Normal Distribution

C++normal_distribution⾼斯正态分布函数的⽤法⽰例图 1 显⽰的是正态(或⾼斯)分布。

它是⼀条连续的贝尔曲线，期望两边的值是相等的，可以理解为期望就是平均值。

它是⼀个概率分布，因此曲线下⽅的⾯积是1。

正态分布是由两个参数完全定义的：期望和标准差，它们是衡量期望两边的值如何分布的⼀种⽅式。

图 1 正态分布期望和标准差分别是⽤希腊字母 µ 和σ来表⽰的，变量 x 有 n 个样本，这些是由下⾯的公式定义的：因此，期望就是值的和除以值的个数⼀换句话说，也就是平均值。

可以通过值和期望的差值的平⽅⼦和除以 n-1，然后对结果开⽅来得到标准差。

对于不同的期望和标准差的值，正态分布的相对宽度和⾼度分布曲线的变化是相当⼤的。

但是，分布值总是如图 1 所⽰。

这意味着，如果知道⼀个符合正态分布的变量的期望和标准差，例如在⼤量⼈⼝中个体的⾝⾼，就可以知道95% 的⼈⾝⾼不超过期望的 2σ。

标准正态分布的期望为 0，标准差为 1。

uniform_distribution 模板定义了可以产⽣随机浮点值的分布对象类型，默认是 double 类型。

默认构造函数创建的是标准正态分布，因此期望是 0，⽅差是 1.0:std::normal_distribution<> dist; // mu: 0 sigma: 1下⾯展⽰了如何创建⼀个有特定值和标准差的正态分布：double mu {50.0}, sigma {10.0};std::normal_distribution<> norm {mu, sigma};这⾥定义了⼀个⽣成 double 值的分布对象，期望为 50.0，标准差是 10.0。

为了⽣成值，可以将⼀个随机数⽣成器传给 norm 函数对象。

例如：std::random_device rd;std::default_random_engine rng {rd()};std::cout << "Normally distributed values: "<< norm (rng) << " " << norm (rng) << std::endl; // 39.6153 45.5608可以通过调⽤对象的成员函数 mean() 和 stddev() 来获取它的期望值和标准差：std::cout<<"mu: "<< norm.mean () << " sigma: " << norm.stddev ()<< std::endl; // mu: 50 sigma: 10通过调⽤⽆参数的成员函数 param()，可以得到⼀个封装了这两个值的 param_type 对象。

常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。

统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。

以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。

1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。

它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。

正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。

2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。

每次试验的成功概率由固定的参数p确定。

二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。

二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。

这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。

泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。

泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。

4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。

均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。

均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。

5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。

指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。

指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。

6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。

与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。

t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。

7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。

标准正态分布的平方Normal Distribution(正态分布)是Continuous Random Variable(连续随机数据)的Probability Distribution(概率分布)。

Normal Distribution有三个Parameters (参数)Standard Deviation是由Variance开平方根算出来的, 而且Variance和StandardDeviation的值都必须是大于零的数值，也就是说不可能是负值。

如果你想不明白，可以私信问我。

Normal Distribution有以下几个特点1. Probability表示为NormalCurve (正态曲线)和x-axis(横轴)之间的Area(面积)，所以total probability (总面积)是1或者100%。

2. Normal Distribution以Mean为中心，Symmetrical(左右对称)。

3. Standard Normal Distribution(标准正态分布)的mean=0，Standard Deviation=1Normal Distribution的68-95-99.7%原则平均数左右一个标准差的面积大约是68%平均数左右两个标准差的面积大约是95%平均数左右三个标准差的面积大约是99.7%VCE低数可以完全用以上的方法来计算平均数左右，an integer multiple of standard deviation (整数标准差) 之间的面积。

VCE中数和高数中如果题目要求用整数位的标准差，就用整数。

如果没有，就需要用计算器算精确值。

例如2016年高数Exam1中有一题需要用整数位标准差来计算。

下面是精确值。

如上图所示平均数左右0.994458...个标准差之间的面积是68% 平均数左右1.95996...个标准差之间的面积是95% 平均数左右2.96774...个标准差之间的面积是99.7%。

正态分布及其应用刘关键四川大学华西临床医学院 循证医学与临床流行病学教研室正态分布(normal distribution) 又称高斯分布(Gaussian distribution) 是一种很重要的连续型分布，是统 计理论基础中最重要的分布之一， 应用甚广。

学习正态分布的数学特征，目的是 了解统计学中有关“分布”的概念。

正态分布的密度函数在统计上，某个分布的密度函数，即指 该分布的曲线方程。

正态分布的曲线方 程（密度函数）可由下式表达：f(X ) = 1 -(X -μ ) 2σ 2 e2σ2πf(X)μ－ ∞ ＜ X＜ ∞X正态分布曲线图正态分布的参数按此方程可绘出其图形。

式中μ为均数，σ为标准差；π为圆周率， 即3.14159；ｅ为自然对数的底，即2.7183。

以上均为常量，仅X为变量。

当X确定后， 就可由此式求得其密度函数f(X)，也就是相 应的纵坐标高度。

所以已知μ和σ ，就能按公式绘出正态曲线 的图形。

两个参数(parameter)，即均数μ、标准差σ。

当标准差σ不变，均数μ越大，则曲线沿横轴 向右移动；反之，均数μ越小，则曲线沿横轴 向左移动，故均数μ是反映正态分布在横轴上 位置的参数。

当均数μ不变，标准差σ越大，表示数据越分 散，曲线越“胖”；标准差σ越小，表示数据越 集中，曲线越“瘦”，故标准差σ是反映正态分 布变异大小的参数。

可见有了μ和σ，就把正态分布确定下来了， 为了叙述方便，一般用N(μ，σ2)表示均数为 μ，方差为σ2的正态分布。

1正态分布曲线的特征正态分布是一簇单峰分布，当X =μ时，也 就是均数处，其曲线峰值，即函数f(X)的值 最大。

正态分布以均数μ为中心，左右对称。

因 为，式中(X – μ)的值无论正负，只要绝对 值相等，则函数的值(纵高)相等。

正态分布是以μ，σ2为参数的多个分布的总 称，即正态分布是多条曲线的总称。

正态分布的分布函数统计上，某个分布的分布函数，就是指该曲线 方程下的面积，它可由曲线方程的定积分所 得，故正态分布的分布函数可由下式表达：X F(X) = 1σ2π⌠ ⎮ ⎮ ⌡-(X-μ) 2 2 e 2σdX-∞正态分布曲线下的面积规律式中F(X)为正态变量X的累计分布 函数，反映正态曲线下，横轴尺度 自-∞到X的面积，即下侧累计面积 (概率)。