安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题理(含解析)

安徽省蚌埠市2020届高三数学9月月考试题 理(试卷分值：150分 考试时间：120分钟)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1已知i 为虚数单位，复数Z 满足(1＋2i)z ＝－2＋i ，则｜z ｜＝ A.5B1 C 5 D5 2已知集合A ＝{x ｜y ＝log 2(x －1)}，B ＝{x ｜(x ＋1)(x －2)≤0}，则A∩B＝ A(0，2] B(0，1) C(1，2] D[2，＋∞) 3已知0＜a ＜b ＜1，则在a a，a b，b a，b b中，最大的是 A. aaB. a bC. b aD. b b4用模型y ＝ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝lny ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋2，则c ＝A.e 2B.e 4C.2D.4 5已知m ，n∈R，则“10mn－＞”是“m－n ＞0”的 A 既不充分也不必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 充要条件 6执行如程序框图所示的程序，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为A.3B.5C.7D.97若直线l ：y ＝kx －2k ＋1将不等式组2010220X Y X Y ≤≤≥⎧⎪⎨⎪⎩－－＋－表示平面区域的面积分为1：2两部分，则实数k 的值为 A.1或14 B.14或34 C.13或23 D.14或138定积分232sin )x x dx -+⎰的值是A.πB.2πC.2π＋2cos2D.π＋2cos29已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PA⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，∠BAC＝120°，若三棱锥P －ABC，则球O 的表面积为 A.16π B.20π C.28π D.32π10已知椭圆C ：222210()x y a b a b＋＝＞＞的焦距为椭圆C 与圆(x)2＋y 2＝16交于M ，N 两点，且｜MN ｜＝4，则椭圆C 的方程为A.2211512x y ＋＝B.221129x y ＋＝C.22163x y ＋＝D.22196x y ＋＝ 11已知函数f(x)＝asinx ＋cosx ，x∈(0，6π)，若12x x ∃≠，使得f(x 1)＝f(x 2)，则实数a 的取值范围是 A. (0，2) B.(0) C. (3，3) 12已知棱长为l 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点P 是四边形BB 1D 1D 内(含边界)任意一点，Q 是B 1C 1中点，有下列四个结论：①0AC BP ⊥＝；②当P 点为B 1D 1中点时，二面角P －AD －C 的余弦值12；③AQ 与BC 所成角的正切值为CQ⊥AP 时，点P 的轨迹长为32其中所有正确的结论序号是A①②③ B①③④ C②③④ D①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测（数学理）doc高中数学 数学试题〔理科〕〔考试时刻：120分钟总分值：150分〕本卷须知：1．选择题用答题卡的考生，答第1卷前，务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．选择题用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第I 卷时，每题选出答案后，填在答题卷相应的选择题栏上。

3．答第二卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置；答题时，请用0.5毫米的黑色签字笔直截了当答在答题卷上，不要在试题卷上答题。

4．考试终止，监考人将答题卷和答题卡一并收回，第I 、Ⅱ卷不收回。

第一卷〔总分值50分〕一、选择题〔本大题共l0题，每题5分，共50分；在每题给出的4个选项中，只有一是符合题目要求的〕 1．复数5(3)2iZ i i=-+-在复平面内的对应点位于 〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合2{1,0,4},A N =-≤∈集合B={x|x -2x-30,x }， 全集为U ，那么图中阴影部分表示的集合是〔 〕 A ．{4} B ．{4，—1} C ．{4，5} D ．{—1，0} 3．以下命题：①,x ∀∈R 不等式2243x x x +>-成立; ②假设2log log 22x x +≥ ，那么x>1; ③命题〝00,c ca b c a b>><>若且则〞的逆否命题；④假设命题p: 2,11x x ∀∈+≥R ，命题q ：2,210x x x ∃∈--≤R ，那么命题p q ∧⌝是真命题.其中真命题只有〔 〕A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．假如执行如图的程序框图，那么输出的值是〔 〕A ．2018B ．—1C ．12D ．25．从四棱锥S —ABCD 的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为〔 〕A ．17B ．12 C ．27D ．476．某一几何体的正视图与侧视图如图，那么在以下图形中，能够是该几何体的俯视图的图形有 〔 〕 A ．①②③⑤ B ．②③④⑤ C ．①②④⑤D ．①②③④ 7．函数2ln 2(0)()21(0)x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．38．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆221(2)x y=-+都相切，那么双曲线C 的离心率是 〕A ．632或B ．23或C ．2323或 D ．23632或 9．如图，△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE交于F ，设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+则 为 〔 〕 A ．11(,)32B ．11(,)43C ．33(,)77D ．29(,)52010．函数321()232x f x ax bx c =+++的两个极值分不为1212(),(),,f x f x x x 若分不在区间〔0，1〕与〔1，2〕内，那么21b a --的取值范畴是 〔 〕A ．〔一1，一14〕B ．〔—∞，14〕∪〔1，+∞〕C ．〔1,14〕 D ．〔2,24〕第二卷〔总分值100分〕二、填空题〔本大题共5题，每题5分，共25分；把答案填在题中横线上〕 11．在20171(2)x x x-+-的展形式中含项的系数是 。

2019-2020学年安徽省合肥一中高三（上）9月段考数学试卷（理科）一、选择题1．函数的定义域为M，g（x）＝ln（1﹣x）的定义域为N，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2}D．{x|x＞2}2．复数z满足（1+i）z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为（）A．1B．0C．D．3．若0＜α＜，＜β＜0，cos（ α），cos（），则cos（α ）＝（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．5．已知函数，将函数f（x）向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后得到一个奇函数的图象，则ϕ的最小值为（）A．B．C．D．6．（）A．B．C．D．27．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知，则的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，若b+c＝4，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．[2，4）C．（0，2）D．（0，4）10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，，则（）A．B．2C．D．11．关于数列{a n}，给出下列命题：①数列{a n}满足，，则数列{a n}为公比为2的等比数列；②“a，b的等比中项为G”是“G2＝ab”的充分不必要条件；③数列{a n}是公比为q的等比数列，则其前n项和；④等比数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，其中，真命题的序号是（）A．①③④B．①②④C．②D．②④12．已知函数，，，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a8＝18﹣a4，则S9＝．14．已知，，与的夹角为，|＝．15．已知函数f（x）的定义域为R，且满足，当x（0，1）时，f（x）＝2x，则．16．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b是a与c的等比中项，且sin A 是sin（B﹣A）与sin C的等差中项，则C＝，cos B＝．三、解答题17．已知函数f（x）＝A sin（ϖx+ϕ）（A＞0，ϖ＞0，0＜ϕ＜π）部分图象如图所示，函数g （x）＝f（x）cos2x（1）求函数g（x）的表达式（2）求函数g（x）的单调增区间和对称中心．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（1）求数列{a n}的通项公式（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1（a R）（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．20．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）（1）设y＝g（x）是函数f（x）在（0，0）处的切线，证明：f（x）≤g（x）（2）证明：＜22．已知函数f（x）＝x﹣cos x（1）若＜，求实数m的取值范围（2）若不等式e x+a cos x≥ax对，恒成立，求实数a的取值范围2019-2020学年安徽省合肥一中高三（上）9月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．函数的定义域为M，g（x）＝ln（1﹣x）的定义域为N，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜﹣2}D．{x|x＞2}【解答】解：M＝{x|4﹣x2＞0}＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜1}．故选：A．2．复数z满足（1+i）z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的实部与虚部之和为（）A．1B．0C．D．【解答】解：由（1+i）z＝|i|＝1，得z，∴z的实部与虚部分别为，，和为0．故选：B．3．若0＜α＜，＜β＜0，cos（ α），cos（），则cos（α ）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵0＜α＜，＜β＜0，∴＜ α＜，＜＜∴sin（ α），sin（）∴cos（α ）＝cos[（ α）﹣（）]＝cos（ α）cos（）+sin（ α）sin（）故选：C．4．函数f（x）＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣xln|x|＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；当x＞0时，f（x）＝xlnx，∴当x＞1时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，故选：A．5．已知函数，将函数f（x）向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后得到一个奇函数的图象，则ϕ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数2sin（2x）的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin[2（x﹣ϕ）]＝sin（2x﹣2ϕ），再由y＝sin（2x﹣2ϕ）为奇函数，可得﹣2ϕkπ，k z，可得ϕkπ，k z，则ϕ的最小值为．故选：B．6．（）A．B．C．D．2【解答】解：（﹣cos x）2，故选：C．7．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，，，，，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，，，．由，得a cos A＝b cos B，则sin A cos A﹣sin B cos B＝0，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B；反之，△ABC为等腰三角形，若a＝c≠b，不能得到．∴“”是“△ABC为等腰三角形”的既不充分也不必要的条件．故选：D．8．已知，则的值为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：已知，所以，由于﹣1＜x＜1，令g（x）故g（x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数．则═1﹣1＝﹣2故选：A．9．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，若b+c＝4，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．[2，4）C．（0，2）D．（0，4）【解答】解：∵（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，∴由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cos A，∵A（0，π），∴A，∵b+c＝4，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝16﹣3bc，由b+c＝4，b+c≥2，得0＜bc≤4，则4≤a2＜16，即2≤a＜4，即a的取值范围是：[2，4）．故选：B．10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设，，则（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，（1）（）＝（1），同理，（）．∴x1＝y2，x2＝y1．∴．故选：C．11．关于数列{a n}，给出下列命题：①数列{a n}满足，，则数列{a n}为公比为2的等比数列；②“a，b的等比中项为G”是“G2＝ab”的充分不必要条件；③数列{a n}是公比为q的等比数列，则其前n项和；④等比数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，其中，真命题的序号是（）A．①③④B．①②④C．②D．②④【解答】解：①，数列{a n}满足，，若首项不为0，则数列{a n}为公比为2的等比数列；若首项为0，则数列{a n}不为等比数列；故①错误；②，“a，b的等比中项为G”可得“G2＝ab”，反之，若G2＝ab，可能a＝G＝b＝0，则a，G，b不构成等比数列，“a，b的等比中项为G”是“G2＝ab”的充分不必要条件，故②正确；③，数列{a n}是公比为q的等比数列，若q不为1，则其前n项和；若q＝1，可得S n＝na1，故③错误；④，等比数列{a n}的前n项和为S n，若公比q≠﹣1，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列；若q＝﹣1，则S4＝0，S8﹣S4＝0，S12﹣S8＝0，S4，S8﹣S4，S12﹣S8不成等比数列，故④错误．故选：C．12．已知函数，，，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：由题意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即，化简得：，即，解得，当且仅当x1＝x2时取等号，则＞对k（0，+∞）恒成立．记g（k），k（0，+∞），g′（k），令g′（k）＝0，得k＝1，且当k＞1，g′（k）＞0，则g（k）单调递增，k＜1，g′（k）＜0，则g（k）单调递减，故当k＝1时，g（k）取最大值为g（1），故＞，故选：D．二、填空题13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a8＝18﹣a4，则S9＝54【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a8＝18﹣a4，∴2a1+9d＝18﹣a1﹣3d，化为：a1+4d＝6＝a5．则S99×6＝54．故答案为：54．14．已知，，与的夹角为，|＝2【解答】解：||2444+4×2×4cos60°+4×16＝86，所以||215．已知函数f（x）的定义域为R，且满足，当x（0，1）时，f（x）＝2x，则【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x+4）f （x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，又由log264＜log296＜log2128，即6＜log296＜7，则f（log296）＝f（log296﹣4）＝f（log2），又由当x（0，1）时，f（x）＝2x，且0＜log2＜1，则f（log2），则f（log296）；故答案为：．16．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b是a与c的等比中项，且sin A 是sin（B﹣A）与sin C的等差中项，则C＝，cos B＝．【解答】解：若b是a与c的等比中项，则b2＝ac．由于sin A是sin（B﹣A）与sin C的等差中项，所以2sin A＝sin（B﹣A）+sin C，整理得2sin A＝2sin B cos A，利用正弦定理和余弦定理整理得，整理得a2+b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．所以a2+ac＝c2，所以，解得或（负值舍去）．即．故答案为：；三、解答题17．已知函数f（x）＝A sin（ϖx+ϕ）（A＞0，ϖ＞0，0＜ϕ＜π）部分图象如图所示，函数g （x）＝f（x）cos2x（1）求函数g（x）的表达式（2）求函数g（x）的单调增区间和对称中心．【解答】解：（1）由图可知A＝2，，所以ω＝2，又因为f（）＝2，可得∅ ，则f（x）＝2sin（2x），所以g（x）＝f（x）cos2x＝2sin（2x）cos2x＝2（）cos2x＝sin2x cos2x cos22x sin（4x）．（2）令4x，解得x，k Z，所以g（x）单调增区间为：[，]（k Z）．令4x kπ，解得x，所以对称中心为：（，）（k Z）．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且（1）求数列{a n}的通项公式（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）由，可得n＝1时，a1＝S1＝7，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3n2+4n﹣3（n﹣1）2﹣4（n﹣1）＝6n+1，上式对n＝1也成立，则a n＝6n+1，n N；（2）（6n+1）•3n，可得T n＝7•3+13•32+19•33+…+（6n+1）•3n，①3T n＝7•32+13•33+19•34+…+（6n+1）•3n+1，②①﹣②得﹣2T n＝21+6（32+33+…+3n）﹣（6n+1）•3n+1＝21+6•（6n+1）•3n+1，则T n＝3+（3n﹣1）•3n+1．19．已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1（a R）（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值（2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3﹣3x﹣1，则f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）•（x+1），如下表：故极值：1或﹣1．（2）f′（x）＝3x2﹣3a＝3（x2﹣a）：①当a≤0时，f′（x）≥0在[0，1]恒成立，即f （x）在[0，1]单增，∴函数f（x）的最小值为f（0）＝﹣1；②a＞0时，f′（x）＝0⇒x 或，x[0，]，f（x）为减，[，+∞），f（x）为增；当1，即a≥1，x[0，1]，f（x）单减，所以f（1）最小值，而f（1）＝﹣3a；当0＜＜1，即0＜a＜1，f（x）先减后增，所以f（）最小，f（）＝（）3﹣3a•1＝﹣2a•1；综上，a≤0时，f（x）最小值﹣1，a（0，1），f（x）最小值﹣2a1，a[1，+∞），f（x）最小值﹣3a．20．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当点M，N分别是边AB中点和AD靠近D的三等分点时，tan∠DCN，tan∠MCB，如图所示；所以tan（∠DCN+∠MCB）1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN，所以cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，则MN2＝x2+y2＝（1.2﹣x﹣y）2，可得xy＝1.2（x+y）﹣0.72，又tan∠DCN，tan∠MCB，所以tan（∠DCN+∠MCB），将xy＝1.2（x+y）﹣0.72代入上式，计算得tan（∠DCN+MCB）＝1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN为定值．21．已知函数f（x）＝ln（x+1）（1）设y＝g（x）是函数f（x）在（0，0）处的切线，证明：f（x）≤g（x）（2）证明：＜【解答】解：（1），则f′（0）＝1，又f（0）＝0，所以g（x）＝x证明f（x）≤g（x）⇔ln（x+1）≤x，令h（x）＝ln（x+1）﹣x，则h′（x），所以h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故h（x）≤h（0）＝0，所以ln（1+x）≤x．（2）由（1）知ln（1+x）≤x对任意的x＞﹣1恒成立．取x＝1，则ln（1+1）＜1；x，则ln（1）＜；…；ln（1）＜；则ln（1+1）+ln（1）+…+ln（1）＜1，又因为1＜12＜2，所以ln（1+1）+ln（1）+…+ln（1）＜2，即ln（1+1）（1）…（1）＜2，所以（1）（1）…（1）＜e2．22．已知函数f（x）＝x﹣cos x（1）若＜，求实数m的取值范围（2）若不等式e x+a cos x≥ax对，恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f′（x）＝1+sin x≥0，f（x）在R上单调递增，f（）＜f（1），可得＜1，解得：（﹣∞，1）∪（3，+∞），（2）e x≥a（x﹣cos x）＝af（x），f（x）在R上单调递增，且f（0）＜0，f（）＞0，故存在唯一x0（0，），有f（x0）＝0，①当x，时，有f（x）＜0，a，令g（x），g′，f（x）＝x﹣cos x＜0，﹣sin x﹣1＜0，所以g′（x）＜0，a≥g（x）max＝g（）e，②当x，时，有f（x）≥0，a，g′（x），x﹣cos x﹣sin x﹣1＜x﹣2，所以g′（x）＜0，综上，a，．。

2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}210B x x =->，则AB =（ ）A ．()1，-+∞ B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1 22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】确定出集合,A B 中的元素后，由并集定义计算． 【详解】由题意{|12}a x x =-<<，1{|}2B x x =>，∴{|1}A B x x =>-．故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．2．设复数z 满足1i z z -=-（i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ） A ．y x =- B ．y x =C ．()()22111x y -+-=D ．()()22111x y +++=【答案】B【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知等式化简即可． 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，∵1i z z -=-，∴1x yi x yi i +-=+-， 即2222(1)(1)x y x y -+=+-，化简得y x =．故选：B. 【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得．也可由模的几何意义求解．3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（）A．这五年，2013年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2017年进口增速最快【答案】C【解析】对于选项A：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;对于选项D：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B正确;对于选项C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;对于选项D：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题. 4．下列不等关系，正确的是（ ） A ．234log 3log 4log 5<< B ．243log 3log 5log 4>> C ．243log 3log 5log 4<< D ．234log 3log 4log 5>>【答案】D【解析】比较log (1)n n +与(1)log (2)n n ++的大小，2,n n ≥∈N ， 【详解】 设2,n n ≥∈N ，log (1)n n +(1)log (2)n n +-+2lg(1)lg(2)lg (1)lg lg(2)lg lg(1)lg lg(1)n n n n n n n n n +++-+=-=++，因为222222lg ln(2)11lg lg(2)()lg (2)lg (21)lg (1)244n n n n n n n n n +++<=+<++=+，所以log (1)n n +(1)log (2)n n +-+0>，即log (1)n n +(1)log (2)n n +>+（2,n n ≥∈N ）． 所以234log 3log 4log 5>>． 故选：D ． 【点睛】本题考查比较对数的大小，本题通过证明数列{log (1)}n n +是递减数列得出结论． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，47329a a +=，则7S 的值等于（ ） A ．21 B ．1C ．-42D ．0【答案】D【解析】用等差数列的基本量法计算． 【详解】设数列公差为d ，则47111232(3)3(6)5249a a a d a d a d +=+++=+=，因为13a =-，所以1d =，717677(3)21102S a d ⨯=+=⨯-+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公差d ，然后直接计算．6．若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B 【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题. 7．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于12x π=-对称B ．()g x 在[]0π，上有2个零点C ．()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断． 【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．9．已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>，）的左右焦点分别为12F F ，，圆2F 与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆2F 与双曲线C 的一个交点.若12=0F M F M ⋅，则双曲线C 的离心率等于（ ） A．B ．2CD【答案】A【解析】求出焦点到渐近线的距离，2MF ，由双曲线定义得1MF ，再由12=0F M F M ⋅可建立,,a b c 的关系，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，所以2MF r b ===， M 在双曲线右支上，则1222MF MF a b a =+=+，又12=0F M F M ⋅，则12MF MF ⊥，所以222(2)4b b a c ++=，2222444b ab a c ++=，又222b c a =-，所以242ab b =，2a b =，22224a b c a ==-，225c a =，ce a== 故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式．本题利用相切，利用双曲线定义，表示出焦半径，由数量积得垂直从而建立,,a b c 的等式．解法易得，属于中档题．10．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112C ．0.114D ．0.116【答案】C【解析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 11．已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】根据正方体的性质对每个命题进行判断．结合排除法可选正确结论． 【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥111D A EFC -，四棱锥11B A EFC -，三棱锥111B A BC -，截面下方几何体对称的也是三个棱锥，对应体积相等（特殊位置截面更容易得此结论），①正确，排除B ；由正方体相对两个面平行，根据面面平行的性质定理知四边形1BFD E 的两组对边平行，从而是平行四边形，②正确，排除A ；当E 是1AA 中点，F 是1CC 中点，这时可证EF ⊥平面11BB D D （先证//EF AC ），从而平面α与平面1DBB 垂直，③错误，排除D ， 只有C 可选了．事实上，四边形1BFD E 即有最大值也有最小值．E 与A （或1A ）重合时面积最大，E是1AA 中点时，面积最小．设AE x =，正方体棱长为1，01x ≤≤，21BE x =+，2211(1)22D E x x x =+-=-+，13BD =，在1BED ∆中，2222111221cos 2122D E BE BD x xBED D E BE x x x +--∠==⋅+⋅-+，所以2222112222()222sin 1cos 1(1)(22)(1)(22)x x x x BED BED x x x x x x --+∠=-∠=-=+-++-+，所以1211sin 222BED F S BE D E BED x x =⋅∠=-+2132()22x =-+，所以0x =或1时，1BED F S 取得最大值2．④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查正方体的截面的性质．解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系．如果空间想象能力丰富，结论易得，由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当E 从A 运动到1A 时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值．④正确，②③易于从面线面关系说明．12．已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】利用导数研究函数()f x 的性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再研究方程()0f t et -=的解的个数，即直线y et =与函数()y f t =的公共点的的取值，从而利用函数()f x 的性质求得()F x 零点个数． 【详解】0x ≤时，()x f x e -=-是增函数，(0)1f =-，0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11()(1)1(1)()x x f x x e x e x x'=+--=+-，显然10x +>，由1xe x=，作出xy e =和1(0)y x x=>的图象，如图，x y e =是增函数，1y x =在0x >是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0011x e x =>，001x <<， 在00x x <<时，1xe x <，()0f x '<，0x x >时，1xe x>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由11()xf x e e -'==得1x =-，而1x =-时，(1)y e e =⨯-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过换元法问题转化为()0f t et -=的解及()f x t =的解，为此利用导数研究函数()f x 的性质，研究直线y ex =与函数()y f x =的公共点问题．研究()f x 的图象与直线y t =的公共点个数．本题考查了学生的转化与化归思想．运算求解能力．二、填空题13．已知向量a =（1，1），() 2b m =-，，且a ∥()2a b +，则m 的值等于__________.【解析】计算2a b +，由向量共线的坐标运算可者m ． 【详解】由题意2(12,3)a b m +=+-，因为a ∥()2a b +，所以123m +=-，解得2m =-． 故答案为：2-． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________. 【答案】3π或23π【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k = 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π． 故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式． 【答案】72 【解析】【详解】由题意224372A A =．故答案为：72．本题考查排列的综合应用．解题时确定分步完成本事件．插入法是解本题的关键． 16．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且n *∈N ），则球1O 的体积等于__________，球n O 的表面积等于__________.164n π- 【解析】由正四面体的内切球的半径是高的14可求得1O 的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第n 个球． 【详解】如图，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是BCD ∆的外心，设BC a =，则OB =，3AO a ==， 1O 是三棱锥A BCD -的外接球和内切球的球心，1O 在AO 上，设外接球半径为R ，内切球半径为1r ，则由22211O B OO BO =+得222))R a R =+-，R R =，所以11r AO AO AO R =-=-==， 114r AO =，1333144()3312216O V r a a πππ====，过AO 中点作与底面BCD 平行的平面与三条棱,,AB AC AD 交于点111,,B C D ，则平面111B C D 与球1O 相切，由题意球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，注意到三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -棱长的12，所以有其内切球半径2112r r =，同理球n O 的半径为n r ，则{}n r 是仅比为12的等比数列，所以111()2n n r r -=⨯，即1616()1222n n n r a -=⨯=， 2216644(24n n nn S r πππ-==⨯=． 6π；164n π-． 【点睛】本题考查三四面体的内切球问题，掌握正四面体的性质是解题关键．实质上正四面体的高是h ，其外接㼀半径是34h ，内切球半径是14h ．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos 2cos 0a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若BC 边的中线AM 5ABC ∆的面积. 【答案】（1）34B π=（2）1 【解析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得cos B ，得B 角；（2）在ABM ∆中应用余弦定理求得AB c =，再用三角形面积公式求得面积． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin()cos sin cos sin 10A C B B B B B B B +==⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos B =∵B 是三角形的内角，∴34B π=.（2）在ABM ∆中，314BM AM B AB c π====，，， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴2512(2c c =+-⨯-．即240c -=，(0c c -+=,∵0c >，∴c =在ABC ∆中，2a =，c =34B π=，∴ABC ∆的面积113sin 21224S ac B π==⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键．18．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）18125 （2）分布列见解析，65EX = 【解析】（1）统计数据说明学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，它们相互独立，两种类型都有学校选择则分为两类：两所学校选“科技体验游”，一所学校选“自然风光游”或者一所学校选“科技体验游”，两所学校选“自然风光游”，由此可计算概率；（2）X 可能取值为0，1，2，3.，依次计算出概率可得概率分布列，由期望公式可计算期望． 【详解】（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查用样本估计总体，考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与期望．掌握相互独立事件同时发生的概率是解题关键．19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC =，AC BC ⊥.（1）证明：1A C ⊥1AB ；（2）设2AC CB =，160A AC ∠=，求二面角11C AB B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）34-【解析】（1）连结1AC .由菱形得对角线垂直，再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直BC ⊥平面11AAC C ，11B C ⊥平面11AAC C ，从而111B C AC ⊥，于是证得线面垂直后再得线线垂直；（2）取11A C 的中点为M ，连结CM ，证得CM 与,CA CB 都垂直后，以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，则法向量夹角得二面角，注意要判断二面角是锐角还是钝角． 【详解】 （1）连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，∴11A C AC ⊥. ∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面11AAC C . 又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AAC C ，∴111B C AC ⊥. ∵1111AC B C C ⋂=，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ， ∴1A C ⊥1AB（2）取11A C 的中点为M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AAC C 为菱形，160A AC ∠=，∴11CM AC ⊥，CM AC ⊥. 又由（1）知CM BC ⊥，以C 为原点，CACB CM ，，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠=，∴C （0，0，0），1A （1，0），A （2，0，0），B （0，1，0），1B （-1，1. 由（1）知，平面11C AB的一个法向量为(110CA =，. 设平面1ABB 的法向量为()n x y z =，，，则1 n AB n AB ⊥⊥，，∴10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ∵()2 1 0AB =-，，，(13 1AB =-，，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得23y z ==，，即12n ⎛= ⎝，. ∴1112cos 2CA n CA n CA n⋅<>===⋅⨯，∴二面角11C AB B --的余弦值为-【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明垂直时，线线垂直，线面垂直，面面垂直常常是相互转化，判定定理与性质定理要灵活应用．在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系，用向量法求空间角．20．设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析 【解析】（1）由离心率得a =，用两种方法表示出菱形1122A B A B 的面积可求得,b a ，得椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，用韦达定理得1212,x x x x +，利用OP OM ⊥，即12120x x y y +=得,k m 的关系，求出圆心C '到直线PM 的距离可得直线与圆的位置关系．直线PM 的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性PN 的结论也可得． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c .知，b c a =，. 设圆C '的半径为r，则r ab ，2=，解得b =∴a =∴椭圆C 的方程为22163x y +=（2）∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥. 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. ∵()11OM x y =，，()22OP x y =，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+， ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PM 的距离为221m r k ==+，∴直线PM 与圆C '相切.当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =，∴直线PM 到原点O 的距离都是2， ∴直线PM 与圆C '也相切. 同理可得，直线PN 与圆C '也相切. ∴直线PM 、PN 与圆C '相切【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程y kx m =+，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入其他条件求解．21．已知函数()21x x f x e-=（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；（2）设方程()f x m =（0m >）有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）01x =±，()21y x e=-- （2）证明见解析 【解析】（1）由()0f x =求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导函数研究出函数的单调性，只有在11x -<<时，()0f x >，因此12,(1,1)x x ∈-，考查（1）中切线，先证明()2(1)f x e x <+（11x -<<），只要构造函数()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增，易得证，方程2(1)m e x =+的解为112m x e'=-，11x x '<（不妨设12x x <，则12111x x -<<<），要证不等式变形为证明2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-，由2221x x m e -=，222211x x x e -≤-，构造函数，结合导数知识可证．【详解】（1）由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点是±1. ()221x x x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=.曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e '=-，()10f =，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e =-- （2）()221xx x f x e --'=.当(() 112 x ∈-∞++∞，，时，()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，，，单调递减区间为(1. 由（1）知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e+--+>⇔++>⇔+>. 易知，()112x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，上单调递增， 而()10g -=， ∴()()10g x g >-=对()1 1x ∀∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m ⎧=+⎨=⎩得12m x e =-.记112m x e'=-.不妨设12x x <，则12111x x -<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭. 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()21x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()1 0x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数.∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明中对根12,x x 的处理采取了两种不同的方法，设12x x <，由函数知识得12111x x -<<<<，1x 利用y m =与切线2(1)y e x =+的交点横坐标1x '＝12m e -放缩为证明21(1)2122m x m e e ⎛⎫--<-+ ⎪⎝⎭，2x 直接用y m =与()f x m =的解来表示，再结合函数知识获得证明，转化与化归思想在这里得到进一步的体现．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +.【答案】（1）()()222313x y -+-=（2）【解析】()1利用极坐标与直角坐标的互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可求解;()2联立直线l 的方程和曲线C 的方程,整理化简得到关于t 的一元二次方程,由题知点A 在直线l 上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出AM AN +的值.【详解】()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. （2）把直线3:1x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-=.所以AM AN +=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题. 23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.【答案】（1）6m =（2）32【解析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】 本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。

2020届安徽省合肥一中2017局高三9月月考数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题1.函数()f x =的定义域为()(),ln 1M g x x =-的定义域为N ，则M N =I （ ） A. {}21x x -<< B. {}12x x << C. {}2x x <- D. {}2x x >【答案】A【解析】【分析】分别求出函数()f x 和()g x 的定义域，得到集合M 和集合N ，然后根据集合的交集运算，得到答案。

【详解】因为函数()f x =，所以240x ->，解得22x -<<，故()f x 的定义域()=2,2M -；集合()()ln 1g x x =-，所以10x ->，解得1x <，故()g x 的定义域(),1N =-∞；所以()2,1M N =-I ，故选A 项.2.复数z 满足()1i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部与虚部之和为（ ）A. 1B. 0C. 12i -D. 12i + 【答案】B【解析】【分析】对()1i z i +=进行化简计算，得到复数z ，然后计算出其实部与虚部之和，得到答案.【详解】因为()1i z i +=所以111122z i i ==-+ 所以z 的实部与虚部之和为11022-=，故选B 项.3.若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）B. - D. 【答案】C【解析】【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值。

【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，sin 423πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C 。

合肥一中2019年9月高三阶段性检测考试数学（理）一、选择题 1.函数()24f x x=-的定义域为()(),ln 1M g x x =-的定义域为N ，则M N =I （ ） A. {}21x x -<<B. {}12x x <<C. {}2x x <-D.{}2x x >【答案】A 【解析】 【分析】分别求出函数()f x 和()g x 的定义域，得到集合M 和集合N ，然后根据集合的交集运算，得到答案。

【详解】因为函数()24f x x=-，所以240x ->，解得22x -<<，故()f x 的定义域()=2,2M -；集合()()ln 1g x x =-，所以10x ->，解得1x <，故()g x 的定义域(),1N =-∞；所以()2,1M N =-I ，故选A 项.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，集合的交集运算，属于简单题.2.复数z 满足()1i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部与虚部之和为（ ） A. 1 B. 0C.12i- D.12i+ 【答案】B 【解析】 【分析】对()1i z i +=进行化简计算，得到复数z ，然后计算出其实部与虚部之和，得到答案. 【详解】因为()1i z i += 所以111122z i i ==-+所以z 的实部与虚部之和为11022-=，故选B 项. 【点睛】本题考查复数的运算，实部与虚部的概念，属于简单题.3.若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）B. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值。

安徽省全国示范高中名校2020届高三数学上学期9月月考试题 理（含解析）本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟. 考试范围：集合与常用逻辑用语，函数与导数. 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-„，{1,0,1,2,3}B =-，则()U A B I ð的子集个数为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】B 【解析】 【分析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进行计算可得.【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞U ，∴(){1,3}U C A B =-I ，∴子集个数为4． 故选B.【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.2.已知函数23x y a-=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A【解析】 【分析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α=,可得幂函数的解析式,进而可求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2()f x x = ， ∴3311log ()log 239f ==-． 故选A .【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题.3.“01x <<”是“2log (1)1x +<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因2log (1)111x x +<⇔-<<， 所以(0,1)(1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.4.已知命题:p x ∀∈R ，e 1x x +…，则（） A. :p x ⌝∀∈R ，e 1x x <+，且p ⌝为真命题 B. :,e 1xp x x ⌝∀∈<+R ，且p ⌝为假命题C. 000:,e 1x p x x ⌝∃∈<+R ，且p ⌝为真命题D. 000:,e1x p x x ⌝∃∈<+R ，且p ⌝为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】命题的否定在否定结论的同时量词作相应改变，求导易得p 为真命题， 【详解】易得000:,e1x p x x ⌝∃∈<+R ,令()1xf x e x =--,则()1xf x e =-',所以当0x <时,()0f x '<,()f x 递减;当0x >时,()0f x '>,()f x 递增,所以0x = 时,min ()(0)110f x f ==-=,即()e 10x f x x =--≥恒成立,所以命题p 为真命题,则p ⌝为假命题. 故选D ．【点睛】本题考查了命题及其真假的判断,属基础题.5.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.6.已知命题:2p x ∀>，22x x >，命题:q x ∃∈R ，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（） A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题,p q 的真假,再根据真值表可得.【详解】当(2,4)x ∈时，22x x <，故p 为假命题．由3y x =与2y 1x =-的图像可知q 为真命题，故选B ．【点睛】本题考查了命题的真假以及真值表,属基础题.7.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通x =确定出来2x =，类比上述结论可得222log 2log (2log ()[]2)+++L 的正值为（）A. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据题意,通过类比可得: 2log (2)x x =+,再解方程可得.详解】由题意可得2log (2)x x =+，0x >，∴22x x =+，解得2x =． 故选C .【点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题.8.设4log 3a =，8log 6b =，0.10.5c -=，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b << ,通过指数函数的性质可得1c > .【详解】2log a =2log b =660-<，∴1a b <<，0.121c =>，故选D ．【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，则29()2f =（） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-． 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.10.已知函数[]21()(1)(2)(1)3ln 2f x f x f f x x '''=-+--，则()f x （） A. 只有极大值 B. 只有极小值C. 既有极大值也有极小值D. 既无极大值也无极小值 【答案】B 【解析】 【分析】先求得()f x ',再分别令1x =和2x =得到两个关于(1)f ' ,(2)f '的方程,联立组成方程组可解得(1)f ' ,(2)f '并代入()f x ',再根据极值的定义可得.【详解】3()(1)(2)(1)f x f x f f x''''=-+--，∴(1)(1)(2)(1)3f f f f ''''=-+--且3(2)2(1)(2)(1)2f f f f ''''=-+--，解得1(1)2'=-f ，3(2)2f '=，246()02x x f x x+-'==，2x =-∵0x >，∴()f x在2x =-+处取得极小值，故选B ．【点睛】本题考查了函数的极值的概念,属中档题.11.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩…，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. [2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞U【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x „时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩V 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a …．故选B ． 【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.12.若(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，则整数k 的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立, 即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得. 【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x--+'=，令g(x)x 1ln(x 1)(x 0)=--+>，则()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)a a =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a <<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k 的最大值为3．故选C ．【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。