中考数学专题特训第二十二讲：梯形(含详细参考答案)

2018年中考数学专题复习第二十二讲 梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= 12（上底+下底） X 高【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是 对称图形2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形⑶对角线 的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为形式 常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2018•内江）如图，四边形ABCD 是梯形，BD=AC 且BD ⊥AC ，若AB=2，CD=4，则S 梯形ABCD = ．对应训练一般梯形特殊梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形1.（2018•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17 B．18 C．19 D．20考点二：等腰梯形的性质例2 （2018•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25 B．50 C．25 D．4对应训练2．（2018•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= ．考点三：等腰梯形的判定例3 （2018•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．对应训练4．（2018•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．考点四：梯形的综合应用A．5个B．4个C．3个D．2个对应训练【备考真题过关】一、选择题1．（2018•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．282．（2018•漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．80°3.（2018•乐山）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对边相等B．四条边都相等的四边形是菱形C．矩形的两条对角线互相垂直D．等腰梯形的两条对角线相等4．（2018•广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC 于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（）A．26 B．25 C．21 D．20二、填空题5．（2018•南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD= cm．6．（2018•丹东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为．7．（2018•钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为．8．（2018•长沙）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为．9．（2018•巴中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是．三、解答题12．（2018•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．13．（2018•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．14．（2018•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．15．（2018•怀化）如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．17．（2018•杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC 的长．。

专题28 梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形2、梯形的判定(1)定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行。

(2)等腰梯形的底角相等(3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形(2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积(1)如图，DE AB CD S ABCD •+=)(21梯形(2)梯形中有关图形的面积：①BAC ABD S S ∆∆=；②BOC AOD S S ∆∆=；③BCD ADC S S ∆∆=6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

【例1】(2018•青浦区一模)在梯形ABCD 中，//AD BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A ．ABC DCB ∠=∠ B ．DBC ACB ∠=∠ C ．DAC DBC ∠=∠D ．ACD DAC ∠=∠【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．【解答】解：A 、ABC DCB ∠=∠Q ，BD BC ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B 、DAC DBC ∠=∠Q ，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，DAC ACB ∠=∠，OBC OCB ∴∠=∠，OAD ODA ∠=∠OB OC ∴=，OD OA =，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C 、ADB DAC ∠=∠Q ，//AD BC ，ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠，OA OD ∴=，OB OC =，AC BD ∴=，//AD BC Q ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；D 、根据ACD DAC ∠=∠，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确．故选：D ．【例2】(2019•浦东新区二模)已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．【分析】根据梯形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=(厘米) 故答案为：7．【例3】(2019春•浦东新区期末)已知，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AD =，6AB CD ==，60B ∠=︒，那么下底BC 的长为 ．【分析】首先过A 作//AE DC 交BC 与E ，可以证明四边形ADCE 是平行四边形，进而得到4CE AD ==，再证明ABE ∆是等边三角形，进而得到6BE AB ==，从而得到答案．【解答】解：如图，过A 作//AE DC 交BC 与E ，//AD BC Q ，∴四边形AECD 是平行四边形，5AD EC ∴==，AE CD =，6AB CD ==Q ，6AE AB ∴==，60B ∠=︒Q ，ABE ∴∆是等边三角形，6BE AB ∴==，6511BC ∴=+=．故答案为：11．1．(2018•金山区二模)如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于 ．【分析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．【解答】解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线2⨯-一底边长2684=⨯-=．故答案为：42．(2019秋•松江区期末)如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AF BC ⊥于F ，M 是CD 中点，AM 的延长线交BC 的延长线于E ，AE AB ⊥，60B ∠=︒，AF =，则梯形的面积是 ．【分析】(1)根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出BF 、AB ，根据直角三角形的性质求出BE ，证明DAM CEM ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AD CE =，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设BF x =，在Rt ABF ∆中，60B ∠=︒，30BAF ∴∠=︒，22AB BF x ∴==，由勾股定理得，222(2)x x -=，解得，2x =，4AB ∴=，在Rt ABE ∆中，60B ∠=︒，30AEB ∴∠=︒，28BE AB ∴==，//AD BC Q ，DAM CEM ∴∠=∠，在DAM ∆和CEM ∆中，DAM CEM AMD CME DM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM CEM AAS ∴∆≅∆AD CE ∴=，8AD BC CE BC BE ∴+=+==，∴梯形的面积1()2AD BC AF =⨯+⨯=，故答案为：3．(2019春•金山区期末)梯形ABCD 中，//AD BC ，6AB AD DC ===，BD DC ⊥，那么BD = ．【分析】先证明四边形ABED 为平行四边形，得6AD BE ==，可得12BC =，由勾股定理可得BD 的长．【解答】解：如图，取BC的中点E，连接DE，Q，⊥BD DC∴==，BE ED EC∴∠=∠，DBE BDE又//AD BC，∴∠=∠，ADB DBE∴∠=∠，ADB BDEAB ADQ，=∴∠=∠，ABD ADB∴∠=∠，BDE ABD//∴，DE AB又//AD BE，Q，即//AD BC∴四边形ABED为平行四边形，∴==，6BE AD∴=，BC12由勾股定理得：BD故答案为：．4．(2019春•徐汇区校级期中)如果一个直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的中位线是厘米．【分析】此题要分情况考虑：若7是上底，作梯形的另一高，结合勾股定理可以计算梯形的下底是7613+=，则这个梯形的中位线是10；若7是下底，结合勾股定理可以计算其上底是761-=，则这个梯形的中位线是4．【解答】解：如图，作DE BCAB=，10CD=分两种情况：⊥，已知8(1)当7=时AD cm6 CE==13 BC AD EC∴=+=∴梯形的中位线是：1()102AD BC cm+=(2)当7BC cm=时由(1)知：6CE=1 AD BC CE=-=∴梯形的中位线是：1()42AD BC cm+=故答案为：10或4．5．(2019春•浦东新区期末)如图，在梯形ABCD中，//AB CD，AD BC=，对角线AC BD⊥，且AC=则梯形ABCD的中位线的长为．【分析】首先求出ACE∆是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边的长求得斜边的长，从而利用中位线定义求得答案．【解答】解：过C作//CE BD交AB的延长线于E，//AB CDQ，//CE BD，∴四边形DBEC是平行四边形，CE BD∴=，BE CD=Q等腰梯形ABCD中，AC BD CE AC=∴=AC BD⊥Q，//CE BD，CE AC∴⊥ACE∴∆是等腰直角三角形，AC=Q，10AE AB BE AB CD ∴=+=+=，∴梯形的中位线152AE ==， 故答案为：5．6．(2018春•青浦区校级月考)等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为_____cm ．【分析】等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，于是得到结论．【解答】解：Q 上底+下底+两腰=周长，中位线长12=(上底+下底)， 282∴⨯+腰长30=，∴腰长7cm =， 故答案为：7．7．(2018春•闵行区期末)在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = ． 【分析】根据梯形中位线定理得到1()2EF AD BC =+，然后把4AD =，10BC =代入可求出EF 的长． 【解答】解：E Q ，F 分别是边AB ，CD 的中点，EF ∴为梯形ABCD 的中位线，11()(410)722EF AD BC ∴=+=+=． 故答案为7．8．(2019春•长宁区期末)已知：如图，AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 的中点，AM AC =，//AE BC ． 求证：四边形EBCA 是等腰梯形．【分析】先证明ADE MDC∆≅∆得出AE MC=，证出AE MB=，得出四边形AEBM是平行四边形，证出BE AC=，而//AE BC，BE与AC不平行，即可得出结论．【解答】证明：//AE BCQ，AED MCD∴∠=∠，DQ是线段AM的中点，AD MD∴=，在ADE∆和MDC∆中，AED MCDADE MDCAD MD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE MDC AAS∴∆≅∆，AE MC∴=，AMQ是ABC∆的中线，MB MC∴=，AE MB∴=，//AE MBQ，∴四边形AEBM是平行四边形，BE AM∴=，AM AC=Q，BE AC∴=，//AE BCQ，BE与AC不平行，∴四边形EBCA是梯形，∴梯形EBCA是等腰梯形．9．(2019春•金山区期末)梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，E、F分别是腰AB、CD的中点，过点F 作//FG AB，交BC于点G．(1)求证：四边形AEGF为平行四边形；(2)联结DG，如果DGE B∠=∠，求证：四边形AEGF是矩形．【分析】(1)根据等腰梯形的性质得到B C∠=∠，得到FGC C∠=∠，∠=∠，根据平行线的性质得到FGC B推出AE FG=，于是得到四边形AEGF是平行四边形；(2)由于FG DF CF∠+∠=︒，推出90AEG BEG∠=∠=︒，于是DGE BGE∠=︒，求得90==，得到90DGC得到四边形AEGF是矩形．【解答】(1)证明：Q梯形ABCD中，//=，AD BC，AB CD∴∠=∠，B CQ，//AB FG∴∠=∠，FGC B∴∠=∠，FGC C∴=，FG FCQ，E、F分别是腰AB、CD的中点，AB CD=∴=，AE CF∴=，AE FG∴四边形AEGF是平行四边形；(2)解：FG DF CFQ，==∴∠=︒，90DGC∴∠+∠=︒，DGE BGE90∠=∠Q，DGE BB BGE∴∠+∠=︒，90∴∠=∠=︒，AEG BEG90∴四边形AEGF是矩形．10．(2019春•浦东新区期末)如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC DB ⊥，5AC =，30DBC ∠=︒，(1)求对角线BD 的长度；(2)求梯形ABCD 的面积．【分析】(1)如图，过A 作AEDB 交CB 延长线于E ，AC DB ⊥Q ，//AE DB ，AC AE ∴⊥，30AEC DBC ∠=∠=︒，90EAC ∴∠=︒，即EAC ∆为直角三角形，根据勾股定理即可求解；(2)记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作AF BC ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形，求出梯形的高AF ，根据梯形面积公式即可求解；【解答】解：(1)如图，过A 作//AE DB 交CB 延长线于E ，AC DB ⊥Q ，//AE DB ，AC AE ∴⊥，30AEC DBC ∠=∠=︒，90EAC ∴∠=︒，即EAC ∆为直角三角形，210EC AC ∴==，AE ∴//AD BC Q 且//AE DB ，∴四边形AEBD 为平行四边形．DB AE ∴==；(2)记梯形ABCD 的面积为S ，过A 作AF BC ⊥于F ，则AFE ∆为直角三角形． 30AEF ∠=︒Q12AF AE ∴==ABCD 的高AF =Q 四边形AEBD 为平行四边形，AD EB ∴=．111()10222S AD BC AF EC AF =+⨯=⨯=⨯=．11．(2018春•浦东新区期末)如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，P 是下底BC 上一动点(点P 与点B 不重合)，10AB AD ==，24BC =，45C ∠=︒，4590B ︒<∠<︒，设BP x =，四边形APCD 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2)联结PD ，当APD ∆是以AD 为腰的等腰三角形时，求四边形APCD 的面积．【分析】(1)作AH BC ⊥于H ．设AH h =．构建方程求出h 即可解决问题．(2)分两种情形分别讨论求解即可；【解答】(1)解：作AH BC ⊥于H ．设AH h =．1024h +=，整理得：214480h h -+=，解得8h =或6(舍弃)，1(1024)82y x ∴=+-⨯，即4136(024)y x x =-+<<(2)解：①当10AP AD ==时，10AB AD ==Q ，10AP AB ∴==，6BH =Q ，212BP BH ∴==，即12x =，88y ∴=．②当10PD AD ==时，四边形ABPD 是平行四边形或等腰梯形， 10BP AD ∴==或222BP BH AD =+=，即10x =或22，96y ∴=或48，综上所述，四边形APCD 的面积为88或96或48．12．(2018春•青浦区期末)已知：如图，在梯形ABCD 中，//DC AB ，AD BC =，BD 平分ABC ∠，30CDB ∠=︒． 求：(1)求A ∠的度数；(2)当4AD =时，求梯形ABCD 的面积．【分析】(1)首先根据//DC AB ，求出ABD ∠的度数是多少；然后根据角平分线的性质，求出A ∠的度数是多少即可．(2)首先判断出ABD ∆是直角三角形，进而利用三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可．【解答】解：(1)//DC AB Q ，30ABD CDB ∴∠=∠=︒，BD Q 平分ABC ∠，260A ABD ∴∠=∠=︒．(2)30ABD ∠=︒Q ，60A ∠=︒，180306090ADB ∴∠=︒-︒-︒=︒，2248AB AD ∴==⨯=，BD ∴==∴梯形的高AD BD AB ==g BD Q 平分ABC ∠，30CDB ∠=︒．30CBD CDB ∴∠=︒=∠，4DC BC AD ∴===，()4822ABCD DC AB S ++∴=⨯⨯=梯形 13．(2018•杨浦区二模)已知：如图，在梯形ABCD 中，//DC B ，AD BC =，BD 平分ABC ∠，60A ∠=︒． 求：(1)求CDB ∠的度数；(2)当2AD =时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．【分析】(1)由平行线及角平分线的性质可得12CDB ABD ABC ∠=∠=∠，根据等腰梯形两底角相等的性质可得CDB ∠的具体度数；(2)利用30︒的正切值可得BD 的长度，也就求得了AB 的长度，利用60︒正弦值可得梯形的高，进而利用梯形的面积公式可得梯形的面积．【解答】解：(1)Q 在梯形ABCD 中，//DC AB ，AD BC =，60A ∠=︒， 60CBA A ∴∠=∠=︒．BD Q 平分ABC ∠，1302CDB ABD CBA ∴∠=∠=∠=︒，(2)在ABD ∆中，18090ADB A ABD ∠=︒-∠-∠=︒Q ．tan 2tan 60BD AD A ∴==︒=g过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，sin 2sin 60DH AD A ∴==︒=g1302CDB CBD CBD ∠=∠=∠=︒Q ， 2DC BC AD ∴===．。

第三节 梯形【回顾与思考】【例题经典】与梯形有关的计算 例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC 的长．【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件．等腰梯形的判定 例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，•对角线AC ⊥BD 于F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4cm ． （1）求证：四边形ABFE 为等腰梯形；（2）求AE 的长．【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE 为梯形，再说明AE=BF ，•作DG ⊥AB 于G ，利用CD=12AB 解决AE=BF ．（2）问要利用Rt △BCF ∽Rt △ABF ，求出AF 长，再用BF 2=C F ·AF ，即可求出BF 长，进而得到AE 长．梯形性质的综合应用 例3．（2006年河南省）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC ，E 为底边BC 的中点，且DE ∥AB ，试判断△ADE 的形状，并给出证明．【解析】△ADE 是等边三角形．理由如下：∵AB=CD ，∴梯形ABCD 为等腰梯形， ∵∠B=∠C ．∴E 为BC 的中点，∵BE=CE．在△ABE和△DCE中，∵,, AB DCB C BE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE．∵AE=DE．∴AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB=DE∵AB=AD，∴AD=AE=DE．∴△ADE为等边三角形．【考点精练】一、基础训练1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，•则等腰梯形的下底角为________度．2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________．(第2题) (第3题)3．如图所示，图1中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图2．4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕为AE，则CE=________．(第4题) (第5题) (第7题) 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，•如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．请把其中正确结论的序号填在横线上：________．6．（2006年攀枝花市）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，•那么这个梯形一内角是（） A．90° B．60° C．45° D．30°7．（2006年温州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．38．（2006年潍坊市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC ∥AD，则∠ABC等于（）A．75° B．70° C．60° D．30°(第8题) (第9题) (第10题) 9．（2006年长沙市）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）A．19 B．20 C．21 D．2210．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．不能确定11．（2006年随州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE•翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则DFFC的值为（）A．13B．14C．15D．1612．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：①△AOB∽△COD; ②△AOD∽△BOC; ③DOCBOAS DCS AB∆∆=; ④S△AOD=S△BOC,其中结论始终正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(第11题) (第12题) (第13题) 二、能力提升13．（2006年广安市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AF、DE．求证：△ADE是等腰三角形．- 3 -14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．三、应用与探究15．（2006年湖州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，DE∥AB．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．答案：例题经典例1．28 例2．（1）略（2）考点精练1．60° 2．30 3．底角为60°且腰长等于上底长4．4 5．①，③，•④ 6．B 7．B 8．C 9．D 10．A 11．A 12．A13．△ABE≌△DCE（SAS），∴∠AEB=•∠DEC，而∠DAE=∠AEB．∠ADE=∠DEC．∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE是等腰三角形14．（1）由∠ADC=120°，可得∠C=∠ABC=60°，从而得到∠ADB=30°，∴BD⊥DC．Array（2）15．证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，•∴DE=DC（2）∵AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°．又∵DE=DC，∴△DEC是等边三角形．- 5 -。

梯形1、〔2021•宁波〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD 于点E，且AE∥CD，那么AD的长为〔〕考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．应选B．点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．2、〔2021•十堰〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC 的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．应选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据得出BF=EC的长是解题关键．3、〔2021•荆门〕如右图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，假设动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影局部的面积为S，BP为x，那么S关于x的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解解：①当直线l经过BA段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越答： 快；②直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A 选项的图象符合． 应选A ． 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．4、〔2021年广州市〕如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==那么tan B =〔 〕A 23B 22 C114 D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC 〔等腰三角形三线合一的性质〕， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，那么AC=2AF=8，tanB===2．应选B ．点评：此题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．5、(2021年南京)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。

2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：梯形课后练习及详解题一：下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是梯形；②一组对边平行但不相等的四边形是梯形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；④一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形，其中真命题的个数是( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题二：下列命题：①等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；②等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分；③有两个角相等的梯形是等腰梯形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题三：如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC、BD相交于O点，∠BCD=60°，下列有6个结论：①梯形ABCD是轴对称图形，②梯形ABCD是中心对称图形，③AC=BD，④BC=2AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DCB．其中正确的有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题四：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD垂足为O，过点D作DE⊥BC于E，以下五个结论：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；③∠BCD=∠BDC；④S△AOB=S△DOC；⑤DE=．其中正确的是( )A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②④⑤题五：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是( )A．S1+S3=S2 B．2S1+S3=S2 C．2S3S2=S1 D．4S1S3=S2题六：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、BC、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间数量的关系是( ) A．S1+S2=S3 B．S1+S2=S3 C．S1+S2=S3 D．S1+S2=S3题七：如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=30°．折叠纸片使BC经过点A，点B落在点B′处，EF是折痕，且BE=EF=4，AF∥CD．(1)求∠BAF的度数；(2)当梯形的上底AD多长时，线段DF恰为该梯形的高？题八：如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C= 45°，AB= 4，AD=5，把梯形沿过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上，求此时折痕的长．题九：如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴，P为MN上一点．若使PC+PD 的值最小，则这个最小值是线段_________的长．题十：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠DCB= 45°，AD=3.5，DC=，点P为腰AB上一动点，连结PD、PC，求PD+PC的最小值．题十一：如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若DC=16，求AD的长．题十二：如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥DC．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)当CD=1时，求等腰梯形ABCD的周长．题十三：如图，是用4个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，则这个图形中等腰梯形上下两底边的比是．题十四：如图，四边形ABCD由4个全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AB与BC的大小关系为（）A．AB=BC B．AB=2BC C．2AB=4BC D．2AB=3BC梯形课后练习参考答案题一：4B．详解：解：根据梯形的性质和等腰梯形的判定可判断：①根据平行四边形的判定，一定是平行四边形，错误；②根据梯形的定义“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形”，而一组对边平行但不相等的四边形的另一组对边肯定不平行，正确；③如平行四边形也符合这样的条件，错误；④也可以分为两个矩形，错误．故选B．题二：答案：B．详解：①等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴，就是等腰梯形上、下底中点所在直线，故此命题正确；②等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分，此命题正确；③有两个角相等的梯形是等腰梯形，此命题错误，如直角梯形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形错误，如平行四边形．其中正确的命题有2个，故选：B．题三：答案：C．详解：①符合等腰梯形的性质，故此结论正确；②等腰梯形是轴对称图形而非中心对称图形，故此结论不正确；③等腰梯形的对角线相等，故此结论正确；④过点D作DE⊥BC，过点A作AF⊥BC，则四边形AFED是矩形，∵∠BCD=60°，∴∠EDC=30°，∴CE=BF=CD，∵AB=CD=AD，∴BC=2AD，故此结论正确；⑤∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB，∵∠BCD=60°，∴∠DCA=∠ACB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠BOC=120°，故此结论不正确；⑥∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB，∴AC平分∠DCB，故此结论正确．所以正确的是①③④⑥．故选C．题四：答案：D．详解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴可得：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；∵BD≠BC，∴∠BCD≠∠BDC，即③不正确；在△AOD和△DOC中，OA=OD，OB=OC，∠AOD=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴S△AOB=S△DOC；即④正确；过点D作DF∥AC，∵AD∥BC，AC⊥BD，∴BD⊥DF，BD=DF，∴△BDF是等腰直角三角形，故DE=BF=．即⑤正确．故选D．题五：答案：A．详解：过点A作AE∥BC交CD于点E，∵AB∥DC，∴四边形AECB是平行四边形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，∴∠DAE=90°那么AD2+AE2=DE2，∵S1=AD2，S2=AB2=DE2，S3=BC2=AE2，∴S2=S1+S3．故选A．题六：答案：D．详解：过点A作AE∥BC交CD于点E，∵AB∥DC，∴四边形AECB是平行四边形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，∴∠DAE=90°，那么AD2+AE2=DE2，∵S1=AD2，S=AB2=DE2，S2=BC2=A E2，∴S=S1+S2．又∵DC=2AB，∴S=S3．∴S1+S2=S3．故选D．题七：答案：见详解．详解：(1)∵BE=EF，∴∠EFB=∠B，∵△B′EF≌△BEF，∴∠EFB′=∠EFB=∠B=30°，∴∠BAF=180°30°30°30°=90°；(2)连接DF，∵在△AEF中，∠EAF=90°，∠EFA=30°，EF= 4，∴AE=EF=2，AF=AE=2，∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴∠C=∠AFB=60°，CD=AF=2，∵DF⊥BC，∴FC=DC=，∴AD=FC=，即梯形的上底AD为时，线段DF恰为该梯形的高．题八：答案：或．详解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵∠A=∠B=90°，∠C= 45°，∴四边形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，∴DF=AB= 4，CF=DF= 4，①如图1，折痕与AB相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，在Rt△A′DF中，A′F2=A′D2DF2=5242=32，即A′F=3，设AE=x，则A′E=x，BE= 4x，又∵A′B=BF A′F=53=2，∴在Rt△A′BE中，A′E2=A′B2+BE2，即x2=22+(4x)2，解得x=，所以，折痕DE2=AD2+AE2=52+()2，即DE=，②如图2，折痕与BC相交时，根据翻折的性质，A′D=AD=5，在Rt△A′DF中，A′F2=A′D2DF2=5242=32，即A′F=3，∴A′B=BF+A′F=5+3=8，设A′E=x，则BE=8x，根据翻折的性质求出B′E=BE=8x，在Rt△A′B′E中，A′E2=A′B′2+B′E2，即x2=42+(8x)2，解得x=5，∴EF=A′E A′F=53=2，∴在Rt△DEF中，折痕DE2=DF2+EF2=42+22=20，即DE=，综上所述，折痕的长为或．题九：答案：AC或BD．详解：∵四边形ABCD是轴对称图形，直线MN为对称轴，∴点A与点D关于直线MN对称，∴连接AC(BD)，则线段AC或BD的长即为PC+PD的最小值．题十：答案：13．详解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，作D点与AB的对称点D′，过点D′向BC作垂线于点E，∵∠DCB= 45°，DC=，∴DF=FC=×=5，∵AD=3.5，∴AD′=BF=BE=3.5，∴CD′===13，∴PD+PC的最小值为13．题十一：答案：见详解．详解：(1)∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥DC，即AB∥ED，又∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°，∴∠E=∠BDC=30°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形，∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，∴∠ADC=∠BCD=60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD，∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，∴∠DBC=90°，又DC=16，∴AD=BC=DC=8．题十二：答案：见详解．详解：(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠ABC=60°，∴∠CBD=30°，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∴∠C=60°，∴梯形ABCD是等腰梯形；(2)解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∵CD=1，∴BC=2，∵∠C=60°，∴△DCE为等边三角形，∴CE=BE=1，AD=1，∴等腰梯形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=1+1+1+2=5．题十三：答案：．详解：延长CE交AM于D，∵∠CEA=∠AEF=∠CEF=×360°=120°，∴∠AED=∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形，∴AE=DE=CE，AB∥AD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=CE+ED=2CE，即等腰梯形上下两底边的比是=．题十四：答案：D．详解：由图形可得等腰梯形的腰和较短的底边相等，设较短底边为a，延长EG交AB于点F，如图所示，可得DE=AF=2a，即较长底边=2a，则AB=AH+BH=3a，BC=2a，故可得：2AB=3BC．故选D．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。

中考数学复习梯形知识考点：掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。

精典例题：【例1】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7，对角线AC ⊥BD ，∠BDC ＝300，求梯形的高AH 。

分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。

略解：过A 作AM ∥BD 交CD 的延长线于M 。

∵AB ∥DC ，∴DM ＝AB ，∠AMC ＝∠BDC ＝300 又∵中位线EF ＝7∴CM ＝CD ＋DM ＝CD ＋AB ＝2EF ＝14 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AM ，AC ＝21CM ＝7 ∵AH ⊥CD ，∴∠ACD ＝600 ∴AH ＝060sin ⋅AC ＝327 评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。

例1图MH D C BAFE例2图G HDCB AFE【例2】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD ＝7，BC ＝15，求EF 的长。

分析：将AB 、CD 平移至E 点构成直角三角形即可。

答案：EF ＝4 探索与创新：【问题】已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在DC 上，且AD ＝a ，BC ＝b 。

（1）如果点E 、F 分别为AB 、DC 的中点，求证：EF ∥BC 且EF ＝2ba +； （2）如图2，如果nmFC DF EB AE ==，判断EF 和BC 是否平行？请证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF 。

ba问题图1D C BAFE ba问题图2MDC BAFE分析：（2）根据（1）可猜想EF ∥BC ，连结AF 并延长交BC 的延长线于点M ，利用平行线分线段成比例定理证明即可。

略证：连结AF 并延长交BC 的延长线于点M∵AD ∥BM ，FC DF CM AD FM AF ==，n mFC DF EB AE ==∴在△ABM 中有EB AEFM AF =∴EF ∥BC ，n m mBM EF AB AE +== ∴EF ＝BM n m m +＝)(CM BC n m m++而n m FC DF CM AD ==，故mnaAD m n CM == ∴EF ＝BM n m m +＝)(m na b n m m ++＝nm namb ++ 评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳、抽象、概括、猜想的能力，它要求学生能通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。

初中数学中考梯形问题（含解析答案）一．解答题（共29小题）1．已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t 的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．2．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC 的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD 为矩形？并求出此时动点P的坐标．3．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO ﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．4．如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？5．如图（1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14，0），B（11，4），C（3，4），点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．（1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？（3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值6．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（12，0），点D的坐标为（8，4），动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．（1）求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；（2）设顺次连接OCFE，设这个封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围；（3）求当t为何值时，以O、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？7．如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=﹣x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A﹣B﹣O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求点A与点B的坐标；（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（30，0），B（24，6），C（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．当这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；（用t表示）（2）当点Q在CB上运动时；①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？②是否存在实数t，使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，顶点D在x轴的负半轴上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，对角线BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直线AB的解析式；（2）若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，当一点到达终点时，另一的也随之停止运动．设线段朋的长度为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式；（请直接写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为A’P，当t为何值时，A’P∥CD，并通过计算说明，此时以为半径的ΘP与直线QH的位置关系．11．（2008•辽宁）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由_________形变化为_________形；（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上．设AQ=x，矩形PQMN的面积为y．（1）求等腰梯形ABCD的面积；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面积最大时，将△PQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P’，请判断此时△BMP’的形状．14．如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（﹣1，5）．（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积（保留π）；（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点A的函数关系式；（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四点．15．如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2）、（4，0）、（3，2），点M是AD的中点．（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长．16．如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC 于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内．（1）求点E的坐标；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO 交折线ABC于点N，连接PN．设PE=x．△PMN的面积为S．①求S关于x的函数关系式；②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由．若存在，求出面积的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）．设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′；探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y 与时间t的函数关系式．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．（1）求此二次函数的解析式；（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．18．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直线为x轴，过点B且垂直于AD的直线为y轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．19．（2006•衢州）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标；（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD 与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x 之间的关系式；（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．20．（2010•梧州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．21．（2002•潍坊）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．（2004•荆州）如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF 的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l 经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）23．（2006•恩施州）现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．若∠ABC=1 20°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．24．（2006•济南）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积y（cm2）与x（cm）（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成y取最大值时的设计示意图；（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．25．如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD，那么这样的点P叫做四边形ABCD的等积点．（1）如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点，那么这样的四边形叫做等积四边形．①请写出你知道的等积四边形：_________，_________，_________，_________，（四例）②如图（2），若四边形ABCD是平行四边形且S△ABP=8，S△APD=7，S△BPC=15，则S△PCD= _________．（2）如图（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直线l为等腰梯形的对称轴，分别交AD于点E，交BC于点F．①请在直线l上找到等腰梯形的等积点，并求出PE的长度．②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点，并画图表示．26．（2010•锦州）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC 的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．（1）求正方形的边长；（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．27．（2005•龙岩）已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上（如图示）（1）求该二次函数的解析式；（2）P为线段AB上一动点（A、B两端点除外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x，求出l与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由．28．如图1所示，直角梯形OABC的顶点C在x轴正半轴上，AB∥OC，∠ABC为直角，过点A、O作直线l，将直线l向右平移，设平移距离为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l 扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线．（1）求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；（2）如图3，矩形ODEF的两边OD、OF分别落在坐标轴上，且OD=4，OF=3，将矩形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设矩形ODEF的顶点O向右平移的距离为x（0＜x＜7），求矩形ODEF与梯形OABC重叠部分面积S与x的函数关系式．（3）当平移距离x=_________时，重叠部分面积S取最大值_________．29．（2009•娄底）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．2013年3月刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共29小题）1．已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t 的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．得y=×AP DH=得y=×）=16依题意，得x x=10=8DH=AP t解法二：∵==BE===×=OD×，=t（x=（，=AD y=y=）=16秒时，有点）满足题意；，秒时有点，）2．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC 的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD 为矩形？并求出此时动点P的坐标．可先计算出梯形面积的k=y=x+4•t=t×﹣3．如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO ﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．QH=cosA==．BQ=AQ=AE（，cosA==，∴时，=；，由题意知t=，，﹣）或（，﹣BQ=AQ=AE=4．如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？OBA==×OB=2，y=x﹣××．））×+××点，则，．××=t tt=；OA AB=．××t+．t=时．5．如图（1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A（14，0），B（11，4），C（3，4），点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．（1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形？（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？（3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形？若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形，并写出改变后的速度及t的值t=t= t=×=5t=时，四边形÷=46．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（12，0），点D的坐标为（8，4），动点E从点A出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动；同时动点F从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位的速度向点D移动．当点F与点D重合时，E、F两点同时停止移动．设点E移动时间为t秒．（1）求当t为何值时，三点C、E、F在同一直线上；（2）设顺次连接OCFE，设这个封闭图形的面积为S，求出S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围；（3）求当t为何值时，以O、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？则可得：t=t=或7．如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．S=（s=×××+98=PF=88．如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=﹣x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A﹣B﹣O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求点A与点B的坐标；（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．=BQ=AQ=AD ﹣×AQ=t=QP=，AQ PQ=××=BQ=AQ=t=t= QG=﹣=[（﹣9．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（30，0），B（24，6），C（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒3个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，速度为每秒2个单位．当这两点有一点达到自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）当点Q在OC上运动时，试求点Q的坐标；（用t表示）（2）当点Q在CB上运动时；①当t为何值时，四边形OPQC为等腰梯形？②是否存在实数t，使得四边形PABQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．。