河北省唐山市滦南一中高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
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滦南一中2014届高三12月月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A ＝{y |y ＝x 2}，B ＝{y |x 2＋y 2＝2}，则A ∩B ＝ （A ）{(1，1)，(－1，1)} （B ）{－2，1} （C ）[0，2]（D ）[0，2]2．设复数z ＝1＋3 i 3 ＋i ，则z 的共轭复数—z ＝（A ）32＋ 12i （B ）12＋32i（C ）－12－32i（D ）32－ 12i 3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（A ）8 （B ）2 （C ）6＋42（D ）4＋424．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是 （A ）f (x )＝x |x | （B ）f (x )＝－x 3（C ）f (x )＝sin x （x ∈[0，2]） （D ）f (x )＝ln xx5．运行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 6．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是（A ）(1，2) （B ）(e ，＋∞) （C ）(2，3)（D ）(12，1)和(3，4) 7．已知函数f (x )的对应值表如下，数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1，2，3，…，则a 2012＝（A ）28．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60︒，|b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为 （A ）30︒ （B ）150︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线的离心率为（A ）5（B ）102（C ）3 ＋1 （D ）310．a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是（A ）sin A ＋cos A ＝ 15 （B ）tan A ＋tan B ＋tan C ＞0（C ）b ＝3，c ＝3，B ＝30︒（D ）AB →·BC →＜011．已知a 是实数，则函数f (x )＝a cos ax －1的图象不可能．．．是12．已知f (x )＝⎩⎨⎧2，x ≥0，－x ＋2，x ＜0，则满足不等式f (3－x 2)＜f (2x )的x 的取值范围是（A ）(－3，－3 ) （B ）(－3，1) （C ）[－3，0)（D ）(－3，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．13．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 在区间[π 4， π2]上的最大值为________．14．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则点P 到直线3x －4y －9＝0距离的最小值为_________．15．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝2，BC ＝23，∠BAC ＝90︒，且此三棱柱的各个顶点都在同一球面上，则该球的体积为_________．16．在△ABC 中，A ＝30︒，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x － 12，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合；（Ⅱ）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c ＝3，f (C )＝0，向量m＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．18．（本小题满分12分）某国际会议在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：（Ⅱ）会俄语的6名女记者中有4人曾在俄罗斯工作过，若从会俄语的6名女记者中随机抽取2人做同声翻译，求抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率．19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，AA1＝2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）求证：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC＝OA，求三棱锥B1－ABC的体积．20．（本小题满分12分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上一点，PF 2⊥x轴，∠PF 1F 2的正切值为34．（Ⅰ）求C 的离心率e ；（Ⅱ）过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，若△F 1MN 面积的最大值为3，求C 的方程．21．（本小题满分12分）设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x （a ∈R ）．（Ⅰ）当a ＝1时，求f (x )的极值；（Ⅱ）当a ≥2时，讨论f (x )的单调性．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，以B 为圆心的⊙B 与⊙O 的一个交点为P ，过A 点作直线交⊙O 于点Q ，交⊙B 于点M ，N ．（Ⅰ）求证：QM ＝QN ；（Ⅱ）设⊙O 的半径为2，⊙B 的半径为1，当AM ＝103时，求MN 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A (5，α)（α为锐角且tan α＝34）作平行于θ＝π4（ρ∈R ）的直线l ，且l 与曲线C 分别交于A ，B 两点．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）求|AB |的长． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a ． （Ⅰ）当a ＝4时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．PAB MONQ ·参 考 答 案一、选择题：CDCAB CABAB BD 二、填空题：13．114．215．32π316．22或4三、解答题：17．解：（Ⅰ）f min (x )＝－2，f (x )取得最小值时x 的取值集合{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }（Ⅱ）a ＝1，b ＝2．18．解：（Ⅰ）由已知，得2×2列联表：假设是否会俄语与性别无关．由已知数据，可得 K 2＝30×(10×8－6×6)2(10＋6)(6＋8)(10＋6)(6＋8)≈1.1575＜2.706，所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关．（Ⅱ）会俄语的6名女记者分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中A ，B ，C ，D 曾在俄罗斯工作过．从这6人任取2人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种，其中2人都在俄罗斯工作过的是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，所以抽出的女记者中，2人都在俄罗斯工作过的概率是P ＝615＝25． 19．（Ⅰ）证明：略 （Ⅱ）V ＝618．令t ＝m 2＋1，则t ≥1，所以h (t )＝m 2＋1(4＋3m 2)2＝t9t 2＋6t ＋1＝19t ＋1t＋6， 易证h (t )在[1，＋∞)上递减，所以h max (t )＝h (1)＝116， 进而S 的最大值为12c 2×14＝3，c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．21．解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f '(x )＝1－1x ＝x －1x．当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递减， 所以f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值．（Ⅱ）f '(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝(1－a )x 2＋ax －1x ＝[(1－a )x ＋1](x －1)x＝(1－a )(x －1a －1)(x －1)2．因为a ≥2，所以0＜1a －1≤1．当1a －1＝1，即a ＝2时，f '(x )＝－(x －1)2x ≤0在(0，＋∞)上恒成立；当0＜1a －1＜1，即a ＞2时，由f '(x )＜0，解得0＜x ＜1a －1或x ＞1； 由f '(x )＞0，解得1a －1＜x ＜1．综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在(0，1a －1)和(1，＋∞)上单调递减，在(1a －1，1)上单调递增．22．解：（Ⅰ）连结BM ，BN ，BQ ，BP ．因为B 为小圆的圆心，所以BM ＝BN ．又因为AB 为大圆的直径，所以BQ ⊥MN ，所以QM ＝QN ．（Ⅱ）因为AB 为大圆的直径，所以∠APB ＝90︒，AP 为圆B 的切线， AP 2＝AM ·AN ．由已知，AB ＝4，PB ＝1，AP 2＝AB 2－PB 2＝15，又AM ＝103，所以15＝103×(103＋MN )，所以MN ＝ 76．23．解：（Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为(4，3)，曲线L 的普通方程为y 2＝2x ，直线l的普通方程为y ＝x －1．（Ⅱ）设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝x －1，得x 2－4x ＋1＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，由弦长公式得|BC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝26． 24．解：（Ⅰ）若a ＝4，原不等式化为|2x ＋1|－|x －1|≤2．当x ＜－12时，由已知，得－x －2≤2，解得－4≤x ＜－12；当－12≤x ≤1时，由已知，得3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x ＞1时，由已知，得x ≤0，此时x 不存在． ∴原不等式的解集为{x |－4≤x ≤23}．（Ⅱ）设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x ＜－ 12，3x ，－ 12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1.故f (x )∈[－32，＋∞)，即f (x )的最小值为－32．所以f (x )＜log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是[24，＋∞)．。
