二面角1

二面角的平面角

摘 要：求二面角的平面角的大小，关键是找出或作出二面角的平面角。

关键词：二面角；平面角；转化

求二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容，也是一个难点。解决有关二面角问题的关键是找出或作出二面角的平面角，通过找出或作出二面角的平面角，使空间问题转化为平面问题来解决。学生往往不是不会计算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三种：（1）定义法；（2）三垂线定理法；（3）垂面法。

下面看几例具体的例子：

一、根据二面角的平面角的定义直接找出或作出二面角的平面角

例1.二面角α-l-β为60°，A点和B点分别在α、β内，且到棱l的距离分别是2和4，若线段AB=10，试求：

（1）直线AB与棱所成的角；

（2）直线AB与平面α所成的角。

分析：求解此题，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并将其构造到某一个三角形中，进而应用平面几何的知识求解。

由题意，在面α内作AD⊥l，在面β内作BE⊥l，作DC■EB，联结BC、AC，易知CD⊥l，则∠ADC为二面角α-l-β的平面角，等于6°，如图1再进一步求解就比较容易了。

■

定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，得到二面角的一个平面角。

如图2，以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂线定理法

例2.过正方形ABCD的顶点A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD与底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如图3，过点B作BE⊥SC于E，联结ED。

■

∵SA⊥底面ABCD，

∴BA为SB在底面ABCD内的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA为平面SBC与平面ABCD所成的角， 即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（ 5π）

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，，，E在棱SD上，

(Ⅰ) 当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC；

(Ⅱ)

当二面角S-AC-E的大小为时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

解：在中,∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°,

∴CA⊥AD 又SA⊥平面ABCD,

∴以A为坐标原点，AC,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则 , ,

∵∴

(1) ∵SE=3ED∴

∵

∴ ∴SD⊥平面AEC

(2) ∵AC⊥平面SAD,SA⊥底面ABCD，

∴AC⊥AE,AC⊥SA ∴为二面角S-AC-E的平面角,即=,

此时E为SD的中点

设平面CDE的法向量为

计算可得

∴

即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF;

（Ⅱ）设PA＝k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.

解：（I）证明：由已知DF∥AB且∠DAB为直角．故ABFD是矩形．

从而CD⊥BF．又PB⊥底面ABCD，CD⊥AD，

故由三垂线定理知CD⊥PD．

在△PDC中， E、F分别为PC、CD的中点，故EF∥PD，

从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF．

（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，

则在△PAC中易知EG∥PA． 因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．

在底面ABCD中，过G作GH⊥BD．垂足为H，连接EH，

1 二面角专题

题1: 设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求

这个二面角的大小。

题2. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

题3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角ADFB的大小；

A D E

F M

B C

2 题4.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=22，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平

面MB1D1。

（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。

题5. 如图所示，ADB和CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，ADBCBDADa90,

（I）求异面直线AD、BC所成的角。

（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,PCD与BCD所在平面成45的

二面角?；

A

P

B

D

C

题6.四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．

（Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小的余弦值．

C D E A

B

二 面 角（一）

知识点：

1. 二面角定义：

2. 平面角定义：

举例：

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角：

（1）二面角D1-AB-D和A1-AB-D；

（2）二面角C1-BD-C和C1-BD-A.

例2：已知点P为边长为a的正△ABC所在平面外一点，若PA=PB=PC=a，求二面角P-AB-C的余弦值。

例3：过60的二面角l的棱上一点O，分别在,内O的同侧引两条射线OP，OQ，使OP，OQ与l都成45角，求POQ的余弦值。

练习：在三棱锥S-ABC中，△SBA，△ABC都是等边三角形，且BC=1，SA=23，求二面角S-BC-A的大小。

作业：

1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值。

2：如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将DAE和CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B重合后的点记为P，求二面角P－CD－E的大小。

3：如图，二面角l，,,ABACl于点C，BDl于D，且ACa，,CDc,ABnBDb，求二面角l的余弦值。

4：如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且3,1ADBDCD，另一个侧面是正三角形。

1）求二面角C-AD-B的大小；

2）求二面角B-AC-D的余弦值。

5．如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，POABC平面，垂足O落在线段AD上．

(Ⅰ)证明：APBC；

(Ⅱ)已知8BC，4PO，3AO，2OD，

求二面角BAPC的大小．

例3：（2013·大纲卷高考理）如图，四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．