人教版九年级上册数学同步练习《一元二次方程》(习题+答案)

解一元二次方程同步练习一．选择题1．方程x2-6x+5=0的两个根之和为（）A．-6B．6C．-5D．52．下列方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3x=0B．（x-1）2=2C．x2+3=0D．x2-4x+3=03．已知方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=7，那么方程x2+6x+q=0配方后是（）A．（x-p）2=5B．（x+p）2=5C．（x-p）2=9D．（x+p）2=7 4．关于x的一元二次方程ax2-x+0.25=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞-1C．a＜1D．a＜1且a≠05．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac＞0；②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④6．使方程2x2-5mx+2m2=5的一根为整数的整数m的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（）A．-1或3B．-3或1C．3D．18．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（）A．mB．2-2mC．2m-2D．-2m-29．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2-24x+140=0，则三角形周长为（）A．24B．28C．24或28D．以上都不对10．从-2，-1，0，1，2，4，这六个数中，随机抽一个数、记为a，若数a使关于x的一元二次方程x2-2（a-4）x+a2=0有实数解，且关于y的分式方有整数解，则符合条件的a的值的和是（）A．-2B．0C．1D．211．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2-3x+2=0是2倍根方程B．若关于x的方程（x-2）（mx+n）=0是2倍根方程，则m+n=0 C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x-2）（mx+n）=0是2倍根方程D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m-n）x-mn=0 是2倍根方程12．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题13．方程（x-3）（x+2）=0的根是．14．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8．则x2+y2的值为．15．已知a，b是方程x2+3x-1=0的两根，则a2b+ab2的值是．16．已知关于x的一元二次方程（0.25m-1）x2-x+1=0有实数根，则m的取值范围是．17．对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=例如4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，则x1*x2=．三．解答题18．解下列一元二次方程：（1）x2+4x-8=0；（2）（x-3）2=5（x-3）；（3）2x2-4x=1（配方法）．19．设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8，求的值．20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式（x1x2）（x12+x22）的值．21．已知关于x的一元二次方程kx2+（1-2k）x+k-2=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．22．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．方程x2-x-6=0可通过因式分解化为（x-3）（x+2）=0，由基本事实得x-3=0或x+2=0，即方程的解为x=3或x=-2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2-x=0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2-1）-6=0，求m2+n2的值．参考答案1-5：BCDDC 6-10:DDDAD 11-12:BC13、x=3或x=-214、115、316、m≤5且m≠417、018、19、820、（1）m=1；（2）21、：（1）k＞-0.25且k≠0；（2）2020．22、（2）3。

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》练习题及答案-人教版一、选择题：1．用直接开平方法解方程()2234x -=时，可以将其转化为232x -=或232x -=-，其依据的数学知识是（ ）A ．完全平方公式B ．平方根的意义C ．等式的性质D ．一元二次方程的求根公式2．下列说法不正确的是（ ） A ．方程 2x x = 有一根为0B ．方程 210x -= 的两根互为相反数C ．方程 ()2110x --= 的两根互为相反数 D ．方程 220x x -+= 无实数根3．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ） A ．()43903.89153109.85x += B ．243903.89(1)53109.85x += C ．243903.8953109.85x =D ．()243903.89153109.85x+=4．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣14=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k 为任意实数 B ．k ≠1 C ．k ≥0 D ．k ≥0且k ≠1 5．设a 、b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，则a 2+a+3b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6．若关于x 的不等式x ﹣ 2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax+1=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定7．已知一个直角三角形的两边长是方程29200x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）A ．3BC ．3D ．58．若m ，n 是方程2210x x +-=的两根，如图，表示2222mn mnm n m n---的值所对应的点落在（ ）A ．第①段B ．第②段C ．第③段D ．第④段二、填空题： 9．方程（x-3）（x+6）=10的根是 . 10．已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是－14，它的一个根是－7，则这个方程为 ．11．若a 2-2a-5=0,b 2-2b-5=0（a ≠ b),则ab+a+b=12．已知关于x 的方程x 2－(a ＋b)x ＋ab －1＝0，x 1，x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③2212x x + ＜a 2＋b 2.则正确结论的序号是 (填序号)．13．已知关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++-=．两实数根分别为12x x 、，且满足221258x x +=则实数m 的值为 ． 三、解答题：14．若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋2k ＝0有实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值．15．已知关于x 的方程220x nx m ++=．（1）求证：当3n m =+时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m ，n 的值，并求此时方程的根．16．关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．17．某校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少？18．随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩7200盒，若每天增长的百分率相同．（1）求每天增长的百分率.（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？参考答案：1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．x 1=4，x 2=-7． 10．2212140x x +-=11．-3 12．①② 13．214．解：∵方程有两个实数根，∴42－4×1×(2k)≥0，解得k ≤2.所以k 的取值范围为k ≤2，满足条件的k 的非负整数值有三个：0，1，2 15．（1）证明：∵3n m =+ ∴()22224123829(1)8n m m m m m m ∆=-⨯⨯=+-=-+=-＋ ∵()210m -≥∴()2180m -+>，即Δ0>∴方程总有两个实数根（2）解：由题意可知 2241280n m n m ∆=-⨯⨯=-= 即：28n m =-． 以下答案不唯一，如：当4n =，2m =-时，方程为2210x x -+=． 解得121x x ==．16．（1）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0 ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0 ∴a 2=b 2+c 2∴△ABC 是直角三角形（2）解：∵当△ABC 是等边三角形，∴a=b=c ，∵（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0 ∴2ax 2+2ax=0 ∴x 1=0，x 2=﹣1．17．解：设道路的宽为xm ，依题意有 （32﹣x ）（20﹣x ）=540 整理，得x 2﹣52x+100=0． ∴（x ﹣50）（x ﹣2）=0∴x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是2m ． 18．（1）解：设每天增长的百分率为x.25000(1+)7200x =120.2=2.2x x =，（舍去）所以每天增长的百分率为20% （2）解：设增加y 条生产线,(1+y)(15000500)65000y -= 124=25y y =，（舍去）所以增加4条生产线。

九年级数学第21章《一元二次方程》单元同步练习一、选择题：1、若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B． 10 C．﹣16 D．162、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．33、下列方程有两个相等的实数根的是（）A. x2+x+1=0B.4 x2+2x+1=0C. x2+12x+36=0D. x2+x-2=04、若0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则m值为（）A.1B.0C.2D.1或25、某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．8 D．66、我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．10% C．12% D．11%7、已知一元二次方程x2-8x+12=0 的两个解恰好是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（）A.14B.10C.11D.14或108、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15二、填空题：9、若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为．10、若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是．11、某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为 .12、若3是关于x的方程x2+kx-6=0的一个根，则k=________．13、若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b= .14、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是．三、解答题：15、解一元二次方程：（1）x2﹣5x﹣6=0（因式分解法）（2）2x2﹣4x﹣1=0(公式法）(3)2(x-3)2=x2-9 (4) 4y2=8y+116、在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？17、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？18、为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？19、某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？20、在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．参考答案一、选择题：1、A2、B3、C4、C5、D6、B7、A8、A二、填空题：9、110、 511、 80（1+x）2=10012、-113、1714、13三、解答题：15、（1）x 1=6，x 2=﹣1； （2）x=2±√62． (3)x 1=3, x 2=9 (4)y=2±√5216、（1） 当天该水果的销售量为33千克．（2） 如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．17、所围矩形猪舍的长为10m 、宽为8m ．18、（1） 年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2） 该设备的销售单价应是50万元/台．19、(1)每天完成200平方米（2）人行道宽为2米20、（1） 原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．（2） a=10．。

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0C．x2+1x=3 D．x﹣5y=6【答案】B2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0，常数项为0，则m值等于A．1 B．﹣1C．1或﹣1 D．0【答案】B【解析】由题意，得m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，故选B．3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是A．1 B．0C．−1 D．2【答案】B【解析】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．4．若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则A．p＝1 B．p＞0C．p≠0 D．p为任意实数【答案】C【解析】∵方程px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，∴二次项系数p≠0．故选C．5．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．6、2、5 B．2、﹣6、5C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5【答案】C【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5.故选C.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．6．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是A．1 B．﹣2C．0 D．﹣1【答案】D【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b x+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是A．2016 B．2018C．2020 D．2022【答案】B【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，则2a﹣b=﹣2，∴2020+2a ﹣b=2020+（2a﹣b）=2020+（﹣2）=2018．故选B．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．【答案】1【解析】将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．9．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【答案】-1【解析】∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m−1≠0，解得：m=−1.故答案为：−1.10．若是方程的一个根，则的值为__________．【答案】2018【解析】由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1,∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018,故答案为2018.【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．11．已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是__________．【答案】m≠−2【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程需注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程. 12．若关于x的方程的常数项为0，则m的值等于__________．±【答案】32【解析】由题意知，方程（m-3）x2 +5x+m2 -18=0的常数项为m2−18，所以m2−18=0，±，解得：m=32±.故答案为：32【点睛】本题考查了方程的一般式，本题常数项为0时方程可为一元一次方程也可为一元二次方程，不论哪一种情况，都符合题意，这是解题的关键所在，也是易错点.13．一元二次方程2x2+4x﹣1=0的一次项系数及常数项之和为__________．【答案】3【解析】由题意，得：4+（﹣1）=3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．已知一个一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是__________．（只需写出一个方程即可）【答案】x 2﹣3x =0【解析】一元二次方程的一个根为3，二次项系数是1，这个一元二次方程可以为x 2-3x =0．故答案为x 2−3x =0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．灵活应用整体代入的方法计算．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x 的方程（m 2 -1）x 2 -（m +1）x +m =0．（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 【答案】（1）m =1；（2）m ≠±1，二次项系数为m 2-1、一次项系数为-（m +1），常数项为m ．16．已知x 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的实数根，求代数式 2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值． 【答案】13【解析】原式=()()()333322x x x x x x +--÷-- ()()()()321323333x x x x x x x x --=⨯=-+-+. ∵x 2+3x ﹣1=0．∴x 2+3x =1．∴x （x +3）=1.∴原式=()11333x x ==+. 17．已知x =1是关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +m 2=0的根，求代数式()()()2233m m m m --+-的值．【答案】2． 18．已知实数a 是方程的根． （1）计算的值；（2）计算的值．【答案】（1）2015;（2）5.【解析】（1）∵实数a 是方程的根，∴． ∴，即 ． ∴； （2）．∵，∴．．。

第21章《一元二次方程》同步训练2021-2022学年人教版九年级数学上册一、单选题1．关于x 一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1 C ．1- D ．0 2．关于x 的方程2(2)310m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．14m <且2m ≠- B ．14m <-且2m ≠- C ．14m < D ．14m <- 3．()()2222280m n m n ----=，则22m n -的值是（ ）A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或2 4．由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为2400元/米2，通过连续两次降价a 后，售价变为2000元/米2，下列方程中正确的是（ ）A ．()2240012000a -=B ．22000(1)2400a -=C ．22400(1)2000a +=D ．22400(1)2000a -= 5．解方程2||20x x --=的解是（ ）A ．121,2x x =-=B ．121,2x x ==-C ．121,1x x ==-D ．122,2x x ==- 6．下列命题①方程220kx x --=是一元二次方程；②1x =与方程21x =是同解方程；③方程2x x =与方程1x =是同解方程；④由(1)(1)9x x +-=可得13x +=或13x -=，其中正确的命题有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．设方程2320x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为（ ） A ．3 B ．32- C ．32 D ．3-8．若m ，n 满足2530m m +-=，2530n n +-=，且m n ≠，则11m n+的值为（ ） A ．35 B ．53- C ．35D ．53 9．如图，将边长2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC 沿着AD 方向平移，得到A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积为21cm ，则它移动的距离AA '等于（ ）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm 10．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c -+=，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c ==B ．a b =C ．b c =D ．a c = 11．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ） A ．0b = B ．0c C ．240b ac -= D ．0b c += 12．某小区规划在一个长为40m ，宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为2144m （如图），则甬路的宽为（ ）A ．3mB ．4mC ．2mD ．5m二、填空题 13．方程x （x ﹣3）＝0的解为_____．14．当x 满足()()133114423x x x x +<-⎧⎪⎨-<-⎪⎩时，方程x 2﹣2x ﹣5＝0的根是__． 15．已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两个实数根，则2112x x x x +的值等于________． 16．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2－17x ＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________．17．如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 18．某市前年PM 2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，如果今年PM 2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM 2.5的年均浓度将是____________微克/立方米．三、解答题19．解下列方程：（1）()()2253x x x x -=+； （2）22(2)(23)x x -=+；（3）(2)(3)12x x --=； （4）226(3)x x +=+；（5）2242y y y +=+．20．已知a ，b ，c 为ABC 的三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状．21．已知关于x 的方程()--+=22m m x 2mx 10有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为整数且3m <，a 是方程的一个根，求代数式22212334a a a +--+的值．22．已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，Rt ABC 中，90,8,6C AC BC ∠=︒==，P ，Q 分别在AC 、BC 边上，同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，几秒后PCQ △的面积为Rt ABC 的面积的一半？24．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2∶1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x 米．（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．25．一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？（2）小球滚动5m约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v（初速度与末速度的算术平均．）数）与路程s，时间t的关系为s vt参考答案1．C2．A3．C4．D5．D6．A7．A8．D9．B10．D11．A12．C13．x 1＝0，x 2＝3．14．115．1016．1317．418．40.519．解：（1）()()2253x x x x -=+ ()()()()5131055330280x x x x x x x x x --+=---=-=解得：120,4x x ==；（2）22(2)(23)x x -=+223x x -=+或223x x -=--，解得：1215,3x x =-=-；（3）(2)(3)12x x --=()()225612560160x x x x x x -+=--=+-=解得：121,6x x =-=；（4）226(3)x x +=+()()()()()()2223323303230x x x x x x +=++-+=+--= 解得：123,1x x =-=-；（5）2242y y y +=+()()()()22202210y y y y y +-+=+-= 解得：1212,2y y =-=． 20 解：ABC 是等边三角形，理由如下：()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=，整理，得：()2320x a b c x ab bc ac -+++++= ，∴()()2=243a b c ab bc ac ∆-++-⨯++⎡⎤⎣⎦ 222444444a b c ab ac bc =++---()()()222222a b a c b c =-+-+- ， ∵方程有两个相等的实数根，∴()()()222222=0a b a c b c -+-+-∴0,0,0a b a c b c -=-=-= ，∴a b c == ，∴ABC 是等边三角形．21解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣m ）x 2﹣2mx +1＝0有两个不相等的实数根， ∴222044()0m m m m m ⎧-≠⎨∆=-->⎩，解得，m ＞0，且m ≠1；∴m 的取值范围是：m ＞0，且m ≠1；（2）∵m 为整数，m ＜3，由（1）知，m ＞0，且m ≠1；∴m ＝2，∴关于x 的方程（m 2﹣m ）x 2﹣2mx +1＝0的就是：2x 2﹣4x +1＝0；∵a 是方程的一个根，∴2a 2﹣4a +1＝0，即2a 2＝4a ﹣1； ∴2221411233413344a a a a a a +-+--+=---+＝132a a --+=， 即22212334a a a +--+＝2． 22．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，∴240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥，解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-， ∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∴222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解， ∵0k ≥，∴不存在常数k ，使122132x x x x +=成立． 23．解：设经过x 秒后△PCQ 的面积是Rt △ACB 面积的一半，则AP =x ，BQ =x∴CP =8-x ，CQ =6-x ，∵∠C =90° ∴1=242ABC S AC BC ⋅=△，()()118622CPQ S PC CQ x x =⋅=--△， ∵△PCQ 的面积是Rt △ACB 面积的一半，∴()()11862422x x --=⨯ 解得x 1=12（舍去），x 2=2．答：经2秒△PCQ 的面积是Rt △ACB 面积的一半．24．解：（1）y =（2x +2x +x +x ）×30+45+2x 2×120=240x 2+180x +45；（2）由题意可列方程为240x 2+180x +45=195，整理得8x 2+6x -5=0，即（2x -1）（4x +5）=0，解得x 1=0.5，x 2=-1.25（舍去）∴x =12，∴2x =1，答：镜子的长和宽分别是1m 和12m ．25．解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，即5÷4＝54（m/s ）， 故小球的滚动速度平均每秒减少54小m/s ；． （2）设小球滚动到5m 用了x s ， 即55(5)452x x +-⋅=，解得14x =+，24 1.2x =-．答：小球滚动到5 m 约用了1.2 s ．。

第二十二章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若{ EMBED Equation.3 |x xm －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12=0的根是______． 二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )． (1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3) (4) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．在方程：3x 2－5x =0，7x 2－6xy ＋y 2=0，=0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )． A ．只有4 B ．只有－4 C ．±4 D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0． 13． 14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．17．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______．二、选择题18．下列方程：(x＋1)(x－2)=3，x2＋y＋4=0，(x－1)2－x(x＋1)=x，其中是一元二次方程的有( )．A．2个B．3个C．4个D．5个19．形如ax2＋bx＋c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A．a是任意实数B．与b，c的值有关C．与a的值有关D．与a的符号有关20．如果是关于x的方程2x2＋3ax－2a=0的根，那么关于y的方程y2－3=a的解是( )．A．B．±1 C．±2 D．21．关于x的一元二次方程(x－k)2＋k=0，当k＞0时的解为( )．A．B．C．D．无实数解三、解答题(用直接开平方法解下列方程)22．(3x－2)(3x＋2)=8．23．(5－2x)2=9(x＋3)2．24．25．(x－m)2=n．(n为正数)拓广、探究、思考26．若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．27．如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确28．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，k cm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．_________=(x－__________)2．2．＋_________=(x－_________)2．3．_________=(x－_________)2．4．＋_________=(x－_________)2．5．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x＋1)2－(x－4)(2x－1)=3x中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．二、选择题7．用配方法解方程应该先变形为( )．A．B．C．D．8．用配方法解方程x2＋2x=8的解为( )．A．x1=4，x2=－2 B．x1=－10，x2=8C．x1=10，x2=－8 D．x1=－4，x2=29．用公式法解一元二次方程，正确的应是( )．A．B．C．D．10．方程mx2－4x＋1=0(m＜0)的根是( )．A．B．C．D．三、解答题(用配方法解一元二次方程)11．x2－2x－1=0．12．y2－6y＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x2＋4x－3=0．14．五、解方程(自选方法解一元二次方程)15．x2＋4x＝－3．16．5x2＋4x=1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程化为标准形式是______________________，其中a=______，b=______，c=______．18．关于x的方程x2＋mx－8=0的一个根是2，则m=______，另一根是______．二、选择题19．若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是一个完全平方式，则a的值为( )．A．－2 B．－4 C．－6 D．2或620．4x2＋49y2配成完全平方式应加上( )．A．14xy B．－14xyC．±28xy D．021．关于x的一元二次方程的两根应为( )．A．B．，C．D．三、解答题(用配方法解一元二次方程)22．3x2－4x=2．23．x2＋2mx=n．(n＋m2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x－1=－2x2．25．26．2(x－1)2－(x＋1)(1－x)=(x＋2)2．拓广、探究、思考27．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)28．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式为 =b2－4ac，(1)当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac______0时，方程没有实数根．2．若关于x的方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m=______．3．若关于x的方程x2－2x－k＋1=0有两个实数根，则k______．4．若方程(x－m)2=m＋m2的根的判别式的值为0，则m=______．二、选择题5．方程x2－3x=4根的判别式的值是( )．A．－7 B．25 C．±5 D．56．一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．A．正数B．负数C．非负数D．零7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．A．7x2－x－1=0 B．9x2=4(3x－1)C．x2＋7x＋15=0 D．8．方程有( )．A．有两个不等实根B．有两个相等的有理根C．无实根D．有两个相等的无理根三、解答题9．k为何值时，方程kx2－6x＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a－1)x2＋2(a＋1)x＋a＋5=0有两个实根，求正整数a的值．11．求证：不论m取任何实数，方程都有两个不相等的实根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的判别式是( )．A．B．C．b2－4ac D．abc13．若关于x的方程(x＋1)2=1－k没有实根，则k的取值范围是( )．A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞114．若关于x的方程3kx2＋12x＋k＋1=0有两个相等的实根，则k的值为( )．A．－4 B．3 C．－4或3 D．或15．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．A．B．且m≠1C．且m≠1 D．16．如果关于x的二次方程a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数a，b，c 为边长的三角形是( )．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形二、解答题17．已知方程mx2＋mx＋5=m有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根)1．x(x－3)=0．______ 2．(2x－7)(x＋2)=0．______3．3x2=2x．______ 4．x2＋6x＋9=0．______5．______ 6．______7．(x－1)2－2(x－1)=0．______．8．(x－1)2－2(x－1)=－1．______二、选择题9．方程(x－a)(x＋b)=0的两根是( )．A．x1=a，x2=b B．x1=a，x2=－bC．x1=－a，x2=b D．x1=－a，x2=－b10．下列解方程的过程，正确的是( )．A．x2=x．两边同除以x，得x=1．B．x2＋4=0．直接开平方法，可得x=±2．C．(x－2)(x＋1)=3×2．∵x－2=3，x＋1=2，∴x1=5，x2=1．D．(2－3x)＋(3x－2)2=0．整理得3(3x－2)(x－1)=0，三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)11．3x(x－2)=2(x－2)．12．*13．x2－3x－28=0．14．x2－bx－2b2=0．*15．(2x－1)2－2(2x－1)=3．*16．2x2－x－15=0．四、解答题17．x取什么值时，代数式x2＋8x－12的值等于2x2＋x的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________．19．(x－2)2=(2x＋5)2．______________________．二、选择题20．方程x(x－2)=2(2－x)的根为( )．A．－2 B．2 C．±2 D．2，2 21．方程(x－1)2=1－x的根为( )．A．0 B．－1和0 C．1 D．1和0 22．方程的较小的根为( )．A．B．C．D．三、用因式分解法解下列关于x的方程23．24．4(x＋3)2－(x－2)2=0．25．26．abx2－(a2＋b2)x＋ab=0．(ab≠0)四、解答题27．已知关于x的一元二次方程mx2－(m2＋2)x＋2m=0．(1)求证：当m取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m的值．测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根)1．3(x－1)2－1=0．__________________2．(2x＋1)2－2(2x＋1)=3．__________________3．3x2－5x＋2=0．__________________4．x2－4x－6=0．__________________二、选择题5．方程x2－4x＋4=0的根是( )．A．x=2 B．x1=x2=2 C．x=4 D．x1=x2=46．的根是( )．A．x=3 B．x=±3 C．x=±9 D．7．的根是( )．A．B．C．x1=0，D．8．(x－1)2=x－1的根是( )．A．x=2 B．x=0或x=1C．x=1 D．x=1或x=2三、用适当方法解下列方程9．6x2－x－2=0．10．(x＋3)(x－3)=3．11．x2－2mx＋m2－n2=0．12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)13．5x2=x．(最佳方法：______)14．x2－2x=224．(最佳方法：______)15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______)16．6－2x2=0．(最佳方法：______)17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)19．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式的值是0，则x=______．21．关于x的方程x2＋2ax＋a2－b2=0的根是____________．二、选择题22．方程3x2=0和方程5x2=6x的根( )．A．都是x=0 B．有一个相同，x=0C．都不相同D．以上都不正确23．关于x的方程abx2－(a2＋b2)x＋ab=0(ab≠0)的根是( )．A．B．C．D．以上都不正确三、解下列方程24．(x＋1)2＋(x＋2)2=(x＋3)2．25．(y－5)(y＋3)＋(y－2)(y＋4)=26．26．27．kx2－(k＋1)x＋1=0．四、解答题28．已知：x2＋3xy－4y2=0(y≠0)，求的值．29．已知：关于x的方程2x2＋2(a－c)x＋(a－b)2＋(b－c)2=0有两相等实数根．求证：a＋c=2b．(a，b，c是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x2＋bx＋c=0的解为x1=1，x2=－3，则整式3x2＋bx＋c可分解因式为__________ ____________．31．在实数范围内把x2－2x－1分解因式为____________________．32．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)中的两根为请你计算x1＋x2=____________，x1·x2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x2＋mx＋n=0的两根之和为4，两根之积为－3，则m=______，n=______．(3)若方程x2－4x＋3k=0的一个根为2，则另一根为______，k为______．(4)已知x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①②③｜x1－x2｜；④⑤(x1－2)(x2－2)．测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。

一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习1带答案◆随堂检测1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.（1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245x x x x --=-+； （4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.）2、下列方程中不含一次项的是（ ）A ．x x 2532=-B ．2916x x =C ．0)7(=-x xD ．0)5)(5(=-+x x3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.4、1、下列各数是方程21(2)23x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、05、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x .（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x .（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．（1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. 解：（1）由题意得，21010m m ⎧-=⎨+≠⎩时，即1m =时， 方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=.（2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是21m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m .◆课下作业●拓展提高1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A 、22310x x+-= B 、25630x y --= C 、220ax x -+= D 、22(1)0a x bx c +++=2、2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则x 的值应为（ ） A 、m ＝2 B 、23m =C 、32m =D 、无法确定 3、根据下列表格对应值：判断关于x 的方程0,(0)ax bx c a ++=≠的一个解x 的范围是（ ）A 、x ＜3.24B 、3.24＜x ＜3.25C 、3.25＜x ＜3.26D 、3.25＜x ＜3.284、若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.5、下面哪些数是方程220x x --=的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、6、若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值是多少？ ●体验中考1、（2009年，武汉）已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．-3B ．3C ．0D ．0或3（点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.）2、（2009年，日照）若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2（提示：本题有两个待定字母m 和n ，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.）参考答案：◆随堂检测1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程．2、D 首先要对方程整理成一般形式，D 选项为2250x -=.故选D.3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式231170x x --=，同时注意系数符号问题.4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B 能使等式成立．故选B.5、解：（1）依题意得，2425x =，化为一元二次方程的一般形式得，24250x -=.（2）依题意得，(2)100x x -=，化为一元二次方程的一般形式得，221000x x --=.（3）依题意得，222(2)10x x +-=，化为一元二次方程的一般形式得，22480x x --=.◆课下作业●拓展提高1、D A 中最高次数是三不是二；B 中整理后是一次方程；C 中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程；D 选项二次项系数2(1)0a +≠恒成立.故根据定义判断D.2、C 由题意得，212m -=，解得32m =.故选D. 3、B 当3.24＜x ＜3.25时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正,说明在3.24＜x ＜3.25范围内一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=,即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选B. 4、0；b a c =+；0 将各根分别代入简即可.5、解：将3x =-代入方程，左式=2(3)(3)20----≠，即左式≠右式.故3x =-不是方程220x x --=的根.同理可得2,0,1,3x =-时,都不是方程220x x --=的根.当1,2x =-时,左式=右式.故1,2x =-都是方程220x x --=的根. 6、解:由题意得，21010m m ⎧-=⎨-≠⎩时，即1m =-时，012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0.●体验中考1、A 将2x =带入方程得4220m ++=，∴3m =-.故选A.2、D 将x n =带入方程得220n mn n ++=，∵0n ≠，∴20n m ++=，∴2m n +=-.故选D.。