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明珠学校2014--2015第一学期期中考试数学试卷 年级：高二学科：理科数学 （满分： 150 分时量： 120 分钟） 一、选择题（共40分，每小题5分） 1．若，则下列不等式①, ②,③, ④ 中，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是( ) A．若是偶数，则与不都是偶数 B．若是偶数，则与都不是偶数 C．若不是偶数，则与不都是偶数 D．若不是偶数，则与都不是偶数 3．已知p：|x|<3；q：x2－x－2<0，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件在第一象限且在直线上移动，则（）A.最大值为1B.最小值为1C.最大值为2D.没有最大、小值 5．已知等差数列{an}的公差d≠0,若成等比数列,那么公比为 ( ) A． B． C．． D. 6．设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（） A． B． C． D． 7．数列1，1＋2，1＋2＋221＋2＋22＋，…的前n项和为（）A.2n－n－1B.2n+1－n－2C.2nD.2n+1－n 8、如果函数对任意的实数，存在常数，使得不等式恒成立，那么就称函数为有界泛函．给出下面三个函数：①；②；③．其中属于有界泛函的是（） A．①③ B．② C．③ D．①② 二、填空题（共30分，每小题5分） 9.写出命题P：的否定； 10．不等式的解集为； 11. 已知等比数列{an}的前n项和，则实数 t 的值为 ________. 12．已知两个正实数满足,则使不等式+≥恒成立的实数的取值范围是__________. 13．给定下列四个命题： “x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；若am2＜bm2则a＜b若既是等差数列，又是等比数列，则；的解集则=-10. 其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号) 所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝，经猜想可得到＝． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列的前项和为，数列为等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．12分）已知命题p：x∈[1,2]，x2－a0.命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋10.若“p 或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围． 14分）已知函数 (Ⅰ)当时,求函数的最小值; (Ⅱ)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围. 18．（本小题满分15分） 已知数列的首项，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求证：，． 19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.合理安排生产计划 ,公司可获得最大利润中，已知，其前n项和满足 . (1) 求的值； (2)求数列的通项公式； (3)令 ,试求一个函数,使得对于任意正整数n有，且对于任意的，均存在，使得时， .2014--2015第一学期期中考试参考答案 年级：高二学科：理科数学 （满分： 150 分时量： 120 分钟） 一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC 8. ①对于，当时，有，不属有界泛函; 对于②，当时，有无最大值，不属于有界泛函；对于③，当时，有， 二、填空题（共30分，每小题5分） 9. 10. 11. -2 12. 13. ①②④ 14.6, 6n 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分）解：（1）; ……6分 (2) ; ……12分 16. （12分）解：命题p：命题q：“p或q”为真，“p且q”为假或② ………………………10分 解得; ……………12分 17. （15分）⑴由，得，………………2分 所以是首项，公差的等差数列………………3分 ……4分，所以，………………5分 (2) ………………9分 (3) ……11分 时，由以上不等式得 ……13分 ……14分 因为是递增数列，所以，……15分． 18. （14分）解(Ⅰ) 时,(因为) 所以,在上单调递增,故时,取得最小值.………………6分 (Ⅱ) 因为对任意,恒成立,即恒成立,只需恒成立，只需,因为, 所以,实数的取值范围是.………………14分 19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且画可行域如图所示, 目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y=这是随Z变化的一族平行直线 解方程组即A(4,4) .………………4分 （2）由题设知，即. 由累加法可得：.………………8分 （3）. ………………10分 则…. 令，则…. …12分 若，则有化简得：即解不等式. 当，即时，取即可. 当，即时，则记的整数部分为s，取即可. ………………14分 综上可知，对任意，均存在，使得时，，即为所求函数. ……15分。
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
珠海市2014～2015学年度第一学期学生学业质量监测高二理科数学试题（B 卷）参考答案与评分标准时量：120分钟 分值：150分 内容：必修5，选修2-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）DDCBA DBBBC DA二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填空在答题卡上）13．命题“∃0x ∈R ，00≤x e ”的否定是 ．,0x x R e ∀∈>14．双曲线221169x y -=的离心率为 ．5415．已知实数x 、y 满足：12=+y x ，则xy 的最大值为 ．3616．抛物线24y x =上与其焦点的距离等于3的点的坐标是 ．(2,± 17．已知向量(1,2,3)a = ，(2,,6)b m =-- ，且a 与b 互相垂直，则m 的值是_______．1018．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*15()2n a n n N =-+∈，则当n S 取最大值时， n 的值为 ．910或19．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______吨．答案 2020．已知等差数列{}n a 满足：73=a ，公差2=d .{}n a 的前n 项和为n S ，则*)(99)(N n S n n f n ∈+=的最大值为 ．答案：21910 三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21．设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且3=a ，2c =．（1）当060B =时，求边长b ；（2）当︒=60A 时，求C sin ．21．解：(1)2160cos cos =︒=B …………………2分 由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+= ……4分7649212322322=-+=⨯⨯⨯-+=…………………5分 所以b ＝7 …………………6分(2)由正弦定理得：Cc A a sin sin =……8分 333232sin sin =⨯=⋅=a A c C …………………10分 22．解不等式：8)2(≥+x x ．解：同解变形为0822≥-+x x因式分解为0)2)(4(≥-+x x ……3分设)2)(4()(-+=x x x f这个二次函数的零点为－4和2，其图象开口向上…5分当2≥x 或4-≤x 时，0)(≥x f …7分当)2,4(-∈x 时，0)(<x f …9分不等式的解集为：{2≥x x 或4-≤x }………10分23．已知数列{}n a 是首项12a =，公比2q =的等比数列．（1）求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若*223log ,n n b a n N +=∈，证明：数列{}n b 是等差数列．（1）解：由题意知：*2()n n a n N =∈……………………2分qq a S n n --=1)1(1………2分 2221)21(21-=--=+n n ………6分 （2）*223log ,n n b a n N +=∈得：*32,n b n n N =-∈，…………7分 ∴ 11b =，且*1[3(1)2](32)3,n n b b n n n N +-=+---=∈…………9分 ∴ 数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列。
珠海市实验中学2014-2015学年第一学期中考试高二 理科数学 试题说明：（1）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
（2）所有答案一律写在答题卷上，写在试卷上无效一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内） 1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） （A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =2)1(+n n （D ）a n =2)1(-n n 2. 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则1a = （ ） A ．0 B ．12C ．2D ．-1 3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么它的公比为 ( )A ．B ．C ．D ．4. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +3a •…+7a =（ ） （A ）35 (B) 28 (C) 21 (D) 14 5．△ABC 中，cos cos A aB b=，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC ( ) (A )不存在(B )有一个(C )有两个(D )有无数多个7.下列不等式的解集是空集的是( )A.x 2-x+1>0B.-2x 2+x+1>0C.2x-x 2>5D.x 2+x>28．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有 ( ) ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b aa b+>A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷中相应位置） 9.若不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-3121<<x },则a +b =________. 10．140,0,1x y x y>>+=若且，则x y +的最小值是 ． 11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块. 12．7+与7-的等比中项为13．不等式组202400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为________．14. 已知钝角△ABC 的三边a =k ，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围三、解答题（本大题共6小题，共80分.请将详细解答过程写在答卷上） 15. （本小题满分12分）已知函数2()f x x bx b =+- （1）若b=2，求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数b 的取值范围。
珠海市实验中学2014-2015学年第一学期期中考试 高二文科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．已知数列的通项公式是，则该数列的第五项是（） A. B. C. D. 2．已知的等差数列，，则等于 A．7 B．6 C．5 D．4 3．的解集是 A. B. C. R D. 4．已知点(3,1)和(－4,6)在直线的两侧，则的取值范围是 A．B． C．D． 5的三个内角满足，则△ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6．如果，那么，下列不等式中正确的是（） A B、 C、 D、 7．记等差数列的前项和为，若，，则（） A、B、 C、48 D、 8．与两灯塔、的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东30，灯塔在观察站南偏东30处，则两灯塔、间的距离为（）A.400米B.500米C. 800米D. 700米 9．已知数列满足那么的值是 A．20092 B．2008×2007C．2009×2010 D．2008×2009 ，计划年内每年比上一年产值增长，从今年起五年内这个工厂的总产 值为（） A B C D 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．在等比数列中，已知，则公比q=_____ 12．中，若，，，则____ ____. 13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n个图案中有白色地面砖块. 14．在R上定义运算:,若不等式对任意的实数x成立，则的取值范围是_______ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步。
15.（本题满分12分）已知不等式的解集是A，不等式的解集是B，若不等式的解集是，则： （1）求 A, B, ；（2）求。
广东实验中学2014—2015学年高二下期中考试文科数学命题：高二文科数学备课组本试卷分选择题、非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
要求的) 1．集合[0,4]A =，2{|40}B x x x =+≤，则A B = （ ）A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅2．已知复数321i z i =+，则z 的虚部是 （ ）（A ）15 （B ）15- （C ）15i - （D ） 25- 3. 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3-B.1-C.1D. 34. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6a （ ）A. 6B. 8C. 10D. 165. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 （ ）A. 3y x = B. cos y x = C. x y tan = D . ln y x =6. 利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有 个 ( ) （1）4424=⋅≥+=x x x x y （2）33sin 2sin 23(0)sin sin 2y x x x x x π⎛⎫=+≥⋅=∈ ⎪⎝⎭，（3）410log 4lg 210log 4lg =⋅≥+=x x x x y （4）43432343=⋅≥+=x xx x y A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个7．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件8．设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。
下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 上面命题中真命题共有哪些？（ ）A. ①B.①②C.①②③D. ①②④9.已知实数x 、y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b +的最小值为( ) A.3 B.4C. 7D.1210.已知()f x 为R 上的奇函数，且满足(4)=()f x f x +，当()0,2x ∈时，2()=2f x x ，则(2015)=f ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分) 11.函数2()lg xf x x-=的定义域是 12.若(1)f x x +=，则函数()f x 的解析式为()f x =13. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2630(0)3900y υυυυ=>++．问：在该时段内，当汽车的平均速度υ等于 时，车流量最大？14.|2|||5x x x a a -++<若关于的不等式有解，则的取值范围是15.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则方程()12f x =的所有解之和为 ．三.解答题(本大题共6小题，满分75分；写出必要的解答过程) 16（本小题满分10分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意 合计 教师 1 女生4男生2⑴请完成此统计表；⑵试估计高二年级学生“同意”的人数；⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．17.(本小题满分12分)在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c =2，3C π=.（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；（2）若3cos 3A =，求b .18. (本题满分14分)一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. （Ⅰ）求证：;AC GN ⊥（Ⅱ）当FG=GD 时，证明AG //平面FMC ； （Ⅲ）.求三棱锥F MCE -的体积19. (本题满分13分)已知数列{}n a 的各项均大于1，前n 项和n S 满足221n n S a n =+-。
广东实验中学2013—2014学年（下）高二级期中考试理科本试卷分基础检测、能力检测两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
第一部分 基础检测(100分)一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若复数（1+b i ）（2+i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b R ）,则b 等于( )A ．2B ．－2C ．－21D ．21 2．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：经计算得2 3.2079K 的观测值为,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。
A ． 0.025 B ． 0.10C ． 0.01D ． 0.005参考数据：3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，若0()0f x '=，则0x x =是函数()f x 的极值点. 因为3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是3()f x x =的极值点. 以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 4.下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．ln(1)x x >+B ．20x x ->C ．sin 1x x >-+D ．xe ex >5．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D. 36．方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7．若函数)(x f 满足0)(')(>+x xf x f ，设2)1(f a =，)2(f b =，则b a ,与0的大小关系为 （ ） A ．b a >>0 B ．a b <<0 C ．0>>b a D ．0>>a b 8．给出下列五个命题:①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为23;②一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同; ③一组数据a 、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2;④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为，a bx y 中+=∧2=a ， 1,3x y ==,则b =1;⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90. 其中真命题为：A ． ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤二、填空题(4*6分=24分) 9．若bi ia-=-11， 其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则.______=+bi a 10．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为 ．11．曲线ln ()xf x x=在点(1,0)P 处的切线方程是 ． 12．观察下列等式:212(1)1x x x x++=++, 2223(1)1232x x x x x x++=++++, 232345(1)136763x x x x x x x x++=++++++, 24234567(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++则.______2=a三、解答题13. （8分）已知复数()z a i a R =+∈，且|1|1z -=，若22,,z z z z -在复平面中对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.14．（10分，每小题5分）(1)已知110,02,,b a a b a b a b++>>+>且求证:中至少有一个小于2。
广东省珠海一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a，b为实数，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a2＞b2D．若a2＞b2，则a＞b2．（5分）不等式的解集是（）A．B．C．D．3．（5分）不等式＜的解集是（）A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜0或x＞2}4．（5分）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知ab≠0，求的最小值；解答过程：=2．②求函数y=的最小值；解答过程：可化得y=≥2③设x＞1，求y=x+的最小值；解答过程：y=x+≥2，当且仅当x=即x=2时等号成立，把x=2代入2得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个5．（5分）已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x﹣2y+a=0两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞0 B．a=7或a=0 C．﹣7＜a＜0 D．0＜a＜76．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n=30，S2n=100，则S3n=（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）递减等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=S10，则欲S n最大，必n=（）A．10 B．7C．9D．7，88．（5分）设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．x y≤+1 C．x+y≤（+1）2D．xy≥2+29．（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．z max=12，z min=3 B．z max=12，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值10．（5分）设不等式f（x）≥0的解集是，不等式g（x）≥0的解集为∅，则不等式＞0的解集是（）A．∅B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．D． R二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围用区间表示为．12．（5分）两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．13．（5分）已知a≥0，b≥0，a+b=1，则取值范围是．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，关于数列{a n}有下列四个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na1；②若S n=2+（﹣1）n，则{a n}是等比数列；③若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；④若S n=p n，则无论p取何值时{a n}一定不是等比数列．其中正确命题的序号是．三、解答题：（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）已知a、b、c、d为实数，比较（a2+b2）（c2+d2）与（ac+bd）2的大小．16．（13分）已知不等式x2﹣2x+3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．17．（13分）数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）数列{a n}从哪一项开始小于0？（Ⅲ）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．18．（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类型A规格B规格C规格第一种钢板 1 2 1第二种钢板 1 1 3每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？19．（14分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（Ⅰ）求证是等差数列；（Ⅱ）若，求n的取值范围．20．（14分）已知数列{b n}前n项和．数列{a n}满足（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n；（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．广东省珠海一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a，b为实数，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a2＞b2D．若a2＞b2，则a＞b考点：命题的真假判断与应用；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质分别进行判断．解答：解：因为a＞|b|，所以a＞|b|≥0，所以a2＞b2，即A正确．若a=0，b=﹣1，满足|a|＞b，但a2＜b2，所以B错误．若a=0，b=﹣1，满足a＞b，但a2＜b2，所以C错误．若a=﹣1，b=0，满足a2＞b2，但a＜b，所以D错误．故选A．点评：本题主要考查不等式的性质以及应用，利用特殊值法是快速解决本题的关键．2．（5分）不等式的解集是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，原不等式可化为或，即可求出不等式的解集，解答：解：不等式，可化为①或②，解①得：﹣≤x≤，解②得：x∈∅，故选A．点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．3．（5分）不等式＜的解集是（）A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜0或x＞2}考点：其他不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：利用x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，求解即可．解答：解：当x＞0时，去分母得：x＞2，所以原不等式的解集为：（2，+∞）；当x＜0时，去分母得：x＜2，所以原不等式的解集为：（﹣∞，0），综上，原不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变．4．（5分）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知ab≠0，求的最小值；解答过程：=2．②求函数y=的最小值；解答过程：可化得y=≥2③设x＞1，求y=x+的最小值；解答过程：y=x+≥2，当且仅当x=即x=2时等号成立，把x=2代入2得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案．解答：解：基本不等式适用于两个正数，当ab＜0，均为负值，此时，故①的用法有误；y=≥2，当且仅当，即时取等号，但，故②的用法有误；y=x+=y=x﹣1++1≥2+1，当且仅当x﹣1=，即x=+1时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个基本条件：一正，二定，三相等，缺一不可．5．（5分）已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x﹣2y+a=0两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞0 B．a=7或a=0 C．﹣7＜a＜0 D．0＜a＜7考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：由已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x﹣2y+a=0两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x﹣2y+a=0两侧，则×＜0即（a+7）a＜0解得﹣7＜a＜0故选C．点评：本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式是解答本题的关键．6．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n=30，S2n=100，则S3n=（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列性质可得：s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…为等差数列，进而结合题中的条件可得答案．解答：解：因为数列{a n}为等差数列，所以由等差数列性质可得：s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n…为等差数列．即30，100﹣30，S3n﹣100是等差数列，∴2×70=30+S3n﹣100，解得S3n=210，故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质，利用了等差数列每连续的n 项的和也成等差数列，属于中档题．7．（5分）递减等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=S10，则欲S n最大，必n=（）A．10 B．7C．9D．7，8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由S5=S10可得S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得a8=0，结合等差数列为递减数列，可得d小于0，从而得到a7大于0，a9小于0，从而得到正确的选项．解答：解：∵S5=S10，∴S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得，a8=0∵等差数列{a n}递减，∴d＜0，即a7＞0，a9＜0，根据数列的和的性质可知S7=S8为S n最大．故选D点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的和取得最值的条件①a1＞0，d＜0时数列的和有最大值；②a1＜0，d＞0数列的和有最小值，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．8．（5分）设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．x y≤+1 C．x+y≤（+1）2D．xy≥2+2考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先根据均值不等式可知xy≤，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．解答：解：∵x，y∈R+，∴xy≤（当且仅当x=y时成立）．∵xy=1+x+y，∴1+x+y≤，解得x+y≥2+2或x+y≤2﹣2（舍），A符合题意，可排除C；同理，由xy=1+x+y，得xy﹣1=x+y≥2（当且仅当x=y时成立），解得≥1+或≤1﹣（舍），即xy≥3+2从而排除B，D．故选A．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．利用基本不等式和整体思想转化为一元二次不等式，再由一元二不等式的解法进行求解，有较强的综合性．9．（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．z max=12，z min=3 B．z max=12，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值．故选C．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．10．（5分）设不等式f（x）≥0的解集是，不等式g（x）≥0的解集为∅，则不等式＞0的解集是（）A．∅B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．D． R考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，不等式f（x）＜0的解集是{x|x＜1，或x＞2}，不等式g（x）＜0的解集为R，再把这两个集合取交集，即得不等式＞0的解集．解答：解：由于不等式f（x）≥0的解集是，不等式g（x）≥0的解集为∅，可得不等式f（x）＜0的解集是{x|x＜1，或x＞2}，不等式g（x）＜0的解集为R，则不等式＞0的解集为{x|x＜1，或x＞2}，故选：B．点评：本题主要考查其它不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围用区间表示为．考点：二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件，可得f（﹣2）=4a﹣2b=2﹣，由此可得结论．解答：解：由f （x）=ax2+bx得f（﹣1）=a﹣b ①；f（1）=a+b②由①+②得2a=，由②﹣①得2b=从而f（﹣2）=4a﹣2b=2﹣=3f（﹣1）+f（1）∵1≤f（一1）≤2，3≤f（1）≤4∴3×1+3≤3f（﹣1）+f（1）≤3×2+4∴6≤3f（﹣1）+f（1）≤10∴f （﹣2）的取值范围是：6≤f （﹣2）≤10，即f（﹣2）的取值范围是故答案为：．点评：本题考查取值范围的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，==，利用条件，代入计算，即可得出结论．解答：解：由题意，====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．13．（5分）已知a≥0，b≥0，a+b=1，则取值范围是．考点：函数的值域．专题：计算题．分析：根据a和b的等量关系消去b，然后令==y，利用导数研究该函数在上的最值，从而求出所求的值域．解答：解：a≥0，b≥0，a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1﹣a==y对y求导，y'=﹣当y'=0时取得极值，即=，解得a=∈，此时b=1﹣a=，此时y=2而端点值当x=0时y=，当x=1时y=∴的取值范围为：故答案为：点评：本题主要考查了函数的值域，同时考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，关于数列{a n}有下列四个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na1；②若S n=2+（﹣1）n，则{a n}是等比数列；③若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；④若S n=p n，则无论p取何值时{a n}一定不是等比数列．其中正确命题的序号是①③④．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：综合题．分析：对于①，直接根据既是等差数列又是等比数列的数列特点来判断即可；对于②④，直接利用其前n项和，求出通项公式即可判断；对于③，直接利用等差数列前n项和公式即可的出结论．解答：解：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既a n=a1，则S n=na1成立；②若S n=2+（﹣1）n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n﹣1﹣（﹣1）n，而a1=2+（﹣1）1=1不适合上式，所以{a n}不是等比数列，③因为{a n}是等差数列时，符合S n=an2+bn（a，b∈R）的形式，故③成立；④若S n=p n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=p n﹣p n﹣1=p n﹣1（p﹣1），而a1=S1=p不适合上式，所以{a n}不是等比数列；故只有①③④为真命题．故答案为：①③④．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识．若{a n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既a n=a1，S n=na1．三、解答题：（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）已知a、b、c、d为实数，比较（a2+b2）（c2+d2）与（ac+bd）2的大小．考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：证法1：（分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），需证其充分条件成立，直到所证关系式显然成立，从而可知原结论成立；证法2：（综合法）a2d2+b2c2≥2abcd，利用重要不等式可得（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+b2）（c2+d2），从而证得结论成立；证法3：（作差法）易证（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（b2c2﹣a2d2）2≥0，从而可知结论成立．解答：证法1：（分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）成立，即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 成立，即证：2abcd≤a2d2+b2c2 成立，即证：0≤a2d2+b2c2﹣2abcd=（ad+bc）2成立，上式明显成立．故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．证法2：（综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式），所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+b2）（c2+d2）．证法3：（作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+b2d2+2abcd）=b2c2+a2d2﹣2abcd=（b2c2﹣a2d2）2≥0，所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法、综合法、作差法的应用，考查推理证明能力，属于中档题．16．（13分）已知不等式x2﹣2x+3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出．解答：解：（1）由不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）；由不等式x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），∴解得∴不等式﹣x2+x﹣2＜0可化为x2﹣x+2＞0，∵△=1﹣4×2=﹣7＜0，∴x2﹣x+2＞0的解集为R．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．17．（13分）数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）数列{a n}从哪一项开始小于0？（Ⅲ）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由于a n+2﹣2a n+1+a n=0，可得数列{a n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）由a n＜0，解得n即可得出．（III）当n≤5时，a n≥0．|a n|=a n．T n=S n即可得出．当n＞5时，a n＜0．∴T n=T5﹣a6﹣a7﹣…﹣a n=2T5﹣S n即可得出．解答：解：（I）∵数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2﹣2a n+1+a n=0，∴数列{a n}是等差数列，设公差为d．∴2=8+3d，解得d=﹣2．∴a n=a1+（n﹣1）d=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．S n==﹣n2+9n．（II）由a n=10﹣2n＜0，解得n＞5．∴从第6项开始小于0．（III）①当n≤5时，a n≥0．∴T n=S n=﹣n2+9n．②当n＞5时，a n＜0．∴T n=T5﹣a6﹣a7﹣…﹣a n=2T5﹣S n=n2﹣9n+40．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值符号的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类型A规格B规格C规格第一种钢板 1 2 1第二种钢板 1 1 3每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个，A种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．解答：解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，则有作出可行域（如图）目标函数为z=x+2y作出一组平行直线x+2y=t（t为参数）．由条件得A（）由于点A不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且最小值为：4+2×8=6+2×7=20．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．19．（14分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（Ⅰ）求证是等差数列；（Ⅱ）若，求n的取值范围．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题．分析：（I）由可得：，从而可证；（II）由（I）知，从而有，因此可化简为，故问题得解．解答：解：（I）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差d=2∴∴（II）∵∴=∴解得n＞16点评：本题主要考查构造法证明等差数列的定义及裂项法求和，属于中档题．20．（14分）已知数列{b n}前n项和．数列{a n}满足（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n b n．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n；（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用，再写一式，两式相减，即可求得通项b n，进而求得通项a n．（2）先求得c n，进而利用错位相减法即可求得T n．（3）求出c n的最大值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由已知和得，当n≥2时，又b1=1=3×1﹣2，符合上式．故数列{b n}的通项公式b n=3n﹣2．又∵，∴，故数列{a n}的通项公式为，（2），∴，，①﹣②得==，∴．（3）∵，∴=，当n=1时，c n+1=c n；当n≥2时，c n+1≤c n，∴．若对一切正整数n恒成立，则即可，解得m≤﹣5或m≥1．点评：本题考查了已知数列的前n项和求通项及利用错位相减法求数列的前n项和，考查恒成立问题，掌握方法是解题的关键．。
珠海市实验中学2014～2015学年第一学期期中考试高 二 化 学 试 题满分：100分 考试时间：90分钟一、单项选择题（每题只有一个正确答案，每题2分，共40分）1．甲、乙两个容器内都进行A→B 的反应，甲容器内每分钟减少了4mol A ，乙容器内每分钟A ．化学反应中的能量变化，只表现为热量的变化B ．煤和石油属于可再生能源C ．汽车排出大量尾气中含有CO 会污染大气D ．要使燃料燃烧只需要大量的氧气A ．H 2SiO 3 H 2S CO 2B ．MgSO 4 CH 3COOH CH 3CH 2OHC ．H 2SO 3 BaSO 4 CH 4D ．H 2O NH 3•H 2O H 3PO 46．下列说法正确的是A. 在101kPa 时，1mol 物质完全燃烧时所放出的热量，叫做该物质的燃烧热B. 酸和碱发生中和反应生成1mol 水，这时的反应热叫中和热C. 燃烧热或中和热是反应热的种类之一D. 在稀溶液中，1molCH 3COOH 和1mol NaOH 完全中和时放出的热量为57.3kJ 7．对于在一定条件下进行的化学反应：2SO 2+O 2⇌2SO 3，改变下列条件，可以提高反应物中的活8．已知热化学方程式：H 2O(g)＝H 2(g) + 12O 2(g) △H = +241.8kJ ／mol H 2(g)+ 12O 2(g) ＝ H 2O(1) △H = －285.8kJ ／mol 当1g 液态水变为水蒸气时，其热量变化是A ．吸热88kJB ． 吸热2.44KJC ．放热44kJD ． 吸热44KJ9．在2A+B═3C+4D 反应中，下面表示的化学反应速率最快的是（ ）A ．v （A ）=0.5mol/（L•min）B ．v （B ）=0.05mol/（L•min）C ．v （C ）=0.9mol/（L•min）D ．v （D ）=1.0mol/（L•min）10．根据以下3个热化学方程式：2H 2S(g)+3O 2(g)＝2SO 2(g)+2H 2O(l) △H ＝Q 1 kJ/mol2H 2S(g)+O 2(g)＝2S (s)+2H 2O(l) △H ＝Q 2 kJ/mol2H 2S(g)+O 2(g)＝2S (s)+2H 2O(g) △H ＝Q 3 kJ/mol判断Q 1、Q 2、Q 3三者关系正确的是（ ）A ． Q 1>Q 2>Q 3B ． Q 1>Q 3>Q 2C ． Q 3>Q 2>Q 1D ． Q 2>Q 1>Q 311．下列对化学平衡移动的分析中，不正确的是（ ）①已达平衡的反应C （s ）+H 2O （g ）⇌ CO （g ）+H 2（g ），当增加反应物物质的量时，平衡一定向正反应方向移动；②已达平衡的反应N 2（g ）+3H 2（g ）⇌2NH 3（g ），当增大N 2的浓度时，平衡向正反应方向移动，N 2的转化率一定升高；③有气体参加的反应平衡时，若减小反应器容积时，平衡一定向气体体积增大的方向移动；④有气体参加的反应达平衡时，在恒压反应器中12．25℃、101 kPa 下，2g 氢气燃烧生成液态水，放出285.8kJ 热量，表示该反应的热化学方程式正确的是（ ）A ．2H 2(g)+O 2(g) == 2H 2O(1) △H ＝ ―285.8kJ ／molB ．H 2(g)+12O 2(g) == H 2O(1) △H ＝ ―285.8kJ ／mol C ．2H 2 (g)+O 2(g) == 2H 2O(g) △H ＝ ―571.6 kJ ／molD ．2H 2(g)+ O 2(g) == 2H 2O(1) △H ＝ +571.6 kJ ／mol15． 体积相同、pH 相同的HCl 溶液和CH 3COOH 溶液，与NaOH 溶液中和时两者消耗的NaOH 的物质的量（ ）16．已知反应X+Y= M+N 为吸热反应，对这个反应的下列说法中正确的是（ ）A ．X 的能量一定低于M 的，Y 的能量一定低于N 的B ．因为该反应为吸热反应，故一定要加热反应才能进行C ．破坏反应物中的化学键所吸收的能量小于形成生成物中化学键所放出的能量D ．X 和Y 的总能量一定低于M 和N 的总能量17．在NH 3•H 2O ⇌ NH 4++OH ﹣形成的平衡中，要使NH 3•H 2O 的电离程度及c （OH ﹣）都增大，可采18．I 2在KI 溶液中存在下列平衡：I 2(aq)＋I (aq)＝I 3(aq) ， 某 I 2、KI 混合溶液中，I 3的物质的量浓度c(I 3－)与温度T 的关系如图所示（曲线上任何一点都表示平衡状态）。
