第n 个原子的动能为,)(212tu m n ∂∂ 而该原子与第n+1个原子之间的势能为21)(21--n n u u β 若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为,)(21)(21212--+∂∂=∑∑n n n n n u u t um E β将)cos(pna t A u n -=ω 代入上式得,2sin ])12(21[sin 421)(sin22222221qaqa n t A qna t A m E ⋅+-+-=∑∑ωβωϖϖ 设T 为原子振动周期，利用21)(sin 102=-⎰dt t T T ϕω 可得()dtqa n t T A dt qna t T A qaT nT n 2221022210222sin ]12([sin 14)(sin 121⋅+-+-=E ⎰∑⎰∑ωβωω =241ωm A 2N +2sin 22qa N A β. 式中N 为原子总数。
（2） 每个原子的时间平均总能量为2sin A A 412222qam N E βω+=-再利用色散关系2sin 4)cos 1(222qam qa m ββϖ=-=便得到每个原子的时间平均能量2221A m N E ϖ=-2． 一维复式格子，原子质量都为m ，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为1β和2β，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系. [解答]图3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ;一个分子内两原子力常数1β;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为211,,,++-n n n n u u u u .第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n 与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n 和第n+1个原子受的力分别为)()(1112-+---=n n n n n u u u u f ββ， )()(121211n n n n n u u u u f ---=++++ββ.其运动方程分别为)()(111222-+---=n n n n nu u u u dtu d m ββ)()(12121212n n n n n u u u u dt u d m ---=++++ββ设格波的解分别为[][]t qna i t a q i n AeAeu n ϖϖ--==212)([][]t qna i t qb a q i n BeAeB u n ϖϖ--++==212)('1.代入运动方程，得)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββϖ.)()(212A B B AeB m iqa---=-ββϖ整理得)()(,0)()(22122221=-++-=--+-B m A e B e A m iqaiqa ϖββββββϖββ由于A 和B 不可能同时为零。
固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 cos qa 2 M12 q
长 振波 动极方限向下相，同， B代A 表 了1 原表胞明质原心胞的中振两动个原子
长声学波代表了原胞质心的运动
当波长比晶格常数大很多时，qa = 1
2
q
a2q2
2M1 M2
色散关系与连续介质中的弹性波类似， 这也是声学波的名称来由
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
讨论: q 2 l
Na
(1)为了保持位移和频率的单值性，波矢仍
然被限制在 p q ；利用波恩-卡
门边界条件，可a 以得到a晶格振动的波矢数
目等于晶体的原胞数 (2)在复式格子中，一个波矢对应两个频率，
所以其格波模式是2N，2N也是原子的自由 度数。因此晶格振动的模式数目等于原子 的自由度数之和。
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
(8)短波极限，q 波长 2 2a
a
q
说明相邻两原子的位相相反
固体物理课后思考题答案
第一章晶体的结构1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.[解答]设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为, 晶胞的体积为, 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为; 面心立方晶胞的边长为, 晶胞的体积为, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为, 单位体积晶体中的原子数为. 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为=0.272.2.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？[解答]晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.3.基矢为, , 的晶体为何种结构? 若+, 又为何种结构? 为什么?[解答]有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积.由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量,,.对应体心立方结构. 根据14题可以验证, 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, , 的晶体为体心立方结构.若+,则晶体的原胞的体积,该晶体仍为体心立方结构.4.若与平行, 是否是的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证明之.[解答]若与平行, 一定是的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知,, ,=h+k+l=(k+l)(l+h)(h+k)=p=p(l1 +l2 +l3), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数.对于面心立方结构, 由(1.3)式可知,, , ,=h+k+l=(-h+k+l)+(h-k+l)+(h+k-l)=p’= p’(l1 +l2+l3),其中p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数.5. 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？[解答]晶面族（123）截、和分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于的长度，OB的长度等于的长度的1/2，OC的长度等于的长度的1/3，所以只有A点是格点. 若ABC面的指数为(234)的晶面族, 则A、B和C都不是格点.6.验证晶面（），（）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其带轴方向的晶列指数是什么?[解答]由习题12可知,若（），（）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为0.可以验证=0,说明(），（）和（012）属于同一晶带.晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l1l2l3]的取值为l1==1, l2==2, l3==1.7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？[解答]带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的轴或原胞坐标系的轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h1h20）, 即第三个数字一定为0.8.与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?[解答]正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式h1 +h2+h3 垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢l1 + l2 + l3 正交. 即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直.9.在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?[解答]在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.10.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?[解答]六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.11.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大?[解答]结晶学的晶胞,其基矢为,只考虑由格矢h+k+l构成的格点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为, 但实际周期为/2.12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?[解答]周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为. 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？[解答]晶体中原子间距的数量级为米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于米. 但可见光的波长为7.6 4.0米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?[解答]对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式可知, 面间距大的晶面, 对应一个小的光的掠射角. 面间距小的晶面,对应一个大的光的掠射角. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化?[解答]温度升高时, 由于热膨胀, 面间距逐渐变大. 由布拉格反射公式可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距逐渐变大, 衍射角逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角随之变大.16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射,分别对应晶胞坐标系中的几级衍射?[解答]对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(), p’=1. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可知,; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=2n. 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射.对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得为(001), p’=2. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=n, 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍射.17.由KCl的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.[解答]Cl 与K是原子序数相邻的两个元素, 当Cl原子俘获K原子最外层的一个电子结合成典型的离子晶体后, 与的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳层数都相同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对X光衍射来说, 可把与看成同一种原子. KCl与NaCl结构相同, 因此, 对X光衍射来说, KCl的衍射条件与简立方元素晶体等效.由KCl的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效. 一个KCl晶胞包含4个离子和4个离子，它们的坐标：（000）（）（）（）：（）（）（）（）由（1.45）式可求得衍射强度I hkl与衍射面(hkl)的关系I hkl={1+cos由于等于, 所以由上式可得出衍射面指数全为偶数时, 衍射强度才极大. 衍射面指数的平方和: 4, 8, 12, 16, 20, 24…. 以上诸式中的n由决定. 如果从X光衍射的角度把KCl看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为, 布拉格反射公式化为显然, 衍射面指数平方和: 1, 2, 3, 4, 5, 6…. 这正是简立方元素晶体的衍射规律.18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?[解答]取几何结构因子的(1.44)表达式,其中u j,v j,w j是任一个晶胞内,第j个原子的位置矢量在轴上投影的系数.金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的大小不相同, 但第j个原子的位置矢量在轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子都一样, 则几何结构因子化为.在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子不会相同.19. 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线是否等间距?[解答]旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 衍射线构成了一个个圆锥面. 如果胶片上的感光线如图所示是等间距, 则应有关系式tg.其中R是圆筒半径, d是假设等间距的感光线间距, 是各个圆锥面与垂直于转轴的平面的夹角. 由该关系式可得sin,即与整数m不成正比. 但可以证明.即与整数m成正比(参见本章习题23). 也就是说, 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线不是等间距的.20. 如图1.33所示, 哪一个衍射环感光最重? 为什么?[解答]最小衍射环感光最重. 由布拉格反射公式可知, 对应掠射角最小的晶面族具有最大的面间距. 面间距最大的晶面上的原子密度最大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用最强. 最小衍射环对应最小的掠射角,它的感光最重.第二章晶体的结合1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?[解答]晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?[解答]自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.4.原子间的排斥作用取决于什么原因?[解答]相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?[解答]在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为, 当相邻原子间的距>时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离<时, 排斥力起主导作用.离6.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?[解答]设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的“方向性”.7.共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?[解答]共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.[解答]当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量.9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?[解答]使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.10.为什么许多金属为密积结构?[解答]金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.11.何为杂化轨道?[解答]为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应、、、量子态, 在构成共价键时, 它们组成了4个新的量子态，4个电子分别占据、、、新轨道，在四面体顶角方向(参见图1.18)形成4个共价键.12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?[解答]如上图所示, 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小.附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?[解答]固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为, 当相邻原子间的距离>时, 吸引力起主导作用;<时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, <, 原子间当相邻原子间的距离, 原子间的吸引力抗击着这一形变.的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, >因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力, 形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?[解答]对于弹性形变, 相邻原子间的距离在附近变化. 令, 则有因为是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作S, 所以原子间的作用力再令,.可见, 当施加一定力, 形变S大的固体c小, 形变S小的固体c大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数c是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?[解答]如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应力方向依赖于所取截面的外法线矢量的方向.16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?[解答以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示.压缩时体积元两边受的应力如下图所示.当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反.17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数?[解答]立方晶体轴是等价的, 设长棒方向为x(, 或, 或)轴方向, 做拉伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力应变不为0, 其它应力应变分量都为0. 由(2.55)可得. 设长棒的横截面积为A, 长度为L, 拉伸力为F, 伸长量为, 则有: . 于是, .18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力, 与有何关系?[解答]上题中长棒受的力,长棒的伸长量即是弹簧的伸长量x. 因此,可见, 弹簧的弹性系数与弹性劲度常数的量纲是不同的.19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系?[解答]固体受挤压时, 固体中的正应力与理想流体中的压强是等价的,但不同于理想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而与所考虑截面平行. 也就是说, 理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力. 这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力.20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?[解答]理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.第三章晶格振动与晶体热学性质1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同?[解答]以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5) 由于=，则由(4)(5)两式可得, . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?[解答](1)方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2)与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N.4.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?[解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.5. 晶体中声子数目是否守恒?[解答]频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为.作变量代换，.其中是德拜温度. 高温时,,即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.低温时, ,, 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.6.温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?[解答]的格波的(平均) 声子数为频率为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.7.对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?[解答]设温度T H>T L, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.的格波的声子数目与温度有何关系?8.高温时, 频率为[解答]的格波的(平均) 声子数为温度很高时, , 频率为.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.9. 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?[解答]从图3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.10.喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？[解答]晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢与散射波矢要大, 散射角也要大.。
固体物理3-2 晶体振动与热学性质
2
hω0 1 ≈ 3Nk B 2 k BT hω0 hω0 1+ 1 + 2k BT 2k BT
= 3Nk B
在低温下：T << ΘE 即
2
k BT
hω0
hω 0 CV = 3Nk B 2 k BT hω 0 exp 1 k BT 2 hω 0 hω 0 ≈ 3Nk B exp k BT k BT
1 β= k BT
1 E j = hω j + 2
∑ n jhω j exp ( n j β hω j ) n
j
1 1 = hω j ln 2 β 1 exp( β h ω j ) hω 1 j = hω + 2 j exp( β hω ) 1
j
1 = hω l n ∑ exp n β h ω j j 2 j β nj
dx
∫
∞
0
ξ e
m aξ
Γ ( m + 1) m! dξ = = m +1 m +1 a a
T ∴ CV = 9 Nk B ΘD
4
3
4! ∑ n n5 n =1
3
∞
1 π4 ∑ n 4 = 90 n =1
∞
12π Nk B T CV = ∝T3 5 ΘD
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下 晶格热容CV ∝ T3的实验结果。 由此可见，用Debye模型来解释晶格热容的实验结果 是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似 就越好。
当T→0时，CV →0，与实验结果定性符合。 但实验结果表明， T→0 ， CV ∝T3; 根据Einstein模型，T→0，
hω 0 exp k BT
hω0 1 ≈ 3Nk B 2 k BT hω0 hω0 1+ 1 + 2k BT 2k BT
= 3Nk B
在低温下：T << ΘE 即
2
k BT
hω0
hω 0 CV = 3Nk B 2 k BT hω 0 exp 1 k BT 2 hω 0 hω 0 ≈ 3Nk B exp k BT k BT
1 β= k BT
1 E j = hω j + 2
∑ n jhω j exp ( n j β hω j ) n
j
1 1 = hω j ln 2 β 1 exp( β h ω j ) hω 1 j = hω + 2 j exp( β hω ) 1
j
1 = hω l n ∑ exp n β h ω j j 2 j β nj
dx
∫
∞
0
ξ e
m aξ
Γ ( m + 1) m! dξ = = m +1 m +1 a a
T ∴ CV = 9 Nk B ΘD
4
3
4! ∑ n n5 n =1
3
∞
1 π4 ∑ n 4 = 90 n =1
∞
12π Nk B T CV = ∝T3 5 ΘD
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下 晶格热容CV ∝ T3的实验结果。 由此可见，用Debye模型来解释晶格热容的实验结果 是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似 就越好。
当T→0时，CV →0，与实验结果定性符合。 但实验结果表明， T→0 ， CV ∝T3; 根据Einstein模型，T→0，
hω 0 exp k BT
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
⎧ d 2 xn m = β 2 ( xn +1 − xn ) − β1 ( xn − xn −1 ) ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ 2 ⎪m d xn +1 = β ( x − x ) − β ( x − x ) 1 2 n n+2 n +1 n +1 ⎪ dt 2 ⎩
设格波的解分别为
n i [( ) aq −ωt ] ⎧ ⎪ xn = Ae 2 ⎨ n ⎪ x = Bei[( 2 ) aq + qb −ωt ] ⎩ n +1
A 2β cos qa / m = =0 B 2β / m − 2β / M
由此可知，声学支格波中所有轻原子 m 静止。 而在光学支中，重原子 M 与轻原子 m 的振幅之比为
B 2β cos qa / M = =0 A 2β / M − 2β / m
由此可知，光学支格波中所有重原子 M 静止。 此时原子振动的图像如下图 3.6 所示：
v弹 =
ω
q
=
c
ρ
，c = βa ， ρ =
1
⎡ ⎢ v弹 = ⎢ β a ⎛ m+M ⎢ ⎜ ⎢ ⎝ 2a ⎣
⎤2 1 ⎥ ⎛ 2β ⎞ 2 ⎥ =⎜ ⎟ a ⎞⎥ ⎝m+M ⎠ ⎟ ⎠⎥ ⎦
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声学波与弹性波完全一样。 长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。 3.5 设有一维原子链 （如图） ， 第 2n 个原子与第 2n + 1 个原子之间的力常数为 β ； 而第 2n 个原子与第 2n − 1 个原子的力常数为 β ' （ β ' < β ） 。设两种原子的质量相等，最近邻间距均为 a，试求晶格振动的振动谱以 及q = 0 和q = ±
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解答： 3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？ 解答： 3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？ 解答：王矜奉 3.1.17，中南大学 3.1.17）
参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热学波,
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.
3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答：（王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4）
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加.
（2）与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成
的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不
符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力
验证(《固体物理学》§3.1 与§3.6). 玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与
3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答：（王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7）
设温度 TH>TL, 由于( 子数目.
)小于(
), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？
频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
2
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为
作变量代换
. ，
. 其中 是德拜温度. 高温时,
, 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答：（王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6）
频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
3
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
)大于(
), 所以在温度一定情况
理论相符的事实说明, 玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.4 试说明在布里渊区的边界上 ( q = π / a)，一维单原子晶格的振动解 xn 不代表行波而代表驻波。
解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3）
倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
1
第三章 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.
晶体振动和晶体的热学性质
由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难.
(1) 其中 m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为
, (2)
. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
,
(4)
由于
.
(5)
=
，
则由(4)(5)两式可得, B A = 1. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由《固体物理学》第 79 页公式，可得两原子振幅之比
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N.
3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而 hv 代表一个声子。因此，对于一
给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5）
, 上式简化为
.
以上两式中
是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
是合理的.
, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献
从声子能量来说, 光学波声子的能量 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.
参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热学波,
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.
3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答：（王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4）
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加.
（2）与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成
的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不
符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力
验证(《固体物理学》§3.1 与§3.6). 玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与
3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答：（王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7）
设温度 TH>TL, 由于( 子数目.
)小于(
), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？
频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为
作变量代换
. ，
. 其中 是德拜温度. 高温时,
, 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答：（王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6）
频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质
因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
)大于(
), 所以在温度一定情况
理论相符的事实说明, 玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.4 试说明在布里渊区的边界上 ( q = π / a)，一维单原子晶格的振动解 xn 不代表行波而代表驻波。
解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3）
倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
1
第三章 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.
晶体振动和晶体的热学性质
由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难.
(1) 其中 m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为
, (2)
. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
,
(4)
由于
.
(5)
=
，
则由(4)(5)两式可得, B A = 1. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由《固体物理学》第 79 页公式，可得两原子振幅之比
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N.
3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而 hv 代表一个声子。因此，对于一
给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5）
, 上式简化为
.
以上两式中
是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
是合理的.
, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献
从声子能量来说, 光学波声子的能量 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.