河北省唐山市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文(含解析).doc

河北省唐山市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集I R =，{}24M x x =|>，2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}|2x x <B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -≤≤D. {}|12x x <≤【答案】D 【解析】 【分析】先确定阴影部分表示的集合运算是：UN M ，然后根据条件求解出N 和U M，最后根据交集运算得到结果.【详解】因为图中阴影部分表示的集合为：UNM ，又因为{}24M x x =|>，所以{|2M x x =<-或}2x >，所以{}U|22M x x =-≤≤，又因为2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，所以{}|13N x x =<≤， 所以{}U|12M x N x =<≤.故选D.【点睛】本题考查集合的Venn 图表示以及补集和交集混合运算，难度较易.求解Venn 图所表示的集合时，先将Venn 图表示的集合运算写出来，然后再根据相应的集合和运算去求解结果.2.i为虚数单位，则201611ii+⎛⎫=⎪-⎝⎭（）A. i-B. 1C. iD. -1 【答案】B【解析】【分析】先计算11ii+-的结果，然后利用虚数单位i的运算性质计算201611ii+⎛⎫⎪-⎝⎭的结果.【详解】因为()()()()11121112i ii iii i i+++===--+，因为41i=，所以()201650420164111ii ii+⎛⎫===⎪-⎝⎭.故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和虚数单位i的运算性质，难度较易.虚数单位i的运算性质：43ni i-=，421ni-=-，41n i i-=-，41ni=（*n N∈）.3.函数lnxyx=的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞．求导()()()()22ln ln'ln1ln lnx x x x xyx x''⋅-⋅-==，令0y'<可得0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln x y x=在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D ．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法： （1）求导数()y f x '='； （2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．4.将函数()sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6π C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数变形，然后写出向左平移后的函数，由函数图象关于原点对称可知函数为奇函数，由此得到关于m 的方程，从而确定m 的最小值.【详解】因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以左移m 个单位后得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数图象关于原点对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数， 所以,3m k k Z ππ+=∈且0m >，所以min 233m πππ=-=，此时1k =. 故选D.【点睛】（1）三角函数图象的平移也是遵循“左加右减，上加下减”的原则； （2）分析正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的奇偶性：若()f x 为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()f x 为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.5.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A.32B. 2C.52D. 3【答案】A 【解析】 试题分析：投影为()222cos 6085322a b aa ab aa-⋅--===. 考点：向量概念及运算．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为3nn S a =+，则数列{}2na 的前n 项和为（ ）A. 912n -B. 914n -C. 918n -D. 91n -【答案】A 【解析】 【分析】先根据3nn S a =+求解出{}n a 的通项公式，然后分析{}2na 也为等比数列，根据等比数列的求和公式进行求和即可.【详解】因为3nn S a =+，所以()1132n n S a n --=+≥，所以()1232n n a n -=⋅≥，且113S a a ==+，所以0233a ⋅=+，所以1a =-，所以123n n a -=⋅，因为221129n n nn a a a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭且214a =，所以{}2n a 是首项为4公比为9的等比数列， 所以{}2n a 的前n 项和为：()41991192n n --=-. 故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项求解以及用定义法判断等比数列，难度一般.（1）求解数列通项过程中涉及到11,n n S a --的时候，要注意说明2n ≥，并考虑验证1n =的情况；（2）用定义法判断一个数列{}n a 是等比数列：证明1n na q a +=（q 为非零常数），且10a ≠.7.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan A =，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值（ ）A. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据tan A =以及余弦定理得到sin A 的值，将1sin 2S bc A =中的,b c 用正弦定理转化为角的形式，然后对cos S B C +进行化简求最大值，注意取最大值时的条件.【详解】因为222tan A b c a =+-，所以tan 2cos A bc A=，所以sin A = 又因为2sin sin sin a b cA B C===，所以2sin ,2sin b B c C ==，所以()cos sin cos S B C B C B C B C ==-，所以当B C =时，cos S B C +. 故选B.【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变化的综合应用，难度一般.解三角形的问题中，如果出现了两边的平方和减去第三边的平方和的形式，可以联想到余弦定理；对于正弦定理，一旦知道了一边及其对角的正弦值，就可以将其余角的正弦和对边的倍数关系找到. 8.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，则函数()()()sin 042g x f x x x π=-≤≤的零点之和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 先根据()()1f x f x +=-得到()f x 的周期，再根据()f x 在[]0,1x ∈时的解析式以及()f x 是偶函数可作出()f x 在[]0,4x ∈时的函数图象，再作出sin2y x π=在[]0,4x ∈时的图象，根据图象的对称性分析图象交点的横坐标之和即为函数()g x 的零点之和. 【详解】因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期2T =，()()()sin042g x f x x x π=-≤≤的零点即为()f x 与sin2y x π=图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出()f x 与sin2y x π=的图象如图所示：因为12,x x 关于1x =对称，所以122x x +=，又因为33x =， 所以123235x x x ++=+=.故选C.【点睛】本题考查从函数的性质角度分析图象以及函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的应用，难度一般.（1）函数()()()h x f x g x =-的零点()()f x g x ⇔=的方程根()f x ⇔与()g x 图象交点的横坐标，注意三者之间的关系；（2）数形结合思想的命题方向：函数零点个数、方程根的个数、函数性质分析、求参数范围或不等式解集等. 9.已知奇函数()f x 是定义在上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f +++-<的解集为（ ）A. (),2012-∞-B. ()2016,2012--C. (),2016-∞-D. ()20160-，【答案】A 【解析】试题分析：由题观察联想可设22()(),()2()()g x x f x g x xf x x f x ''==+，结合条件;22()()f x xf x x '+>得22()2()()0,()(),g x xf x x f x g x x f x =>=''+为增函数．而2(2014)(2014)4(2),x f x f ++<即：(2014)(2),20142,2012g x g x x +<+<<- 考点：函数的性质及构造导数解决函数问题的能力. 10.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ）A. 513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据(]0,2x ∈得到3x πω⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，根据()f x 恰有一个最大值和最小值，利用sin y x =图象的特点分析3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，然后求解出ω的范围即可.【详解】因为(]0,2x ∈，所以,2333x πππωω⎛⎫⎛⎤+∈+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 因sin y x =图象如下图：因为()f x 恰有一个最大值1和一个最小值1-，所以352232πππω≤+<， 解得：7131212ππω≤<，即713,1212ππω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选C.【点睛】已知正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ在给定区间上的最值的个数，可考虑将x ωϕ+看做一个整体，然后作出sin =y A x 的图象分析最值的个数分布情况，由此得到关于x ωϕ+的不等式，即可求解出ω的范围.11.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，*()n T n N ∈，若211n n S n T n -=+，则实数126a b =（ ） A.154B.158C.237D. 3【答案】A 【解析】由于{}n a ，{}n b 都是等差数列，且等差数列的前n 项和都是2,an bn +所以不妨设121211(21),(1),1223112145.n n S n n T n n a S S =-=+∴=-=⨯-⨯= 6656(61)5(51)423012.b T T =-=+-+=-= 所以126a b =4515124=，故选A. 点睛：本题解题需要灵活性，可以直接特取. 由于{}n a ，{}n b 都是等差数列，且等差数列的前n 项和都是2,an bn +所以不妨设(21),(1).n n S n n T n n =-=+这样提高了解题效率.12.数列{}n a 满足114a =，1144n n a a +=-，若不等式322121n n a a a n a a a λ+++++<+，对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（ ） A.74B.34C.78D. 38【答案】A 【解析】试题分析：依题意23452345,,,681012a a a a ====，由此可知()21n na n =+，所以()1111111222n n a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以3221211111112223n n a a a n a a a n n ++⎛⎫+++=+++-- ⎪++⎝⎭71114223n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，322121n n a a a n a a a λ+++++<+对任何正整数n 恒成立，即74λ≥． 考点：数列与不等式．【思路点晴】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键．开始采用特殊项的办法，是合情推理与演绎推理，先根据特殊项，归纳出数列的通项公式，然后代入要求证的不等式，利用裂项求和法求得不等式坐标的和，然后利用恒成立问题来求得最小值．如果是解答题，归纳猜想出的通项公式还要用数学归纳法来证明．卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】 【分析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.14.已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为_________． 【答案】13【解析】 【分析】 由题意可得113b a b a -=+，利用均值不等式可得132b b-≥，解不等式即可得到b 的最大值. 【详解】解析：113a b b a +=-化为1132b a b a -=+≥，即23210b b +-≤， 解得：103b <≤，所以，b 的最大值为13．故答案为13【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15.已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的(,)x y D ∈，不等式2x y t -≤恒成立，则实数t 的取值范围是_____．【答案】[5,)+∞【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x ﹣2y |max ，即可得出实数t 的取值范围．【详解】画出不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图阴影所示：由图形知，点B 到直线x ﹣2y ＝0的距离最大，由22010x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得B （3，4），所以|x ﹣2y |max 555=2，所以不等式|x ﹣2y |≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5． 故答案为[5，+∞）．【点睛】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及简单应用问题，属于基础题． 16.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，ABC ∆的三边所围成的区域.若10BC =，过点A 作AD BC ⊥于D ，当ABD ∆面积最大时，黑色区域的面积为_________.【答案】2532【解析】 【分析】先分析黑色区域的求法，得到结论：黑色区域的面积即为ABCS ，再根据当ABD ∆面积最大时求解出AD 的长度，即可计算出黑色区域的面积.【详解】因为（黑色区域面积）=（以AB 为直径的半圆面积）+（以AC 为直径的半圆面积）-（以BC 为直径的半圆面积）+ABCABCSS=，设BD x =，所以10DC x =-，因为~BDA ADC ，所以()10AD x x =-所以())3411101001022ABDSx x x x x x =-=-<<， 令()()3410010f x x x x =-<<，所以()()2323042215f x x x x x '=-=--，所以()f x 在150,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在15,102⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以()f x 取最大值时152x =，此时ABDS也取得最大值，所以1515531022AD ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以153253102ABDS ==， 所以黑色区域面积为：32. 故答案为2532. 【点睛】本题考查导数在几何图形中的应用，难度较难.（1）利用导数可将几何问题中的长度或面积最值抽象为函数的最值去求解，注意定义域；（2）本例中的希波克拉底研究题中几何图形得到的结论是：黑色月牙形区域的面积等于直角三角形的面积.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量()2cos 1,2sin a x x ωω=+，()()6cos 0b x x ωωω=>.（1）当2x k πωπ≠+，k Z ∈时，若向量()1,0c =，()3,0d =，且()()//a c b d -+，求224sin cos x x ωω-的值； （2）若函数()f x a b=⋅的图象的相邻两对称轴之间的距离为4π，当,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）813-；（2）()()max min 2,1f x f x ==- 【解析】 【分析】（1）先将a c -和b d +用坐标形式表示出来，然后根据向量平行对应的坐标表示得到tan x ω的值，然后利用22sin cos 1x x ωω+=将224sin cos x x ωω-进行变形即可求值；（2）计算并化简()f x ，根据相邻两对称轴之间的距离为4π求解出ω的值，然后根据x 范围即可求解出()f x 的最大值和最小值. 【详解】（1）因为()2cos ,2sin a c x x ωω-=，()6cos ,cos b d x x ωω+=，又因为()()//a c b d -+，2cos x x x ωωω=，又因为()2x k k Z πωπ≠+∈，所以tan 6x ω=， 所以22222222114sin cos 4tan 1834sin cos 1sin cos tan 113112x x x x x x x x ωωωωωωωω----====-+++；（2）()())2cos 112sin cos f x a b ωx ωx ωx ωx =⋅=+-+)22cos 1sin 2sin 222sin 23x x x x x πωωωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴之间的距离为4π，所以242T ππ=⨯=，所以224T πω==，所以2ω=，所以()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,36ππx π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()max 2sin22f x π==，此时24x π=，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时8x π=-. 【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合，难度一般.（1）求解()sin cos *sin cos n n n na xb xn N c x d x+∈+的值，可采用分子分母同除以cos n x ，然后根据条件计算出tan x 的值即可计算出最后结果；（2）正弦（余弦）型函数的两条相邻对称轴（或两个相邻对称中心）之间的距离是2T；正切型函数两个相邻的对称中心的距离是2T . 18.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求11x y+的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由． 【答案】（1）2；（2）不存．【解析】【详解】试题分析：（1）将式子变形为2222x y xy xy xy+≥=；（2）由不等式得到(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y)，(x ＋1)(y ＋1)≤4，故不存在. 解析：(1)因为221122x y x y xyx y xy xy xy+++==≥=，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以11x y +的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤()()2112x y +++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,BC 边上的中线AD m =,且满足2224a bc m +=.(1)求BAC ∠的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围【答案】(1) 3BAC π∠=;(2) ABC ∆周长的取值范围是(2⎤+⎦. 【解析】 【分析】(1)在ABD ∆, ACD ∆中分别利用余弦定理,写出,c b 的表达式,化简后可求得m 的值,代入已知条件可化简得到BAC ∠的余弦值,进而求得角的大小.(2)利用正弦定理将边转化为角的形式,即π4sin 26a b c B ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,根据2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭可求得周长的取值范围. 【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4c m a ma ADB =+-∠， ① 在ACD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4b m a ma ADC =+-∠， ② 因ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，①+②得：2222122b c m a +=+， 即2222111224m b c a =+-， 代入已知条件2224a bc m +=， 得2222222a bc b c a +=+-，即222b c a bc +-=，2221cos 22b c a BAC bc +-==，又0BAC π<∠<，所以3BAC π∠=.（2）在ABC ∆中由正弦定理得sin sin sin3ab c B C π==，又2a =，所以3b B =，2333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴24sin 2336a b c B C B π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形，3BAC π∠=∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⇒⎨⎪<<⎪⎩,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦． ∴ABC ∆周长的取值范围为(2⎤+⎦．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的周长的范围，解决问题的关键在于利用中线的长度在两个三角形中运用余弦定理，根据邻补角的余弦值互为相反数得出边的关系，属于中档题.20.已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()()4log 41x f x g x +=+.（1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()()()21log 202x h x f x a a =-⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()4log 412xx f x =+-；（2）[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之即可；（2）将函数()f x 的解析式代入化简，把函数()h x 在R 上只有一个零点的问题转化成方程()0h x =的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程()212210xx a -+-=，再通过换元法可变为方程()2110a t -+-=只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.【详解】（1） 因为()()()4log 41xf xg x +=+，所以()()()4log 41xf xg x --+-=+，即()()()4log 41xf xg x --=+，由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之得：()()4log 412xx f x =+-.（2）()()()()()224log 11log 2log 422122x x x h x f x a a x =-⋅+=⋅++--进一步化简得()()2221211log log 2222x xxh x a +=-⋅+， 令()0h x =得：()22221log log 22x x xa +=⋅+， 化简得：()212210xx a -+-=，令2x t =，则0t >，即方程()2110a t -+-=只有一个正根，当1a =时，4t =，满足题意；当方程有一正一负两根时，满足条件，则101a -<-，所以1a >；当方程有两个相等的正根时，则()28410a a ∆=+-=，所以12a =或1a =-（舍），12a =时，t =满足条件.综上，实数a 的取值范围为：[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数方程根的问题通过换元法转化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上. 21.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()=21,1nn n S a n +-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的整数4m >，都有451117 (8)m a a a +++< 【答案】(1)()122213n n n a --⎡⎤=+-⎣⎦；(2)见证明【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得到递推关系式，根据递推关系式可证得数列()231n na ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为等比数列，先求出等比数列的通项公式，从而变形得到n a ；（2）由通项公式可放缩证得：3n ≥且n 为奇数时：21111311222n n n n a a --+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭；再根据等比数列求和公式化简证不等式. 【详解】（1）由11121a S a ==-得：11a =当2n ≥且*n N ∈时，有()()11221nn n n n n a S S a a --=-=-+⨯-()11221n n n a a --∴=+⨯-，则()()112223311nn n n a a --⎛⎫ ⎪+=-+ ⎪--⎝⎭∴数列()231n na ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以13-为首项，2-为公比的等比数列 ()()1212331n nna -∴+=-⋅-- ()122213n n n a --⎡⎤∴=+-⎣⎦经验证1a 也满足上式()122213n n n a --⎡⎤∴=+-⎣⎦（2）证明：由通项公式得42a = 当3n ≥且n 为奇数时， 有12122123122321111311322322311221212222122222n n n n n n n n n n n n n n a a ------------+++⎡⎤⎛⎫+=+=⨯<⨯=+ ⎪⎢⎥+-+--⎣⎦⎝⎭所以，当4m >且m 为偶数时， 有342454561111111111311122222m m m m a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4131113712242288m -⎛⎫=+⨯⨯-<+= ⎪⎝⎭ 当4m >且m 为奇数时，45451111111178m m m a a a a a a a ++++<++++< 所以对任意整数4m >时，都有4511178m a a a +++< 【点睛】本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、与数列有关的不等式的证明问题，难点在于进行不等式证明时，对原有数列通项进行适当放缩，从而可转化为等比数列求和的形式，进而再次放缩证得结果，属于难题.22.函数11()ln 2f x x x =+-，2211()22x g x e x ax a =---（e 是自然对数的底数，a R ∈）． （Ⅰ）求证：21()(1)2f x x ≥--+；（Ⅱ）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.91=，[]2.13-=-，若对任意10x ≥，都存在20x >，使得[]12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）ln 2⎡⎤-⎣⎦．【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先得出()()f x f x =，求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，'()0f x <确定减区间，从而确定出()f x 的最小值为1(1)2f =，而211(1)22x --+≤，由此不等式得证； （Ⅱ）此问题首先进行转化，当0x ≥时，()g x 的最小值为min ()g x ，当0x >时，[]()f x 的最小值为[]min ()f x ，依题意有[]min min ()()g x f x ≥，而由（Ⅰ）知[]min ()f x ＝0，因此有min ()0g x ≥，下面就是求出()g x 的最小值，即可得出a 的范围，为此可求()g x 的导数'()x g x e x a =--.为了确定'()g x 的正负，令()x h x e x a =--，再求导'()1x h x e =-，而当0x ≥时，1x e ≥，'()0h x ≥，()h x 在[0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)1h x h a ==-.下面对1a -按正负分类讨论：A①10a -≥，()g x 在[0,)+∞上是增函数，最小值为(0)g ；②10a -<，即1a >时，因为()h x 在[0,)+∞上是增函数，且(0)10h a =-<，因此()h x 在(0,)+∞上有一个零点，记为0x ，0()0h x =，即00e xa x =-，这样有当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即)'(0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >，所以，()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数，所以02min 00011()()022xg x g x e x ax a ==---≥，又00e x a x =-，所以0000022min0111()()(2)0222x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥，所以02x e ≤，所以00ln 2x <≤．由00e x a x =-，可令()x t x e x =-，由此求出()t x 的范围，即此时a 的范围，综合以上两点可得． 试题解析： （Ⅰ）22111'()x f x x x x-=-=（0x >）. 当1x >时，'()0f x >，当01x <<时，'()0f x <， 即()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以，当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为1(1)2f =， 所以1()()2f x f x =≥， 又211(1)22x --+≤，且当1x =时等号成立， 所以，21()(1)2f x x ≥--+.（Ⅱ）记当0x ≥时，()g x 的最小值为min ()g x ，当0x >时，[]()f x 的最小值为[]min ()f x ，依题意有[]min min ()()g x f x ≥，由（Ⅰ）知1()2f x ≥，所以[]min ()0f x =，则有min ()0g x ≥， '()x g x e x a =--.令()x h x e x a =--，'()1x h x e =-，而当0x ≥时，1x e ≥，所以'()0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)1h x h a ==-.①当10a -≥，即1a ≤时，()0h x ≥恒成立，即'()0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，所以2min ()(0)12a g x g ==-，依题意有2min ()102a g x =-≥，解得a ≤≤，所以1a ≤≤．②当10a -<，即1a >时，因为()h x 在[0,)+∞上是增函数，且(0)10h a =-<，若22a e +<，即21e 2a <<-，则(ln(2))2ln(2)2ln(2)0h a a a a a +=+-+-=-+>， 所以0(0,ln(2))x a ∃∈+，使得0()0h x =，即00e xa x =-，且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即)'(0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即'()0g x >， 所以，()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数， 所以02min 00011()()022xg x g x e x ax a ==---≥， 又00e x a x =-，所以0000022min 0111()()(2)0222x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥， 所以02x e ≤，所以00ln 2x <≤．由00e xa x =-，可令()x t x e x =-， '()1x t x e =-，当(0,ln 2]x ∈时，e 1x >，所以()t x 在(0,ln 2]上是增函数，所以当(0,ln 2]x ∈时，(0)()(ln 2)t t x t <≤，即1()2ln 2t x <≤-，所以12ln 2a <≤-．综上，所求实数a 的取值范围是ln 2⎡⎤-⎣⎦．点睛：本题是导数与函数的综合应用，解题主要思路就是用导数研究函数的性质，即研究函数的单调性，函数的最值，解题关键是转化与化归．第（Ⅰ）小题是证明函数不等式，本题解法比较特殊（不具有一般性），求出不等式左边()f x 的最小值与不等式右边21(1)2x --+的最大值，由最小值≥最大值证得结论，第（Ⅱ）小题主要是问题转化为min min ()[()]g x f x ≥，因此接着就是求两个最小值，其中min [()]f x 由第（Ⅰ）小题可知为0，在求()g x 最小值时，对其导数'()g x 的零点的讨论，要注意又对它求导，利用导数研究，分类讨论是必不可少的方法，在零点不确定时，设为0x ，利用零点的定义得出0x 与a 的关系，从而得出0x 的范围是解题过程的点睛之笔，遇到这类问题时要注意这个方法的应用．。