三角函数的周期性及其应用

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函数的周期性、对称性及其应用

作者：朱洪家

来源：《新课程·中学》2014年第02期

一、函数周期性的定义及其性质

定义：一般的，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫这个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫最小正周期，这里所说的是周期指函数的最小正周期。

性质：1.若f（x+a）=f（x+b）（a≠b），则f（x）是周期函数，是b-a它的周期。

证明：∵f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

用x-a代替x得：f（x）=f（x-a+b）=f（x+b-a）

∴f（x）的周期为b-a。

2.若f（x+a）=-f（x）（a≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=-f（x）

用x-a代替x得：f（x-a+a）=-f（x-a），即f（x）=-f（x-a）

∴f（x+a）=f（x-a），由性质1得f（x）的周期是2a。

3.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠0），则f（x）是周期函数，2a是它的周期。

证明：f（x+a）=■=■=f（x-a）

由性质1得f（x）的周期是2a。

4.若f（x+a）=■（a≠0且f（x）≠1），则f（x）是周期函数，4 a是它的周期。

证明：f（x+2a）=f（x+a+a）=■=■=■

由性质3得f（x）的周期是4a。

二、函数的对称性 龙源期刊网

一般的，对于函数法f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值：

同角三角函数的基本关系应用方法

温燕红

同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。

我们已经知道了三角函数的定义：

任意角的终边上取点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，我们定义。，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角xyxyryryrxrxtantansinsincoscos

因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：

（1） 平方关系：1cossin22，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.

（2）商数关系：tancossin，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。

注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“的选取。

考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。

例1：若的值。是第三象限角，求且tan,cos,54sin

解析：

343554cossintan,53541sin1cos,54sin22是第三象限角，

分析：此类题型属于较易题型，在角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。

题型二 已知tan的值，求关于cossin、的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。

例题2：已知2tan，则sin3cos5cos2sin4=

解析：由题意可得，0cos，把sin3cos5cos2sin4上下同时除以cos，得到116235224tan352tan4。

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索末菲量子化条件及其在周期性运动中的应用

作者：韩易龙

来源：《中国科技纵横》2018年第03期

摘 要：氢原子问题和黑体辐射能谱问题催生了上个世纪旧量子论的发展[1]，至索末菲提出量子化条件，所有的周期性运动均在旧量子论的体系下得到初步解释，但结果时好时坏。本论文试图总结索末菲量子化条件应用到氢原子问题，谐振子问题，势阱问题中的结果，并对结果做出探讨和解释。这为理解和使用索末菲量子化条件以及旧量子论的有效性和局限性提供基础。

关键词：索末菲量子化条件；周期性运动；氢原子；光谱；势阱

中图分类号：G807 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）03-0228-01

索末菲量子化条件（以下简称索条件）∮pdq=（n+D）h[2]从提出到完善至今已有百年左右，其在氢原子问题中的应用广为人知，在谐振子问题，方势阱问题等问题中的应用尚未引起足够的关注，对索条件的正确性与适用性及其在一般性周期性运动中的应用的探讨不够深入。本文将针对几个具体的物理问题利用索条件求解其能级，并对索条件在一般性周期性运动中的应用进行抽象和总结。

1 氢原子问题

按经典电磁学理论，氢原子中的电子最终因变加速运动向外辐射电磁波而坠落到原子核，这是氢原子的稳定性问题。氢原子光谱问题是指，实验上测到氢原子的吸收谱有很多独立的吸收峰。这两个问题最初无法得到很好的解释。本文将利用索条件对氢原子电子绕核周期性运动进行量子化，从而解决氢原子问题。

将索条件应用到氢原子问题中（取常数D为0）：

结合氢原子中静电吸引提供向心力，可得到ke2=mernvn2。

因此轨道半径为rn=，进而可以得到氢原子的能级：

这些结果对应着波尔三条假设的定态假设，也即电子位于特定轨道上，由于存在能量最低的轨道（n=1），所以氢原子是稳定的。根据波尔的跃迁假设，电子从n跃迁到m（n 龙源期刊网

第３２卷第２期　２０１５年０６月　阜阳师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｆｕｙａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．３２．Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２０１５　

关于映射周期性的若干性质及其应用的注记　姚磊　，姚云飞　，曹卫丽　（１．中央财经大学金融学院，北京１０００８１；２．阜阳师范学院经济学院；３．数学与统计学院，安徽阜阳２３６０３７）　摘要：若，　ＰＩＴ（Ｒ）ｎ　Ｃ（Ｒ），则Ｆ（　）＝　￡）ｄ￡，　∈　与周期函数有何关系，具有哪些性质？本文将就这一问题　进行研究，获得了一个关于周期函数一个重要的若干性质的定理，应用其便捷的处理了一大批与周期函数有关的问题，进　而给出了关于映射周期性的若干性质及其应用的注记，这对经济周期性研究有一定的参考意义。　关键词：映射；函数；周期；应用；注记　中图分类号：Ｏ１５１．２；０１７２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４－４３２９（２０１５）０２－０１７－０５　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｍａｐ　ｐｅｒｉｏｄ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｎｏｔｅｓ　ＹＡＯ　Ｌｅｉ　，－，ＹＡＯ　Ｙｕｎ—ｆｅｉ　，ＣＡＯ　Ｗｅｉ—ｌｉ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＦｉｎａｎｃｅ，Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＦｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００８１　Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃｓ；３．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｆｕｙａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｆｕｙａｎｇ　Ａｎｈｕｔ２３６０３７，Ｃｈｉｎａ））　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｕｆ∈ＰｓＴ（Ｒ）ｎ　ｃ（Ｒ），ｗｈａｔｉｓｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎＦ（　）＝Ｊ　Ａ￡）ｄｔ，　∈Ｒａｎｄｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｗｈｉｃｈ　Ｊ“　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｄｏｅｓ　ｉｔ　ｈａｖｅ？Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｗｉｌｌ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｕｓｉｎｇ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｇｉｖｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｎｏｔｅｓ　ａｂｏｕｔ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍａｐ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｐ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｅｒｉｏｄ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｎｏｔｅ　ｌ引言及定义　／－　若ｆ∈Ｐ，　（Ｒ）Ｎ　Ｃ（Ｒ），贝０　Ｆ（　）＝Ｉ厂（　）ｄｔ，　ｄ￣ｌ　∈Ｒ与周期函数有何关系？本文将探究这个问题　及其应用。　定义设　，】，为数域上的线性空问，Ｄ　ｃ　（Ｄ　≠　），Ｂ　Ｃ　ｒ，ｆ：Ｄ—Ｂ，若存在固定的Ｔ∈　，且　≠０，Ｖ　∈Ｄ，恒有　＋Ｔ）＝　），则称厂为周期　映射，称　为映射，的周期，把定义在Ｄ上的以　为周期的映射全体记为Ｐ，　（Ｄ）。　本定义具有高度的抽象性与统一性，很多文献　中关于周期函数的定义均为此定义的特例，现以注　记的形式表述如下：　注　（１）当Ｘ＝Ｙ＝Ｒ时，Ｄ　Ｒ，若　≠０　，对Ｖ　∈Ｄ，都有Ａ　＋Ｔ）＝厂（　），则称　）为　周期函数，　称为这个函数的周期。此为文献　［１］Ｐ　中关于周期函数的定义。　（２）当Ｘ＝Ｙ＝Ｒ时，Ｄ　Ｒ，若ｊ　Ｔ＞０，Ｖ　∈Ｄ　Ｒ，成立，（　＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），则称　）为周　期函数，　称为这个函数的周期。此为文献［２］Ｐ　中关于周期函数的定义。　（３）当Ｘ＝Ｙ＝Ｒ时，Ｄ　Ｒ，若　Ｔ＞０，　收稿日期：２０１５—０１—２３　基金项目：国家特色专业（ＴＳ１１４９６）；全国统计科学研究计划项目（２０１１ＬＹ０９４）；阜阳师范学院重点学科（２０１０ＸＫ－０３）　资助。　作者简介：姚　磊（１９８２一），女，博士生，讲师　研究方向：经济数学、金融学。