江苏省溧水高级中学08-09学年高一上学期期中考试(数学)

2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤03．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 245．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．16．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ） A ．﹣6B ．−72C ．32D ．47．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥011．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞012．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13．若函数f（x）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a＝．14．已知集合A＝{x|ax2+2x﹣1＝0}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是．15．已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f（x）的图象如图所示．若x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0，则实数x的取值范围是．16．若不等式x2﹣（2a+2）x+2a＜0（a＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√xA ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）． （1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15． （1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4 （1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|． （1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围； （3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，∴A ∩B ＝{2，3}． 故选：C ．2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤0解：因为命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”是全称命题， 其否定为特称命题，即为：∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0， 故选：D ．3．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|解：对于A ，函数y =(√x)2=x ，x ≥0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数y =√x 33=x ，x ∈R ，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的对应关系不同，不是同一函数；对于C ，函数y ={x ，x ≥0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，函数y =x 2|x|={x ，x ＞0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数．故选：C ．4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 24解：A ．等式的左边＝log 2（8﹣4）＝log 24＝2，右边＝log 28﹣log 24＝3﹣2＝1，∴A 不成立． B ．等式的左边=log 28log 24=32，右边＝log 282=log 24＝2，∴B 不成立．C ．等式的左边＝3，右边＝3，∴C 成立．D ．等式的左边＝log 2（8+4）＝log 212，右边＝log 28+log 24＝3+2＝5，∴D 不成立． 故选：C ．5．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．1解：因为f （1）＝21+1＝3，所以f [f （1）]＝f （3）＝﹣32+3a ＝﹣9+3a ＝﹣6， 解得a ＝1． 故选：D ． 6．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣6B ．−72C ．32D ．4解：由3x+a x−1≤1得，3x+a x−1−1≤0，即2x+a+1x−1≤0，因为原不等式的解集为[−52，1)，所以x =−52是方程2x +a +1＝0的根，故a ＝4． 故选：D ．7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）解：由于N ＝45•910⇒lgN ＝5lg 4+10lg 9＝10lg 2+20lg 3≈12.552， 所以N 所在的区间为（1012，1013）． 故选：C ．8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)解：因为偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（2x﹣1）＞f（1），所以不等式等价于f（|2x﹣1|）＞f（1），即|2x﹣1|＜1，所以﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，即x的取值范围是（0，1）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②解：根据题意，依次分析4个图形，对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥0解：解不等式xx2+3≥0得x≥0，解不等式1﹣4x＞﹣3得x＜1，所以P的充要条件为0≤x＜1，故A错误；记A＝[0，1），因为A⫋（﹣1，1），A⫌（0，1）A⫋[0，+∞），所以，BD为命题P的必要不充分条件，C为命题P的充分不必要条件．故选：BD．11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞0解：因为函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，所以Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b，故A正确；a2﹣b2＝﹣b2+4b＝﹣（b﹣2）2+4≤4，故B正确；a2+1b=4b+1b≥2√4b⋅1b=4，当且仅当4b=1b，即b=12时，等号成立，故C正确；若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2=−b=−14a2＜0，故D错误．故选：ABC．12．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）解：由题意得x≠﹣1，定义域关于原点不对称，即f（x）为非奇非偶函数，A错误；当x≥0时，f（x）=xx+1=1−1x+1的单调递增区间为（﹣1，+∞），B正确；f（x）=|x|x+1={xx+1，x≥0−xx+1，x＜0，由f（x）＝x可知x＝0，为一个零点，当x≠0时，若xx+1=x可得x＝0（舍），若−xx+1=x，解得x＝﹣2，即零点为﹣2，0，C正确；当x＞0时，f（x）=xx+1=1−1x+1∈（0，1），当x＜0时，f（x）=−xx+1=−1+1x+1∈（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），当x＝0时，f（0）＝0，综上，f（x）的值域为[0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．若函数f （x ）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a ＝ ．解：由函数f(x)=x(2x+1)(x−a)为奇函数可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）∴−x (−2x+1(−x−a)=−x(2x+1)(x−a)∴﹣x （2x +1）（x ﹣a ）＝﹣x （2x ﹣1）（x +a ） ∴﹣x （2x 2﹣2ax +x ﹣a ）＝﹣x （2x 2+2ax ﹣x ﹣a ） 即（2a ﹣1）x 2＝0 ∴2a ﹣1＝0即a =12故答案为：1214．已知集合A ＝{x |ax 2+2x ﹣1＝0}，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是 ． 解：当a ＝0时，集合A ＝{12}，符合题意，当a ≠0时，集合A 中只有一个元素， 则Δ＝4+4a ＝0，解得a ＝﹣1， 故则实数a 的取值的集合是{0，﹣1}． 故答案为：{0，﹣1}．15．已知函数f （x ）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示．若x [f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0，则实数x 的取值范围是 ．解：∵函数是奇函数，∴不等式x •[f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0等价为2x •f （x ）＜0，即xf （x ）＜0， 当x ＞0，f （x ）＜0，由图象知此时0＜x ＜3， 当x ＜0，f （x ）＞0，由奇函数的对称性知﹣3＜x ＜0， 综上不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）， 故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．16．若不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数a 的取值范围为 ．解：不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0），令x 2﹣（2a +2）x +2a ＝0，则Δ＝（2a +2）2﹣4×2a ＝4a 2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1=a +1−√a 2+1，x 2=a +1+√a 2+1， 因为a ＞0，所以0＜x 1＜1，x 2＞2，故不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）的解集为(a +1−√a 2+1，a +1+√a 2+1)， 由题意可知，不等式有且只有两个整数解， 所以这两个整数解为1和2，则a +1+√a 2+1≤3，解得a ≤34，又a ＞0，所以0＜a ≤34， 故这两个整数解之和为3；实数a 的取值范围为(0，34]． 故答案为：3；(0，34]．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意得{3−x ≥0x ＞0，解得0＜x ≤3，故A ＝（0，3]，若a ＝0，则B ＝（1，4]，∴A ∩B ＝（1，3]，A ∪B ＝（0，4]； （2）由（1）得A ＝（0，3]，若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴{a ＞−11−a ≤02a +4≥3，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．解：（1）lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2＝2lg 5+lg 2（lg 50+lg 2） ＝2lg 5+lg 2lg 100＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2lg 10＝2． （2）∵a +a ﹣1＝3，则（a +a ﹣1）2＝a ﹣2+a ﹣2+2＝9，∴a 2+a ﹣2＝7，故a 4−a −4a 2−a −2=(a 2+a −2)(a 2−a −2)a 2−a −2=a 2+a −2=7．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15．（1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增． 解：（1）因为f （x ）是定义在（﹣2，2）上的奇函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）在（﹣2，2）上恒成立， 即−ax+b x 2+4=−ax+b x 2+4在（﹣2，2）上恒成立，即﹣ax +b ＝﹣ax ﹣b 恒成立，则b ＝0， 所以f(x)=axx 2+4， 又因为f(1)=15，即a 12+4=15，所以a ＝1．故a ＝1，b ＝0．（2）证明：由（1）可得f(x)=xx 2+4， 任取x 1、x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) =x 1x 22−x 12x 2+4(x 1−x 2)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？解：（1）设长为xm ，宽为ym ，x ，y 都为正数，每间虎笼面积为xym 2， 则4x +6y ＝48，即2x +3y ＝24，所以24＝2x +3y ≥2√6xy ，即12≥√6xy ，所以xy ≤24，当2x ＝3y ，即{x =6y =4时等号成立． 所以每间虎笼的长为6m ，宽为4m 时，面积S 的最大值为24m 2；（2）设长为a ，宽为b ，a ，b 都为正数，每间虎笼面积为ab ＝36m 2， 则钢筋网总长为4a +6b ≥2√24ab =2√24×36=24√6，所以钢筋网总长最小为24√6m ，当且仅当4a ＝6b ，即{a =3√6b =2√6时，等号成立． 所以当每间虎笼的长为3√6m 、宽为2√6时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为24√6m ．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4（1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集．解：（1）由条件知：a ＞0，由①知：ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣1，x 2＝3，所以{f(−1)=a −b +c =0f(3)=9a +3b +c =0， 由②结合对称性可知：f （x ）min ＝f （1）＝a +b +c ＝﹣4，联立{a −b +c =09a +3b +c =0a +b +c =−4，解得{a =1b =−2c =−3．（2）因为f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），即x 2﹣2x ﹣3≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），化简得（x ﹣2）（x ﹣m ）≥0，当m ＜2时，不等式的解集为（﹣∞，m ]∪[2，+∞）；当m ＝2时，不等式的解集为R ；当m ＞2时，不等式的解集为（﹣∞，2]∪[m ，+∞）．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|．（1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．解：（1）当a ＝2时，f(x)=x 2+2|x −1|={x 2+2x −2，x ≥1x 2−2x +2，x ＜1， x ≥1时，f （x ）＝（x +1）2﹣3，当x ＝1时f （x ）有最小值1，x ＜1时，f （x ）＝（x ﹣1）2+1，此时f （x ）＞1， 故f （x ）的值域为[1，+∞）；（2）由f （x ）≤2x ﹣2得：（x ﹣1）2+a |x ﹣1|+1≤0（*）， 当x ＝1时，（*）显然不成立，当x ≠1时，a ≤[−(|x −1|+1|x−1|)]max ， 又|x −1|+1|x−1|≥2√|x −1|⋅1|x−1|=2，当且仅当|x −1|=1|x−1|即x ＝0或x ＝2时等号成立， 则−(|x −1|+1|x−1|)≤−2，即[−(|x −1|+1|x−1|)]max =−2， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（3）由题知y =f(x)={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，0≤x ＜1， 当a ＜﹣2时，−a 2＞1，a 2＜−1， 当x ≥1时，f （x ）的最小值为f(−a 2)=−a 24−a ， 当0≤x ＜1时，f （0）＝a ，−a 24−a ≤a ，即a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a −a 24−a ＞a ，即﹣8＜a ＜﹣2时，f （x ）min ＝f （0）＝a ，当﹣2≤a ≤0时，−1≤a 2≤0，f （0）＝a ＜1，所以f （x ）min ＝f （0）＝a ， 当a ≥﹣2时，−a 2≤1，f （x ）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上的最小值为f （1）＝1， 当0＜a ＜2时，0＜a 2＜1，f(a 2)=−a 24+a ＜a ，所以f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，a 2≥1，f （1）＝1＜a ，所以f （x ）min ＝f （1）＝1． 综上可知：当﹣8＜a ≤0时，f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ，当a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a ，当0＜a ＜2时，f(x)min=f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，f （x ）min ＝f （1）＝1．。

江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：把答案填在答题卡指定位置上.1. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，B＝{x|x2−1＝0}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 0}C.{−1, 1}D.{−1, 0, 1}2. 函数y=√x+1x的定义域是()A.[−1, +∞)B.(0, +∞)C.(−1, +∞)D.[−1, 0)∪(0, +∞)3. 已知函数f(x)={2x,x≤0−2x+1,x>0，则f（f(−1)）＝（）A.−1B.0C.1D.124. 已知f(x)＝a x(a>0, a≠1)，且f(1)<f(3)，则实数a的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(2, +∞)D.(0, 1)∪(1, +∞)5. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A.y＝x 12 B.y=1xC.y＝2−xD.y=log12x6. 设a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32，则a，b，c的大小关系为（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b7. 求值：2723+log1327−log139=()A.4B.8C.9D.108. 幂函数f(x)的图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，则m＝（）A.2B.√2C.4D.2√29. 在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x>0)，g(x)=log a x的图象可能是（）A. B.C.D.10. 如果x 0是函数f(x)＝4x +x −3的零点，且x 0∈(k, k +1)，k ∈Z ，那么k 的值是（ ）A.−1B.0C.1D.211. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)＝2x +3，则g(1)＝（ ）A.3B.4C.5D.612. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．若实数m 满足f(3|m+1|)>f(−√3)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞,−32)∪(−12,+∞)B.(−∞,12)∪(32,+∞)C.(−32,−12)D.(12,32)二、填空题：把答案填在答题卡指定位置上.设M ＝{m, 2}，N ＝{m +2, 2m}，且M ＝N ，则实数m 的值是________．设f(x)是奇函数，且当x <0时，f(x)＝x −1，则当x >0时，f(x)＝________．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为10，B 点坐标为(15, 0)，C 点横坐标为105．则甲每分钟加工的数量是________，点D 的坐标是________．已知函数f(x)={1−|x|,x ≤1(x −1)2,x >1，函数g(x)＝f(1−x)−m ，其中m ∈R ，若函数y ＝f(x)+g(x)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．三、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1．（1）求函数f(x)的表达式；（2）判断函数g(x)＝f(2+x)+f(2−x)的奇偶性，并说明理由．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|log 2x ≥1}，函数g(x)=(12)x (−2<x <0)的值域为集合B ，（1）求A ∩B ；（2）已知C ＝[a −1, 7−2a]，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +c(a >0)，对称轴为直线x ＝2，且f(0)＝1．（1）若函数f(x)的最小值为−1，求f(x)的解析式；（2）函数f(x)的最小值记为g(a)，求函数H(a)＝a ⋅g(a)的最大值．某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入．计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元在对市场进行调研时发现甲项目的收益y 1与投入x （单位：万元）满足y 1={5√x +20,20≤x <3650,36≤x ≤60，乙项目的收益y 2与投入x （单位：万元）满足y 2=12x +20．（1）当甲项日的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益；（2）问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？设函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性，并求不等式f(x2−x)+f(−2x−4)>0的解集；（3）若f(1)=32，设g(x)＝a2x+a−2x−2mf(x)，g(x)在[0, 1]上的最小值为−1，求实数m的值．已知集合A={f(x)|12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)}，其中x1，x2是函数f(x)定义城内任意不相等的两个实数．（1）若f(x)∈A，同时g(x)∈A，求证：f(x)+g(x)∈A；（2）判断f(x)＝2x是否在集合A中，并说明理由；（3）设函数f(x)的定义域为B，函数f(x)的值域为C．函数f(x)满足以下3个条件：①f(x)∈A，②B＝C，③f(2)<1．试确定一个满足以上3个条件的函数f(x)要对满足的条件进行说明．参考答案与试题解析江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：把答案填在答题卡指定位置上.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵ 集合A ＝{−1, 0, 1}，B ＝{x|x 2−1＝0}＝{−1, 1}，∴ A ∩B ＝{1, 1}．2.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数成立的条件，求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则{x +1≥0,x ≠0.即{x ≥−1,x ≠0.解得x ≥−1且x ≠0，∴ 函数的定义域为{x|x ≥−1且x ≠0}．故选D .3.【答案】B【考点】函数的求值求函数的值【解析】根据分段函数的解析式，先求出f(−1)的值，再求f （f(−1)）的值【解答】因为f(−1)＝2−1=12，所以f （f(−1)）＝f(12)＝−2×12+1＝0．4.A【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由题意利用函数的单调性，求得实数a的取值范围．【解答】∵f(x)＝a x(a>0, a≠1)，且f(1)<f(3)，∴a>1，故选：A．5.【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据幂函数、反比例函数、指数函数和对数函数判断每个选项函数的单调性即可．【解答】y=x12在(0, +∞)上单调递增，y=1x ，y＝2−x和y=log12x在(0, +∞)上都是减函数．6.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数对数函数的单调性即可得出．【解答】∵a<0，b>1，c∈(0, 1)，∴a<c<b．7.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用指数对数运算性质即可得出．【解答】原式＝32+log13279=9−1＝8．8.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域设出幂函数f(x)＝x a，图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，代入求出即可．【解答】设幂函数f(x)＝x a，图象经过点A(4, 2)，B(8, m)，则4a＝2，8a＝m，所以22a＝2，2a=√2，故m＝8a＝23a＝(2a)3=√23=2√29.【答案】D【考点】对数函数的图象与性质幂函数的图像【解析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0<a<1时和当a>1时两种情况，讨论函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0<a<1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a>1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：无满足要求的答案.故选D.10.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数f(x)的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论．【解答】∵ f(x)＝4x +x −3，∴ 函数f(x)为增函数，f(0)＝1+0−3＝−2<0，f(1)＝4+1−3＝2>0，满足f(0)f(1)<0，则在(0, 1)内函数f(x)存在一个零点，即x 0∈(0, 1)，∵ x 0∈(k, k +1)，∴ k ＝0，故选：B ．11.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数的奇偶性，建立方程进行求解即可．【解答】∵ f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)＝2x +3，∴ f(1)+g(1)＝2+3＝5，①f(−1)+g(−1)＝−2+3＝1，即−f(1)+g(1)＝1，②，由①②得g(1)＝3，故选：A ．12.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】结合函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．∴ f(3|m+1|)>f(−√3)，等价为f(3|m+1|)>f(√3)，则3|m+1|>√3=312，即|m +1|>12，得m +1>12或m +1<−12，得m >−12或m <−32， 二、填空题：把答案填在答题卡指定位置上.【答案】【考点】集合的相等【解析】利用集合与集合相等的定义直接求解．【解答】∵M＝{m, 2}，N＝{m+2, 2m}，且M＝N，∴{m=2m2=m+2，解得m＝0，∴实数m的值为0．【答案】x+1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设x>0，则−x<0，由函数的解析式可得f(−x)的解析式，结合奇偶性分析可得答案．【解答】根据题意，设x>0，则−x<0，则f(−x)＝(−x)−1＝−x−1，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝x+1，【答案】6,(150, 0)【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】根据题意，计算甲加工的总时间，又由加工的零件数目，据此计算可得答案；设D的坐标为(t, 0)，分析可得∠ABO＝∠CDB和∠AOB＝∠CBD，进而可得△AOB∽△CBD，则有1015=105−15t−15，解可得t的值，即可得答案．【解答】根据题意，甲一共加工的时间为(10−0)+(105−15)＝100分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600100=6；设D的坐标为(t, 0)，在区间(105, t)和(10, 15 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO ＝∠CDB，在区间(15, 105)和(0, 10)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB＝∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1015=105−15t−15，解可得t＝150；即点D的坐标是(150, 0)；【答案】34<m<1【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出f(x)+f(1−x)的解析式，做出y ＝f(x)+f(1−x)的函数图象，根据函数图象得出答案．【解答】y ＝f(x)+g(x)＝0即有f(x)+f(1−x)＝m ，则条件转化为y ＝f(x)+f(1−x)图象与直线y ＝m 有4个零点，因为f(x)={1−|x|,x ≤1(x −1)2,x >1， 即f(x)={1−x,0≤x ≤11+x,x <0(x −1)2,x >1， 所以f(1−x)={x,0≤x ≤12−x,x >1x 2,x <0，所以y ＝f(x)+f(1−x)={1,0≤x ≤1x 2+x +1,x <0x 2−3x +3,x >1，作出其图象如图：由图可知，34<m <1，三、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】根据题意，因为f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1，所以f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，即log a 2＝1．，解得a ＝2，所以f(x)＝log 2x ；因为f(x)＝log a x ，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)由{2+x >02−x >0得−2<x <2， 得g(x)的定义域为(−2, 2)，又因为g(−x)＝log 2(2−x)+log 2(2+x)＝g(x)，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)为偶函数．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，求出g(x)的解析式为g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)，由奇偶性的定义分析可得答案．【解答】根据题意，因为f(x)＝log a x(a >0, a ≠1)，且f(4)−f(2)＝1，所以f(4)−f(2)＝log a 4−log a 2＝1，即log a 2＝1．，解得a ＝2，所以f(x)＝log 2x ；因为f(x)＝log a x ，所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)由{2+x >02−x >0得−2<x <2， 得g(x)的定义域为(−2, 2)，又因为g(−x)＝log 2(2−x)+log 2(2+x)＝g(x)， 所以g(x)＝log 2(2+x)+log 2(2−x)为偶函数． 【答案】A ＝[2, +∞)，B ＝(1, 4)，所以A ∩B ＝[2, 4)； ∵C ⊆B ，可得a −1<7−2a ，a −1≥1，7−2a ≤4， 解得2≤a <83，∴ a 的取值范围为[2,83)． 【考点】 交集及其运算集合的包含关系判断及应用 【解析】（1）求出集合A ，B ，再求交集；（2）根据集合C 与B 的关系，求出参数的范围． 【解答】A ＝[2, +∞)，B ＝(1, 4)，所以A ∩B ＝[2, 4)； ∵C ⊆B ，可得a −1<7−2a ，a −1≥1，7−2a ≤4， 解得2≤a <83，∴ a 的取值范围为[2,83)． 【答案】因为f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b 2a=2，则b ＝−4a ．又f(0)＝1，所以c ＝1．∴ f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a因为a >0，所以当x ＝2时f(x)有最小值1−4a ＝−1， 所以a =12，∴ f(x)=12x 2−2x +1．由（1）知f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ． ∴ g(a)＝f(2)＝1−4a ．∴ H(a)=a(1−4a)=−4(a −18)2+116，a ∈(0, +∞) ∴ H(a)的最大值为116．【考点】函数的最值及其几何意义 函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）有条件知f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b2a =2，则b ＝−4a ，由f(0)＝1，得c ＝1，用待定系数法设f(x)＝ax 2−4ax +1，再由函数f(x)的最小值为−1，解得a 的值即可．（2）由（1）可得f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ．故g(a)＝1−4a ，故配方法可求H(a)的最大值． 【解答】因为f(x)对称轴为直线x ＝2，所以−b2a =2，则b ＝−4a ． 又f(0)＝1，所以c ＝1．∴ f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a因为a >0，所以当x ＝2时f(x)有最小值1−4a ＝−1， 所以a =12，∴ f(x)=12x 2−2x +1．由（1）知f(x)＝ax 2−4ax +1＝a(x −2)2+1−4a ． ∴ g(a)＝f(2)＝1−4a ．∴ H(a)=a(1−4a)=−4(a −18)2+116，a ∈(0, +∞) ∴ H(a)的最大值为116． 【答案】甲、乙两个项日的总收益为92.5万元；甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）直接由已知把x ＝25与x ＝55分别代入两函数解析式求解；（2）设甲投入x 万元，则乙投入80−x 万元，由已知求得x 的范围，然后分类写出甲与乙项目的收益，作和后利用配方法及函数的单调性求最值． 【解答】当甲投入25万元，则乙投入55万元，甲、乙两个项目的总收益为(5√25+20)+(12×55+20)=92.5， 答：甲、乙两个项日的总收益为92.5万元； 设甲投入x 万元，则乙投入80−x 万元， 由{x ≥2080−x ≥20，解得20≤x ≤60． 甲项目的收益为{5√x +20,20≤x <3650,36≤x ≤60，乙项目的收益为12(80−x)+20=60−12x ，∴ 甲乙两个项目的总收益为f(x)={5√x −12x +80,20≤x ≤36110−12x,36≤x ≤60 ． 当20≤x <36，f(x)=−12(√x −5)2+92.5， ∴ 当√x =5，即x ＝25，f(x)的最大值为92.5．当36≤x ≤60，f(x)=110−12x 递减，∴ 当x ＝36，f(x)的最大值为92， 综上，当x ＝25，f(x)的最大值为92.5，答：甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大．【答案】因为函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即1+(k −1)＝0，得k ＝0．当k ＝0时，f(x)＝a x −a −x ，f(−x)＝a −x −a x ＝−f(x)，符合题意． 所以k ＝0．由（1）知f(x)＝a x −a −x ，f(1)＝a −a −1>0，解得a >1 设x 1，x 2是任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a −x 1)−(a x 2−a −x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1) 因为a >1，x 1<x 2，−x 2<−x 1，所以a x 1<a x 2，a −x 2<a −x 1 所以f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1)<0， 即f(x 1)<f(x 2)所以f(x)为R 上的增函数．因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(−2x −4)＝−f(2x +4)， 不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0同解于f(x 2−x)>f(2x +4)． 因为f(x)为R 上的增函数，所以x 2−x >2x +4， 解得x <−1或x >4所以不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0的解集为{x|x <−1或x >4}． 由f(1)=32得a −a −1=32，解得a ＝2．所以f(x)＝2x −2−x ，g(x)＝a 2x +a −2x −2mf(x)＝(a x −a −x )2+2−2mf(x)＝f 2(x)−2mf(x)+2由（2）知f(x)＝2x −2−x 是单调递增函数，因为x ∈[0.1]，所以f(x)∈[0,32]． 令t ＝f(x)，则y ＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，t ∈[0,32]． 当m ≤0时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递增，y min ＝2不合题意； 当m ≥32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递减，y min =174−3m ＝−1，解得m =74；当0<m <32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0, m]上单调递减，在[m,32]上单调递增，y min＝2−m 2＝−1，得m =±√3（舍去） 综上所述，实数m 的值为74． 【考点】函数的最值及其几何意义 函数单调性的性质与判断 【解析】（1）根据奇函数的性质可得f(0)＝0，由此求得k 值；（2）由f(x)＝a x −a −x (a >0且a ≠1)，f(1)>0，求得a >1，f(x)在R 上单调递增，不等式化为f(x 2−x)>f(2x +4)，x 2−x >2x +4，解不等式即 可．（3）由f(1)=32，求得a 的值，可得 g(x)的解析式，令t ＝f(x)，2x −2−x ，可知f(x)＝2x −2−x 为增函数，t ≥f(1)，令ℎ(t)＝t 2−2mt +2，（t ∈[0, 32]），分类讨论求出ℎ(t)的最小值，再由最小值等于−1，求得m 的值． 【解答】因为函数f(x)＝a x +(k −1)a −x (a >0, a ≠1)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，即1+(k −1)＝0，得k ＝0．当k ＝0时，f(x)＝a x −a −x ，f(−x)＝a −x −a x ＝−f(x)，符合题意． 所以k ＝0．由（1）知f(x)＝a x −a −x ，f(1)＝a −a −1>0，解得a >1 设x 1，x 2是任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a −x 1)−(a x 2−a −x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1) 因为a >1，x 1<x 2，−x 2<−x 1，所以a x 1<a x 2，a −x 2<a −x 1 所以f(x 1)−f(x 2)=(a x 1−a x 2)+(a −x 2−a −x 1)<0， 即f(x 1)<f(x 2)所以f(x)为R 上的增函数．因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(−2x −4)＝−f(2x +4)， 不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0同解于f(x 2−x)>f(2x +4)． 因为f(x)为R 上的增函数，所以x 2−x >2x +4， 解得x <−1或x >4所以不等式f(x 2−x)+f(−2x −4)>0的解集为{x|x <−1或x >4}． 由f(1)=32得a −a −1=32，解得a ＝2．所以f(x)＝2x −2−x ，g(x)＝a 2x +a −2x −2mf(x)＝(a x −a −x )2+2−2mf(x)＝f 2(x)−2mf(x)+2由（2）知f(x)＝2x −2−x 是单调递增函数，因为x ∈[0.1]，所以f(x)∈[0,32]．令t ＝f(x)，则y ＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，t ∈[0,32]． 当m ≤0时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递增，y min ＝2不合题意；当m ≥32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0,32]单调递减，y min =174−3m ＝−1，解得m =74；当0<m <32时，函数y ＝t 2−2mt +2在[0, m]上单调递减，在[m,32]上单调递增，y min＝2−m 2＝−1，得m =±√3（舍去） 综上所述，实数m 的值为74． 【答案】证明：设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，x 1，x 2是函数ℎ(x)定义域内任意不相等的两个实数． 因为f(x)∈A ，所以12[f(x 1)+f(x 2)]<f(x 1+x 22)①，同理12[g(x 1)+f(x 2)]<g(x 1+x 22)②，①+②，得12[f(x 1)+f(x 2)]+12[g(x 1)+g(x 2)]<f(x 1+x 22)+g(x 1+x 22)，即12[(f(x1)+g(x1))+(f(x2)+g(x2))]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[ℎ(x1)+ℎ(x2)]<ℎ(x1+x22)，所以ℎ(x)∈A，即f(x)+g(x)∈A；f(x)＝2x的定义域为R．取x1＝0，x2＝1，则12[f(x1)+f(x2)]=12(1+2)=32，f(x1+x22)=f(0+12)=f(12)=√2，因为32>√2，所以12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)，所以f(x)＝2x不在集合A中；f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；①设x1，x2是(0, 1)内任意不相等的两个实数，1 2[f(x1)+f(x2)]=−12(x12+x22)+1，f(x1+x22)=−x12+2x1x2+x224+1，12[f(x1)+f(x2)]−f(x1+x22)=−(x1−x2)24<0，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)，所以f(x)∈A，②B＝C＝(0, 1)，③f(2)＝−3<1．【考点】命题的真假判断与应用【解析】（1）设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，由新定义，集合不等式的性质即可得证；（2）求得定义域R，取x1＝0，x2＝1，计算检验可得结论；（3）取f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；集合二次函数的性质计算可得结论．【解答】证明：设ℎ(x)＝f(x)+g(x)，x1，x2是函数ℎ(x)定义域内任意不相等的两个实数．因为f(x)∈A，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)①，同理12[g(x1)+f(x2)]<g(x1+x22)②，①+②，得12[f(x1)+f(x2)]+12[g(x1)+g(x2)]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[(f(x1)+g(x1))+(f(x2)+g(x2))]<f(x1+x22)+g(x1+x22)，即12[ℎ(x1)+ℎ(x2)]<ℎ(x1+x22)，所以ℎ(x)∈A，即f(x)+g(x)∈A；f(x)＝2x的定义域为R．取x1＝0，x2＝1，则12[f(x1)+f(x2)]=12(1+2)=32，f(x1+x22)=f(0+12)=f(12)=√2，因为32>√2，所以12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)，所以f(x)＝2x不在集合A中；f(x)＝1−x2，B＝(0, 1)；①设x1，x2是(0, 1)内任意不相等的两个实数，1 2[f(x1)+f(x2)]=−12(x12+x22)+1，f(x1+x22)=−x12+2x1x2+x224+1，12[f(x1)+f(x2)]−f(x1+x22)=−(x1−x2)24<0，所以12[f(x1)+f(x2)]<f(x1+x22)，所以f(x)∈A，②B＝C＝(0, 1)，③f(2)＝−3<1．。

江苏省溧阳中学2008-2009学年第一学期奥赛班选拔考试数学（新高一）试题参考答案与评分标准一、填空题（本大题每个小题3分，满分30分）1、外切2、小红3、﹣1≤x ＜44、△AEC ∽△AFB ∽△DFC ∽△DBE （四个三角形任意组合一对）5、xy 6= 6、a 7、5 8、8 9、4 10、①②③ 二、选择题（本大题每个小题2分,共16分)三、解答题（本大题共2小题，满分24分．解答应写出演算步骤） 19、（本小题满分 12 分） （1112sin 45(2π)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭213=-……………………………………………………………4分2=． ……………………………………………………………6分（2）解：去括号，得51286x x --≤． ……………………………………1分 移项，得58612x x --+≤． ……………………………………2分 合并，得36x -≤． ……………………………………4分 系数化为1，得2x -≥． ……………………………………5分6分20 、（本小题满分 12 分） （1）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上，231k ∴--=．解得2k =-． ……………………………2分∴直线的解析式为23y x =--． ……………………………3分令0y =，可得32x =-．∴直线与x 轴的交点坐标为 3（－， 0）2． ……………4分令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ………………6分（2）（本小题满分5分）解：222()2x y x y x xy y +⋅--+ 22()()x yx y x y +=⋅-- …………………………2分 2x yx y+=-． ……………………………3分 当30x y -=时，3x y =． ……………………………4分 原式677322y y y y y y +===-． ……………………………6分 四、解答题（本大题共２小题，满分18分．解答应写出证明过程） 21．（本小题满分 9 分）（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， ……………………………1分 在矩形ABCD 中，AD BC ∥，B EF BFE '∴∠=∠，B FE B EF ''∴∠=∠． ……………2分B F B E ''∴=．B E BF '∴=． ……………………3分 （2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=． …………5分 证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． ……………7分 在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．AE a =，AB b =，222a b c ∴+=． ………9分 （ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． ………………5分 证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． ……………………7分 在ABE △中，AE AB BE +>，a b c ∴+>． …………………………9分说明：1．第（1）问选用其它证法参照给分； 2．第（2）问222a b c +=与a b c +>只证1种情况均得满分； 3．a b c ，，三者关系写成a c b +>或b c a +>参照给分． 22．（本小题满分 9 分） 解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC BD =；②OF BC ∥；③BCD A ∠=∠；④BCE OAF △∽△；⑤2BC BE AB =⋅；⑥222BC CE BE =+；⑦ABC △是直角三角形；⑧BCD △是等腰三角形．………3分 （2）连结OC ，则OC OA OB ==．30D ∠=，30A D ∴∠=∠=，120AOC ∴∠=． ………………4分 AB 为⊙O 的直径，90ACB ∴∠=．在Rt ABC △中，1BC =，2AB ∴=，AC =5分 OF AC ⊥，AF CF ∴=．OA OB =，OF ∴是ABC △的中位线．A BCD FA 'B 'E AB CD FA 'B 'EBA1122OF BC ∴==． ……………………6分111222AOC S AC OF ∴=⋅==△ ……………7分 2133AOC S OA π=π⨯=扇形． ………………………8分3AOC AOC S S S π∴=-=△阴影扇形 ……………………9分 说明：第（1）问每写对一条得1分，共3分．五、解答题（本大题共２小题，满分20分．解答应写出文字说明或演算步骤） 23．（本小题满分 10 分） 解：（1）补全图1见下图． ……………………………2分9137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ……………………4分200036000⨯=． ………………………5分 估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ………………………6分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． …………………8分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备 袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ……………………………10分 24．（本小题满分 10树状图为： （注：列表也可以）…4分 ∵ 去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （甲）63==， ………7分去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P （乙）2163==， ……9分 ∴ 我选择去甲超市购物． …………………………10分图1 塑料袋数／个“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图B 1 A 1C 1另：∵ 两红的概率P=61，两白的概率P=61，一红一白的概率P=46=32， …6分 ∴ 在甲商场获礼金券的平均收益是：61×5+32×10+61×5=325； …………8分在乙商场获礼金券的平均收益是：61×10+32×5+61×10=320．∴ 我选择到甲商场购物． …………………………10分说明：树状图表示为如图形式且 按此 求解第（2）问的，也正确．六、解答题（本大题共２小题，满分20分．解答应写出文字说明或演算步骤） 25、（本小题满分 10 分） （1）如图：…………………3分（2） ∵ 点A 旋转到1A 所经过的路线长为以OA 为半径圆的周长的14， ……6分∴ 点A 旋转到1A 所经过的路线长为14×2r π=12π2． …10分26、（本小题满分 10 分） 解：（1）如图1； …………（3分）（2）如图2；………………………（7分） （3）4．……………………………（10分） 七、解答题（本大题共3小题，满分32分．解答应写出文字说明或演算步骤） 27．（本小题满分10分）解：（1）设安排x 人生产甲种板材，则生产乙种板材的人数为(140)x -人．…1分由题意，得24000120003020(140)x x =-， …………………………2分 解得：80x =．经检验，80x =是方程的根，且符合题意．……………………3分 答：应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材． （2）设建造A 型板房m 间，则建造B 型板房为(400)m -间，2cm1cm40° 2cm 1cm 40° 图1 图2由题意有：5478(400)240002641(400)12000m m m m +-⎧⎨+-⎩≤≤，．…………………………5分 解得300m ≥． …………………………6分又0400m ≤≤，300400m ∴≤≤．这400间板房可安置灾民58(400)33200w m m m =+-=-+． ………………8分 ∴当300m =时，w 取得最大值2300名． …………………………9分答：这400间板房最多能安置灾民2300名． …………………………10分 28．（本小题满分 10 分） 解：（1）900； ………………………1分 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． …………2分 （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为90075(km /h)12=； ……………………3分 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ． …4分（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，． 设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩， ……………………………5分 所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．………………6分 自变量x 的取值范围是46x ≤≤． ……………………………7分（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =． ……………………………8分 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发 的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．…………10分 29．（本小题满分 12 分） 解：（1）点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，1191428a a ∴-++=， 解得12a =． …………………………1分 （2）由（1）知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--． ……2分当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．点M 在点N 的左边，2M x ∴=-，1N x =．……………3分 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． 点E 在点F 的左边，1E x ∴=-，2F x =． ……………4分0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于原点O 对称，点N 与点E 关于原点O 对称． ……………………5分（3）102a =>． ∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． …………………6分根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (10)A B x x x ≤≤，∴当0x =时，CD 有最大值2． …………12分注：第（2）问中，结论写成“M N ，，E F ，四点横坐标的代数和为0”或“M N E F =”均得1分．。

江苏省溧水高级中学2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题一．填空题（每小题5分）.1. 若全集，集合，集合，则▲.2.已知，则▲ .3. 函数的定义域为▲ .4. 的值为▲ .5. 函数的值域为▲ .6. 若函数是偶函数，则函数的单调递减区间是▲ ．7. 已知是上偶函数，当时，，则当时，函数= ▲8.若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为▲ .9. 已知奇函数的定义域为，在y轴右侧的图像如图，且则不等式的解集为▲ .10.若函数的最大值为，最小值为，则的值为▲ .二．选择题（每小题5分）1.已知集合，则（）2. 已知函数在区间上不是单调函数，则的取值集合为（）3. 已知函数.若,则实数的值等于（）4. 已知偶函数的定义域为，且在是减函数，且，则实数的取值范围是（）三．解答题：1．已知集合.⑴当时，求.⑵若，求实数a的取值范围.2.（1）已知是一次函数，且，，求的解析式；（2）已知是二次函数，且，求的解析式．3. 若函数（1）判断函数在的奇偶性，并画出函数的图像；（2）若方程有两实数解，求实数的取值范围.4. 经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量满足函数（件），而日销售价格满足于函数（元）（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值.5．已知函数（1）当且时，判断并证明函数的单调性，并求的最小值；（2）若对任意都成立，试求实数的取值范围.6. 已知二次函数的图像经过点，且满足，（1）求的解析式；（2）已知，求函数在的最大值和最小值；（3）函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.参考答案一、填空题：1. 2. 21 3. 4. 32 5.6. 7. 8. 9. 10.二、选择题：1. D2. C3. B4. C三、解答题：1.(1)A………………… 6分(2)a1……………… 14分2.(1)………………… 7分(2)f(x)=………………… 14分3.(1)偶函数…………………4分画出图像…………………9分(2) a<0或a=1………………… 14分4、解：（1），即……………… 6分（2）当时，，所以函数在上是增函数，在是减函数，所以，当时，，所以函数在上是减函数，所以，综上所述：，………………… 15分答：该种商品的日销售额的最大值是，最小值………………… 16分5.(1)f（x）在上单调递增………………… 6分所以x＝2时f（x）取最小值，最小值为3 …………………8分（2）若对任意x，f（x）>0恒成立，则>0对任意x恒成立，所以x2＋2x＋a>0对任意x恒成立，………10分令g（x）＝x2＋2x＋a， x因为g（x）＝ x2＋2x＋a在上单调递增，………………… 12分所以x＝2时g（x）取最小值，最小值为8＋a，………………… 14分∵ 8＋a>0，∴ a>－8. …………………… 16分6.解：（1）因为二次函数所以二次函数的对称轴方程为，即所以......................1分又因为二次函数的图像经过点所以，解得......................3分因此，函数的解析式为......................4分（2）由（1）知，......................6分所以，当时，......................8分当，当，当，......................12分（3）如果函数的图像上存在点符合要求其中则，从而即......................14分注意到43是质数，且，所以有，解得......................15分因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标为........16分。

江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期期初模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、若复数z ＝1＋3i1－i(i 为虚数单位)，则||z = ▲ ．2、已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊂，则实数a 的值是 ▲ ． 3、某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4、已知双曲线2214x y m-=的渐近线方程为2y x =±，则实数m= ▲ ． 5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6、从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ ．7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ． 8、在等比数列{}n a 中,已知34a =，752320a a --=，则7a = ▲ ．9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，2()3f x x x =--，则不等式()3f x x >-+的解集是 ▲ ．10、已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m·n ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝ ▲ ．11、如图,在△ABC 中，D 是BC 上的一点．已知B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB= ▲ ．12、如图，在ABC ∆中，AB AC =，2BC =，AD DC =，12AE EB =，若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ▲ ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C :x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B ，若A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．14、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≤0，e x ＋e 2，x ＞0.若不等式f (x )≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15、(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 、E 分别为BC 、CC 1中点，BC 1⊥B 1D ．求证：(1) DE ∥平面ABC 1；(2) 平面AB 1D ⊥平面ABC 1．16、(本小题满分14分)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b .(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．第12题图17、(本小题满分14分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1) 若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．18、(本小题满分16分)如图,某市有一条东西走向的公路l ,现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ,m ,欲再新建一条公路PQ ,点P ,Q 分别在公路l ,m 上(点P ,Q 分别在点O 的正东、正北方向),且要求PQ 与圆A 相切. (1) 当点P 距O 处2百米时,求OQ 的长; (2) 当公路PQ 的长最短时,求OQ 的长.19、(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ． （1）当6a =-时，求函数f (x )的极值；（2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（3）设g (x )＝2a l n x ＋x 2－5x －1＋a x，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．20、(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列， a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．(1) 若a 2＝1，a 5＝3，求a 1的值；(2) 设a 1＜a 2，求证：对任意n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1. 答案1 2、1； 3、16； 4、2； 5、28；6、25； 7、3； 8、64； 9、(3,)+∞ ；10、725-；11； 12、43-； 13； 14、2[3,]e -15、证明：(1) ∵ D 、E 分别为BC 、CC 1中点，∴ DE ∥BC 1.(2分)∵ DE平面ABC 1，BC 1⊂平面ABC 1，∴ DE ∥平面ABC 1.(6分)(2) 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，∵ AD ⊂平面ABC ，∴ CC 1⊥AD.(8分)∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴ AD ⊥BC.∵ CC 1∩BC＝C ，CC 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， ∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴ AD ⊥BC 1.(11分)∵ BC 1⊥B 1D ，B 1D∩AD＝D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，∴ BC 1⊥平面AB 1D. ∵ BC 1⊂平面ABC 1，∴平面AB 1D ⊥平面ABC 1.(14分)16、解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，··································3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．·····························7分 （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sinC ． ·································································9分因为cos B ＝13，B 是△ABC的内角，所以sin B ＝223．·······························11分 又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C＝sin B sin A ·sin C＝sin B sin 2B＝1sin B＝324．········································14分17.解：(1) ∵x 28＋y 24＝1，∴ F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∴ k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24，∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为y ＝24(x ＋2)．(4分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2（x －2），y ＝24（x ＋2），解得x ＝65，∴点M 的横坐标为65.(5分) (2) 设P(x 0，y 0)，M(x M ，y M )，∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c ，23y 0.∵ PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.(8分)联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0得c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0，解得x 0＝a （a ＋c ）c 或 x 0＝a （a －c ）c .(11分)∵－a<x 0<a ，∴ x 0＝a （a －c ）c ∈(0，a)，∴ 0<a2－ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(14分)18.解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=，(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q >， ∵PQ 与圆A1=，解得83q =，故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米．……………6分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-=，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A 相切，1=，化简得22q p q =-，则22222qP Q p q q q =+=+-，……9分令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=--(2)q >，当2q <<时，()0f q '<，即()f q 在3(2,2上单调递减；当q >()0f q '>，即()f q 在)+∞上单调递增，∴()f q 在q =PQ 长最短时，OQ答：（1)当P 距O 处2百米时，OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时，OQ 的分19. （1）定义域为{}|0x x >，2(1)(3)()x x f x x+-'=，令()0f x '=，则3x =当03x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>所以当3x =时()f x 有极小值(3)36ln 3f =--，无极大值.……………………4分(2)22(1)2()x a f x x-+-'=，①当2a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增，成立；……………………6分②当2a <-时，令()0f x '>，则1x >+1x <所以()f x 在[2,3]上存在单调递增区间，所以13+<，解得6,2a -<综上，6a >-.…………………………………………………………………………10分 （3）在[1,e ]上存在一点x 0，使得()()00f x g x <成立，即在[1,e]上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x+=+-在[1,e ]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1e ，上单调递减，所以()h x 的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<可得211e a e +>-，因为2111e e e +>--，所以211e a e +>-；………12分 ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]1e ，上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <-；………14分③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()()12ln 1h a a a a +=+-+， 因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+-+>此时不存在0x 使()00h x <成立．综上可得所求a 的范围是：211e a e +>-或2a <-．………16分20. (1) 解：因为a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ，则 a 3＝3－2d ，a 4＝3－d.因为a 2，a 3，a 4成等比数列，所以a 2＝a 23a 4＝（3－2d ）23－d.(3分)因为a 2＝1，所以（3－2d ）23－d ＝1，解得d ＝2或d ＝34.因为a n ＞0，所以d ＝34.因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 1＝2a 2－a 3＝2－(3－2d)＝12.(5分)(2) 证明：(证法1)因为a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1成等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列， 所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，① a 22n ＋1＝a 2n a 2n ＋2.②所以a 22n －1＝a 2n －2a 2n ，n ≥2.③ 所以a 2n －2a 2n ＋a 2n a 2n ＋2＝2a 2n . 因为a n ＞0，所以a 2n －2＋a 2n ＋2＝2a 2n .(7分) 即数列{a 2n }是等差数列．所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2)．由a 1，a 2及a 2n －1，a 2n ，a 2n ＋1是等差数列，a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2是等比数列，可得a 4＝（2a 2－a 1）2a 2.所以a 2n ＝a 2＋(n －1)(a 4－a 2) ＝（a 2－a 1）n ＋a 1a 2.所以a 2n ＝[（a 2－a 1）n ＋a 1]2a 2.所以a 2n ＋2＝[（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]2a 2.(10分)从而a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2＝[（a 2－a 1）n ＋a 1][（a 2－a 1）（n ＋1）＋a 1]a 2.所以a 2n －1＝[（a 2－a 1）（n －1）＋a 1][（a 2－a 1）n ＋a 1]a 2.①当n ＝2m ，m ∈N *时，a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1][（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1]a 2[（a 2－a 1）m ＋a 1]2a 2－a 2a 1＝（a 2－a 1）（m ＋1）＋a 1（a 2－a 1）m ＋a 1－a 2a 1＝－m （a 2－a 1）2a 1[（a 2－a 1）m ＋a 1]＜0.(14分)②当n ＝2m －1，m ∈N *，m ≥2时，a n ＋1a n －a 2a 1＝[（a 2－a 1）m ＋a 1]2a 2[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1][（a 2－a 1）m ＋a 1]a 2－a 2a 1＝（a 2－a 1）m ＋a 1（a 2－a 1）（m －1）＋a 1－a 2a 1＝－（m －1）（a 1－a 2）2a 1[（a 2－a 1）（m －1）＋a 1]＜0.综上，对一切n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1.(16分)(证法2)①若n 为奇数且n ≥3时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等差数列．因为a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝a n ＋2a n －a 2n ＋1a n ＋1a n ＝（2a n ＋1－a n ）a n －a 2n ＋1a n ＋1a n＝－（a n ＋1－a n ）2a n ＋1a n≤0，所以a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n.(9分)②若n 为偶数且n ≥2时，则a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，所以a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n.(11分)由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N *，a n ＋2a n ＋1≤a n ＋1a n ≤…≤a 3a 2.(14分)因为a 3a 2－a 2a 1＝2a 2－a 1a 2－a 2a 1＝2a 2a 1－a 21－a 22a 2a 1＝－（a 1－a 2）2a 2a 1，因为a 1＜a 2，所以－（a 1－a 2）2a 2a 1＜0，即a 3a 2＜a 2a 1. 综上，对一切n ∈N *，且n ≥2，都有a n ＋1a n ＜a 2a 1.(16分)。

江苏省东海县08-09学年高一上学期期中考试（数学）用时：120分钟 满分：160分一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在题中横线上.1.已知全集{12345}U =，，，，,集合{1,3,5}A =,{3,4,5}B =,则集合C U ()A B ⋂= .2.设集合A={|10}x ax +=,B={1,2}.若A B B ⋃=,则实数a 所组成的集合是 .3.函数|2|()0.8x f x -=的值域为 .4.函数ln(24)xy =-的定义域为 . 5.函数11y x =-的单调减区间为 . 6.已知5log 3a =,5log 2b =,则25a b+= .7.若0.452log 0.3log 4log 0.8a b c ===,,,用小于号“<”将,,a b c 连结起来 . 9log 4+= . 9.不等式0.5log (0.5)1x ->的解集为 . 10.若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象过点1(2,)16-,则3()2f-= . 11.已知函数ln(1)29y x x =-+-存在唯一零点0x ,则大于0x 的最小整数为 . 12.设函数()log (0a f x x a =>,1)a ≠,若123101210()30(,,,f x x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅全为正数),则f ff f +++⋅⋅⋅+的值等于________.13.若函数log (1)a y ax =-(0,1)a a >≠在区间(0,2)上是单调增函数,则常数a 的取值范围是 .14.若函数()()()f x x a bx a =++(常数a b ∈R ,)是偶函数,且它的值域为(]4-∞，,则该函数的解析式为()f x = .二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)(1)已知(3)lg9xfx =,求(2)(5)f f+的值； (2)若35ab ==A (0)ab ≠,且112a b+=,求A 的值. 16.(本题满分14分)已知定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞的函数()y f x =满足条件：对于定义域内任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+.(1)求证：1()()f f x x=-，且()f x 是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数. 17.(本题满分14分)甲、乙两地相距12km .A 车、B 车先后从甲地出发匀速驶向乙地.A 车从甲地到乙地需行驶15min ；B 车从甲地到乙地需行驶10min .若B 车比A 车晚出发2min ： (1)分别写出A 、B 两车所行路程关于A 车行驶时间的函数关系式； (2) A 、B 两车何时在途中相遇？相遇时距甲地多远？18.(本题满分16分)已知定义域为Ｒ的函数()f x 满足：①对于任意的x R ∈,()()0f x f x -+=；②当0x >时,2()3f x x =-.(1)求函数()f x 的解析表达式； (2)画出函数()f x 的图象； (3)解方程()2f x x =． 19.(本题满分16分)已知函数()lg(1)lg(1)f x mx x =+--是奇函数. (1)求常数m 的值及函数()f x 的定义域； (2)求证：()f x 是定义域上的单调增函数.20.(本题满分16分)已知函数1()93xx f x c +=-+(其中c 是常数).(1)若当[0,1]x ∈时,恒有()0f x <成立,求实数c 的取值范围； (2)若存在0[0,1]x ∈,使0()0f x <成立,求实数c 的取值范围； (3)若方程()f x c =·3x在[0,1]上有唯一实数解,求实数c 的取值范围.参考答案一、填空题：1.{1,2,4}2.1{0,1,}2-- 3.(0,1] 4.1(,)2-∞ 5.(,1),(1,)-∞+∞ 6.12 7.c b a << 8.1 9.(0.5,1) 10.18 11.4 12.15 13.1(0,]214.24x -+二、解答题：15.解 (1)由(3)lg 9x f x =得(3)2lg3x x f =,于是()2lg f x x =. ……3分(2)(5)f f +2lg 22lg52lg102=+==. ……6分(2)由35ab==A (0)ab ≠得lg3lg5lg 0a b A ==≠， ……9分 于是1lg 3lg a A =，1lg 5lg b A=. 代入112a b+=得lg3lg A +lg 5lg A =2, ……12分所以lg3lg52lg A +=，A = ……14分16.证明 (1)由条件可知(11)(1)(1)f f f ⨯=+，于是(1)0f =. ……2分所以，对任意不等于零的实数x 都有1()()()(1)0x f f x f f x x +===，即1()().f f x x=- ……5分 对任意不等于零的实数x ，由条件可知()(1)()f x f f x -=-+. ……8分 又(1)(1)(1)0f f f -+-==，故(1)0f -=. ……10分 于是()()f x f x -=，即()f x 是偶函数. ……11分 (2)如()lg ||f x x =等. ……14分17.解 (1)设A 车行驶时间为x(min)，A 车、B 车所行路程分别为f(x)(km)、g(x)(km).则A 车所行路程关于行驶时间的函数为f(x)=1215x ,即f(x)=0.8x (015)x <≤； …4分B 车所行路程关于A 车行驶时间的函数关系式为g(x)=0,02,1.2(2),212,12,1215.x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪<≤⎩…10分(2)设A 、B 两车在A 车出发x(min)时途中相遇，则212x <≤. 于是0.8 1.2(2)x x =-，6x =(min)，(6) 4.8f =(km).即A 、B 两车在A 车出发6min 时途中相遇，相遇时距甲地4.8km. …14分18.解 (1) 当0x =时,由()()0f x f x -+=得(0)(0)0f f +=,于是(0)0f =； …2分当0x <时,0x ->,由()()0f x f x -+=得22()()[()3]3f x f x x x =--=---=-. …5分综上得 223,0,()0,0,3,0.x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩…6分(2)函数图象：…10分(3) 当0x =时，方程()2f x x =即20x =，解之得0x =； …11分 当0x >时，方程()2f x x =即232x x -=，解之得3x =(1x =-舍去)； …13分 当0x <时，方程()2f x x =即232x x -=，解之得3x =-(1x =舍去). …15分 综上所述，方程()2f x x =的解为0x =，或3x =，或3x =-. …16分19.解 (1)因()f x 是奇函数,故对其定义域的x 有()()0f x f x -+=,即lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)0mx x mx x --+++--=，化简得22(1)0m x -=，于是1m =±. …4分 当1m =-时，()0(1)f x x =<不是奇函数； …6分 当1m =时，()lg(1)lg(1)f x x x =+--，由10,10x x +>⎧⎨->⎩得函数()f x 的定义域为(1,1)-，()f x 是奇函数.综上，1m =，()f x 的定义域为(1,1)-. …9分 (2)设12,x x 为区间(1,1)-内的任意两个值，且12x x <，则12011x x <+<+，21011x x <-<-，于是121011x x +<<+，211011x x -<<-，12101x x +<+⋅21111x x -<-. …12分 因为121122()()lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)f x f x x x x x -=+---++-1221(1)(1)lg0(1)(1)x x x x +-=<+-， …15分所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <.故()lg(1)lg(1)f x x x =+--在区间(1,1)-上是单调增函数. …16分20.解 (1)2()(3)33x x f x c =-⨯+,令3x t =,当[0,1]x ∈时,[1,3]t ∈.问题转化为当[1,3]t ∈时，2()30g t t t c =-+<恒成立. …3分于是,只需()g t 在[1,3]上的最大值(3)0g <,即23330c -⨯+<,解得0c <.∴实数c 的取值范围是(,0).-∞ …6分(2)若存在0[0,1]x ∈,使0()0f x <,则存在[1,3]t ∈,使2()30g t t t c =-+<. …8分 于是,只需()g t 在[1,3]上的最小值3()02g <,即233()3022c -⨯+<,解得9.4c <∴实数c 的取值范围是9(,).4-∞ …11分(3)若方程()f x c =·3x在[0,1]上有唯一实数解,则方程2(3)0t c t c -++=在[1,3]上有唯一实数解. …13分 因22(3)4(1)80c c c ∆=+-=++>，故2(3)0t c t c -++=在[1,3]上不可能有两个相等的实数解. …14分 令()h t =2(3)t c t c -++.因(1)20h =-<,故只需(3)20h c =-≥,解得0c ≤.∴实数c 的取值范围是(,0].-∞ …16分。

2009——2010学年度第一学期 溧水县第三高级中学 期中考试试卷高三年级 （理科数学）一、填空题（每题5分，14小题，共70分，请将答案填在答案卷题号相应处）1.tan (－1125°)的值是 ▲ ． 2．已知集合231{|},{|log }M x x N x x =<=>，则MN = ▲3．函数)321sin(2π+=x y 的最小正周期是 ▲ 4．设奇函数()f x 满足：对x R ∀∈有(1)()0f x f x ++=，则(5)f = ▲ 5.一种由3步组成的变换流程如下：则第③步的变换过程用文字表述为 ▲ ． 6．若向量,满足2||,1||==，且与的夹角为3π，则||+= ▲ 7．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是 ▲ 8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos __ ▲_ _．10．方程x x 28lg -=的根(,1)x k k ∈+，Z k ∈，则=k ▲11．已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对>t t ++的最小值是 。

12、已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 13．①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π 以上命题正确的为 ▲x y sin =x y 2sin 2=)32sin(2π-=x y①②③x y sin 2=14．若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ▲ 答卷纸一、填空题（每题5分，14小题，共70分）1. ; 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 14二．解答题: 本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n ∙=， 求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值16、已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }． (Ⅰ) 若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；(Ⅱ) 设全集为R ，若A ∁R B ，求实数m 的取值范围．17、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++=3cos 3cos sin 3)(πωπωωx x x x f ，R x ∈，（其中0>ω）． （1）求函数)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 的最小正周期为2π，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的单调递减区间．18．某观测站C 在城A 的南偏西25°的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东50°，在C 处测得距C为的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了12 km 后，到达D 处，此时C 、D 间距离为12 km ，问这人还需走多少千米到达A 城?A CD250 50019．已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a . （I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式；（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；命题Q ：函数)(x g 是减函数.如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； （III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小.20．已知函数()||f x x x a =⋅-（a R ∈）．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[]1,2x ∈时， ()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围（3）当[]1,x b ∈时，存在a R ∈，使()1f x ≤恒成立，求实数b 的最大值 ．数学试卷参考答案一、填空题1．－1 2. (2,3) 3. π4 4．0 5、x y 2sin 2=的图象向右平移6π个单位长度6 7. [2，3)∪(3，4) 8. (),1-∞- 9.310、3=k11. 12、42m -<< 13. ④ 14. [2,)-+∞ 二、解答题15．解：（1）依题意，cos sin )sin cos )m n θθθθ∙=+ ………………3分cos )θθ=+4sin()4πθ=+又1m n ∙=41)4sin(=+πθ………………………………7分（2）由于),23(ππθ--∈，则)43,45(4πππθ--∈+结合41)4sin(=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ ………………………10分则7cos()12θπ+ 11cos[()]43θππ=++11(24=⨯-=………14分16. 解 由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．………………………………(Ⅰ)∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．………………………………(Ⅱ)∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．………………………………∵A ∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．……………………………… ∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．………………………………………………………………17（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 2cos sin 3)(πωωωx x x x f ………………………………5分 R x ∈ ，∴)(x f 的值域为]2,2[- ……………………………… 7分（2）∵)(x f 的最小正周期为2π，∴22πωπ=，即4=ω ππ13ππ∵)(x f 递减，∴]23,2[64πππ∈+x 由23642πππ≤+≤x ，得到312ππ≤≤x ，∴)(x f 单调递减区间为]3,12[ππ ………………………………………………………………14分18解：根据题意得，BC=，BD=12km ，CD=12km ，∠CAB=75°， 设∠ACD=α，∠CDB=β 在△CDB 中，由余弦定理得2221cos 22CD BD BC CD BD β+-===-⋅⋅，所以120β=于是45α=…………………………………………………………………………（8分）在△ACD 中，由正弦定理得12sin 1)()sin 75CD AD km A α=⋅==答：此人还得走1)km 到达A 城……………………………………（16分）19、解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-++++=+∴).2lg()1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g ………3分解得.|2|lg )(,)1()(2++=+=a x x h x a x g ………………………………6分（2）|2|lg 4)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数，,21)1(2+-≥+∴a a 解得.2231-≠-≤-≥a a a 且或…………6分 又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且…………10分 ∴命题P 为真的条件是：.2231-≠-≤-≥a a a 且或 命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且.又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.23->∴a ……………………………………12分 （2）由（1）得.6)2lg(2)2(,23.6|2|lg 2)2(+++=∴->+++=a a f a a a f 又 设函数010ln 212)(,6)2lg(2)(>++='+++=a a v a a a v . ∴函数)(a v 在区间),23[+∞-上为增函数.………………………………14分 又.2lg 3)2(),23()(,23,2lg 3)23(->->->∴-=-f v a v a v 即时当 ………16分20．（ 16分）解：（1）0a >时，22()()()x ax x a f x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩由图可知()f x 的单调增区间为(,],[,)2aa -∞+∞…………………………………4分 （2）当[1,2]x ∈时，()1f x ≤即||1x x a ⋅-≤⇔211x ax -≤-≤11x a x x ⇔-≤-≤11x a x x x⇔-≤≤+…………………………………7分 因为1x x-在[1,2]x ∈上增，最大值是13222-=，1x x +在[1,2]x ∈上z 增，最小值是2，故只需322a ≤≤．…………………………… 11分（3）当[1,]x b ∈时，min 1()2x x +=，max 11()x b x b -=-，故要使a 存在，只需12b b-≤，即2210b b --≤，…………………………………14分解之，得11b ≤1b >，所以11b <≤+所求b 的最大值是116分。

江苏省溧水高级中学2017届高三上学期期初热身测试（8月）语文试题一、语言文字运用（15分）1.下列词语中，字形和加点字的读音全都正确的一组（3分）（）A．忸怩裨官野史戏谑．（xuè）长吁．短叹（yù）B．羁靡英雄辈出狡黠．（xié）叱咤．风云（zhà）C．妨碍既往不咎果脯．（fǔ）一针见血．(xiě)D．荣膺惹事生非商埠．（bù）安土重．迁（chóng）2. 在下列句子空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分)( )(1) 为准备这份提案，两位人大代表走遍了整个地区，________各行各业人士的意见。

(2) 人民币被国际货币基金组织确定为国际储备货币，分析人士认为储备货币地位若要能________，需要培育世界级的中国国债市场，以吸引海外投资者。

(3) 人类对大自然的每一份破坏，都遭到了相应的报复，“环境”污染的威胁不亚于第三次世界大战，这绝不可________。

A. 征询名不虚传视同儿戏B. 垂询名不虚传等闲视之C. 征询名副其实等闲视之D. 垂询名副其实视同儿戏3.下列各句中，没有语病的一项是( )（3分）A.阅读经典，就是站在“巨人”的肩膀上观察、思考问题，去观察“高远境界”“大气格局”的内涵，使自己逐步登上智慧的殿堂。

B.说到人才培养，人们往往想到要学好各门课程的基础理论，面对与这些理论密切相关的逻辑思维训练却常常被忽视。

C.作为中国“四大梆子”之一的豫剧，带着浓郁的乡间俚俗味，在某些城里人的眼中，是“野戏”，是不登大雅之堂的末流杂役。

D.为纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年，从现在起到年底，国家大剧院宣布将承办31场精心策划的演出。

4. 张华说话喜欢引经据典，下列各句中，所引诗词最符合语境的一项是(3分)( )A. 长江发生沉船事件，张华沉吟良久，感叹道：“真可谓‘沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春’呀！”B. 爷爷生日寿宴上，张华激情洋溢地说：“花甲喜循环，风霜变老颜。

2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{﹣1，1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2，5} B ．{1，3}C ．{﹣1，1，3}D ．{﹣1，0，1，2，3，5}2．已知函数f （x ），g （x ）由下表给出，则f （g （2））＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或33．下列函数中与函数y ＝|x |在区间（0，+∞）上单调性不一致的是（ ） A ．y ＝2x ﹣1B ．y =1xC ．y =√xD ．y ＝x 24．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣x 在区间（0，+∞）上单调递减”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知2a ＝5，则lg 2＝（ ） A ．a a+1B ．aa−1C ．1a+1D ．1a−16．已知f （x ）＝x 2﹣1，g(x)={−1，f(x)＞00，f(x)=01，f(x)＜0，则函数y ＝f （x ）•g （x ）的值域为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，0]7．已知实数a ，b ，c 满足c −b =a +2a−2，c +b =2a 2+2a +2a，且a ＞0，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b8．定义：n →f （n ），其中f （n ）为n 5的个位数字，n ∈N ，若f （s ）＝f （t ）（s ≠t ），则f （s ﹣t ）＝（ ） A ．0B ．1C ．3D ．5二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

2023-2024学年江苏省南京市高一上册期中数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}1,2,5,6B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2,3,4【正确答案】B【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为()U C B A ⋂且{}1,5,6U C B ={},1,2A =所以(){}1U C B A ⋂=故选B ．1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言()U C B A ⋂，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案．2．下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1yx=【正确答案】C【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果.【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数，y =()0,2是增函数.故选C.一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当0k <时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当a<0时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减.3．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【正确答案】B【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出a 的值.【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴、当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①、当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵、当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B4．《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD AB ⊥于点C ，设AD a =，BD b =，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为（）A ．222a b ab+≥B 2a b+≥C ．2aba b≤+0a >0b >D ．2a b+≥0a >0b >【正确答案】A【分析】易得OD CD ≥，再分别用AD ，BD 的表达式表达OD CD ≥再化简即可【详解】易得OD CD ≥，又2ABOD ==1122AD BD AB CD ⋅=⋅，故AD BDCD AB⋅==2≥，化简得222a b ab +≥故选：A本题主要考查了几何法证明基本不等式，属于基础题5．已知函数()222f x x x =-+，()2,2x ∈-，函数()f x 的值域为（）A ．()2,10B ．[)1,2C ．[]2,10D ．[)1,10【正确答案】D【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 的值域.【详解】当()2,2x ∈-时，311x -<-<，则()()[)2222111,10f x x x x =-+=-+∈.故选：D.6．设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【正确答案】B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．7．已知命题p ：x R ∀∈，20x x a ++≠，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．14a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．1<4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{1<4a a 或0a >}D ．{14a a ≤或0a ≥}【正确答案】A【分析】根据题意，分析可得若命题p ：x ∀∈R ，20x x a ++≠为假，则方程20x x a ++=有解，结合二次方程的性质可得p ⌝为真命题时a 的取值范围，可得答案.【详解】根据题意，若命题p ：x ∀∈R ，20x x a ++≠为假，则p ⌝为真命题∴方程20x x a ++=有解，∴140a ∆=-≥，解得：14a ≤，故选：A.8．设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，【正确答案】B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.二、多选题9．已知,a b c d >>，则下列不等关系正确的是（）A ．22ac bc >B ．33a b >C ．11a b <D ．a d b c->-【正确答案】BD【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】A ：当0c =时，显然不成立，所以本选项不正确；B ：因为a b >，所以33222213()()()[()]024a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++>，即33a b >，所以本选项正确；C ：若0a =，显然1a没有意义，所以本选项不正确；D ：因为c d >，所以d c ->-，而a b >，所以a d b c ->-，因此本选项正确，故选：BD10．下面命题为真命题的是（）A ．设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的既不充分也不必要条件B ．“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充要条件C ．“2m =”是“(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集”的充分而不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【正确答案】BCD【分析】A 由0ab ≠，则,a b 都不为0则可判断命题；B 结合韦达定理即可判断命题；C 根据方程根的个数求出参数即可判断；D 结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.【详解】A 若0a ≠，0b =，则0ab =；若0ab ≠，则,a b 都不为0，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件；故A 为假命题；B 若二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根，则两根之积为负，即0ca<，从而0ac <，故“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的必要条件，若0ac <，则240,0cb ac a=->< ，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根，故“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充分条件，综上“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充要条件，故B 为真命题；C 因为(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集，若0m =，则{}1M =-符合题意；若0m ≠，则()2280m m ∆=+-=，则2m =，则{}1M =-符合题意；综上：(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集，则0m =或2，因此“2m =”是“(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集”的充分而不必要条件，故C 是真命题；D 因为1a >，所以1110aa a --=<，但是若11a <，则1a >或a<0，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故D 是真命题，故选：BCD.11．下列函数()f x 中，满足对任意()12,1,x x ∈+∞，有()()12120f x f x x x -<-的是（）A ．()()2212f x x =---B ．()31f x x=-C ．()11f x x=+D ．()4f x x =-【正确答案】AC由题意可得只需满足函数在区间(1,)+∞上单调递减即可.【详解】对任意12,(1,),x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-，则函数在区间(1,)+∞上为减函数，对于A ，()()2212f x x =---，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A 可选；对于B ，()31f x x=-，根据幂函数的性质，函数在区间(1,)+∞上为增函数，故B 不可选；对于C ，()11f x x=+，函数在区间(1,)+∞上为减函数，故C 可选；对于D ，()4,444,4x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，显然函数在区间(1,)+∞上不是单调函数，故D 不可选；故选：AC.关键点睛：熟记二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性是解题的关键.12．已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为【正确答案】AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确．对于B ：由0a >，0b >，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-，所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b<<+，故C 错误；对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+当且仅当2b a a b =，即22b =，1a =时取等号，故D 错误；故选：AB三、填空题13．函数()f x =15x +-的定义域为____________【正确答案】[)()3,44,+∞ 利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则30150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得3x ≥且4x ≠.故[)()3,44,+∞ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =__________．【正确答案】1-【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，代入数字即可求解.【详解】 ()2212f x x x +=-，∴令21t x =+，则12t x -=，∴()2211652224t t t t f t ---+⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，即()2654x x f x -+=，∴()23635314f -⨯+==-.故答案为.1-15．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知3log 6a =，236b=则123aba b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭______________.【正确答案】由题22log 362log 6b ==，分别化简12,3ab a b+的值代入即可.【详解】因为236b =，所以22log 362log 6b ==，所以66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=，3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 222333333322a b=====⨯==所以1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为.本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．已知：1x >，0y >，2111x y+=-，且x y a +>恒成立，则a 的取值范围是___________.【正确答案】4a <+【分析】由(1)1x y x y +=-++，结合已知等式及基本不等式“1”的代换求x y +的最小值，注意等号成立条件是否满足，进而由不等式恒成立确定a 的取值范围.【详解】由题设，10x ->，0y >，∴2121(1)1(1)()1(3)111y x x y x y x y x y x y -+=-++=-+++=+++--4≥+4=+1x =-时等号成立，∴要使x y a +>恒成立，只需4a <+.故答案为.4a <+四、解答题17．计算：(1)()()1223021329.63 1.548-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ln 2831lg lg 20e log 9log 82+-+⋅【正确答案】(1)4736-(2)1【分析】（1）利用分数指数幂化简求值即可；（2）利用对数运算性质及换底公式进行化简即可.【详解】（1）()()1223021329.63 1.548-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222392731482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2333341229⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3941249=--+4736=-.（2）ln 2831lg lg 20e log 9log 82+-+⋅()1ln 2333log 9lg 2lg 210e log 8log 8-=+⨯-+⋅3lg 2lg 212log 9=-++-+1221=-+=.18．解下列不等式：(1)24410x x -+>；(2)2690x x -+≤；(3)2230x x -+->；(4)(2)(3)6x x +-<.【正确答案】(1)1{|}2x x ≠(2){|3}x x =(3)∅(4){|34}x x -<<【分析】（1）配方法求解即可；（2）配方法求解即可；（3）先看判别式正负，确定有没有解；（4）因式分解即可求解.【详解】（1） 24410x x -+>，∴()2210x ->，解得.12x ≠所以解集为：1{|}2x x ≠（2） 2690x x -+≤，∴()230x -≤，解得.3x =所以解集为：{|3}x x =（3） 2230x x -+->，∴()()2241380∆=-⨯-⨯-=-<，所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅（4） (2)(3)6x x +-<，∴()()340x x +-<，解得.34x -<<所以解集为：{|34}x x -<<19．已知集合{}20,211x A x B x m x m x -⎧⎫=≤=-<<+⎨⎬+⎩⎭．(1)当2m =时求()R ,;A B A B ⋂⋃ð(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}02x x <≤；{1x x ≤-或}0x >(2)1m £【分析】（1）把集合,A B 化简再求解.（2）根据题意得到B A ⊆，然后根据B =∅和B ≠∅两种情况讨论.【详解】（1）()()2102012110x x x x x x ⎧-⋅+≤-≤⇒⇒-<≤⎨++≠⎩{}12A x x ∴=-<≤，当2m =时{}03B x x =<<，所以{}{}{}120302A B x x x x x x ⋂=-<≤⋂<<=<≤{R 1A x x =≤- ð或}2x >，所以(){R 1A B x x ⋃=≤-ð或}{}203x x x >⋃<<{1x x =≤-或}0x >（2）A B A B A⋃=∴⊆ 当B =∅时满足1212m m m -≥+∴≤满足B A ⊆；当B ≠∅时满足1122121312121m m m m m m m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎪⎪⎩⎩综上：1m £20．现有三个条件：①对任意的x ∈R 都有(1)()22f x f x x +-=-；②不等式()0f x <的解集为{12}x x <<；③函数()y f x =的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数2()f x ax bx c =++，且满足___________（填所选条件的序号）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()1g x x =-，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围.【正确答案】(1)2()32f x x x =-+(2)(,1)(3,)-∞+∞ 【分析】（1）条件①：由(1)()22f x f x x +-=-可得,a b ；条件②：由()0f x <的解集得,,a b c 的关系；条件③：()y f x =的图象过点(3,2)得932a b c ++=.选择条件①②：由,a b 可得()f x ；选择条件①③：由,,a b c 关系可得()f x ；选择条件②③：由,,a b c 关系可得()f x .（2）由()y f x =的图象在()y g x =图象的上方得2321x x x -+>-，解不等式可得答案.【详解】（1）条件①：因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()22(1)()(1)(1)222f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-，即2(1)20a x a b -+++=对任意的x 恒成立，所以2(1)02a a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.条件②：因为不等式()0f x <的解集为{12}x x <<，所以032a b a c a⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，即032a b a c a >⎧⎪=-⎨⎪=⎩.条件③：函数()y f x =的图象过点(3,2)，所以932a b c ++=.选择条件①②：1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+；选择条件①③：13932a b a b c =⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，则1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+；选择条件②③：032932a b a c aa b c >⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪++=⎩，则1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+.（2）由题知因为存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，所以2321x x x -+>-，解得(,1)(3,)-∞+∞ .21．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.22．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间[],a b 为函数()f x 的“精彩区间”．（1）判断[]0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”，并说明理由；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为“精彩函数”，并说明理由；（3）若函数()g x m =是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744m -<≤-（1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断[]0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否满足“精彩函数”的条件即可；（3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，易知3y x =在[]0,1上的值域为[]0,1，所以函数3y x =是“精彩区间”，[]0,1是该函数的“精彩区间”.（2）不是精彩函数，证明如下：因为函数()()40f x x x x =+>在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+¥上单调递增，所以函数()4f x x x =+在定义域()0,+¥上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件，所以函数()()40f x x x x=+>不是“精彩函数”.（3）由题意，函数()g x m =的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，因为函数()g x m =是“精彩函数”m x =至少存在两个不等的实数解，方程整理得()222140x m x m -++-=，所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，21 x x m >≥，令()()22214h x x m x m =-++-，由题意得，()()()()()()22222214402140416421402142m m h m m m m m h m m m ⎧∆=+-->⎪⎪=-++-≥⎪⎨-=+++-≥⎪⎪+>-⎪⎩，即()2417040402142m m m m +>⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≥⎪+⎪>-⎪⎩，解得1744m -<≤-.所以实数m的取值范围是174 4m-<≤-.本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。