不等关系与不等式练习题及答案解析

一、选择题1．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-2．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3317,22⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-4．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b >-D ．()20a b c -≥6．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <8．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >010．不等式5310x x -++≥的解集是( )A ．[-5,7]B ．[-4,6]C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞11．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=，则P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <12．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.16．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．17．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 18．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 22．函数()212f x x x =-++.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：141213a b +≥++. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++； （2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.2．D解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=， 所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.3．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．4．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解.【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2eb ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】 本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.10．D解析：D 【分析】零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】 分类讨论：当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥； 当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解； 当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-； 综上可得，不等式的解集为(][),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法12．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：【分析】只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，所以||||||c a b a b ++-．因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．故答案为 【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．15．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．16．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值17．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0b a >>，0>，(()22b a b a -=+---，20a =-=<<③正确； 当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.18．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不 解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19．【分析】由等式x+4y ﹣xy ＝0变形得将代数式x+y 与代数式相乘并展开利用基本不等式可求出x+y 的最小值从而可求出m 的取值范围【详解】由于x+4y ﹣xy ＝0即x+4y ＝xy 等式两边同时除以xy 得由基解析：9m ≤【分析】由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．【详解】由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y=，即当x ＝2y=6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9．因此，m ≤9．故答案为m ≤9．【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为 解析：②③【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②())0f x x =>，b c a +>>>())0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数 ④()02f x cosx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题21．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-， 得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤故实数a 的最大值为15.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立22．（1）52；（2）证明见解析. 【分析】 （1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213a b +++变形并利用基本不等式完成证明.【详解】解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<时，()552f x <<； 当12x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为52. （2）由（1）知52M =，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩，即1a =，3b =时，等号成立， 所以141231a b +≥++. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.23．（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，()()21xy x y x y xy ++≤++，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设log ,log a b b x c y ==，利用换底公式转化为关于,x y 的式子，即为111x y xy xy x y++≤++，借助（1）的结论，可得证明． 【详解】证明：（1）由于1≥x ，1y ≥， 则111x y xy xy x y++≤++()()21xy x y x y xy ⇔++≤++， 将上式中的右边式子减左边式子得：()()21x y xy xy x y ⎡⎤++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()111xy xy x y xy =+--+-()()11xy xy x y =---+()()()111xy x y =---，又由1≥x ，1y ≥，则1xy ≥；即()()()1110xy x y ---≥，从而不等式得到证明．（2）设log ,log a b b x c y ==，则1,1x y ≥≥， 由换底公式可得：111log ,log ,log ,log b c a c a b c xy a x y xy====， 于是要证明的不等式可转化为111x y xy xy x y ++≤++， 其中log 1,log 1a b b x c y =≥=≥，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.24．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.25．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可. 【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题. 26．（1）22a b +=（2）92t ≤【分析】（1）用分段函数表示()f x ，分析单调性，得到min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即得解（2）原式转化为2a b t ab+≤，结合22a b +=，252a b a b ab b a +=++利用均值不等式即得解【详解】 （1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2b x =， ∵0a >0b >，∴2b a -<， 则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， ∴()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，22a b +=； （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≤恒成立， ∵22a b +=，∴112a b +=， ∴1212255922222a b a b a b a b ab b a b a b a +++=+=+=++≥+=，（当且仅当a b =时取等号） ∴2a b ab +的最小值为92， ∴92t ≤. 【点睛】 本题考查了绝对值函数的最值问题和均值不等式的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

高中数学不等关系与不等式检测考试题（附答案）3.1.1 不等关系与不等式优化训练1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为()A．|x|＞2 B．|x|2C．|x|＜2 D．|x|2答案：D2．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为() A．h＜4.5 B．h＞4.5C．h4.5 D．h4.5解析：选C.限高也就是不高于，即指小于等于．3．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．ac B．caC．cb D．bc解析：选C.∵3ln2＝ln8ln9＝2ln3，ab，故排除B，D项，同理可得ca，故选C.4．若x1，则x＋1－x________x－x－1.解析：(x＋1－x)－(x－x－1)＝1x＋1＋x－1x＋x－1＝x－1－x＋1x＋1＋xx＋x－1，∵x1，0x－1x＋1，x－1x＋1，x－1－x＋1x＋1＋xx＋x－10，x＋1－xx－x－1.答案：5．请用数学式子描述下面两个不等关系：(1)某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)可享受8折优惠．那么不足20人时，当多少人去参观时，买20人的团体票不比普通票贵？(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？解：(1)设有x(x20，xN＋)人去参观．则82019x(x20)，得x16，即1620且xN＋.(2)设每本杂志价格提高x元，则实际发行量为(10－0.5x0.2)万册，(2＋x)(10－0.5x0.2)22.4，即(2＋x)(10－52x)22.4.化简得：5x2－10x＋4.80,0.81.2.2.8＜2＋x＜3.2即每本杂志的价格应在大于2.8元小于3.2元．1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是() A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b D．a－b0答案：C2．若m2且n－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为()A．M ＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不确定解析：选A.M－(－5)＝m2＋n2－4m＋2n＋5＝(m2－4m＋4)＋(n2＋2n＋1)＝(m－2)2＋(n＋1)2，∵m2且n－1，M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0.3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A.x380z＞45B.x95y＞380z45C.x＞95y＞380z＞45D.x95y＞380z＞45答案：D4．若0＜a＜1，c＞1，则ac＋1与a＋c的大小关系为() A．ac＋1＜a＋c B．ac＋1＞a＋cC．ac＋1＝a＋c D．不能确定解析：选A.ac＋1－(a＋c)＝a(c－1)＋1－c＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，c＞1，a－1＜0，c－1＞0，ac＋1－(a＋c)＝(a－1)(c－1)＜0，ac＋1＜a＋c.5．已知a，b是任意实数，且ab，则()A．a2 B.ba1C．lg(a－b) D.13a13b解析：选D.当a0时，b0，a2b2；当a0时，ba1；当0a－b1时，lg(a－b)0.从而A、B、C均错．6．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种 B．6种C．7种 D．8种解析：选C.设购买单片软件和盒装磁盘分别为x片、y盒．则60x＋70y3y2x，yN＋，即6x＋7y3y2x，yN＋.(1)当x＝3时，7y32，y327，∵yN＋，y＝2，y＝3，y＝4，此时有3种选购方式．(2)当x＝4时，7y26，y267，∵yN＋，y＝2，y＝3，此时有2种选购方式．(3)当x＝5时，y207，∵yN＋，y＝2，此时有1种选购方式．(4)当x＝6时，y＝2，此时有1种选购方式．共有7种选购方式．7．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(0，＋)上单调递增，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是________．解析：∵f(x)为偶函数，b＝0.∵f(x)＝loga|x|在(0，＋)上单调递增，a1，f(b－2)＝loga2，f(a＋1)＝loga|a＋1|，|a＋1|2，f(a＋1)f(b－2)．答案：f(a＋1)f(b－2)8．实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是________．解析：∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)20，cb.又∵b－a＝12[(b＋c)－(c－b)]－a＝1＋a2－a＝(a－12)2＋340，ba，综上可知：ca.答案：ca9．一个两位数个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________(用含a、b的不等式表示)．解析：这个两位数为10b＋a，且50＜10b＋a＜100.答案：50＜10b＋a＜10010．已知x1，试比较3x3和3x2－x＋1的大小．解：因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)，由x1，得x－10，而3x2＋10，则(x－1)(3x2＋1)0，所以3x33x2－x＋1.11．已知a，b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．解：(ab＋ba)－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a－b2a＋bab.∵a，b为正实数，a＋b＞0，ab＞0，(a－b)20，a－b2a＋bab0，ab＋baa＋b.12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，bR)，试比较12[f(x)＋f(y)]与f(x＋y2)的大小．解：∵12[f(x)＋f(y)]－f(x＋y2)＝12[(x2＋ax＋b)＋(y2＋ay＋b)]－[(x＋y2)2＋a(x＋y2)＋b]＝12(x2＋y2)＋12a(x＋y)＋b－14(x＋y)2－a2(x＋y)－b ＝14x2＋14y2－12xy＝14(x－y)20，12[f(x)＋f(y)]f(x＋y2)．。

一、选择题1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．12．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+4．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a <<5．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤6．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >7．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >09．若()0,2x π∈，则不等式sin sin x x x x +<+的解集为( )A ．()0,πB ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ10．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 11．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >B ．22a b >C ．1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 12．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)17．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 18．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．19．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．解不等式：122x x -+-≤． 22．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.23．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 24．求下列关于x 的不等式的解集 （1）|21|3x x +>-； （2）2|5|5x x -．25．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．（1）解不等式239x x -++≥； （2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑12x =，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x=++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.2．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论. 【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈, 则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.5．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.6．D【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >， 对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．A解析：A结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析：对于选项A ，0x y ->，110y xx y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出sin 0x x <，由02x π<<，得出sin 0x <，借助正弦函数图象可得出答案． 【详解】因为sin sin x x x x +<+成立，所以sin 0x x <， 又(0,2)x π∈，所以sin 0x <，(,2)x ππ∈，故选D ． 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题．10．D解析：D 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对；【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.12．D解析：D 【解析】分析：对每一个选项逐一判断得解. 详解：对于选项A,11110,b a a b ab a b--=<∴<，所以选项A 错误. 对于选项B,因为0a b >>，对数函数2log y x =是增函数，所以22log log a b ＞，所以选项B 错误.对于选项C,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项C 错误.对于选项D, 因为0a b >>，指数函数1()2x y =是减函数，所以 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查不等式的性质和函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，一般利用作差法和作商法，本题利用的是作差法,注意函数的图像和性质的灵活运用.二、填空题13．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．14．【解析】试题分析：由题设知对于任意正实数xy 恒成立所以1+a+≥16由此能求出正实数a 的最小值【解答】解：∵不等式对任意正实数xy 恒成立∴对于任意正实数xy 恒成立∵∴1+a+≥16即又a ＞0从而故答解析：【解析】试题分析：由题设知()min 116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意正实数x ，y 恒成立，所以，由此能求出正实数a 的最小值．【解答】解：∵不等式116a x y x y+≥+对任意正实数x ，y 恒成立， ∴()min116a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对于任意正实数x ，y 恒成立 ∵()111a y ax x y a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++ ⎪⎝⎭∴即)530≥ ，又a ＞0，min 3,9.a ≥=故答案为9点睛：：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.15．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.16．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为 解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.17．【分析】结合绝对值三角不等式得即求即可【详解】由绝对值三角不等式得即恒成立当时去绝对值得解得故；当时此时无解综上所述故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围绝对值三角不 解析：0a ≥【分析】结合绝对值三角不等式得|1|||1x x a a ++-≥+，即求11a a +≥-+即可 【详解】由绝对值三角不等式得()()|1|||11x x a x x a a ++-≥+--=+，即11a a +≥-+恒成立，当1a ≥-时，去绝对值得11a a +≥-+，解得0a ≥，故0a ≥；当1a <-时，11a a --≥-+，此时无解，综上所述，0a ≥ 故答案为：0a ≥ 【点睛】关键点睛：本题考查由绝对值不等式恒成立求参数取值范围，绝对值三角不等式的使用，应掌握以下公式：a b a b a b +≥±≥-，使用绝对值三角不等式的目的在于，消去无关变量，如本题中的x .18．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值解析：6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.【详解】()11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝， 当且仅当111x x -=-时，即2x =时取等号， 此时满足3155a a =⇒=，()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，所以函数()g x 的最小值是6.故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键 解析：5-【分析】利用绝对值的性质x a a x a <⇔-<<解不等式后与已知比较可求得,a b ．【详解】由||x a b +<得b x a b -<+<，即a b x a b --<<-+，所以35a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以5a b -=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．20．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题21．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】按1,2x x --的零点分区间，分类讨论转化为解一元一次不等式即可.【详解】当1x ≤时，122x x -+-<，解得1>2x ，所以112x <≤； 当12x <<时，122x x -+-<，即10-<，所以12x <<； 当2x ≥时，1+22x x --< ，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，原不等式的解集是15,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，分类讨论去绝对值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.22．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩. （1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-；当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<；当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x .综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=；当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即8()4f x -<<；当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-.综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=，由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m .因此，实数m 的取值范围是(1,4)-.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 23．答案见解析【分析】利用“作差法”，通过对a 分类讨论即可得出． 【详解】 21(1)11a a a a-+=--． ①当0a =时，201a a=-，∴111a a =+-． ②当1a <且0a ≠时，201a a>-，∴111a a >+-． ③当1a >时，201a a<-，∴111a a <+-． 综上所述，当0a =时，111a a =+-； 当1a <且0a ≠时，111a a >+-； 当1a >时，111a a<+-． 【点睛】本题考查“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．24．（1）()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【分析】 （1）分30x -<和30x -，把绝对值的不等式转化为关于x 的不等式组求解； （2）把2|5|5x x -转化为关于x 的不等式组求解．【详解】解：（1）由|21|3x x +>-，得30x -<①，或30213x x x-⎧⎨+>-⎩②，或30213x x x -⎧⎨+<-+⎩③． 解①得3x >，解得②得233x <，解③得4x <-． |21|3x x ∴+>-的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭； （2）由2|5|5x x -，得225555x x x x ⎧--⎨-⎩①②， 解①5352x +②得552x -或552x +． 取交集，得2|5|5x x -的解集为，55,2⎡+⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．25．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析.【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证.【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥； 所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--， 因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+， 所以1ab a b +>+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。

高三数学不等关系与不等式练习试题及答案作者：佚名：网络点击数：更新时间：2014-4-18 17:46:41一.教学容：不等式高考复习一：不等关系与不等式二.教学目的1、复习不等式的性质及应用2、复习平均值不等式及其应用三.教学重点、难点不等式的性质及均值不等式四.知识分析（一）不等式的性质及应用【考点梳理】考点一：不等式有关概念1.不等式定义用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式．记作等等．用“＜”或“＞”号连结的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式叫非严格不等式．2.同向不等式、异向不等式对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式．3.绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式（1）绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式．（2）条件不等式：如果只有用某些围的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式．（3）矛盾不等式：如果不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式．4.关于a≤b和a≥b的含义不等式“a≥b”的含义是“或者a＞b，或者a＝b”等价于“a不小于b”，即若a＞b 或者a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．考点二：实数的特征与实数比较大小1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即。

（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。

2.实数比较大小的依据和方法（1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示如图，可以看出a、b之间具有以下性质：如果是正数，那么；如果是负数，那么；如果等于零，那么，反之也成立，就是；；。

不等关系与不等式班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一 学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤4002．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜03．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －12．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<14．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 6．设a ，b 为正实数，有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)． 7．比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小；答案解析1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0， 又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定 解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]． 答案：[3,8]9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab ， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy－1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*解析：选C 由题意得x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N *.故选C. 5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b ⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a－b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1. 对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0， ∴a ≠b ，不妨设a >b >0. ∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0， ∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2. 即a 3－b 3>(a －b )3>0， ∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0， ∴0<a －b <1， 即|a －b |<1.因此正确． 答案：①④7．(1)比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小； (2)已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a a b b ≥(ab )2+a b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．解：(1)∵a 2＋b 2－[2(2a －b )－5]＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(2a －b )－5，当且仅当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．。

一、选择题1．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3172⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞2．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >3．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-4．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n ++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m ++<<<++ 5．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <6．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足321(log (211))(log )2f m f -+>，则m 的取值范围是( )A ．13(,)(,)22-∞-+∞） B ．3(,)2-∞C ．1(,)2-+∞ D ．13(,)22-8．已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（ ）A ．mx my >B ．m m x y>C ．22mx my >D ．22m m x y>9．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 10．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >B ．22a b >C ．1133ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 11．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，Q =P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <12．设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．设434411e m e +=+，424311e n e +=+，比较m ，n 的大小__________（用“>”“＜”“=”表示）．15．已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 16．已知,,a b c R +∈，设a b cS b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知11()22f x x a x a x a x x =+-+--+-0x >（）的最小值为32，则实数a =____. 18．设5x >，PQ ，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围.22．设不等式|1||1|2x x +--<∣∣的解集为A （1）求集合A ； （2）若,,a b c A ∈，证明：11abcab c->-． 23．设函数()22f x x x =+--. （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. 24．解不等式：122x x -+-≤． 25．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.26．已知()15f x x x =---， （1）解不等式()2f x <；（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=，所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.2．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.4．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>， 所以()()-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+，()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

3.1不等关系与不等式一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知a b >，c d >，那么一定正确的是 （ ）A ．ad bc >B ．ac bd >C ．a c b d ->-D ．a d b c ->-2．【题文】设201612016a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120162016b =，1lg 2016c =，则c b a ,,的大小关系为 （ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．【题文】已知,a b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是 （ ）A ．22a b <B ．2211ab a b <C ．22a b ab <D ．b a a b< 4．【题文】设22(21),(1)(3)M a a N a a =--=+-，则有 （ ）A. M N >B. M N ≥C. M N <D. M N ≤5．【题文】如果01a <<，那么下列不等式中正确的是 （ ）A ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1a a +->6．【题文】设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是 ( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +> 7．【题文】设 1a b >>，0c <，给出下列三个结论：①c c a b>；②c c a b >； ③()()log >log b a a c b c --．其中所有正确结论的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．【题文】已知,,a b c ∈R ，则下列推证中错误的是（ ）A ．22a b ac bc >⇒≥B ．,0a b c a b c c><⇒< C ．3311,0a b ab a b >>⇒< D ．2211,0a b ab a b >>⇒<二、填空题：本题共3小题.9．【题文】132-，123，2log 5三个数中最大的数是 ． 10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．11．【题文】若2,a b c ==，则a 、b 、c 的大小顺序是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知：m n >，a b <，求证：m a n b ->-.13．【题文】设110,1ab a >->，比较a +1的大小. 14．【题文】已知,a b ∈R ，b a x -=3，a b a y -=2，试比较x 与y 的大小．3.1不等关系与不等式 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】由同向不等式的加法性质可知由a b >，c d >，可得,a c b d a d b c +>+∴->-．考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D 【解析】()201612016110,1,20161,lg 0,.20162016a b c c a b ⎛⎫=∈=>=<∴<< ⎪⎝⎭考点：比较大小.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】B 【解析】因为0a b <<，所以可令2,1a b =-=，可排除A 、C 、D ，故选B.考点：不等式的性质.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】()()()()22222211324223M N a a a a a a a a a -=---+-=-----=-()22110a a +=-≥恒成立，所以M N ≥．故B 正确．考点：作差法比较大小．【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】A【解析】因为01,a <<所以011,a <-<所以(1)x y a =-在R 上单调递减，所以A.本题也可以用特殊值法，如：令12a =来解决. 考点：比较大小.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D 【解析】由0a b ->得a b >，0,,0.a b a b a b ∴>≥∴>±∴+>考点：不等式性质.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】C【解析】①∵1a b >>，0c <，∴(0c c c b a a b ab --=>），故c c a b>，正确； ②∵0c <，∴c y x =在()0,+∞上是减函数，而0a b >>，所以c c a b <，错误；③当1a b >>时，有()()()log >log >log b b a a c b c b c ---，正确．故选C ．考点：比较大小．【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】D【解析】对于A ： 20c ≥，则22ac bc ≥，故A 正确；对于B ：0a b a b c c c--=> ，当0c <时，有a b <，故B 正确； 对于C ：∵33a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()3ab 的倒数，得到3311b a >，即11a b<，故C 正确； 对于D ：∵22a b >，0ab >，∴不等式两边同乘以()2ab 的倒数，得到2211b a >，不一定有11a b<，故D 错误．故选D ． 考点：不等关系与不等式．【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】2log 5 【解析】11322221,12,log 5log 42-<<<>=，所以最大的数为2log 5． 考点：指数、对数式大小判定．【题型】填空题【难度】一般10．【题文】若13,12,a b ≤≤-≤≤则2a b -的取值范围为______．【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】[]0,7【解析】13,12,226,21,a b a b ≤≤-≤≤∴≤≤-≤-≤利用同向不等式可以相加，得到2a b -的取值范围为[]0,7．考点：不等式的性质.【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】a b c >>【解析】a ==，2bc ===，因为20+>，>>，故a b c >>. 考点：不等关系与不等式.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】证明略【解析】证法一：由m n >知0m n ->，由a b <知0b a ->.∴()()()()0m a n b m n b a m a n b ---=-+->⇒->-.证法二：∵a b <，∴a b ->-，又∵m n >，∴()()m a n b +->+-，即m a n b ->-.考点：不等式的性质.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】ba ->+111 【解析】由,10111,0<<⇒>->b a b a2211111ab a b ab b a b b ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴-==--， 又110,10,1ab b b a>->->，22∴-⇒> 考点：平方法作差比较大小.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】详见解析 【解析】()()()32221x y a b a b a a a b a b a b a -=--+=-+-=-+， 当b a >时，0>-y x ，所以y x >；当b a =时，0=-y x ，所以y x =；当b a <时，0<-y x ，所以y x <．考点：作差法比较大小.【题型】解答题【难度】一般。

练习一、选择题1．已知a>b ，c>d ，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad>bc B ．ac>bd C ．a －c>b －d D ．a ＋c>b ＋d2．已知a ＜b ，那么下列式子中，错误的是( ) A ．4a ＜4b B ．－4a ＜－4b C ．a ＋4＜b ＋4 D ．a －4＜b －43．若2＜x ＜6,1＜y ＜3，则x ＋y ∈________.4．已知a ＞b ，ac ＜bc ，则有( ) A ．c ＞0 B ．c ＜0 C ．c ＝0 D ．以上均有可能5．下列命题正确的是( )A ．若a 2＞b 2，则a ＞bB ．若1a ＞1b ，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b6．设a ，b ∈R ，若a －|b|＞0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a ＞0 B ．a 3＋b 3＜0 C ．b ＋a ＜0 D ．a 2－b 2＞07．若b ＜0，a ＋b ＞0，则a －b 的值( ) A ．大于零 B ．大于或等于零 C ．小于零 D ．小于或等于零8．若x ＞y ，m ＞n ，则下列不等式正确的是( ) A ．x －m ＞y －n B ．xm ＞ym C.nx ＞y m D ．m －y ＞n －x9．若x 、y 、z 互不相等且x ＋y ＋z ＝0，则下列说法不正确的为( ) A ．必有两数之和为正数 B ．必有两数之和为负数 C ．必有两数之积为正数 D ．必有两数之积为负数二、填空题1．若a＞b＞0，则1a n________1b n(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)2．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.3．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围为__________．三、解答题1．已知a＞b＞0，证明：1a2＜1b2.2．已知c＞a＞b＞0，求证：ac－a＞bc－a.3．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围：(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；(4)m n .4．已知－3＜a＜b＜1.－2＜c＜－1. 求证：－16＜(a－b)c2＜0.一、选择1.d2.b3.3<x+y<94.b5.d (c项，当a=2,b=1时，式子不成立)6.d7.a8.d(∵x＞y，∴-x＜-y，即-y＞-x…①又∵m＞n…②∴m-y＞n-x．故选b．)9.不妨取x=1，y=0，z=-1，带进去C错二、1..答案：＜2.解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.答案：y＜－y＜x3.解析：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.答案：(－π2，π2)三、解答：1.证明：∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0⇒a2b2＞0⇒1a2b2＞0⇒a2·1a2b2＞b2·1a2b2⇒1b2＞1a2⇒1a2＜1b2.2.证明：∵c＞a，∴c－a＞0，又∵a＞b，∴ac－a＞bc－a.3.解：(1)∵3＜n＜5，∴6＜2n＜10. 又∵2＜m＜4，∴8＜m＋2n＜14.(2)∵3＜n＜5，∴－5＜－n＜－3，又∵2＜m＜4.∴－3＜m－n＜1.(3)∵2＜m＜4,3＜n＜5，∴6＜mn＜20.(4)∵3＜n＜5，∴15＜1n＜13，由2＜m＜4，可得25＜mn＜43.4.证明：∵－3＜a＜b＜1，∴－4＜a－b＜0，∴0＜－(a－b)＜4.又－2＜c＜－1，∴1＜c2＜4.∴0＜－(a－b)c2＜16.∴－16＜(a－b)c2＜0.。