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沪科版八年级数学下册：16.2 二次根式的运算 课件(共22张PPT)

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八年级数学下册 16.2.2 二次根式的加减同步课件 (新版)沪科版

八年级数学下册 16.2.2 二次根式的加减同步课件 (新版)沪科版

强化训练
练习1 计算： （1）2 7（ 7-1）= _-_1_4_+_2__7_； （2）（2 3-3 2）（- 2 3-3 2）=____6____．
练习2 计算（ 24-3 15+2 2 2 ） 2 的结果是
（ A ）．
3
A．20 3-3 30 3
C．3 30- 2 3 3
B．20 3- 30 3
沪科版 八年级 下册
第16章 二次根式
16.2.2 二次根式的 加减
学习目标
• 学习目标： 1．探索二次根式加减运算的方法和步骤； 2．会进行二次根式的加减运算． 3．能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则 运算；
• 学习重点： 1.在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次 根式的加减运算． 2.综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运 算．
（3） 9 16= 9 16 ；√ （4） 75- 3=4 3 ．√
讲授新课
计算下列各题，并注明每个步骤的依据： 问题2： 3 48 -9 1 +3 12；
3
3 48-9 1 +3 12=12 3-3 3+6 3=15 3 3
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二
次根式
讲授新课
思考：二次根式加减，分为几个步骤？ 二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减： （1）可以先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； （2）先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．

新沪科版八年级下册初中数学 16-2 二次根式的运算(课时1) 教学课件

新沪科版八年级下册初中数学 16-2 二次根式的运算(课时1) 教学课件

a2 a
第十一页，共十三页。
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0,b 0)
(4) (9)
36 6
非
负
数
第十二页方根.
a • b ab (a≥0,b≥0)
ab a • b (a 0, b 0)
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第一页，共十三页。
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算
第1课时
第二页，共十三页。
复习引入
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
2 =a a
(a≥ 0)
a 2 =∣a∣ =
a (a≥0) -a (a＜0)
第三页，共十三页。
2.化简二次根式的步骤：
a.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
b.应用 ab a b c.将平方项应用 a2 a (a 化0)简.
第十三页，共十三页。
a • b ab (a≥0,b≥0)
第六页，共十三页。
知识要点
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
第七页，共十三页。
例1 计算
(1) 6 7
(2) 1 32 2
解:
(1) 6 7 6 7 42
(2) 1 32 1 32 16 4
(2) 16ab2c3 16 a b2 c3
4 a b c2 c
4bc a c
24 bc
ac .
第十页，共十三页。
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；

沪科版数学八年级下册课件16.2.1二次根式的乘除(3)

沪科版数学八年级下册课件16.2.1二次根式的乘除(3)

3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简 的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根 号。
(1)2 24 (3 15 1 2) 6
(2)3 12 1 x2
3 ( 3 xy 4
18 xy3 )
注意运算顺序哟!
化简 a b ，甲，乙两同学的解法分别为： a b
甲，
a a
b
b
（（aa
1.二次根式的两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a 2 =∣a∣ =
-a (a＜0) 2.二次根式的乘法：
a • b ab (a≥ 0,b ≥0)
3. 二次根式的除法
a =
a (a
≥ 0，b
>
0)
b
b
a a (a ≥0，b 0) bb
（1）若 a是二次根式，则a，b应满足 b
解： 2 3 = 4 × 3 = 4 3 = 12
3 2 = 9 × 2 = 9 2 = 18
∵12＜18
∴ 12＜ 18
∴2 3＜ 3 2
你还有其它 的比较方法吗？
例3 已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
ab (1)
b c2
(2) 2 ab abc
(1)原式 ab cb
(2)原式 2 ab c • ab
例1.计算: (1) 75 ( 6 • 12)
(2) 2 • 5 50
解：(1)原式 75 6 2 75 5 3 • 2 5 6
6 2 6 2 • 2 12
(2)原式
10
50
10 50
10 50
1 5 55
为什么要把 跟号外的因 数移到根号
例2 比较 2 3 和 3 2 的大小。 内呢？

沪科版数学八年级下册1622二次根式的除法课件(14张PPT)

沪科版数学八年级下册1622二次根式的除法课件(14张PPT)
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的运算 第2课时 二次根式的除法
பைடு நூலகம்
学习目标
1.理解并掌握二次根式的除法运算法则，即 a a a 0,b 0
bb
和 a a a 0,b 0 .
bb
2.具备利用商的算术平方根的性质化简二次根式的能力. 3.掌握最简二次根式的概念，并可以熟练运用．
（1） 36 = 49
b
常用这个性质来解决二次根式的除法.
探究新知
2.请根据性质4来完成以下问题.
（1） 3 5
（2）3 2 27
（3） 8 2a
答案：（1）
（2）
（3）
探究新知
请同学们仔细观察，以上这些式子有什么规律？ 规律：1.分母中均不含有根号.
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 总结：我们把同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式．
（3） 9 = 16
总结： 36 = 49
问题引入
（2） 36 = 49
（4） 9 = 16
36 ， 9 =
9
.
49 16
16
探究新知
36 36
1.根据以上的四个分式，可以得到 49 = 49 ，
9 16 =
9 16
的结论.
这就是二次根式的第四个性
质，即
a b
a a 0,b 0 和
b
a b
a a 0,b 0 .
（cm）.
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识？ 1.关于二次根式乘法运算法则的性质是什么？
和
2.关于运用这个性质的的注意事项是什么呢？ （1）分母中均不含有根号. （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

沪科版八年级数学下册课件：16.2.1 二次根式的乘除 第1课时(共16张PPT)

沪科版八年级数学下册课件：16.2.1 二次根式的乘除 第1课时(共16张PPT)

讲授新课
例4 计算：
(1)
14 7
(2) 3 5 2 10
(3)
3x
1 xy 3
解： (1)
14 7 14 7
72 2
72 2 7 2
(2) 3 5 2 10 3 2 5 10 6 52 2 6 52 2 30 2
(3)
3
5
(2)
1 3
27
3
1 3
5
27
15
1 27 9 3 3
(2)
讲授新课 例2 计算：
（ 1）
16 ；（ 812）
；（3） 12
．
4 a 2b 3
解：（1） （ 2） （ 3）
16 ；81=36
12 = 4 3； =2 3
4 a 2 b 3 = 4 a 2b 2 b ． = 2ab b
（2）会利用
ab
a b (a进行二次根式 0, b 0)
的化简.
1 x
（ 2）
（ 4）
与
3
288
12
1 72
（3） 2 xy
2. 一个矩形的长和宽分别是 积. 解：
，求这个矩形的面 10cm 2 2cm
S矩 形 长 宽 2 2 10 4 5 （ cm 2 ）
课时小结
（1）二次根式的乘法法则：
a b
ab (a 0, b 0)
引入新课 问题1 当a 是正数或0 时，是实数吗？取a 值分 别为1，2，3，4，5试一试！ 类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？ 加、减、乘、除四则运算
引入新课 问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运 算？怎样运算？让我们从研究乘法开始． 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多 少？

沪科版八年级下册数学 16.2 .1二次根式的乘法 (共13张PPT)

沪科版八年级下册数学 16.2 .1二次根式的乘法 (共13张PPT)

小结 a b ab (a≥0,b≥0)
ab a b （a≥0，b≥0）
人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能! 一帆风顺，并不等于行驶的是一条平坦的航线。 不要太在乎自己的长相，因为能力不会写在脸上。 有梦就去追，没死就别停。 一帆风顺，并不等于行驶的是一条平坦的航线。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 你被拒绝的越多，你就成长得越快；你学的越多，就越能成功。 没有目标就没有方向，每一个学习阶段都应该给自己树立一个目标。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 人若有志，万事可为。 危机二字的正解是危险和机会，但大多数人只看到危险，鲜有人看到机会，所以成功赚到大钱的人并不多。 自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。 一个人除非自己有信心，否则无法带给别人信心。 只有坚持才能获得最后的成功。 人若软弱就是自己最大的敌人。
(4) 27 1 3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0） 根号外的因数与因数相乘，积为结果的因数。
练习
(1)5 3 4 2 (2)3 5 5 2
探究 把 a b ab
反过来，就可以得到:
ab a b （a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
化简二次根式，就要把被开方数中的平 方数（或平方式）从根号里开出来。

2020春沪科版八年级数学下册课件-第16章 二次根式-16.2.2 二次根式的除法


2．逆用表示二次根式的除法法则的式子可表示为
a b
＝
a b
(__a_≥__0_，__b_＞__0____). 即商的算术平方根等于被除式的算术平
方根除以除式的算术平方根．
3．满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的_因__数__或__因__式_____.
32＋1＝（
2（ 3－1） 3＋1）（ 3－1）
＝（2（
3）3－2－1）12＝2（
3－1） 3－1
＝
3
－1.
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
请参照以上方法化简：3＋1
＋ 7
1 7＋
＋ 5
1 5＋
＋ 3
1 3＋1.
解：原式＝3－2
7＋
7－ 2
5＋
5－ 2
3＋
3－1 2
＝12(3－ 7＋ 7－ 5＋ 5－ 3＋ 3－1)
D．－3
5y 5
4．计算 ab÷ ab· a1b(a>0，b>0)等于( A )
A．a1b2 ab
B．a1b ab
C．1b ab
D．b ab
5．已知 1－a2 a＝ 1a－a，则 a 的取值范围是( C ) A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0
【点拨】由题意得1a－ ＞a0，≥0，解得aa≤＞10，，∴0＜a≤1.
6．若
x5－ －4x＝
x－4成立，则 5－x
x
应满足的条件是(
D
)
A．x≤5
B．x＞4
C．4≤x≤5
D．4≤x＜5
7．[蚌埠期中]计算：
223÷

八年级数学下册第16章二次根式16.2二次根式的运算2二次根式的加减课件新版沪科版

2
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式 运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法 则、乘法公式仍然适用.
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2.
例5 计算：
（1） 3 1 3 1 ；
解
3 1
2
3 1 = 3 12 =3 1=2.
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式 进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式 进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
计算： （1）（ 8+ 3） 6 ； （2）（4 2-3 6） 2 2 ． （1）（ 8+ 3） 6 = 8 6 + 3 6 = 48+ 18 = 4 3 + 3 2 ； （2）（4 2-3 6 ） 2 2 =4 2 2 2-3 6 2 2=2- 3 3 ．
= 37 2 6 5 3 5
=7 6 6 3
= 20 6. 3
随堂练习
1.二次根式：① 12 ；② 23 ；③ 2 ；④ 27中，能
3
与 3 合并的二次根式是( C ) A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
2. 计算(
24 - 3
15 2
2 2) 3
2 的结果是( A )．
A．20 3-3 30
2. 二次根式的加减
复习导入
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
观察
下列二次根式有什么共同特征：
（1） 2,3 2, 2 2, 1 2,… 53
（2） 3,17 3, 5 3, 2 3,… 13

沪科版八年级数学下册：16.2 二次根式的运算 课件(共25张PPT)

2 1 1 2 3 6 (4)原式＝ 1 ＝ 6 ＝ 5 5 2 6 5 2
把系数相除 ，仍旧作为 二次根号前 的系
1
3
25 4
3 5
2 2
2
4
0.01 0.49
9 25
1 5 1 2
6
5 8
总结
• 在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式 (2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二 次根式的形式
2
2
2 • 10
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简
补充练习
8 2 (1)化简 13 13
2 2
(2)若b>0，x<0，化简：
b 2 ( x)
4
练习：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立 （ 2 ）＝ 4 （ 1 ）8 •
2 _____, 2 3
3 3 3 3 3 3 6 6 3 _____, 3 _____; 4 4 8 8 8 8 4 4 15 15 4 _____, 4 _____; 15 15 15 15 5 5 5 5 30 30 5 _____, 5 _____; 12 12 24 25
（2） 2 5• （ 5 ）＝ 10
3 2 （3） a－1 • （ a－ 1）＝ a－1 （4） ＝ 6
2.把下列各式的分母有理化：

3

－8 3 （1） 8
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10a
（4）
2y 2 4 xy
（1）－ 19 ÷ 95
1 3 1 （2） 9 ÷ （－ 2 ） 48 2 4

沪科版八年级下册数学ppt课件16.2.1(2)---二次根式的除法


2023/9/25
17
2023/9/25
7
单击此处编母版标题样式
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• 第二级
• 第三级
解： • 第四级 • 第五级
2023/9/25
8
单击此处编母版标题样式
活动2：探究商的算术平方根的性质及化简
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
2023/9/25
9
单击此处编母版标题样式 商的算术平方根:
1 你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简
二次根式了吗？
2 这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根
式满足什么条件就可以说它是最简了？
2023/9/25
13
单击此处编母版标题样式
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简记为：分母 无根号，根号
• 第二级
无分母
可以•发第现三级这些式子有如下两个特点：
• 第四级
• 第（•二1第）级三级
；
；
• 第四级
• 第五级
（2）
；
；
（3）
；
．
2023/9/25
6
单击此处编母版标题样式
归纳
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
一般•地第，三级二次根式的除法法则
思考：等式中
的a和b有没有 条件的限制？
• 第四级
• 第五级
（a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为 商的被开方数.
• 第二级
=a • 第三级 • 第四级
(a ≥ 0)
• 第五级
a (a≥ 0) =∣a∣ =
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ab a b a 0, b 0
计算: 1 6 27; 2 ( 3 5) 2 10
解： 1 6 27= 6 27=9 2
(2) ( 3 5) 2 10 ( 3) 5 2 10 10 3 = 6 5 10= 3 6 52 2 30 2
思考： 判断同类二次根式与判断同类项有什 么区别？
注意：判断几个二次根式是否为同类二次 根式,只需看化为最简二次根式后的被开方数是 否相同,与最简二次根式前面的因式及符号无关。
计算 2 12+3 48 4 75
解： 2 12+3 48 4 75
=4 3+12 3 20 3 =4 3
4. 会利用性质进行不同的应用，例如比大 小等。
5.二次根式的化简: 积的算术平方根： ab a b a 0, b 0
a a a 0, b 0 商的算术平方根： b b
6.二次根式的乘法和除法法则:
a b ab a 0, b 0
a a a 0, b 0 b b
二次根式的运算
一般地，我们把形如 a （ɑ≥0）的式 子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
性质1 性质2
a
2
2
a
(ɑ≥0)
a (a 0) a a a (a 0)
观察
计算下列各题，观察有何规律？
100 (1) 4 25 _________,
4 25 _________; 100
二次根式相乘，先按照法则进行运算，如果积中 含有二次根式，要将它化成最简二次根式。
1.二次根式的乘法法则:
ab a b a 0, b 0
2.二次根式相乘，先按照法则进行运算， 如果积中含有二次根式，要将它化成最简二次 根式。
性质4:
a a 如果a 0, b 0, 那么有 b b
下列各式 2,
1 , 27
48,
1 , 2
3,
中，哪些是同类二次根式？
分析：要看几个二次根式是否为同类二次 根式，先将它们都化为最简二次根式，再被开 方数是否相同。
下列各式 2,
1 , 27
48,
1 , 2
3,
中，哪些是同类二次根式？ 经过化简得出：
2,
48,
1 是同类二次根式， 2 1 3, 27 是同类二次根式，
计算：
解：1
1
3+1

3-1 ;
3+1

2
=
6-2
2
3 -6 3- 3
3-1 =
2

2
2
6-2 3 -6 3- 3

2

3 -12 =3-1=2
6 -2
6 2 3+ 2 3 -6 3+6 3


2
=6 12 2+12 18 _________, 25 . 0.25 100 _________
性质3：如果 a 0, b 0 ，那么有 因为当 a 0, b 0 时，
a b ab.
∴ɑb的算术平方根只有一个，所以 a b ab.
所以性质3 也可也成
4 4
2
1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法：
a a （1）利用公式： a 0, b 0 b b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母 有理化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根 号。
二次根式计算、化简的结果应符合什么 要求？
（1）被开方数的因数是整数， 因式是整式。 （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式；分母不含根号。
最 简 二 次 根 式
二次根式加减法的一般思路：
(1)如果几个二次根式的被开方数相同,那 么可以直接根据分配律进行加减运算； (2)如果所给的二次根式不是最简二次根 式，应该先化简，再考虑进行加减运算。
=6 3 12 2
计算： 3

8+ 50 30 45
解：
3
= 3 2 2+5 2 30 45


8+
50

30 45
= 3 7 2 6 5 3 5
6 =7 6 3
20 6 = 3
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数。
a a 可写成 a 0, b 0 b b
计算：
1
解： 1
40 5
2
4 1 3 12
40 40 8 5 5
42 2 2
2
4 1 4 1 4 12 3 12 3 12 3
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
一路下来，我们结识了很多新知识，也 有了很多的新想法。 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
作业： 完成课后练习。
谢
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