部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案
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专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略
类型一、最值问题
例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD
中，120ABCÐ=°
，E是AB边的中点，P是AC
边上一动点，PBPE+
的最小值是
3，则PE的最小值为（
）
A．2B
．
3C．1D．0.5
【答案】D
【详解】解：连接DE交
AC
于P，连接BDBP，，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得BD、
关于AC
对称，则PDPB=，
∴1
60
2ABDABCÐ=Ð=°
，PEPBPEPDDE+=+=，
即DE就是PBPE+的最小值，
∵60ABDADABÐ=°=，
，
∴ABD△
是等边三角形，
∵E是AB边的中点
∴AEBE=，
∴DEAB^
（等腰三角形三线合一的性质）
在RtADE△
中，22
3DEADAE=-=，
∴2
4AD=，
∴
2ADAB==．
∴1
1
2AEAB==
当PEAC^
时PE最小
∵1
30
2CABDABÐ=Ð=°，
∴1
0.5
2PEAE==
故选：D
例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCDABBC==
，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（
）
A．
222+B．2C．
21+D．
25
【答案】A
【详解】如图，取AD的中点
H，连接
CH，
OH，
Q矩形ABCD
，2AB=，4BC=
，
2CDAB\==
，4ADBC==，
Q点
H是AD的中点，
2AHDH\==，
22
CHDHCD\=+44=+22=，
90AODÐ=°Q
，点
H是AD的中点，
1
2
2OHAD\==
，
在OCH△中，COOHCH<+，
当点
H在OC
上时，COOHCH=+，
CO\
的最大值为
222OHCH+=+，
故选：A．
例3．（截补模型）如图，在RtABC△中，
90C=o
∠，2ACBC==
，点D、E分别是边BC
、AC
上的动
点．且BDCE=
，连接AD、
BE，则ADBE+的最小值为______．
【答案】
25
【详解】解：过B作BFAC∥
，在
BF上截取BFAC=
，连接DF，
∵90ACBÐ=°
，2ACBC==
，
∴90FBDACBÐ=Ð=°
，2BFBC==
，
∵BDCE=
，
∴
SASBDFCEB≌△△
，
∴DFBE=，
当A、D、F在同一直线上时，ADBE+的最小值为
AF的长，
延长AC
到G，使
CGAC=，连接GF，
∴BFGC∥
，BFGC=
，
∴四边形BCGF
为平行四边形，
∵90FBCÐ=°，2BFBC==
，
∴四边形BCGF
为正方形，且边长为2，
∴4AG=
，2FG=
，
∴22
4225AF=+=，即ADBE+的最小值为
25，
故答案为：
25．
例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点
A，
B，C
，4AB=，3AC=
，以BC
为对角线作正方形BDCE
，连
接AD，则AD的最大值是______．
【答案】72
2
【详解】解：如图，将ABD△
绕点D顺时针旋转90°
得到MCD△，连接AM，
则4,,90ABCMADMDADM===Ð=°
，
∴ADM△是等腰直角三角形，2222
2ADMDAMAD+==，
∴2
2ADAM=(舍负)，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AMACCM£+， 3AC=
，4CM=
，
∴7AM£
，（A、C、M三点共线时取等号）
∴AM的最大值为
7，
∴AD的最大值为272
7=
22´．
故答案为：72
2．
【变式训练1】如图，矩形ABCD
中，84ABAD==，，E为AB的中点，F为
EC上一动点，
P为DF中点，
连接
PB，则
PB的最小值是___________．
【答案】
42
【详解】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在
1P
处，
11CPDP
=
，
当点
F与点E重合时，点P在
2P
处，
22EPDP=
，
∴
12PPEC∥
且
121
2PPCE=
．
当点F在
EC上除点C、E的位置处时，有DPFP=．
由中位线定理可知：
1PPEC∥
且
11
2PPCF=
．
∴点P的运动轨迹是线段
12PP
，
∴当
12BPPP^
时，
PB取得最小值．
∵矩形ABCD
中，84ABAD==，，E为AB的中点，
∴
CBE△、ADEV、
1BCPV
为等腰直角三角形，
14CP=
．
∴
145ADECDECPBÐ=Ð=Ð=°
，
90DECÐ=°．
∴
2190DPPÐ=°
．
∴
1245DPPÐ=°
．
∴
2190PPBÐ=°
，即
112BPPP^
，
∴
PB的最小值为
1BP
的长．
在
1RtBCP△
中，
14CPBC==
，∴
142BP=
，
∴PB的最小值是
42．
故答案是：
42．
【变式训练2】如图，已知线段12AB=，点C在线段AB上，且ACDV是边长为4的等边三角形，以CD为
边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接
MB，则线段
MB的最小值为
_______________．
【答案】6
【详解】∵ACDV为等边三角形，
∴ACAD=
，60DACÐ=°
，
∵四边形DCFE
是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，
在ADM△与ACM△
中，ADAC
DMCM
AMAM=
ì
ï
=
í
ï
=
î， ∴()
SSSADMACM≌VV
，∴
DAMCAMÐ=Ð，
∵60DACÐ=°
，∴30CAMÐ=°
，即直线AM的位置是固定的，
∴当BMAM^时，
MB有最小值，此时11
126
22BMAB==´=
．
【变式训练3】如图，在正方形ABCD
中，边长2AB=，点Q是边CD的中点，点P是线段AC
上的动点，
则DPPQ+
的最小值为 _____．
【答案】
5
【详解】解：连接BQ
，交AC
于点P，连接
PB、PD．
∵四边形ABCD
是正方形，∴点B与点D关于AC
对称，
∴
BPDP=，∴=D
P
P
QBPPQBQ
++³
．
∵2AB=，点Q是边CD的中点，∴=1CQ
，=2BC，
在RtCBQV
中，2222
=215BQBCCQ
+=+=，
∴DPPQ+
的最小值为
5．
故答案为:
5．
【变式训练4】如图，在菱形ABCD
中，10AB=
，16AC=
，点M，N
在AC
上，且2MN=
，连接BM，
DN
，则BMDN+
的最小值为 ______
【答案】
237
【详解】解：连接BD，交AC
于点O
，过
B作BEAC∥
，且2BEMN==
，连接DE．
\
四边形MNEB
是平行四边形，
BMNE\=
，
BMDNNEDNDE+=+³
，
即BM
DN
+
的最小值为DE，
Q四边形ABCD
是菱形，16AC=
，
\11
8,
22AOACDOBOBD====
，
又10AB=
，
在RtAOBV
中，222
AOBOAB+=，
\
2222
1086BOABAO=-=-=，
\
12DB=，
在RtBDE△
中，12,2DBBE==
，
\
2222
122237DEDBBE=+=+=，
即BMDN+
的最小值为
237，
故答案为：
237．
【变式训练5】如图，在RtABC△
中，90BACÐ=°
，且3BA=
，4AC=
，点D是斜边BC
上的一个动点，
过点D分别作DMAB^
于点M，DNAC^
于点N，连接MN
，则线段MN
的最小值为_____．