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2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)一、选择题1.已知的半径为，的半径为，圆心距，则与的位置关系是（）A. 外离B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】C2.如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A. B.C.D.【答案】C3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A. B.C.D.【答案】C4.如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A. B.C.D.【答案】C5.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°【答案】D6.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A.B.40πm2C.D.55πm2【答案】A7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A. B.C.D.【答案】A8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内【答案】D9.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A. B.C.D.【答案】C10.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）。
A.27°B.32°C.36°D.54°【答案】A11.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B12.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A. 3cmB. cmC. 2.5cmD. cm【答案】D13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A.B.C.D.【答案】C14.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A. 75°B. 70°C. 65°D. 35°【答案】B15.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D16.如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（）A. 4B.C. 3D. 2.5【答案】A17.在中，若为边的中点，则必有成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值为（）A. B.C. 34D. 10【答案】D18.如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：①；②；③.其中正确的是（）∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC= AB∴2CB2=CP•CM所以③正确A. ①②③B. ①C. ①②D. ②③【答案】A二、填空题19.已知扇形的弧长为2 ，圆心角为60°，则它的半径为________．【答案】620.一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为________cm．【答案】21.如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________ cm。
2018年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
2019年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧A以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)一、选择题1.已知的半径为，的半径为，圆心距，则与的位置关系是（）A. 外离B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】C2.如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A. B.C.D.【答案】C3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A. B.C.D.【答案】C4.如图，在中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A. B.C.D.【答案】C5.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A.40°B.50°C.70°D.80°【答案】D6.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A.B.40πm2C.D.55πm2【答案】A7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（）A. B.C.D.【答案】A8.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内【答案】D9.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A. B. C.D.【答案】C10.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B 等于（）。
A.27°B.32°C.36°D.54°【答案】A11.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B12.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF 的长度是（）A. 3cmB. cmC. 2.5cmD. cm【答案】D13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A.B.C.D.【答案】C14.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A. 75°B. 7 0°C. 65°D. 35°【答案】B15.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D16.如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（）C. 3D. 2.5 【答案】A17.在中，若为边的中点，则必有成立.依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值为（）A. B.C. 34D. 10【答案】D18.如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：①；②；③.其中正确的是（）∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC= AB∴2CB2=CP•CM所以③正确C. ①②D. ②③【答案】A二、填空题19.已知扇形的弧长为2 ，圆心角为60°，则它的半径为________．【答案】620.一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为________cm．【答案】21.如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________ cm。
2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆一．选择题（共16小题） 1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )A ．10︒B ．14︒C ．16︒D ．26︒ 2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )A ．248cm π B ．224cm π C ．212cm π D ．29cm π 3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )A ．213 B ．313 C ．23 D ．324．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒ 5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3) 6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )A ．54︒B ．27︒C ．36︒D ．108︒7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )A ．AED ∆B ．ABD ∆C ．BCD ∆ D ．ACD ∆9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1π-B ．12π- C ．12π-D ．122π- 10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )A ．63π-B ．632π-C ．63π+D ．632π+ 11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒ 12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )A．58B．78C．710D．4514．（2018•常州）如图，AB是O的直径，MN是O的切线，切点为N，如果52MNB∠=︒，则NOA∠的度数为()A．76︒B．56︒C．54︒D．52︒15．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若40BOC∠=︒，则D∠的度数为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒16．（2018•盐城）如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35ADC∠=︒，则CAB∠的度数为()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒二．填空题（共17小题）17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．19．（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18ADB∠=︒，则这个正多边形的边数为．20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，3BC=．若以AC所在直线为轴，把ABC∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 ． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= ︒．23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 2cm ．24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= ︒．25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 ︒．26．（2019•无锡）如图，AB为O的直径，点C、D在O上，若70∠的度数是．CBA∠=︒，则D27．（2019•常州）如图，半径为3的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan OCB∠=．28．（2019•泰州）如图，O的半径为5，点P在O上，点A在O内，且3AP=，过点A作AP的垂线=，则y与x的函数表达式为．交O于点B、C．设PB x=，PC y29．（2019•连云港）如图，点A、B、C在O上，6∠=︒，则O的半径为．BC=，30BAC30．（2019•扬州）如图，AC是O的内接正六边形的一边，点B在AC上，且BC是O的内接正十边形的一边，若AB是O的内接正n边形的一边，则n=．31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为．32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．a<，点C是以OA为直径的B上一动点，点A关于点C 33．（2018•无锡）如图，点A的坐标是(a，0)(0)的对称点为P．当点C在B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线113y x=--有且只有一个公共点，则a的值等于．三．解答题（共12小题）34．（2020•宿迁）如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，以BD为直径的O经过点A，且CAD ABC∠=∠．（1）请判断直线AC是否是O的切线，并说明理由；（2）若2CD=，4CA=，求弦AB的长．35．（2020•镇江）如图，ABCD中，ABC∠的平分线BO交边AD于点O，4OD=，以点O为圆心，OD 长为半径作O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交O于点G，G为MN的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知1cos3ABC∠=，连接AE，当AE与O相切时，求AB的长．36．（2020•盐城）如图，O是ABC∆的外接圆，AB是O的直径，DCA B∠=∠．（1）求证：CD是O的切线；（2）若DE AB⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF∆是等腰三角形．37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O 关于直线m 的“特征数”为 ；②若直线n 的函数表达式为34y x =+．求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,4)M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作F ．若F 与直线l 相离，点(1,0)N -是F 关于直线l 的“远点”．且F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．40．（2020•南京）如图，在ABC ∆中，AC BC =，D 是AB 上一点，O 经过点A 、C 、D ，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交O 于点F ． 求证：（1）四边形DBCF 是平行四边形； （2）AF EF =．41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．42．（2019•镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长．(π取3.1)43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC （如图1)中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)． （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．45．（2019•扬州）如图，AB是O的弦，过点O作OC OA=．⊥，OC交AB于P，CP BC （1）求证：BC是O的切线；（2）已知25∠=︒，点Q是AmB上的一点．BAO∠的度数；①求AQB②若18OA=，求AmB的长．2018—2020年江苏省数学中考试题分类（13）——圆一．选择题（共16小题）1．（2020•镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，106ADC ∠=︒，则CAB ∠等于( )A ．10︒B ．14︒C ．16︒D ．26︒【解答】解：连接BD ，如图，AB 是半圆的直径，90ADB ∴∠=︒，1069016BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，16CAB BDC ∴∠=∠=︒．故选：C ．2．（2020•南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：)cm ，则这个几何体的侧面积为( )A ．248cm πB ．224cm πC ．212cm πD ．29cm π【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积216824()2cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：B ．3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )A 213B 313C ．23D ．32【解答】解：如图，连接AC 、BC ．ADC ∠和ABC ∠所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，ADC ABC ∠=∠．在Rt ACB ∆中，根据锐角三角函数的定义知， sin AC ABC AB∠=， 2AC =，3BC =，2213AB AC BC ∴=+=，213sin 13ABC ∴∠==， 213sin ADC ∴∠=． 故选：A ．4．（2020•徐州）如图，AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若70BPC ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒ 【解答】解：OC OA ⊥，90AOC ∴∠=︒，70APO BPC ∠=∠=︒，907020A ∴∠=︒-︒=︒，OA OB =，20OBA A ∴∠=∠=︒，BC 为O 的切线，OB BC ∴⊥，90OBC ∴∠=︒，902070ABC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴、y 轴都相切，且经过矩形AOBC 的顶点C ，与BC 相交于点D ．若P 的半径为5，点A 的坐标是(0,8)．则点D 的坐标是( )A ．(9,2)B ．(9,3)C ．(10,2)D ．(10,3)【解答】解：设O 与x 、y 轴相切的切点分别是F 、E 点，连接PE 、PF 、PD ，延长EP 与CD 交于点G ，则PE y ⊥轴，PF x ⊥轴，90EOF ∠=︒，∴四边形PEOF 是矩形，PE PF =，//PE OF ，∴四边形PEOF 为正方形，5OE PF PE OF ∴====， (0,8)A ，8OA ∴=，853AE ∴=-=，四边形OACB 为矩形，8BC OA ∴==，//BC OA ，//AC OB ，//EG AC ∴，∴四边形AEGC 为平行四边形，四边形OEGB 为平行四边形，3CG AE ∴==，EG OB =，PE AO ⊥，//AO CB ，PG CD ∴⊥，26CD CG ∴==，862DB BC CD ∴=-=-=，5PD =，3DG CG ==，4PG ∴=，549OB EG ∴==+=，(9,2)D ∴．故选：A ．6．（2020•淮安）如图，点A 、B 、C 在O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是( )A ．54︒B ．27︒C ．36︒D ．108︒【解答】解：54ACB ∠=︒，∴圆心角2108AOB ACB ∠=∠=︒，OB OA =，1(180)362ABO BAO AOB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒， 故选：C ． 7．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为( )A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π【解答】解：连接OC ，90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，∴四边形CDOE 是矩形，//CD OE ∴，36DEO CDE ∴∠=∠=︒，由矩形CDOE 易得到DOE CEO ∆≅∆，36COB DEO ∴∠=∠=︒∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，2361010360OBC S ππ⋅⨯==扇形 ∴图中阴影部分的面积10π=，故选：A ．8．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点．则点O 是下列哪个三角形的外心( )A ．AED ∆B ．ABD ∆C ．BCD ∆ D ．ACD ∆【解答】解：从O 点出发，确定点O 分别到A ，B ，C ，D ，E 的距离，只有OA OC OD ==， 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴点O 是ACD ∆的外心，故选：D ．9．（2020•苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1π-B ．12π- C ．12π- D ．122π- 【解答】解：CD OA ⊥，CE OB ⊥，90CDO CEO AOB ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CDOE 是矩形，连接OC ， 点C 是AB 的中点，AOC BOC ∴∠=∠，OC OC =，()COD COE AAS ∴∆≅∆，OD OE ∴=，∴矩形CDOE 是正方形，2OC OA ==，1OE ∴=，∴图中阴影部分的面积9021113602ππ⨯=-⨯=-， 故选：B ．10．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是( )A ．63π-B ．632π-C ．63π+D ．632π+【解答】解：6个月牙形的面积之和213(2623)632πππ=--⨯⨯⨯=-， 故选：A ．11．（2019•苏州）如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO 、BO ，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ．若36ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )A ．54︒B ．36︒C ．32︒D ．27︒【解答】解：AB 为O 的切线，90OAB ∴∠=︒，36ABO ∠=︒，9054AOB ABO ∴∠=︒-∠=︒，OA OD =，ADC OAD ∴∠=∠，AOB ADC OAD ∠=∠+∠，1272ADC AOB ∴∠=∠=︒； 故选：D ．12．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，DMC EMC ∴∠=∠，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，AMP EMP ∴∠=∠，180AMD ∠=︒，1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒， CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，90D MEC ∴∠=∠=︒，再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，90MEG A ∴∠=∠=︒，180GEC ∴∠=︒，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；2AD=，∴设AB x =，则AD =，将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；12DMAD ∴==， CM ∴=，90PMC ∠=︒，MN PC⊥，2CM CN CP∴=，2CP ∴=，2PN CP CNx ∴=-=， PM ∴==，∴PC PM == PC ∴=，故③错误；2PC =，PBx ∴==，∴AB PB = PB AB ∴=，故④正确， CD CE =，EG AB =，AB CD =，CE EG ∴=，90CEM G ∠=∠=︒，//FE PG ∴，CF PF ∴=，90PMC ∠=︒，CF PF MF ∴==，∴点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B ．13．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出sin AOB ∠的值是( )A ．58B ．78C ．710D ．45【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作D ，连接AD ．OD 是直径，90OAD ∴∠=︒，90AOB AOD ∠+∠=︒，90AOD ADO ∠+∠=︒，AOB ADO ∴∠=∠，由刻度尺可知，0.8OA =，84sin sin 105AOB ADO ∴∠=∠==， 故选：D ．14．（2018•常州）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为N ，如果52MNB ∠=︒，则NOA ∠的度数为( )A ．76︒B ．56︒C ．54︒D ．52︒【解答】解：MN 是O 的切线，ON NM ∴⊥，90ONM ∴∠=︒，90905238ONB MNB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，ON OB =，38B ONB ∴∠=∠=︒，276NOA B ∴∠=∠=︒．故选：A ． 15．（2018•苏州）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若40BOC ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【解答】解：40BOC ∠=︒，18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒，1(360140)1102D ∴∠=⨯︒-︒=︒， 故选：B ．16．（2018•盐城）如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，35ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数为( )A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【解答】解：由圆周角定理得，35ABC ADC ∠=∠=︒，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，9055CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．二．填空题（共17小题）17．（2020•镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 30π ．【解答】解：圆锥侧面积1256302ππ=⨯⨯⨯=． 故答案为30π．18．（2020•宿迁）用半径为4，圆心角为90︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 1 ．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得9042180r ππ=， 解得1r =，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．19．（2020•徐州）如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为 10 ．【解答】解：连接OA ，OB ，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上，18ADB ∠=︒，236AOB ADB ∴∠=∠=︒，∴这个正多边形的边数3601036︒==︒，故答案为：10．20．（2020•徐州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =．若以AC 所在直线为轴，把ABC ∆旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．【解答】解：由已知得，母线长5l =，底面圆的半径r 为3， ∴圆锥的侧面积是5315s lr πππ==⨯⨯=． 故答案为：15π． 21．（2020•徐州）在ABC ∆中，若6AB =，45ACB ∠=︒．则ABC ∆的面积的最大值为 929+ ． 【解答】解：作ABC ∆的外接圆O ，过C 作CM AB ⊥于M ，弦AB 已确定，∴要使ABC ∆的面积最大，只要CM 取最大值即可， 如图所示，当CM 过圆心O 时，CM 最大， CM AB ⊥，CM 过O ，AM BM ∴=（垂径定理）， AC BC ∴=，224590AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，116322OM AM AB ∴===⨯=，2232OA OM AM ∴=+=， 323CM OC OM ∴=+=+，116(323)92922ABC S AB CM ∆∴==⨯⨯+=+．故答案为：929+． 22．（2020•盐城）如图，在O 中，点A 在BC 上，100BOC ∠=︒．则BAC ∠= 130 ︒．【解答】解：如图，在优弧BC 上取一点D ，且异于B ，C ，连接BD ，CD ， 则四边形ABDC 是O 的内接四边形， 180D BAC ∴∠+∠=︒． 100BOC ∠=︒， 50D ∴∠=︒，18050130BAC ∴∠=︒-︒=︒， 故答案为：130．23．（2020•南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则PEF ∆的面积为 23 2cm ．【解答】解：连接BF ，BE ，过点A 作AT BF ⊥于TABCDEF是正六边形， //CB EF ∴，AB AF =，120BAF ∠=︒， PEF BEF S S ∆∆∴=，AT BF ⊥，AB AF =，BT FT ∴=，60BAT FAT ∠=∠=︒， sin 603BT FT AB ∴==︒=223BF BT ∴==，120AFE ∠=︒，30AFB ABF ∠=∠=︒， 90BFE ∴∠=︒，112232322PEF BEF S S EF BF ∆∆∴===⨯⨯=，故答案为23． 24．（2020•连云港）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五边形12345B B B B B ，且3434//A A B B ，直线l经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α= 48 ︒．【解答】解：设l 交12A A 于E 、交43A A 于D ，如图所示：六边形123456A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和(62)180720=-⨯︒=︒，1232347201206A A A A A A ︒∴∠=∠==︒，五边形12345B B B B B 是正五边形，五边形的内角和(52)180540=-⨯︒=︒，2345401085B B B ︒∴∠==︒，4318010872B B D ∴∠=︒-︒=︒， 3434//A A B B ，34372EDA B B D ∴∠=∠=︒，212323433603601201207248A ED A A A A A A EDA α∴=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒， 故答案为：48．25．（2020•苏州）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B ∠的度数是 25 ︒．【解答】解：AC 是O 的切线， OA AC ∴⊥， 90OAC ∴∠=︒，90904050AOC C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OB OD =，OBD ODB ∴∠=∠，而AOC OBD ODB ∠=∠+∠，1252OBD AOC ∴∠=∠=︒，即ABD ∠的度数为25︒， 故答案为：25． 26．（2019•无锡）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，若70CBA ∠=︒，则D ∠的度数是 20︒ ．【解答】解：AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒， 70CBA ∠=︒， 20A ∴∠=︒，20D A ∴∠=∠=︒． 故答案为20︒． 27．（2019•常州）如图，半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan OCB ∠= 3．【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒，tan ODOBC BD ∴∠=， 33tan 303OD BD ∴===︒，835CD BC BD ∴=-=-=，3tan OD OCB CD ∴∠==3．28．（2019•泰州）如图，O 的半径为5，点P 在O 上，点A 在O 内，且3AP =，过点A 作AP 的垂线交O 于点B 、C ．设PB x =，PC y =，则y 与x 的函数表达式为 30y x= ．【解答】解：连接PO 并延长交O 于D ，连接BD ， 则C D ∠=∠，90PBD ∠=︒， PA BC ⊥， 90PAC ∴∠=︒， PAC PBD ∴∠=∠， PAC PBD ∴∆∆∽， ∴PB PD PA PC=， O 的半径为5，3AP =，PB x =，PC y =， ∴103x y =， 30xy ∴=，30y x∴=， 故答案为：30y x=．29．（2019•连云港）如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=︒，则O 的半径为 6 ．【解答】解：260BOC BAC ∠=∠=︒，又OB OC =， BOC ∴∆是等边三角形 6OB BC ∴==， 故答案为6．30．（2019•扬州）如图，AC 是O 的内接正六边形的一边，点B 在AC 上，且BC 是O 的内接正十边形的一边，若AB 是O 的内接正n 边形的一边，则n = 15 ．【解答】解：连接BO ，AC 是O 内接正六边形的一边， 360660AOC ∴∠=︒÷=︒，BC 是O 内接正十边形的一边， 3601036BOC ∴∠=︒÷=︒，603624AOB AOC BOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 3602415n ∴=︒÷︒=； 故答案为：15．31．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为 6π ．【解答】解：该圆锥的侧面积122362ππ=⨯⨯⨯=．故答案为6π． 32．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 2 ．【解答】解：直角三角形的斜边2251213=+=，所以它的内切圆半径5121322+-==．故答案为2． 33．（2018•无锡）如图，点A 的坐标是(a ，0)(0)a <，点C 是以OA 为直径的B 上一动点，点A 关于点C的对称点为P ．当点C 在B 上运动时，所有这样的点P 组成的图形与直线113y x =--有且只有一个公共点，则a 的值等于 31010- ．【解答】解：如图，连接BC ，OD ，设直线113y x =--交x 轴于点(3,0)E -，交y 轴于点(0,1)F -，AC CD =，AB OB =， 2OD BC a ∴==-，∴点D 的运动轨迹是以O 为圆心a -为半径的圆，当O 与直线113y x =--相切时，点P 组成的图形与直线113y x =--有且只有一个公共点，设切点为G ，连接OG ．在Rt EOF ∆中，OG EF ⊥，221310EF =+=，1122OE OF EF OG =，310OG ∴=， 310a ∴=-， 故答案为：310-．三．解答题（共12小题） 34．（2020•宿迁）如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的O 经过点A ，且CAD ABC ∠=∠． （1）请判断直线AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）若2CD =，4CA =，求弦AB 的长．【解答】解：（1）直线AC 是O 的切线， 理由如下：如图，连接OA ，BD 为O 的直径，90BAD OAB OAD ∴∠=︒=∠+∠， OA OB =，OAB ABC ∴∠=∠， 又CAD ABC ∠=∠，OAB CAD ABC ∴∠=∠=∠，90OAD CAD OAC ∴∠+∠=︒=∠， AC OA ∴⊥， 又OA 是半径，∴直线AC 是O 的切线；（2）过点A 作AE BD ⊥于E ， 222OC AC AO =+， 22(2)16OA OA ∴+=+， 3OA ∴=，5OC ∴=，8BC =，1122OAC S OA AC OC AE ∆=⨯⨯=⨯⨯，341255AE ⨯∴==，2214499255OE AO AE ∴=-=-=，245BE BO OE ∴=+=， 225761441252525AB BE AE ∴=+=+=． 35．（2020•镇江）如图，ABCD 中，ABC ∠的平分线BO 交边AD 于点O ，4OD =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，分别交边DA 、DC 于点M 、N ．点E 在边BC 上，OE 交O 于点G ，G 为MN 的中点． （1）求证：四边形ABEO 为菱形；（2）已知1cos 3ABC ∠=，连接AE ，当AE 与O 相切时，求AB 的长．【解答】解：（1）证明：G 为MN 的中点， MOG MDN ∴∠=∠．四边形ABCD 是平行四边形． //AO BE ∴，180MDN A ∠+∠=︒， 180MOG A ∴∠+∠=︒， //AB OE ∴，∴四边形ABEO 是平行四边形． BO 平分ABE ∠， ABO OBE ∴∠=∠， 又OBE AOB ∠=∠， ABO AOB ∴∠=∠， AB AO ∴=，∴四边形ABEO 为菱形；（2）如图，过点O 作OP BA ⊥，交BA 的延长线于点P ，过点O 作OQ BC ⊥于点Q ，设AE 交OB 于点F ，则PAO ABC ∠=∠，设AB AO OE x ===，则1cos 3ABC ∠=，1cos 3PAO ∴∠=，∴13PA AO =， 13PA x ∴=，22OP OQ x ∴==当AE 与O 相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F 为切点，∴在Rt OBQ ∆中，由勾股定理得：222422()()833x x +=，解得：26x =（舍负）． AB ∴的长为26． 36．（2020•盐城）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠． （1）求证：CD 是O 的切线；（2）若DE AB ⊥，垂足为E ，DE 交AC 于点F ，求证：DCF ∆是等腰三角形．【解答】证明：（1）连接OC ， OC OA =， OCA A ∴∠=∠，AB 是O 的直径， 90BCA ∴∠=︒， 90A B ∴∠+∠=︒， DCA B ∠=∠，90OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=︒， OC CD ∴⊥，CD ∴是O 的切线；（2）90OCA DCA ∠+∠=︒，OCA A ∠=∠， 90A DCA ∴∠+∠=︒， DE AB ⊥，90A EFA ∴∠+∠=︒， DCA EFA ∴∠=∠，EFA DFC∠=∠，∴∠=∠，DCA DFC∴∆是等腰三角形．DCF37．（2020•常州）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点(Q在P、H之间）．我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)．半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”)，O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为34y x=+．求O关于直线n的“特征数”；M，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(1,4)N-是F关于直线l的“远点”．且F关于直线l的“特征数”是45，作F．若F与直线l相离，点(1,0)求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数2510==⨯=，DB DE故答案为：D，10．②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交O于Q，P．设直线34y x=+交x轴于43(F-，0)，交y轴于(0,4)E，4OE∴=，43OF=3tanOFFEOOE∴∠==，30FEO∴∠=︒，122OH OE∴==，3PH OH OP∴=+=，O∴关于直线n的“特征数”236PQ PH==⨯=．（2）如图2中，设直线l的解析式为y kx b=+．当0k>时，过点F作FH⊥直线l于H，交F于E，N．由题意，22EN=45EN NH=10NH∴=，(1,0)N-，(1,4)M，222425MN∴+=22201010HM MN NH∴--=MNH∴∆是等腰直角三角形，MN的中点(0,2)K，5KN HK KM∴==(2,3)H∴-，把(2,3)H-，(1,4)M代入y kx b=+，则有423k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得13113kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的解析式为11133y x=+，当0k <时，同法可知直线l '经过(2,1)H '，可得直线l '的解析式为37y x =-+．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为11133y x =+或37y x =-+．38．（2020•连云港）（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，6PF =，AEP ∆的面积为1S ，CFP ∆的面积为2S ，则12S S += 12 ； （2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）；（3）如图3，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），过点P 作//EF AD ，//HG AB ，与各边分别相交于点E 、F 、G 、H ．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PGCF 的面积为2S （其中21)S S >，求PBD ∆的面积（用含1S 、2S 的代数式表示）； （4）如图4，点A 、B 、C 、D 把O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BC 围成的封闭图形的面积为1S ，PA 、PD 、AD 围成的封闭图形的面积为2S ，PBD ∆的面积为3S ，PAC∆的面积为4S ，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有1S 、2S 、3S 、4S 的等式（写出一种情况即可）．【解答】解：（1）如图1中，过点P 作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ． 四边形ABCD 是矩形，//EF BC ，∴四边形AEPM ，四边形MPFD ，四边形BNPE ，四边形PNCF 都是矩形，2BE PN CF ∴===，162PFC S PF CF ∆=⨯⨯=，AEP APM S S ∆∆=，PEB PBN S S ∆∆=，PDM PFD S S ∆∆=，PCN PCF S S ∆∆=，ABD BCD S S ∆∆=，AEPM PNCF S S ∴=矩形矩形， 126S S ∴==， 1212S S ∴+=，故答案为12．（2）如图2中，连接PA ，PC ，在APB ∆中，点E 是AB 的中点，∴可设APE PBE S S a ∆∆==，同理，APH PDH S S b ∆∆==，PDG PGC S S c ∆∆==，PFC PBF S S d ∆∆==，AEPH PFCG S S a b c d ∴+=+++四边形四边形，PEBF PHDG S S a b c d +=+++四边形四边形， 12AEPH PFCG PEBF PHDG S S S S S S ∴+=+=+四边形四边形四边形四边形， 1212ABD ABCD S S S S ∆∴==+平行四边形， 1121121()()PBDABD PBE PHD S S S S S S S S a S a S S ∆∆∆∆∴=-++=+-++-=-．（3）如图3中，由题意四边形EBGP ，四边形HPFD 都是平行四边形， 2EBP EBGP S S ∆∴=四边形，2HPD HPFD S S ∆=四边形， ()()121211122222ABD EBP HPD EBP HPD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∴==+++=+++平行四边形， 1211()()2PBDABD EBP HPD S S S S S S S ∆∆∆∆∴=-++=-．（4）如图41-中，结论：2134S S S S -=+．理由：设线段PB ，线段PA ，弧AB 围成的封闭图形的面积为x ，线段PC ，线段PD ，弧CD 的封闭图形的面积为y ．由题意：1413S x S S y S ++=++， 34x y S S ∴-=-，12142()S S x y S x S +++=++， 214342S S x y S S S ∴-=-+=+．同法可证：图42-中，有结论：1234S S S S -=+． 图43-中和图44-中，有结论：1234||||S S S S -=-．39．（2020•扬州）如图，ABC ∆内接于O ，60B ∠=︒，点E 在直径CD 的延长线上，且AE AC =． （1）试判断AE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若6AC =，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA、AD，如图，CD为O的直径，90DAC∴∠=︒，又60ADC B∠=∠=︒，30ACE∴∠=︒，又AE AC=，OA OD=，ADO∴∆为等边三角形，30AEC∴∠=︒，60ADO DAO∠=∠=︒，30EAD∴∠=︒，90EAD DAO∴∠+∠=︒，90EAO∴∠=︒，即OA AE⊥，AE∴为O的切线；（2）解：由（1）可知AEO∆为直角三角形，且30E∠=︒，23OA∴=，6AE=，∴阴影部分的面积为2160(23)6236322ππ⨯⨯⨯-=-．故阴影部分的面积为632π-．40．（2020•南京）如图，在ABC∆中，AC BC=，D是AB上一点，O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//DF BC，交O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF EF=．【解答】证明：（1）AC BC=，BAC B∴∠=∠，//DF BC，ADF B∴∠=∠，BAC CFD ∠=∠， ADF CFD ∴∠=∠， //BD CF ∴， //DF BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；（2）连接AE ， ADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠， AEF B ∴∠=∠，四边形AECF 是O 的内接四边形， 180ECF EAF ∴∠+∠=︒， //BD CF ，180ECF B ∴∠+∠=︒， EAF B ∴∠=∠， AEF EAF ∴∠=∠， AF EF ∴=． 41．（2020•苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<． （1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．【解答】解：（1）由题意可得，8OP t =-，OQ t =， 88()OP OQ t t cm ∴+=-+=．（2）当4t =时，线段OB 的长度最大．如图，过点B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．OT 平分MON ∠，45BOD OBD ∴∠=∠=︒， BD OD ∴=，2OB BD =．设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--， //BD OQ ， ∴PD BD OP OQ =， ∴88t x x t t--=-，288t tx -∴=． 228224)228t t OB t -∴==-+二次项系数小于0．∴当4t =时，线段OB 的长度最大，最大为22cm ． （3）90POQ ∠=︒， PQ ∴是圆的直径． 90PCQ ∴∠=︒．45PQC POC ∠=∠=︒， PCQ ∴∆是等腰直角三角形．211221224PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆∴==⨯=． 在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．∴四边形OPCQ 的面积21124POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=+，2211(8)[(8)]24t t t t =-+-+， 221141641622t t t t =-++-=．∴四边形OPCQ 的面积为216cm ． 42．（2019•镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)O ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩” )，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥． （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km=，求这两个观测点之间的距离即O上AB的长．(π取3.1)【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD BC⊥于D，CH BH⊥交BC于点C，如图所示：则67DHC∠=︒，90HBD BHD BHD DHC∠+∠=∠+∠=︒，67HBD DHC∴∠=∠=︒，//ON BH，67BEO HBD∴∠=∠=︒，906723BOE∴∠=︒-︒=︒，PQ ON⊥，90POE∴∠=︒，902367POB∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA∠=︒，673136AOB POB POA∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴3664003968()180AB kmπ⨯⨯==．43．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1)中，78BAC∠=︒，10AC=．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)．（1）ABC ∠= 30 ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．【解答】解：（1）五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒，30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒， 故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QCQAC AC∠=，sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=， 在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒， 219.6BC QC ∴==， 9.6GC BC BG ∴=-=．44．（2019•常州）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： 2 ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(1,0)B ，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在M 上运动，M 的半径为1，圆心M 在过点(0,2)且与y 轴垂直的直线上．对于M 上任意点C ，都有58d ，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图，A 、B 两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AP 的垂线，过点B 作BP 的垂线，两垂线交于点Q ，连接PQ ，M 为线段PQ 的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
江苏省苏州市2018年中考数学试卷一、选择题<共10小题，每小题3分，共30分）1．<3分）<2018?苏州）<﹣3）×3的结果是<）A．﹣9 B．0C．9D．﹣6考点：有理数的乘法．分析：根据两数相乘，异号得负，可得答案．解答：解：原式=﹣3×3=﹣9，故选：A．点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值得运算．2．<3分）<2018?苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为<）A．30°B．60°C．70°D．150°考点：对顶角、邻补角分析：根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．解答：解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．故选：A．点评：本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．3．<3分）<2018?苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为<）A．1B．3C．4D．5考点：众数分析：根据众数的概念求解．解答：解：这组数据中3出现的次数最多，故众数为3．故选 B点评：本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．4．<3分）<2018?苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是<）A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4考点：二次根式有意义的条件分析：二次根式有意义，被开方数是非负数．解答：解：依题意知，x﹣4≥0，解得x≥4．故选：D．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子<a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．<3分）<2018?苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是<）b5E2RGbCAPA．B．C．D．考点：几何概率．分析：设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率==．故选D．点评：本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．6．<3分）<2018?苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为<）p1EanqFDPwA．30°B．40°C．45°D．60°考点：等腰三角形的性质分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．7．<3分）<2018?苏州）下列关于x的方程有实数根的是<）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．<x﹣1）<x+2）=0 D．<x﹣1）2+1=0 考点：根的判别式．专计算题．题：分析：分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．解答：解：A、△=<﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；D、<x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0<a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．<3分）<2018?苏州）二次函数y=ax 2+bx﹣1<a≠0）的图象经过点<1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为<）DXDiTa9E3dA．﹣3 B．﹣1 C．2D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把点<1，1）代入函数解读式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1<a≠0）的图象经过点<1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣<a+b）=1﹣2=﹣1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．9．<3分）<2018?苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离<即AB的长）为<）RTCrpUDGiTA．4km B．2km C．2km D．<+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离<即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．<3分）<2018?苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标<2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为<）5PCzVD7HxAA．<，）B．<，）C．<，）D．<，4）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A<2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为<，）．故选C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．二、填空题<共8小题，每小题3分，共24分）11．<3分）<2018?苏州）的倒数是．考点：倒数．分析：根据乘积为1的两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：的倒数是，故答案为：．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．12．<3分）<2018?苏州）已知地球的表面积约为510000000km 2，数510000000用科学记数法可表示为 5.1×108．jLBHrnAILg 考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：510 000 000=5.1×108．故答案为： 5.1×108．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．13．<3分）<2018?苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为4．考点：正方形的性质．分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵正方形ABCD的对角线AC=，∴边长AB=÷=1，∴正方形ABCD的周长=4×1=4．故答案为：4．点评：本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的倍是解题的关键．14．<3分）<2018?苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解个门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有240人．xHAQX74J0X考点：用样本估计总体；条形统计图．分析：根据样本的数据，可得样本C占样本的比例，根据样本的比例，可C占总体的比例，根据总人数乘以C占得比例，可得答案．解答：解：C占样本的比例，C占总体的比例是，选修C课程的学生有1200×=240<人），故答案为：240．点评：本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．15．<3分）<2018?苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．LDAYtRyKfE考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角<或余角）的三角函数关系式求三角函数值．16．<3分）<2018?苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则<x+y）的值为20．Zzz6ZB2Ltk 考点：二元一次方程组的应用．分析：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可．解答：解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得，解得：．∴x+y=20．故答案为：20．点评：本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键．17．<3分）<2018?苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE?ED=，则矩形ABCD的面积为5．dvzfvkwMI1考点：矩形的性质；勾股定理．分析：连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．解答：解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE?ED=，∴4x?x=，解得：x=<负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．18．<3分）<2018?苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点<不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则<x﹣y）的最大值是2．rqyn14ZNXI考点：切线的性质．分析：作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，所以x﹣y=x﹣x 2=﹣x2+x=﹣<x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．解答：解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP=∠APB ，∴△APC ∽△PBA ，∴=，∵PA=x ，PB=y ，半径为 4 ∴=，∴y=x 2，∴x ﹣y=x ﹣x 2=﹣x 2+x=﹣<x ﹣4）2+2，当x=4时，x ﹣y 有最大值是2，故答案为：2．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题<共11小题，共76分）19．<5分）<2018?苏州）计算：22+|﹣1|﹣．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣2=3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．20．<5分）<2018?苏州）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＞3；由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．<5分）<2018?苏州）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．解答：解：=÷<+）=÷=×=，把，代入原式====．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．22．<6分）<2018?苏州）解分式方程：+=3．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．<6分）<2018?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC 上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．EmxvxOtOco<1）求证：△BCD≌△FCE；<2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：<1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；<2）由<1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：<1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE<SAS）．<2）解：由<1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．<7分）<2018?苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P<a，0）<其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．SixE2yXPq5<1）求点A的坐标；<2）若OB=CD，求a的值．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：<1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为<2，2），再把M<2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解读式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为<6，0）；<2）先确定B点坐标为<0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为<a，﹣a+3），D点坐标为<a，a），所以a﹣<﹣a+3）=3，然后解方程即可．解答：解：<1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为<2，2），把M<2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解读式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为<6，0）；<2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为<0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为<a，﹣a+3），D点坐标为<a，a）∴a﹣<﹣a+3）=3，∴a=4．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．25．<7分）<2018?苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法<画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．6ewMyirQFL考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：画树状图得出所有等可能的情况数，找出A与C中颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．解解：画树状图，如图所示：答：所有等可能的情况有8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．<8分）<2018?苏州）如图，已知函数y=<x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为<1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1<点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．kavU42VRUs<1）求△OCD的面积；<2）当BE=AC时，求CE的长．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：<1）根据待定系数法，可得函数解读式，根据图象上的点满足函数解读式，可得D 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；<2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案．解答：解；<1）y=<x＞0）的图象经过点A<1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为<1，1）．∵CD∥x轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为<2，1）．∴．<2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．点评：本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解读式，图象上的点满足函数解读式．27．<8分）<2018?苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．y6v3ALoS89<1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；<2）求证：BF=BD；<3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P<不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．M2ub6vSTnP考点：圆的综合题．分析：<1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；<2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；<3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF<SAS），求出PG=PF．解答：<1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；<2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；<3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF<SAS），∴PG=PF．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和弧长公式以及圆心角定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．28．<9分）<2018?苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD 沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t<s）0YujCfmUCw<1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；<2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离<即OO1的长）；eUts8ZQVRd<3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d<cm），当d＜2时，求t的取值范围<解答时可以利用备用图画出相关示意图）．sQsAEJkW5T考点：圆的综合题．分析：<1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；<2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；<3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．解答：解：<1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；<2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；<3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由<2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣<2﹣）=t2﹣<+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．29．<10分）<2018?苏州）如图，二次函数y=a<x 2﹣2mx﹣3m2）<其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B<点A位于点B的左侧），与y轴交于C<0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．GMsIasNXkA<1）用含m的代数式表示a；<2）求证：为定值；<3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．TIrRGchYzg考点：二次函数综合题．分析：<1）由C在二次函数y=a<x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．<2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．<3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且<2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解答：<1）解：将C<0，﹣3）代入二次函数y=a<x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a<0﹣0﹣3m2），解得 a=．<2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a<x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得 x1=﹣m，x2=3m，则 A<﹣m，0），B<3m，0）．∵CD∥AB，∴点D的坐标为<2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为<x，），∴=，∴x=4m，∴E<4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．<3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为<m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．点评：本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018届四月调考复习专题—圆综合例1如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，弦CA 、BD 的延长线交于S ,︒=∠m APD 2，︒+︒=∠15m PAC 。
（1）求∠S 的度数；(2）连AD 、BC ，若3=ADBC,求m 的值.（1)解 ∵∠APD=2m º， ∠P AC= m º+15º ∠APD =∠B +∠PDB =∠B +∠P AC ∴∠B=2m º-( m º+15º)= m º-15º…………2分 ∠P AC =∠B+∠S∴∠S =∠P AC —∠B=30º…………4分 （2） 作DT ⊥CS 于T∵∠S =30º 易证△SDA △SCB ………………………5 分∴ AD BC =SDCS=3易证, ST=CT …………7分∴∠ACD =∠S=30º=∠ABD = m º—15º∴m=45 ………………8分例2． (本题8分）RT △ABC 中,∠ACB ＝90°， AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O 。
（1） 求证：AB 为⊙O 的切线;（2） 已知AO 的延长线交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于D,若tan ∠D ＝12,AC=4，求⊙O 的半径(1）过O 作OH ⊥AB 于H ，∵AO 平分∠BAC,又∴∠ACB=090,∴OH=OC ， ∴AB 为⊙O 的切线。
——---—-—-——-—-——---—--—---————---——--——---—----—--—(4分）（2)连接CF ，∵DF ⊙O 为直径,∴∠FCD=090，易证△ACF ∽△ADC,∴AF AC CFAC AD DC==E DOCAB又∵tan ∠D 12=，AC=4，∴4142AF AD ==，∴AF=2，AD=8，即DF=6，∴OD=3，即⊙O 的半径为3。
与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2018•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2018秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q 为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为α，当P、Q在两圆上任意运动时，tanα∠的最大值为(B)43；； (D)344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A．194B．245C．5 D．6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C.2- D.28．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为 .12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m∠=，则m的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2018•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O 为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
2019年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧A以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
