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课 题 平方根授课日期及时段1、平方根的概念和求法。
2、平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示，是本节课的难点。
教学内容一、课前检测(1)3+22×(－51) (2)-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－31)2（3）(－3)2×[)95(32-+- ] (4)8十(－3)2×(－2)(5)100÷(－2)2－(－2)÷(－32) (6)－34÷241×(－32)2问题：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没有，说明为什么 ？学完这节课的内容相信学生就会解决刚才提出的问题一个数的平方根的表示方法：二、知识要点开平方：1、求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
2、是不是所有的数都能进行开平方运算？ 不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
3、由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过平方运算来求一个数的平方根也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
重要提示1. 算术平方根a 具有双重非负性； （1）被开方数是非负数，即a ≥0；（2）算术平方根的本身是非负数，即a ≥0。
2. 平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根”；（2）个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个，且也是正数；（3）表示方法不同；正数a 的平方根为±a ；正数a 的算术平方根为a ，特别注意：±a ≠a 。
联系：（1）平方根中包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一个；（2）平方根和算术平方根都只有非负数才有；（3）0的平方根和0的算术平方根是其本身。
（m ≥0）正的平方根表示为：负的平方根表示为：即 m 的平方根表示为：m＋2 m－2 m±2 ±49±=±7 49±3如：49 的平方根是 则： m简写为±m ±23的平方根是：非负数a三、［典型例题］例1. 下列各数有没有平方根?如果有的话，求出它的平方根和算术平方根，如果没有的话，请说明理由。
第三节平方根的简化计算-学而思培优
在这一节中，我们将探讨如何对平方根进行简化计算。
1. 什么是平方根？
平方根是一个数字的平方的反操作。
对于任意非负实数 a，其
平方根是一个非负实数 b，使得 b² = a。
平方根可以用符号√a 来表示。
2. 简化平方根的方法
对于一些特定的数字，我们可以使用简化方法来计算其平方根。
以下是一些常见的简化平方根的方法：
2.1 完全平方数的平方根
如果一个数是另一个整数的平方，那么它的平方根是一个整数。
例如，√4 = 2，因为 2² = 4。
同样地，√9 = 3，因为 3² = 9。
2.2 整数倍关系的平方根
如果两个数之间存在整数倍的关系，那么它们的平方根也存在相同的倍数关系。
例如，√16 = 4，因为 4² = 16。
根据同样的逻辑，√64 = 8。
2.3 分解因式的平方根
对于一些非完全平方数，我们可以将其分解因式，然后简化计算平方根。
例如，√12 = √(2² × 3) = 2√3。
3. 总结
平方根的简化计算能够帮助我们更加快速地进行数学计算。
掌握了简化平方根的方法，我们可以更加高效地解决各种与平方根相关的问题。
以上是关于平方根简化计算的学而思培优内容。
希望本节的内容能够帮助你更好地理解和应用平方根的计算。
参考资料：。
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。
平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。
这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。
因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。
此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。
1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。
2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
因此，任何数都有立方根。
3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。
4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。
典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。
2) 平方根等于它本身的数是______。
3) 和数轴上的点一一对应的数是______。
例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。
①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。
例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。
例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。
A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲-无理数与平方根授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解无理数、平方根的概念；②学会判断有理数与无理数；③掌握平方根的相关计算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。
不能写成分数形式。
2、算术平方根的概念一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即2x a=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记做a，读作“根号a”。
注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
体系搭建（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数。
（3）a （0a ≥ ）是一个非负数。
3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2x a = ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
（3）开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
4、2a 与()2a ()0a ≥ 的性质（1）2a a = ，即当0a ≥时，2a a =；当0a < 时，2a a =-。
（2）()2(0)a a a =≥。
考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8 【解析】选：C ．例2、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），无理数集合：（，﹣，，…）．例3、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．（1）有理数与无理数的积一定是无理数．×（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．√．【解析】（1）任何无理数有有理数0的乘积等于0，故命题错误；（2）a+1是负数，即a+1＜0，即a＜﹣1，则a必小于它的倒数．故答案是：×，√．例4、已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．【解析】（1）当a=c=0，d≠0时，s=是有理数．当c≠0时，s=，其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．要使s为有理数，只有=0，即bc=ad．综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．当c≠0时，s=其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．所以当≠0，即bc≠ad，s为无理数．综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．考点二：平方根例1、（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解析】∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．例2、用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．【解析】用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是16 ．【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，∴2x+x﹣6=0，解得x=2，∴这个数的正平方根为2x=4，∴这个数是16．故答案为：16．例4、若=2，则2x+5的平方根是±3 ．【解析】∵=2，∴x+2=4，解得x=2∴2x+5=9，9的平方根是±3，即2x+5的平方根是±3．故答案为：±3．例5、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．【解析】∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2，∴2a﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．考点三：算术平方根例1、计算（﹣）0﹣=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣【解析】原式=1﹣2=﹣1，故选A例2、下列等式正确的是（）A．B．C．D．【解析】故答案选D．例3、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．【解析】由已知可得：+=0，则，解得，，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．例4、已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．【解析】由题意得2a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=2，b=2．所以4x+8=0，解得x=﹣2．例5、我们来看下面的两个例子：，，和都是9×4的算术平方根，而9×4的算术平方根只有一个，所以．，和都是5×7的算术平方根，而5×7的算术平方根只有一个，所以=（填空）（1）猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与之间的大小关系是怎样的？（2）运用以上结论，计算：的值．【解析】根据题意，有=；（1）根据题意，有=；（2）=×=8×15=120．故答案为：=．例6、设a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…（1）请用含n的代数式表示a n（n为自然数）；（2）探究a n是否为4的倍数，证明你的结论并用文字描述该结论；（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”（如：1，16等），试写出a1，a2，…a n 这些数中，前4个“完全平方数”．【解析】（1）∵a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…∴a n=（2n+2）2﹣（2n）2（n为自然数）；（2）a n=（2n+2）2﹣（2n）2=4n2+8n+4﹣4n2=8n+4=4（2n+1），故a n是4的倍数；文字语言：两个连续偶数的平方差是4的倍数；（3）前4个完全平方数是4，36，100，196．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1.在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】，0.343343334…是无理数，故选：B．2.如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．9【解析】根据题意得：2a+1+3a﹣11=0，移项合并得：5a=10，解得：a=2，故选C3.的平方根是（）A．81 B．±3 C．﹣3 D．3【解析】∵=9，而9=（±3）2，∴的平方根是±3．故选B．4．化简的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2【解析】∵42=16，∴=4．故选A．5．已知+（b+3）2=0，则（a+b）2016的值为（）A．0 B．2016 C．﹣1 D．1【解析】由题意得，a﹣2=0，b+3=0，解得，a=2，b=﹣3，则（a+b）2016=1，故选：D．6.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．【解析】整数集合{0，﹣}；分数集合{，3.14}；无理数集合{，﹣，7.151551…}．7.已知一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，则x的值是 2 ．【解析】∵一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，∴x﹣7+3x﹣1=0．解得：x=2．故答案为：2．8.若正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，则m的值为9 ．【解析】∵正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，∴a+2+3a﹣6=0，解得：a=1，则a+2=3，则m的值为：9，故答案为：9．9.如果的平方根等于±2，那么a= 16 ．【解析】∵（±2）2=4，∴=4，∴a=（）2=16．故答案为：16．10.已知+|2x﹣3|=0．（1）求x，y的值；（2）求x+y的平方根．【解析】（1）∵≥0，|2x﹣3|≥0，+|2x﹣3|=0，∴2x+4y﹣5=0，2x﹣3=0，则x=，y=．（2）x+y=+=2，则x+y的平方根为±．11.已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求a2015﹣b2016的值．【解析】∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．12.若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．【解析】①当（5a+1）+（a﹣19）=0，解得：a=3，则m=（5a+1）2=162=256．②当5a+1=a﹣19时，解得：a=﹣5，则m=（﹣25+1）2=576．故m的值为256或576．➢课后反击1.下列各数是无理数的是（）A．0 B．﹣1 C．D．【解析】0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：C．2.64的平方根为（）A．8 B．±8 C．﹣8 D．±4【解析】∵（±8）2=64，∴64的平方根是±8．故选：B．3.若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2【解析】∵=|a﹣2|=2﹣a，∴a﹣2≤0，故选：D．4.的值等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．【解析】，故选：A．5.下列计算正确的是（）A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2【解析】故选：A．6.把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，【解析】有理数集合{，，1.14141，|﹣7|…}，无理数集合{π，﹣，，，…}．7．（﹣0.7）2的平方根是±0.7 ．【解析】∵（﹣0.7）2=（±0.7）2，∴（﹣0.7）2的平方根是±0.7．故答案为：±0.7．8．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= 4 ．【解析】∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，∴3a﹣4+12﹣5a=0．解得：a=4．故答案为：4．9．一个实数的两个平方根分别是m﹣5和3m+9，则这个实数是36 ．【解析】m﹣5+3m+9=0，解得m=﹣1，所以m﹣1=﹣6，所以这个实数是（﹣6）2=36，故答案为：36．10．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【解析】，解得，于是 x﹣2y=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．11．若|x﹣1|+（y+3）2+=0，求4x﹣2y+3z的平方根．【解析】由题意得，x﹣1=0，y+3=0，x+y+z=0，解得x=1，y=﹣3，z=2，所以，4x﹣2y+3z=4×1﹣2×（﹣3）+3×2=4+6+6=16，∵（±4）2=16，∴4x﹣2y+3z的平方根是±4．12．求下列式子中的x28x2﹣63=0．【解析】由28x2﹣63=0得：28x2=63，x2=，∴x=±．直击中考1．【2016•马山】若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解析】△ABC是直角三角形，理由如下：由题意得，a﹣15=0，b﹣8=0，c﹣17=0，解得，a=15，b=8，c=17，∵a2+b2=225+64=289，c2=289，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．2．【2016•会宁】已知a、b、c满足2|a﹣1|++c2﹣c+=0．求a+b+c的值．【解析】∵2|a﹣1|++c2﹣c+=0．即2|a﹣1|++（c﹣）2=0．∴a﹣1=0，2b+c=0，c﹣=0，∴a=1，c=，b=﹣，∴a+b+c=．S (Summary-Embedded)——归纳总结1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数； 无理数：无限不循环小数称为无理数。
平方根培优讲义一、【知识点拨】1．平方根的定义：如果一个数的平方等于9，这个数是几？±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
4的平方根是 ；149的平方根是 。
的平方根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平方根是 ？2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平9方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.9±表示 ，9±= 。
2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。
3、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
5、算术平方根的性质：(双重非负性)⑴ 0a ≥；a 中被开方数0a ≥。
教师寄语：学习就是学状态、学心境、学成功人与人相处的艺术、学不甘心、学习别人是如何突破的、如何实现目标的……⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a二． 【题型分类讲解】题型一、求平方根1、36的平方根是 ；2、的算术平方根是 ；3、下列计算正确的是（ ）A ．4=±2B ．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根；③的平方根是； ④的算术平方根是； ⑤的平方根是-6 ⑥5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是 ；6、16平方根是 ； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
平方根培优讲义一、【知识点拨】1．平方根的定义：如果一个数的平方等于9，这个数是几？±3是9的平方根；9的平方根是±3。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。
数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
4的平方根是 ；149的平方根是 。
的平方根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平方根是 ？2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平9方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.9±表示 ，9±= 。
2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。
3、平方根的性质：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。
5、算术平方根的性质：(双重非负性)⑴ 0a ≥；a 中被开方数0a ≥。
教师寄语：学习就是学状态、学心境、学成功人与人相处的艺术、学不甘心、学习别人是如何突破的、如何实现目标的……⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a二． 【题型分类讲解】题型一、求平方根1、36的平方根是 ；2、的算术平方根是 ；3、下列计算正确的是（ ）A ．4=±2B ．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有 。
①只有正数才有平方根； ②-2是4的平方根；③的平方根是； ④的算术平方根是； ⑤的平方根是-6 ⑥5、如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是 ；6、16平方根是 ； 25 的平方根是___，4的算术平方根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x 9、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a 10、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型二、运用算术平方根进行运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯题型三、平方根性质的运用1、一个正数x 的平方根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
2、已知2a －1的平方根是±3，3a+b －1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.3、解方程：①4)3(252=-x ②049162=-x题型四、算术平方根性质的运用1、若113y x x =-+-+，则y x +的算术平方根是 。
2、若()04322=---+-c b a ，则c b a +-的值为 。
3、362720062006x y a b a b -+-=+--- ，求x 与y 的值。
4、已知a a a =-+-20102009，求49020092+-a 的平方根？题型五、大小的比较（整数部分或小数部分）1、比较下列两组数据的大小（填“＞”，“＜”或“=”）（1）3 2 （2）、—18 —4（3）、38 6； （4）、64.054 2、求下列各数整数部分和小数部分 （1）、3； （2）、38； （3）、15-；3、 满足-2<x<5的整数x 有4、已知3-是a 的一个平方根，b 是平方根等于本身的数，c 是32的整数部分，求22a b c ++的平方根。
题型六、求未知数取值范围1、求下列x 的取值范围x 2； 53-x ； x x +-1；1+x x2、21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．3、若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ；题型七、化简1、数a 在数轴上表示如图所示，则化简的结果是（ ）A ．－1B ．1－2aC ．1D ．2a －12、化简：=-2)3(π 。
3、若x ＜2，化简。
三【链接中考】1.（2011江苏南京，1，2分）9错误！未找到引用源。
的值等于（ ）A 、3B 、﹣3C 、±3D 、错误！未找到引用源。
2（2011山东日照，1，3分）（﹣2）2的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．23.（2011成都，1，3分）4的平方根是（ ）A ．±16B ．16C ．±2D ．24.（2011四川泸州，1，2分）25的算术平方根是（ ）A.5B.－5C.±5D.55.（2011贵州毕节，1，3分）16的算术平方根是( )A ．4B ．±4C ．2D ．±26.（2011•黔南，8，4分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y 等于（ ）A 、2B 、8C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
7.（2011四川达州，15，3分）若2231210a a b b -++++=错误！未找到引用源。
，则221a b a+-错误！未找到引用源。
= ． 8.（2011广东省茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 2 ．9.（2011•泰州，9，3分）16的算术平方根是 ．四【趣味数学故事】梦境里的数学家莱蒙托夫是俄罗斯伟大的诗人。
他爱好美术，曾画过一幅肖像，画的是他在梦里见到的一位数学家。
诗人不仅爱好画画，还喜欢数学。
他身边经常带着数学书，有空就拿出来看，还喜欢和朋友们玩数学游戏。
一天晚上，他又被一道有趣的数学题吸引住了，可想了许久还得不到答案，感到有点疲倦了。
这时，房门突然被推开，走进一位学者打扮的人来。
“你好啊，莱蒙托夫！”诗人揉了揉眼睛。
多面熟啊，好像在哪儿见过。
“在干啥？又写诗吗？”那人拖过一张椅子，在桌旁坐了下来。
“做一道数学题。
”莱蒙托夫回答。
“唷，和我是同行啰！”那人幽默地笑了笑，就跟莱蒙托夫一道研究起题目来。
他一面画图，一面解释。
“这不解决了么！”那人放下了笔，两人相对大笑。
输入 取算术平方根 输出是无理数 是有理数莱蒙托夫笑得真痛快。
这一阵笑使他醒了过来，原来做了个梦。
他深沉地回味着刚才的梦境，回想着那位面熟的数学家。
他急忙地取出了画纸，把这位梦中的数学家画了下来。
这幅肖像至今还收藏在俄罗斯科学院的普希金馆里。
这位梦里的数学家到底是谁呢？人们说，从形象看，很象对数的创始人约翰·纳泊尔。
约翰·纳泊尔（John Napier ，1550～1617）早于莱蒙托夫二百年左右，他是苏格兰数学家。
在他生活的年代，天文学的研究要碰到大量的繁琐的运算，花费了天文学家大量的精力和时间。
因而，简化大数的乘、除、乘方和开方的运算，就成为当时迫切需要解决的问题。
这就是约翰·纳泊尔发明对数的动机。
乘方、开方比乘法、除法麻烦，乘法、除法又比加法、减法麻烦。
对数的发明，使乘方、开方三级运算可以转化为乘、除二级运算，乘、除二级运算转化为加、减一级运算，从而使较繁的计算转化为较简单的计算。
法国著名数学家拉普拉斯说过：“对数算法使得原来需要好几个月劳力才能完成的计算，缩短为很少的几天，它不仅可以避免冗长的计算与可能产生的误差，而且实际上使得天文学家的生命延长了好多倍。
”莱蒙托夫和纳泊尔不是同时代的人，他们不可能见过面。
但是，由于对数产生的时代影响很深，加之莱蒙托夫完全有可能看过纳泊尔的著作，而且有可能在这些书中看到过纳泊尔的肖像。
所以在研究数学题入了迷的时候，纳泊尔就闯进了莱蒙托夫的梦境里来了。
五【课堂小测验】一 填空题 1.16算术平方根是 ，平方根是 ； 2.81的平方根是___，4的算术平方根是_____，3．2)8(-= ；2)8(= ；若9=x ，则x ＝_____；若72=x ，则=x _____。
4. 如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是_____。
5．如果x 的一个平方根是a.那么另一个平方根是________6．一个正数的两个平方根的和是________． 一个正数的两个平方根的商是________7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．9．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；若a 的平方根是±5，则a = ； 若a 的平方根等于2±，那么_____=a ；10．已知0)3-(122=+-b a ，则=32ab ； 二 选择题 1.36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±2.下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C.16的算术平方根是 4 D. 16的平方根是±23. 以下语句及写成式子正确的是（ ）A.7是49的算术平方根，即749±=B.7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C.7±是49的平方根，即749=±D.7±是49的平方根，即749±=4. 下列结论正确的是（ ） A.6)6(2-=-- B.9)3(2=- 、 C.16)16(2±=- D.251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1B 、9C 、4D 、56．若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） A 1± B 4 C 3或5 D 57.如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．38．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S = B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=9. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a10．22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x 11．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a 12、若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A. 2-B.5±C. 5D. 5- 三 解答题1解方程：1．034372=-x2.22)16()3(25-=-x2算：1． 914414449⋅ +2)6( 2. 41613+-+22178-3已知：实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a 试求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值．六【课外作业】11.数 -2，0...31，3π，17，0.80108中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个22.语句不正确的是（ ）A 、0的平方根是零B 、非负数的平方根互为相反数C 、-22 的平方根是±2D 、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数33.平方根是（ ）A、±9B、±3C、9D、344.计算正确的是（）A、25=±5B、2-=-C、±36=±6 D、100(3)3-=10 5、若230-+-=，则a+b-5= .a b6、已知320-+-=，那么x+y的值为。
