(浙江专用)高考数学二轮复习精准提分第一篇小考点抢先练,基础题不失分第4练平面向量试题

第7练　概　率[明晰考情]　1.命题角度：概率是高考的必考知识点，古典概型和离散型随机变量的期望、方差是选择题、填空题考查的热点.2.题目难度：中低档难度．考点一　随机事件的概率要点重组　(1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件．(2)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A，B对立，则P(A)＝1－P(B)．1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是( )A．3B．4C．5D．6答案　C解析　这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3.而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C.2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案　D解析　射击两次有四种可能，就是(中，不中)、(不中，中)、(中，中)、(不中，不中)，其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项A、B、C中都有与其重叠的部分，只有选项D 为其互斥事件，也是对立事件．3．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，则P (A ∪B )＝________.答案　23解析　事件A ∪B 可以分成事件C ：“朝上一面的数为1,2,3”与事件D ：“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C 和事件D 互斥，故P (A ∪B )＝P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝＋＝＝.361646234.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．答案 351315解析　“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝＝.11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋1135“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－＝.86＋7＋8＋8＋10＋10＋111315考点二　古典概型方法技巧　求解古典概型的概率的两种常用方法(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．5．(2018·全国Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3答案　D解析　设2名男同学为a ，b ，3名女同学为A ，B ，C ，从中选出两人的情形有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女同学的情形有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为＝0.3.3106．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.45352515答案　C解析　从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝＝.41025故选C.7．有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇．现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( )A. B. C. D.12131415答案　C解析　向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为.14故选C.8.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD的中点，在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ，设G 为满足＝OG →＋的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概OE → OF →率为________．答案　34解析　基本事件的总数是4×4＝16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，OG → OE → OF → OG → OP → OQ → OG → OP → ON → OG → ON → OM → OG → OM → OQ →点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.41634考点三　离散型随机变量的期望和方差要点重组　(1)相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．(2)独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .kn 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C p k q n －k ，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，称X 服从参数kn 为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，且E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．方法技巧　离散型随机变量期望与方差的解题思路(1)理解随机变量X 的意义，写出X 的所有可能取值，确定分布列的类型．(2)求X 取每个值的概率．(3)写出X 的分布列．(4)求出E (X )，D (X )．9．(2017·浙江)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜，则( )12A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)答案　A解析　由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，又∵0＜p 1＜p 2＜，∴E (ξ1)＜E (ξ2)，12把方差看作函数y ＝x (1－x )，根据0＜p 1＜p 2＜知，D (ξ1)＜D (ξ2)．故选A.1210．(2018·浙江)设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1－p 212p2则当p 在(0,1)内增大时，( )A ．D (ξ)减小B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小答案　D解析　由题意知E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝p ＋，1－p 212p 212D (ξ)＝2×＋2×＋2×[0－(p ＋12)]1－p 2[1－(p ＋12)]12[2－(p ＋12)]p 2＝2×＋2×＋2×(p ＋12)1－p 2(p －12)12(32－p )p 2＝2＋2－2＋212(p ＋12)12(p －12)p 2(p ＋12)p 2(32－p )＝－12(2p 2＋12)p 2[(p ＋12)2－(p －32)2]＝p 2＋－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋＝－2＋，1414(p －12)12∴D (ξ)在上单调递增，在上单调递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大(0，12)(12，1)后减小．故选D.11．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p 等于( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3答案　B解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以D (X )＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)＜P (X ＝6)，所以C p 4(1－p )6＜C p 6(1－p )4，所以p ＞0.5，410610所以p ＝0.6.12．甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的期望E (X )＝________，方差D (X )＝________.答案 2349解析　由题意可知X 的可能取值有0,1,2，P (X ＝0)＝＝，2×23×349P (X ＝1)＝＝，C 12×23×349P (X ＝2)＝＝，13×319则期望E (X )＝0×＋1×＋2×＝，49491923方差D (X )＝2×＋2×＋2×＝.(0－23)49(1－23)49(2－23)19491．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为( )A.B.9442544C.D.35443744答案　C解析　白球没有减少的情况有：①取出黑球，放入任意球，概率是；58②取出白球，放入白球，概率是×＝，385111588故所求事件的概率为＋＝.58158835442．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A. B.(0，712)(712，1)C. D.(0，12)(12，1)答案　C解析　发球次数X 的分布列如下表：X 123Pp(1－p )p(1－p )2所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＞1.75，解得p ＞或p ＜，又0<p ≤1，所以0＜p ＜.521212解题秘籍　(1)解决一些复杂事件的概率问题，关键在于将事件拆分成若干个互斥事件的和或者相互独立事件的积，再利用概率的加法公式或事件的相互独立性求概率．(2)求离散型随机变量的分布列，首先要判断事件的类型和随机变量的分布，一定要保证随机变量各个取值对应的概率之和为1.1．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.13122356答案　C解析　方法一　将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C ＝6(种)种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数为4，故概率为.2423方法二　将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛中的种法有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝＝46.232．每年3月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A. B. C. D.352515310答案　B解析　方法一　从5名志愿者中选2名，有C ＝10(种)不同选法，其中性别相同的选法有C 25＋C ＝4(种)，232故所求概率P ＝＝.41025方法二　设男生为A ，B ，C ，女生为a ，b ，从5名中选出2名志愿者有(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种不同情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共4种不同情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P ＝＝，故选B.410253．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次时停止取球的概率为( )A.B.14812081C.D.22812581答案　A解析　当取球的个数是3,1,1时，P 1＝＝；C 13C 34C 1235881当取球的个数是2,2,1时，P 2＝＝，C 13C 24C 235681故P ＝P 1＋P 2＝.14814．某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )35A. B.5412527125C.D.81125108125答案　C解析　该人3次射击，恰有2次击中目标的概率是P 1＝C ·2·，23(35)253次全部击中目标的概率是P 2＝C ·3，3(35)所以此人至少有2次击中目标的概率是P ＝P 1＋P 2＝C ·2·＋C ·3＝.23(35)253(35)811255．袋子里有大小、形状相同的红球m 个，黑球n 个(m ＞n ＞2)．从中任取1个球是红球的概率记为p 1，若将红球、黑球各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 2；若将红球、黑球各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为p 3，则( )A ．p 1＞p 2＞p 3B ．p 1＞p 3＞p 2C ．p 3＞p 2＞p 1D ．p 3＞p 1＞p 2答案　D解析　由题意得p 1＝，p 2＝，p 3＝，m m ＋nm ＋1m ＋n ＋2m －1m ＋n －2则＝＝1＋，＝＝1＋，1p 1m ＋n m n m 1p 2m ＋n ＋2m ＋1n ＋1m ＋1＝＝1＋，1p 3m ＋n －2m －1n －1m －1则－＝－＝＜0，1p 11p 2n m n ＋1m ＋1n －m m (m ＋1)－＝－＝＞0，1p 11p 3n m n －1m －1m －n m (m －1)所以＞＞，1p 21p 11p3所以p 3＞p 1＞p 2，故选D.6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的期望E (X )等于( )A. B.12612565C. D.16812575答案　B解析　由题意可知，涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝，2712554125361258125故E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.2712554125361258125150125657．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人都等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的期望是( )A.B.1349C.D ．123答案　D解析　每一局中每人有3种选择，故共有9种情况，其中甲赢乙的有3种，故每一局中甲赢乙的概率为，易知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B ，故E (ξ)＝3×＝1.13(3，13)138．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)答案　A解析　当i ＝1时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A 1，则P (A 1)＝.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒取1个球是红球的事件为A 2，m m ＋n则P (A 2)＝×＝，而A 1与A 2互斥，则p 1＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝，12n m ＋n n 2(m ＋n )n ＋2m2(m ＋n )此时，ξ1的取值为1或2，P (ξ1＝1)＝，P (ξ1＝2)＝，则E (ξ1)＝1×＋2×n m ＋nmm ＋nn m ＋n＝；当i ＝2时，若从乙盒中抽取2个球都为红球，记从甲盒中取1个球是红球的mm ＋n n ＋2m m ＋n事件为B 1，则P (B 1)＝.若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1C 2m C 2m ＋n个球是红球的事件为B 2，则P (B 2)＝×.若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒23C 1m C 1nC 2m ＋n中取1个球是红球的事件为B 3，则P (B 3)＝×.13C 2nC 2m ＋n因为B 1，B 2，B 3互斥，则p 2＝P (B 1＋B 2＋B 3)＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＝3C 2m ＋2C 1m C 1n ＋C 2n 3C 2m ＋n＝＝＝.则p 1－p 2＝>0，3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n3(m ＋n )(m ＋n －1)(n ＋3m )(m ＋n －1)3(m ＋n )(m ＋n －1)3m ＋n3(m ＋n )n 6(m ＋n )即有p 1>p 2.此时，ξ2的取值为1,2,3，P (ξ2＝1)＝，C 2n C 2m ＋n P (ξ2＝2)＝，P (ξ2＝3)＝，C 1m C 1nC 2m ＋n C 2mC 2m ＋n则E (ξ2)＝1×＋2×＋3×＝＝3p 2＝，C 2nC 2m ＋n C 1m C 1nC 2m ＋n C 2mC 2m ＋n C 2n ＋2C 1m C 1n ＋3C 2mC 2m ＋n n ＋3m n ＋m 则有E (ξ1)<E (ξ2)，综上，p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.9．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．答案　625解析　由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，为负数的概率为.∴4102512取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C ×2×1＝.23(25)(12)62510．(2018·浙江省余姚中学模拟)若随机变量ξ的分布列如表所示，则E (ξ)＝________，D (2ξ－1)＝________.ξ－101Pa 14a 2答案　－　14114解析　由题意可知，a ＋＋a 2＝1，14解得a ＝－(舍去)或a ＝，E (ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，321212141414由方差的性质，得D (2ξ－1)＝4D (ξ)＝4×＝.[(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14]11411．某央企申请在雄安新区建立分公司．若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区建立分公司，且申请在其中任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公司的有4家央企，则恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为________．答案　827解析　方法一　依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区13建立分公司的概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P ＝C2322＝.24(13)(1－13)827方法二　所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式有C·22种，从而恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P ＝＝.24C 24·223482712．(2018·浙江省“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为，，(这个游戏的121314游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为________，设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的期望为________．答案 141312解析　随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.又P (X ＝2)＝××＋××＋××＝.(1－12)131412(1－13)141213(1－14)14P (X ＝0)＝××＝，(1－12)(1－13)(1－14)14P (X ＝1)＝××＋××＋××＝，12(1－13)(1－14)(1－12)13(1－14)(1－12)(1－13)141124P (X ＝3)＝××＝.121314124所以，随机变量X 的分布列为X 0123P14112414124随机变量X 的期望E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝.141124141241312。

第一篇　小考点抢先练，基础题不失分第6练　计数原理明晰考情1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度.栏目索引核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练考点一　两个计数原理要点重组　(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的.解析　由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，1.在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是A.120B.204C.168D.216√根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有A.30种B.27种C.24种D.21种解析　由题意知本题需要分类来解答，首先A 选取一种颜色，有3种情况.如果A 的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A 的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况.所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法.√3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有A.576种B.720种√C.864种D.1 152种解析　由题意可知，2,4,6不能相邻，且6与3也不能相邻，再插入6，由于1,3,5,7四个数字产生5个空位，所以6只有3个空位可以插，2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入，4.某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有√A.330种B.420种C.510种D.600种解析　由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：因此满足题意的方法共有60＋180＋90＝330(种).考点二　排列组合问题方法技巧　(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步.(2)排列组合问题的常用解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法.②相邻问题捆绑法.③不相邻问题插空法.④定序问题缩倍法.5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有A.90种B.180种√C.270种D.540种6.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为√A.12B.24C.36D.48解析　将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，7.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A.240种 B.188种√C.156种D.120种8.为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是√A.216B.420C.720D.1 080解析　先分组，每组含有2户家庭的有2组，考点三　二项式定理的应用方法技巧　(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式T k＋1＝a n－k b k的应用，可通过确定k的值再代入求解.(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A，A2，…，A n＋1，则最大的系数A k满足9.(2018·全国Ⅲ) 的展开式中x4的系数为√A.10B.20C.40D.80令10－3k＝4，得k＝2.10.使(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为 A.4 B.5 C.6 D.7√52n k x11.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于A.－5B.5C.90D.180√解析　∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，√易错易混专项练1.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有√A.34种B.48种C.96种D.144种解析　由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可知，共有2×48＝96(种)结果，故选C.。

保分大题规范专练（四）1.函数f(x) =2sin( G.Y+/)( G>0, 0< 0<丁)的部分图象如图所示，M为最髙点，该图象与y轴交于点尸（0, a与X轴交于点B, G且△•蚊的面积为几・（1）求函数f&）的解析式;⑵若彳°一+）=^^，求cos 2 O的值.解：⑴因为Ssr=*X2X A證=刃，2 H所以最小一正周期T=2 H = ‘ Q = l,（I）由/(0) =2sin e=型,得sin 0=乎，因为0< 所以0=亍所以f3=2sin(*+-jj・(2)由彳a— )=2sin a得sin a =誓，所以cos 2.=l-2sin：a=z.2•如图，四边形個刃是圆台0Q的轴截面，AB=2CD=\.点“在底而圆周上，且ZAO)f=^r, DM LAC.（1）求圆台血的体积：（2）求二而角月DM 0的平而角的余弦值.解：法一：（1）由已知可得01/丄平面月血又AC丄DM从而有ACLD0.由平面几何性质可得ACLCB.设00,=h,在Rt △遊中，AC+BC=Aff.即（9+尸）+ （1+牙）=16, ••丄=羽，lw］台oa 的体积K=| n h（£ + +£） = —.（2）过点0在内作0EA.DM,作如丄平而加也垂足分别为E、连接胡易得EHLDM.故乙OEH 就是二面角於DM 0的平而角.在△QQ/中，0E=©易得D 、f=A ）f=2筋AD=2, Sz 产寸i ・ 由V 检備0 /"=卩險俊0亦,则二面角月DM 0的余弦值为芈.法二：（1）由题意可得0久0如 血两两互相垂直，以0为原点，分别以直线。

也OB. oa 、）7 X, y, z 轴建立空间直角坐标系（图略）,设 0Q=/?（QO ）,则 D （0, -1, h ）. M2, 0, 0）, J （0, -2, 0）, C （0, b A ）,A DM = (2, b -A), AC = (0, 3, A),DM A. AC. :.~DM • ~AC=3-/f=0. 解得h 卡,鬪台 OOi 的体积 K=| n 力Crj + iYn+iD =?£（2）由（1）知加=（2,2,0）, 莎=（2,1, —萌），而=（2,0,0）, 设平^ADM,平而〃H 的法向量分别为U= （-V1，Jit zj,卩=（上，必，7）,取 u=£, 一萌，1）,卩=（0, © 1）,u ■ “ \i77 *又二面角川DM 0为锐角，则二面角月DM 。

高考题型冲刺练12＋4分项练 训练1 基础小题保分练内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数 一、选择题1． (2013·浙江)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．2． (2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.3． 设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}，M ＝A ∩B ，若动点P (x ，y )∈M ，则x 2＋(y －1)2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎣⎡⎦⎤22，52C.⎣⎡⎦⎤12，102D.⎣⎡⎦⎤22，102答案 A解析 在同一直角坐标系中画出集合A ，B 所在区域，取交集后 可得M 所表示的区域如图中阴影部分所示，而d ＝x 2＋(y －1)2表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是⎣⎡⎦⎤12，52， 选A.4． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，α＝2. 5． 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题是真命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D解析 A 中原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；B 中，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 错；C 中，当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；D 中，逆否命题与原命题共真假，易知原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，因此D 正确．6． 设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析 ∵y ＝2x 是增函数， ∴22.5>20＝1＝2.50.又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1， ∴a >b >c .7． 若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3答案 D解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.8． 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为 ( )A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007答案 C解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝f (－x＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 9． 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.10．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0，有y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0e x，x <0，利用指数函数图象可知答案选B.11．(2013·陕西)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] 答案 D解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．12．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有() A．10个B．9个C．8个D．1个答案 A解析根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0＜x＜10时，|lg x|＜1；x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．二、填空题13．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是__________．答案[－3，3]解析要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，2≥1，解得：－3≤k≤ 3.∴d＝1＋k214．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为______________．答案(2,3)∪(－3，－2)解析由图象知，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴由f(x2－6)>1得f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，∴－2<x2－6<0或0≤x2－6<3，则4<x2<9，∴2<x<3或－3<x<－2.15．有一种垫片，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是________．答案x>1 600解析由题意知：800＋0.60x<1.10x时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x>1 600.16．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >1，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1.∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．。

一、选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q3．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为()A ．[4,5] B.⎣⎡⎦⎤4，112 C.⎣⎡⎦⎤4，132 D ．[4,7]4．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )5．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合6．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]8．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4二、填空题9．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，则数列{x n }的通项公式为__________．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为________________________________________________________________________． 11．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为_____________________________________． 12．如图所示，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是__________________________________________．13．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为____________．14．(2021·丽水调研)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 15．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.答案精析小题精练小题精练11．B [选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的全部点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的全部点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．]2．A [“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．]3．B [y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，留意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.]4．C [∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C.]5．C [由(1,2,0)×(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量相互垂直，所以两平面相互垂直．] 6．C [对于C ，在平面α内存在c ∥b ，由于a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中肯定推出a ∥b .] 7．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω (k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， 故⎝⎛⎭⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎨⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )，又4k ＋12<2k ＋54，∴k <38.∴当k ＝0时，12≤ω≤54.]8．B [∵2a 2b ＝2a ＋b ＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选B.] 9．x n ＝2n ＋1解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.10．a n ＝1n (n ＋1)解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 亦即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).∴a n ＝1n (n ＋1). 11．(0,1]解析 依据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x ＋1x>0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 12．①②③解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， ∴CB ⊥AC ，CB ⊥P A ，CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .故③正确．又∵E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影， ∴AF ⊥PC ，∴AF ⊥平面PCB .∴AF ⊥PB .又∵PB ⊥AE ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF ， 故①②正确．∵AF ⊥平面PCB ，∴AE 不行能垂直于平面PBC .故④错误． 13．y ＝±22x解析 由双曲线的性质可推得|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ， cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－9b 22ac ＝－ac ，又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2，即b a ＝22，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .14．20解析 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.15. 3解析 由二倍角公式可得 sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34.又由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32， 即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.。

第3练 复数与数学文化[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度．考点一 复数的概念要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．1．(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于( )A ．0B.12C ．1D. 2 答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.2．(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i 等于( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D. 3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2等于( ) A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 答案 D解析 由已知得a ＝2，b ＝1，即a ＋b i ＝2＋i ， ∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.4．(2018·某某模拟)设a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R (i 是虚数单位)，则a 等于( ) A ．3B ．－3C.13D ．－13答案 B解析 (1＋3i)(1＋a i)＝1＋a i ＋3i －3a ， ∵(1＋3i)(1＋a i)∈R ，∴虚部为0，则a ＋3＝0，∴a ＝－3.5．(2018·某某省某某市第二中学月考)若复数z 满足(1－2i)·z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则z ＝______；|z |＝________. 答案1＋7i 52 解析 由题设有z ＝3＋i 1－2i ＝(3＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝1＋7i5，故|z |＝ 2.6．(2017·某某)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 考点二 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.7．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.8．已知复数2－a i 1＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a ＝________.答案 2解析 因为2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i )2＝2－a 2－a ＋22i ，又因为2－a i 1＋i 对应的点在虚轴上，所以2－a2＝0，a ＝2.9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则z 2z 1＝______.答案 －1－2i解析 由题意，根据复数的表示可知z 1＝i ，z 2＝2－i ， 所以z 2z 1＝2－i i ＝(2－i )·(－i )i·(－i )＝－1－2i.10．设复数z 满足(2＋i)z ＝||3－i ，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 由(2＋i)z ＝|3－i|＝1＋3＝2， 得z ＝|3－i|2＋i ＝2(2－i )(2＋i )(2－i )＝45－25i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－25，在第四象限．11．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i20171＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于第______象限．答案 一 解析 因为i4n ＋k＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i2017＝i ，所以z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i2，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，在第一象限． 考点三 几何中的数学文化方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．12．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A ．3步B ．6步C ．4步D ．8步 答案 B解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步．13．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于( )A.34B.38C ．5D.15 答案 A解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2， ∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.14．(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.15．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD．8－2π 答案 C解析 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱．V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π.16．我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为( ) A ．5尺B ．9尺 C ．10.6尺D ．21.2尺答案 D解析 设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺． 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺)． ∴2R ≈21.2(尺)．17．卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确的式子的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D．②④ 答案 D解析 ①由题图知2a 1>2a 2，2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确．②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确． ④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2， 即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1， 整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确． ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴③不正确．故选D. 考点四 其他数学问题中的数学文化方法技巧 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学文化的结合，关键是构造数学模型．18．《X 邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( ) A.12B.1629 C.1631D.815 答案 B解析 依题意设每天多织d 尺，依题意得S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629. 19．(2018·)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 答案 D解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f 、公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f ＝1227f .20．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m (m ＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为( ) A ．20%,369B ．80%,369 C ．40%,360D ．60%,365 答案 A解析 设“衰分比”为a ，甲衰分得b 石，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b (1－a )2＝80，b (1－a )＋b (1－a )3＝164，b ＋80＋164＝m ，解得b ＝125，a ＝20%，m ＝369.21．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19B.49 C.110D.910 答案 B解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.22．(2017·某某)我国古代数学家X 徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________. 答案332解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1，S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.23．(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____，y ＝____.答案 8 11解析 方法一 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)．1．若复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 ∵复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.2．若复数z ＝a ＋23i(a ∈R ，且a <0)，且|z |＝2，则z (1＋2i)的实部为( )A ．－43(2＋1) B.23(42－1)C.23(1－42)D.43(2＋1)答案 A解析 因为复数z ＝a ＋23i(a ∈R ，且a <0)，所以|z |＝a 2＋49＝2，解得a ＝－423， 可得z (1＋2i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－423＋23i (1＋2i)＝－43(2＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－823i ，所以z (1＋2i)的实部为－43(2＋1)，故选A.3．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 1z 2等于( ) A ．12＋13iB ．13＋12i C ．－13iD ．13i 答案 D解析 点(a ，b )关于直线y ＝x 的对称点坐标为(b ，a )， 且z 1＝3＋2i 在复平面内对应的点的坐标为(3,2)，据此结合题意可知z 2在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，即z 2＝2＋3i ， 据此可得z 1z 2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确．(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到．1．下列各式的运算结果为2i 的是( ) A ．i ＋i 2＋i 3＋i 4B ．|3－i|iC ．i(2＋i)－1D.1i ＋3i答案 D解析 i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0；|3－i|i ＝10i ； i(2＋i)－1＝2i ＋i 2－1＝2i －2； 1i ＋3i ＝ii2＋3i ＝－i ＋3i ＝2i. 2．在复平面内，复数z ＝4－7i 2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )(2＋3i )(2－3i )＝－13－26i 13＝－1－2i ， ∴z ＝－1＋2i,则z 在复平面内对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.3．设z 为复数z ＝12－i 的共轭复数，则(z －z )2016等于( ) A ．22016B ．－22016C ．22016iD ．－i答案 A解析 ∵z ＝12－i ，∴共轭复数z ＝12＋i ，则(z －z )2016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－i －12－i 2016＝(－2i)2016＝22016.4．南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( )A.439B.778C.776D.581答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？( )A ．1170B ．1380C ．3090D ．3300答案 D解析 设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300(升)．6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A ．1寸B ．2寸C ．3寸D ．4寸答案 C解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)， 则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)． ∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)． 故选C.7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．128π平方尺B ．138π平方尺C ．140π平方尺D ．142π平方尺答案 B解析 设四棱锥的外接球半径为r 尺，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π(平方尺)．故选B.8．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢．答案 4解析 由题意可知，大鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为2n －12－1＝2n －1； 同理，小鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1， ∴2n －1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．9．已知z 是纯虚数，若(m ＋2i)·z ＝2－3i ，则实数m ＝__________.答案 3解析 设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，由(m ＋2i)·z ＝2－3i ，得(m ＋2i)·a i ＝－2a ＋ma i ＝2－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝2，ma ＝－3，解得m ＝3.10．(2018·某某省某某市学军中学模拟)若复数z ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 1－i 2(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________，|z |＝________.答案 4 5解析 由题意得z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4i 22＝(1＋2i)2＝－3＋4i.所以复数z 的虚部为4，|z |＝(－3)2＋42＝5.11．已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案 －52解析 由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ， 则z 的虚部为－52.12．如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．答案1 64解析依题意，正方形的边长构成以22为首项，公比为22的等比数列．因为共有4095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n－1＝4095，所以n＝12.所以最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎪⎫2212－1＝⎝⎛⎭⎪⎫2212＝164.。

一、选择题1．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．[0,1)D ．[0,1]2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x3．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知M (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l ：ax ＋by ＝r 2，则( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．l ⊥m ，且l 与圆相交C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．l ⊥m ，与l 与圆相离6．变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．57．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1 (－2≤x <0)，2sin (ωx ＋φ) (0≤x ≤8π3，0<φ<π2)的图象如图，则( )A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－12，ω＝12，φ＝π6D ．k ＝－2，ω＝2，φ＝π38．已知整数a ，b ，c ，t 满足：2a ＋2b ＝2c ，t ＝a ＋bc ，则log 2t 的最大值是( )A ．0B ．log 23C ．2D ．3 二、填空题9．(2021·绍兴模拟)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝__________________________________.10．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝________.11．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所掩盖，则圆C 的方程为______________． 12．(2021·衢州质检)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为______________________________．13．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________________________________．14．已知椭圆的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D .若椭圆的离心率为12，则∠BDF 的正切值为________．15．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x ) (x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2)上运动，且OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，若向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，3，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，则y ＝f (x )的取值范围为______________.答案精析小题精练41．A [由题意M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{y |y >0}，故M ∩N ＝(0,1]．]2．D [依据全称命题的否定是特称命题知命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x 2＝x ”．]3．A [∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)上为减函数，且35>25，∴b <c ，∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，且35>25，∴a >c ，所以a >c >b .]4．B [A 项，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ，n 相交或异面；B 项，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α正确；C 项，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或斜交；D 项，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或相交．] 5．C [由题意分析可知直线m 的斜率k m ＝－b a ，而直线l 的斜率k l ＝－ba ，所以m ∥l ，又依据点到直线的距离公式，圆点(0,0)到直线l ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|a ×0＋b ×0－r 2|a 2＋b 2，由M (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，可知a 2＋b 2<r 2，得到d >r ，故l 与圆相离．] 6．D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方，由图可知，当点的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2≥5.] 7．A [在y 轴左侧，图象过点(－2,0)，∴－2k ＋1＝0，解得k ＝12，在y 轴右侧，T ＝4⎝⎛⎭⎫8π3－5π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，⎝⎛⎭⎫5π3，0为五点作图中的第三个点， ∴5π3×12＋φ＝π，解得φ＝π6.] 8．C [不妨设a ≤b,2b <2c ＝2a ＋2b ≤2b ＋2b ＝2b ＋1⇒b <c ≤b ＋1，∵b ，c ∈Z ，∴c ＝b ＋1，∴2b ＋1＝2a ＋2b ⇒a ＝b ＝c －1.∴t ＝a ＋b c ＝2－2c .∵a ，t ∈Z ，∴c ＝±1，±2，∴t ＝0,1,3,4，故(log 2t )max ＝log 24＝2.] 9．2 6解析 由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin B sin A ＝a sin 2A sin A ＝2a sin A cos A sin A ＝2a cos A ＝2×3×63＝2 6.10．2解析 由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)． 11．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以掩盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 12．①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 13.32解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2图象向右平移4π3个单位后所得函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω，由两函数的图象重合得－4π3ω＝2k π，k ∈Z ，即ω＝－32k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k ＝－1时，ω取最小值32.14．3 3解析 由题意可设A (0，b )，C (0，－b )，F (－c,0)，B (－a,0)，由于e ＝c a ＝12，又∵a 2＝b 2＋c 2，化简得a ＝2c ，b ＝3c ，∴F A →＝(c ，3c )，BC →＝(2c ，－3c )，设〈F A →，BC →〉＝θ， ∴cos θ＝F A →·BC →|F A →||BC →|＝－c 22c ·7c ＝－127，∴sin θ＝1－cos 2θ＝3327，∴tan θ＝sin θcos θ＝－33，∴tan ∠BDF ＝tan(π－θ) ＝－tan θ＝3 3. 15.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析 设P ＝(x 1，y 1)，Q ＝(x ，y ) ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∵m ＝⎝⎛⎭⎫12，3， ∴OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎫12，3⊗(x 1，y 1)＋⎝⎛⎭⎫π6，0＝⎝⎛⎭⎫x 12，3y 1＋⎝⎛⎭⎫π6，0 ＝⎝⎛⎭⎫x 12＋π6，3y 1， ∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x －π3，y 1＝y3，又y 1＝sin x 1，∴y3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－332，3.。

第1练 集 合[明晰考情] 1.命题角度：集合的关系与运算是考查的热点；常与不等式、函数等相结合进行考查.2.题目难度：低档难度．考点一 集合的含义与表示要点重组 (1)集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性． (2)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．特别提醒 研究集合时应首先认清集合中的元素是什么，是数还是点．分清集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}的区别．1．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z 且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3 C ．4D ．5 答案 C解析 ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的取值分别为5,3,1，－1， ∴集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 3．已知集合M ＝{3，log 2a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{0}，则M ∪N 等于( ) A ．{0,1,2}B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3} 答案 B解析 ∵0∈M ，∴log 2a ＝0，∴a ＝1. 又0∈N ，∴b ＝0，∴M ∪N ＝{0,1,3}．4.设函数f (x )＝1－x 2，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0)B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1) 答案 A解析 A ＝[－1,1]，B ＝[0,1]， ∴阴影部分表示的集合为[－1,0)．5．若集合P ＝{0,1,2}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P，则集合Q 中元素的个数是( ) A ．4B ．6C ．3D ．5 答案 D解析 Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}，∴Q 中有5个元素．考点二 集合的关系与运算要点重组 (1)若集合A 中含有n 个元素，则集合A 有2n个子集． (2)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔A ∪B ＝B .方法技巧 集合运算中的三种常用方法 (1)数轴法：适用于已知集合是不等式的解集． (2)Venn 图法：适用于已知集合是有限集． (3)图象法：适用于已知集合是点集．6．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2＞0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2＞0，∴(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1，即A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2 C ．1D ．0 答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．结合图形(图略)可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.故选B.8．已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32D ．A ∪B ＝R 答案 A解析 因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x ＜2}． 故选A.9．设集合S ＝{x |x (3－x )≤0}，T ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1<1，则S ∪T 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．(1,3]C ．[3，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵S ＝{x |x (3－x )≤0}＝{x |x ≥3或x ≤0}，T ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1<1＝{x |x >1}， ∴S ∪T ＝{x |x ≤0或x >1}＝(－∞，0]∪(1，＋∞)， 故选D.10．已知集合M ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，N ＝{x |x ＞a }，若M ∩N ＝M ，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1) 答案 C解析 M ＝{x |－1＜x ＜3}．由M ∩N ＝M ，可得M ⊆N .由数轴观察可知a ≤－1.11．已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0}B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅ 答案 A解析 ∵B ＝{x |3x<1}，∴B ＝{x |x <0}．又A ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A.12．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥0，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( ) A ．(0,1] B ．∅ C ．(0,2) D ．{0} 答案 A解析 由题可知，P ＝(0,1]，Q ＝(0,2)， 所以P ∩Q ＝(0,1]，故选A.13．已知集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{y |y ＝x －1}，则A ∪B 等于( ) A ．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 ∵集合A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}＝[0，＋∞)，∴A ∪B ＝[0，＋∞)．14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________. 答案 {(2,3)}解析 M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ≠2}， ∴M ∪P ＝{(x ，y )|x ≠2且y ≠3}， ∴∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．15．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,3,5}，T ＝{2,3,6}，则S ∩(∁U T )＝________，集合S 共有______个子集． 答案 {1,5} 8解析 ∁U T ＝{1,4,5}，则S ∩(∁U T )＝{1,5}．集合S 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．16．已知集合U ＝{－1,1,2,3,4,5}，且集合A ＝{－1,1,3}与集合B ＝{a ＋2，a 2＋4}满足A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________，A ∩(∁U B )＝________. 答案 1 {－1,1}解析 因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，当a ＋2＝3时，a ＝1，此时a 2＋4＝5，集合B ＝{3,5}，符合题意；当a 2＋4＝3时，a 无解，综上所述，a ＝1，此时∁U B ＝{－1,1,2,4}，则A ∩(∁U B )＝{－1,1}．考点三 集合的新定义问题方法技巧 集合的新定义问题解题的关键是按照新的定义准确提取信息，并结合相关知识进行相关的推理运算．17．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝cos n3π，n ∈Z，N ＝{x |x ＝a ×b ，a ，b ∈A 且a ≠b }，则集合N 的真子集的个数是( ) A ．31B ．32 C ．15D ．16 答案 C解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－12，1，－1，∴N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－12，－14，－1， ∴N 的真子集的个数是24－1＝15.18．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y ，若关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值X 围是( ) A ．－2≤a ≤2B．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1D ．1≤a ≤2 答案 C解析 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，令A ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}． 由A ⊆{x |－2≤x ≤2}，得a ≥－2且a ＋1≤2， 即－2≤a ≤1.19．对任意两个集合M ，N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，则M *N ＝__________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 ∵M ＝[0，＋∞)，N ＝[－3,3]， ∴M －N ＝(3，＋∞)，N －M ＝[－3,0)． ∴M *N ＝(3，＋∞)∪[－3,0)．20．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________． 答案 ②解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．1．如图所示，全集U ＝R ，若A ＝{x |0≤x <2}，B ＝{x |x >1}，则阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >1}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |x ≥2} 答案 D解析 阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |x <0或x ≥2}∩{x |x >1}＝{x |x ≥2}． 2．已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B ＝A ，则实数a 的所有可能取值组成的集合是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0 答案 D解析 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B . ∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N } ＝{x |2<x ≤4，x ∈N }＝{3,4}，当a ＝0时，则方程ax －1＝0无实数解，∴A ＝∅，此时显然有A ⊆B ，符合题意； 当a ≠0时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a.要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，解得a ＝13或14.综上，实数a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D.3．已知全集U ＝{x ∈Z |x 2－5x －6<0}，A ＝{x ∈Z |－1<x ≤2}，B ＝{2,3,5}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．{2,3,5}B.{}3，5 C ．{2,3,4,5}D ．{3,4,5} 答案 B解析 U ＝{x ∈Z |x 2－5x －6<0}＝{x ∈Z |－1<x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，A ＝{x ∈Z |－1<x ≤2}＝{0,1,2}，∴(∁U A )∩B ＝{3,4,5}∩{2,3,5}＝{3,5}，故选B.解题秘籍 (1)准确理解集合中元素的性质是解题的基础，一定要搞清集合中的元素是什么． (2)和子集有关的问题，不要忽视空集．(3)求参数问题，要考虑参数取值的全部情况(不要忽视参数为0等)；参数X 围一定要准确把握临界值能否取到．1．(2018·某某)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{x |0＜x ≤1}B．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2} 答案 B解析 全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，则∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}． 故选B.2．(2018·全国Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1，2}，则A ∩B 等于( ) A ．{0}B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2} 答案 C解析 ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．3．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A∩B等于( ) A．{－2,1,4}B．{－2,2}C．{－1,0,4}D．{－1,1,4}答案 A解析A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}＝{…，－2,1,4,7，…}，所以A∩B＝{－2,1,4}．4．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A等于( )A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}答案 B解析A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥5}，故∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}，故选B.5．已知集合A＝{x|y＝2＋x－x2}，B＝{x|x2<9，x∈Z}，则A∩B等于( )A．[－1,2]B．{0,1}C．{0,2}D．{－1,0,1,2}答案 D解析由2＋x－x2≥0得－1≤x≤2，∴A＝[－1,2]，由题意得B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}，故选D.6．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.7.设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是( )A．[0,1]B．[－1,2]C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案 C解析 因为A ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]，所以A ∪B ＝[－1,2]，所以∁R (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，则A ×B 等于( ) A ．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C ．[0,1]D ．[0,2] 答案 A解析 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．9．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1B ．3C ．7D ．31 答案 B解析 具有伙伴关系的元素是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.10．已知集合A ＝{x |x 2－2018x ＋2017<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 C解析 由x 2－2018x ＋2017<0，解得1<x <2017，故A ＝{x |1<x <2017}．由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2017，因为210＝1024，211＝2048，所以整数m 的最小值为11.11．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 4解析 A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，即A ＝(0,4]，由A ⊆B ，B ＝(－∞，a )，且a 的取值X 围是(c ，＋∞)，可以结合数轴分析，得c ＝4.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．答案7解析∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，∴S4的所有奇子集的容量之和为7.。

第4练 平面向量[明晰考情] 1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度．考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘． (2)共线向量定理． (3)平面向量基本定理．方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减．(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决．1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.2.如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1D ．3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.又B ，N ，P 三点共线， ∴m ＝13.3.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ等于( )A ．2B.83C.65D.85答案 D解析 方法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.方法二 以AB →，AD →作为基底， ∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋→＝AD →－12AB →，∴AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.4．已知AB ，DC 为梯形ABCD 的两腰，若AD →＝(－1,3)，BC →＝(1－x ，2x )，则x ＝_____. 答案 3解析 由梯形的性质知，AD →∥BC →，且同向， 则－1·2x －3(1－x )＝0，解得x ＝3.5．在△ABC 中，点M 是线段BC 延长线上一点，且满足BM ＝3CM ，若AM →＝xAB →＋yAC →，则x －y ＝________. 答案 －2解析 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋12BC →，BC →＝AC →－AB →，所以AM →＝AC →＋12(AC →－AB →)＝32AC →－12AB →，所以x ＝－12，y ＝32，则x －y ＝－2.考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)|a |2＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a ||b |. 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法． (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法．6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( ) A ．－311B ．－113C.12D.35答案 A解析 b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3,4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c ＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.7．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|， 问题转化为求|PA →||PD →|的最大值． 又当点P 在线段AD 上时， |PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， ∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.8．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B．45° C ．60°D．120° 答案 A解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32.又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.9．(2016·某某)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 答案 12解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.10．在平面内，AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝6，动点P ，M 满足|AP →|＝2，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________． 答案 16解析 由已知易得△ABC 是等边三角形且边长为2 3.设O 是△ABC 的中心，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2.以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A (2,0)，B (－1，－3)，C (－1，3)． 设P (x ，y )，由已知|AP →|＝2， 得(x －2)2＋y 2＝4.∵PM →＝MC →， ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，y ＋32，∴BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋332，∴|BM →|2＝(x ＋1)2＋(y ＋33)24，它表示圆(x －2)2＋y 2＝4上的点P (x ，y )与点D (－1，－33)的距离的平方的14，∵|PD →|max ＝(2＋1)2＋(33)2＋2＝9＋27＋2＝8， ∴|BM →|2max ＝824＝16.考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题．(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题．11．(2018·某某模拟)如图已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若|AB →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 因为BC 的垂直平分线交AC 于Q ，所以QP →·BC →＝0，AP →·BC →＝()AQ →＋QP →·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12()AC →＋AB→()AC →－AB →＝12()AC →2－AB →2＝32，故选B. 12．如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB, M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM →·PN →的最大值为( )A.22B.32C ．1D. 2 答案 C解析 PM →·PN →＝()PO →＋OM →·()PO →＋ON→＝PO →2＋OM →·PO →＋OM →·ON → ＝1＋|OM →|cos150°＋|OM →|·|ON →|cos120°≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，当且仅当M 点与O 点重合时取等号，故选C.13．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2 C.52D.92 答案 D解析 由题图可知x ，y 均为正，设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B ，D ，E ，C 共线， ∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1，∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝(m ＋λ)AB →＋(n ＋μ)AC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92， 当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．则1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 14．(2018·某某省名校协作体联考)设数列{x n }的各项都为正数且x 1＝1.△ABC 内的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1，若P n A →＋12x n ＋1·P n B →＋(2x n ＋1)P n C →＝0，则x 4的值为( )A ．15B ．17C ．29D ．31 答案 A解析 由P n A →＋12x n ＋1P n B →＋()2x n ＋1P n C →＝0得P n A →＋(2x n ＋1)·P n C →＝－12x n ＋1P n B →，设P n D →＝(2x n ＋1)P n C →，以线段P n A ，P n D 作出平行四边形AEDP n ，如图，则P n A →＋P n D →＝P n E →＝－12x n ＋1P n B →，∴|P n E →||P n B →|＝x n ＋12，∴n n P AE P ABS S △△＝x n ＋12 , |P n C →||P n D →|＝|P n C →|AE ＝12x n ＋1，∴n n P AC P ADS S △△＝n n P AC P AES S △△＝11＋2x n，则n n P AC P ABS S △△＝x n ＋12(1＋2x n )＝12， 即x n ＋1＝2x n ＋1， ∴x n ＋1＋1＝2(x n ＋1),则{x n ＋1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以x 4＋1＝2×23＝16，所以x 4＝15.故选A.15．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1, CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________． 答案 12解析 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1， 函数f (m )的最小值为32. ∴函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos∠ACB8＝cos∠ACB 时等号成立，代入得到cos∠ACB ＝－12(舍去正值)，∴∠ACB ＝2π3.∴CO →2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB → ＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，CO →2取得最小值14，∴||CO→的最小值为12.1．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2答案 B解析 选项B 中，当向量a ，b 反向及不共线时， 有|a －b |＞|||a |－|b |，故B 中关系式不恒成立．2．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A.32B.3C ．3D ．2 3 答案 C解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形， 又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°， ∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos30°＝3×2×32＝3.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值X 围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0∪()0，＋∞ 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)，由a ·(a ＋λb )＞0，可得λ＞－53.又a 与a ＋λb 不共线，∴λ≠0.故λ＞－53且λ≠0.4．向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0，若|λa －b |的最小值为2(λ∈R )，则a ·b ＝______. 答案 8解析 向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0， 即a ·b ＝b 2.若|λa －b |＝λ2a 2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b ≥2(λ∈R )， 化为16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4≥0对于λ∈R 恒成立， ∴Δ＝4(a·b )2－64(a·b －4)≤0，化为(a ·b －8)2≤0， ∴a ·b ＝8.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质． (2)注意向量夹角的定义和X 围．在△ABC 中，AB →和BC →的夹角为π－B ；向量a ，b 的夹角为锐角要和a ·b ＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．1．(2018·某某模拟)已知平面向量a ，b ，c ，满足a |a |＋b |b |＝c|c |，且|a |＋|b |＋|c |＝4，则c ·(a ＋b )的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由题意可得a |a |＋b |b |＝c|c |，可得〈a ，c 〉＝60°，〈b ，c 〉＝60°， 故c ·(a ＋b )＝|a ||c |＋|b ||c |2，将|a |＋|b |＋|c |＝4两边同时乘以|c |， 可得|a ||c |＋|b ||c |＝－|c |2＋4|c |，故c ·(a ＋b )＝|a ||c |＋|b ||c |2＝－|c |2＋4|c |2＝－(|c |－2)2＋42，故[c ·(a ＋b )]max ＝42＝2.2．若|OA →|＝1，|OB →|＝4，OA →·OB →＝2，OA →＋OB →＝OC →，则△ABC 的面积是( ) A ．1B ．2C.3D ．2 3 答案 C解析 因为OA →＋OB →＝OC →，所以OA →＝OC →－OB →＝BC →，OB →＝OC →－OA →＝AC →， 又|OA →|＝1，|OB →|＝4，所以|BC →|＝1，|AC →|＝4，OA →·OB →＝2，即BC →·AC →＝2. 设BC →与AC →的夹角为θ，易知θ与∠BCA 互为对顶角， 所以θ＝∠BCA .由BC →·AC →＝|BC →|·|AC →|cos θ＝1×4cos θ＝2，得cos θ＝12，∠BCA 是三角形的内角，sin∠BCA ＝sin θ＝32，所以S △ABC ＝12|BC →|·|AC →|sin∠BCA ＝ 3.3．(2018·某某月考)平行四边形ABCD 中，AC →，BD →在AB →上的投影分别为3，－1，则BD →在BC →上的投影的取值X 围是( ) A ．(－1，＋∞) B．(－1,3) C ．(0，＋∞) D．(0,3) 答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，0)，∠CBD ＝θ，则C (3，b )，D (a －1，b ), 则3－(a －1)＝a ，解得a ＝2. 所以D (1，b )，C (3，b ) .BD →在BC →上的投影为|BD →|cos θ＝1＋b 2cos θ. 当b →0时，cos θ→－1，得BM →－1. 当b →＋∞时，θ→0，得BM →＋∞. 故选A.4．(2018·某某某某、某某、某某三市联考)已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值X 围是( ) A ．[－2，2] B ．[－2，1) C ．[－2，－1] D ．(1，2] 答案 B解析 由题意∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°，以OA ，OB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A (1,0)，B (0,1)，则C 在圆O 的优弧AB 上，设C (cos α，sin α)，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，显然OC →＝cos αOA →＋sin αOB →，即m ＝cos α，n ＝sin α，m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4， 由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，9π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，22，所以m ＋n ∈[－2，1)，故选B.5．(2018·某某省某某十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A ，B ，C ，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为( ) A ．正数B ．负数C ．0D ．以上说法都有可能 答案 B解析 AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝12×2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →) ＝12[(AB →·BC →＋BC →·CA →)＋(AB →·BC →＋CA →·AB →)＋(BC →·CA →＋CA →·AB →)] ＝12[BC →·(AB →＋CA →)＋AB →·(BC →＋CA →)＋CA →·(BC →＋AB →)] ＝12(BC →·CB →＋AB →·BA →＋CA →·AC →) ＝12(－BC →2－AB →2－AC →2)<0. 即AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为负数．6．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则( )A.λ1λ2＝b cB.λ21λ22＝b c C.λ1λ2＝c 2b 2D.λ21λ22＝c b答案 A解析 设AM →＝λ1AB →，AN →＝λ2AC →.因为O 是△ABC 的内心，所以AO 平分∠BAC ，所以平行四边形AMON 为菱形，且λ1>0，λ2>0，由|AM →|＝|AN →|，得|λ1AB →|＝|λ2AC →|，即λ1c ＝λ2b ，亦即λ1λ2＝bc，故选A. 7．(2018·某某省新昌中学、某某中学等联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 连接BC ，则∠ACB ＝90°， ∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·()PC →＋CB →＝AC →·PC →＝()AP →＋PC →·PC →＝PC →2， 依题意可证Rt△APC ∽Rt△ACB ，则|PC ||CB |＝|AC ||AB |，即|PC |＝|AC ||CB |2.∵|AC |2＋|CB |2＝|AB |2， ∴|AC |2＋|CB |2＝4≥2|AC ||CB |，即|AC ||CB |≤2，当且仅当|AC |＝|CB |＝2时取等号， ∴|PC |≤1， ∴AC →·PB →＝PC →2≤1，∴AC →·PB →的最大值为1，故选B.8．(2018·某某省某某一中、某某高级中学等联考)设a 1，a 2，a 3，a 4∈R ，且a 1a 4－a 2a 3＝1，记f (a 1，a 2，a 3，a 4)＝a 21＋a 22＋a 23＋a 24＋a 1a 3＋a 2a 4，则f (a 1，a 2，a 3，a 4)的最小值为( ) A ．1B.3C ．2D ．2 3 答案 B解析 设m ＝(a 1，a 2)，n ＝()a 3，a 4， 因为a 1a 4－a 2a 3≠0，所以m ，n 不共线， 则f (a 1，a 2，a 3，a 4)＝|m |2＋|n |2＋m ·n ， 记cos θ＝m ·n|m ||n |，θ∈(0，π)， 则S △＝12|m ||n |sin θ＝12|m ||n |1－cos 2θ＝12|a 1a 4－a 2a 3|＝12⇒|m ||n |＝1sin θ⇒f (a 1，a 2，a 3，a 4) ≥2|m ||n |＋m ·n ＝2sin θ＋cos θsin θ≥3(利用三角函数的有界性)．9．(2018·某某省某某市第一中学模拟)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________． 答案 2π3解析 因为a ·b|b |＝2，所以a ·b ＝2. 设e 1与e 2的夹角为θ，则a ·b |b |＝(2e 1＋e 2)·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋e 221＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，AG →＝mAB →＋AC →，则||AG →的最小值为________，又若AG →⊥BC →，则m ＝________. 答案316解析 因为AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3， 所以AG →2＝()mAB →＋AC→2＝m 2AB →2＋2mAB →·AC →＋AC →2 ＝9m 2＋6m ＋4＝(3m ＋1)2＋3，所以当3m ＋1＝0时，||AG →取最小值3； 因为AG →⊥BC →，所以AG →·BC →＝()mAB →＋AC →·()AC →－AB→ ＝(m －1)AB →·AC →－mAB →2＋AC →2＝3(m －1)－9m ＋4＝0， 解得m ＝16.11．(2018·某某省某某市第二中学月考)已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________． 答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)θ∈[0,2π]， 则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2即t ＝0时等号成立，故()AM →·AO→min＝2.12．若向量a ，b 满足a 2＋12a ·b ＋b 2＝1，则||a ＋b 的最大值为________．答案2105解析 因为||a ＋b 2＋||a －b 2＝2a 2＋2b 2，||a ＋b 2－||a －b 2＝4a ·b ， 所以||a ＋b 2＋||a －b 22＋||a ＋b 2－||a －b 28＝1，即5||a ＋b 28＋3||a －b 28＝1，即||a ＋b 2＝85－3||a －b 25≤85，故||a ＋b ≤2105.。