陕西_宁夏_海南_黑龙江_吉林2010年高考理科数学试题含答案(新课标卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ2OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，则A为（）B．[，2]C．{，2}D．{，1，2}2.已知复数。

是z的共轭复数，则=（）___．3.曲线y=。

在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣24.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（﹣。

），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q46.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100B．200C．300D．4007.如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8.设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x ﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜﹣2或x＞6}D．{x|x＞2或x＜﹣2}9.若。

α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2D．﹣210.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．5πa211.已知函数。

若a，b，c互不相等，且f（a）=2=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）12.已知双曲线E的中心为原点，P（3，）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）改写】1.原文中有明显的格式错误和缺失，需要进行排版和补充。

2010年陕西省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•陕西）集合A=｛x｜0≤x≤2｝，B=｛x｜x＜1｝，则A∩（∁R B）=（）A．｛x｜x≥1｝B．｛x|x＞1} C．{x｜1＜x≤2｝ D．{x｜1≤x≤2｝【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由集合B结合补集的含义，可得集合∁R B，进而交集的含义，计算可得A∩（∁R B），即可得答案．【解答】解：根据题意，B=｛x｜x＜1}，则∁R B=｛x｜x≥1},又由集合A={x|0≤x≤2},则A∩（∁R B）=｛x|1≤x≤2}，故选D．【点评】本题考查集合的交集、补集的运算，解题的关键是理解集合的补集、交集的含义．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标,得到位置．【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）(2010•陕西）对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是(）A．f(x）在（,）上是递增的B．f（x)的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为2【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值，这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f(x）=2sinxcosx=sin2x，是周期为π的奇函数，对于A，f（x)在（，）上是递减的,A错误；对于B，f（x）是周期为π的奇函数，B正确；对于C，f（x）是周期为π，错误；对于D，f（x)=sin2x的最大值为1，错误；故选B．【点评】在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外,还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式,在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．4．（5分)（2010•陕西）(x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3,列出方程求出a 的值．【解答】解：∵T r+1=C5r•x5﹣r•（）r=a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题．5．（5分）(2010•陕西）（陕西卷理5）已知函数f（x）=若f（f(0)）=4a，则实数a等于(）A．B．C．2 D．9【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】常规题型．【分析】先求出f(0)=2,再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．【解答】解：由题知f(0）=2,f(2）=4+2a，由4+2a=4a,解得a=2．故选C．【点评】本题考查对分段函数概念的理解．6．（5分)（2010•陕西）如图是求样本x1,x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(）A．S=S+x n B．S=S+C．S=S+n D．S=S+【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本x1,x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n【解答】解：由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1，x2，…,x10平均数,由于“输出”的前一步是“"，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：S=S+x n故选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点,应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）（2010•陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知图形的形状,求解即可．【解答】解:本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式,是基础题．8．（5分)(2010•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p 的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解:抛物线y2=2px（p＞0)的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0)的准线与圆(x﹣3）2+y2=16相切，所以故选C【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．9．（5分）（2010•陕西）对于数列{a n｝，“a n+1＞｜a n｜(n=1，2,…）"是“｛a n}为递增数列”的（)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数列的概念及简单表示法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．【分析】要考虑条件问题,需要从两个方面来考虑，由a n+1＞｜a n｜（n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,这样前者可以推出后者，反过来，｛a n}为递增数列，不一定有a n+1＞|a n｜(n=1，2，)．【解答】解：由a n+1＞｜a n｜(n=1,2，）知{a n｝所有项均为正项，且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1,即｛a n｝为递增数列反之，{a n}为递增数列,不一定有a n+1＞|a n｜（n=1,2，),如﹣2，﹣1，0，1，2，故选B【点评】有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起．本题是把数列同条件的判断结合在一起．10．（5分)（2010•陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=［x］（[x］表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A．y=[]B．y=[]C．y=[]D．y=［]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6,排除A；故选：B．【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．二、填空题(共5小题，每小题5分,满分25分）11．（5分）（2010•陕西)已知向量=（2，﹣1)，=（﹣1，m)，=(﹣1，2）,若（+）∥,则m=﹣1．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1)=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1【点评】掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题,能用坐标形式的充要条件解决求值问题．12．（5分）（2010•陕西）观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】归纳推理．【专题】规律型．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加,右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2,3，4；,右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．【点评】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．属于基础题．13．（5分）（2010•陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为．【考点】定积分的简单应用．【专题】数形结合．【分析】本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．【解答】解：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为=x3｜=1，所以点M取自阴影部分部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．（5分）（2010•陕西)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表a b(万吨）c（百万元）A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1。

【分析】要求∫ f〔 x〕dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．〔 5 分〕〔2021?XX〕正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥〔其他正确答案同样给分〕〔写出三种〕【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可答复此题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱〔放倒的情形〕、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．〔 5 分〕〔2021?XX〕过点 A〔4，1〕的圆 C 与直线 x﹣y=1 相切于点 B〔2，221〕，那么圆 C 的方程为〔x﹣3〕+y =2．【分析】设圆的标准方程，再用过点A〔4，1〕，过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为〔 x﹣a〕2+〔 y﹣b〕2=r2，那么，解得，故所求圆的方程为〔 x﹣ 3〕2+y2 =2．故答案为：〔 x﹣3〕2 +y2=2．16．〔5 分〕〔2021?XX〕在△ ABC中，D 为边 BC上一点，BD= DC，∠ ADB=120°，AD=2，假设△ ADC的面积为，那么∠ BAC= 60° ．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ ADC 的面积求得 DC，进而根据三角形ABC的面积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得 AB．最后在三角形 ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠ BAC的值．【解答】解：由△ ADC的面积为可得解得，那么．AB2=AD2 +BD2﹣2AD?BD?cos120°=，，那么=．故∠ BAC=60°．三、解答题〔共8 小题，总分值 90 分〕17．〔 12 分〕〔2021?XX〕设数列满足a1=2，a n+1﹣ a n =3?22n﹣1（1〕求数列 { a n} 的通项公式；（2〕令 b n=na n，求数列 { b n} 的前 n 项和 S n．【分析】〔Ⅰ〕由题意得 a n+1=[ 〔a n+1﹣ a n〕+〔 a n﹣a n﹣1〕+⋯+〔 a2﹣a1〕]+ a1=3〔22n ﹣1+22n﹣3+⋯+2〕+2=22〔n+1〕﹣1．由此可知数列 { a n} 的通项公式为 a n =22n﹣1．〔Ⅱ〕由 b n=na n=n?22n﹣1知 S n=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：〔Ⅰ〕由，当 n≥1 时， a n+1=[ 〔a n+1﹣a n〕+〔a n﹣ a n﹣1〕+⋯+〔 a2﹣a1〕]+ a1=3〔22n﹣1+22n﹣3+⋯+2〕+2=3×+2=22〔n+1〕﹣1．而a1=2，所以数列 { a n} 的通项公式为 a n=22n﹣1．〔Ⅱ〕由 b n=na n=n?22n﹣1知 S n=1?2+2?23+3?25+⋯+n?22n﹣1①从而 22S n=1?23+2?25 +⋯+n?22n+1②①﹣②得〔 1﹣22〕?S n =2+23+25+⋯+22n﹣1﹣n?22n+1．即．18．〔 12 分〕〔2021?XX〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形， AB ∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 中点〔 1〕证明： PE⊥BC〔 2〕假设∠ APB=∠ADB=60°，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值．【分析】以 H 为原点， HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系．〔 1〕表示，，计算，就证明PE⊥BC．〔 2〕∠ APB=∠ADB=60°，求出 C，P 的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以 H 为原点， HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，那么A〔1，0，0〕，B〔0，1，0〕〔Ⅰ〕设 C〔m，0，0〕，P〔0，0， n〕〔m＜ 0， n＞ 0〕那么．可得．因为所以 PE⊥BC．〔Ⅱ〕由已知条件可得m=，n=1，故C 〔﹣〕，设 =〔x，y，z〕为平面 PEH的法向量那么即因此可以取，由，可得所以直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值为．19．〔 12 分〕〔2021?新课标〕为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老年人，结果如表：性男女别是否需要志愿需要4300不需要126700（1〕估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2〕能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3〕根据〔 2〕的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P〔 k2＞0.00.0100.001k〕k 3.841 6.63510.828【分析】〔1〕由列联表可知调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2〕根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进展比拟，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3〕从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：〔1〕∵调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2〕根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3〕由〔2〕的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．〔 12 分〕〔2021?XX〕设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1斜率为 1 的直线 ? 与 E 相交于 A，B 两点，且 | AF2| ， | AB| ， | BF2|成等差数列．（1〕求 E 的离心率；（2〕设点 P〔 0，﹣ 1〕满足 | PA| =| PB| ，求 E 的方程．【分析】〔I〕根据椭圆的定义可知 | AF2|+| BF2|+| AB| =4a，进而根据 | AF2| ，| AB| ，| BF2| 成等差数表示出 | AB| ，进而可知直线 l 的方程，设 A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入直线和椭圆方程，联立消去 y，根据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2进而根据，求得 a 和 b 的关系，进而求得a 和 c 的关系，离心率可得．〔 II〕设 AB的中点为 N〔 x0，y0〕，根据〔1〕那么可分别表示出x0和 y0，根据 | PA| =| PB| ，推知直线 PN 的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：〔I〕由椭圆定义知 | AF2|+| BF2|+| AB| =4a，又 2| AB| =| AF2|+| BF2| ，得，l 的方程为 y=x+c，其中．设 A〔x1，y1〕，B〔x2， y2〕，那么 A、B 两点坐标满足方程组化简的〔 a2+b2〕 x2+2a2cx+a2〔c2﹣ b2〕=0那么因为直线 AB 斜率为 1，| AB| = | x1﹣x2| =，得，故 a2=2b2所以 E 的离心率〔 II〕设 AB的中点为 N〔 x0，y0〕，由〔 I〕知，．由| PA| =| PB| ，得 k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆 E的方程为．21．〔 12 分〕〔2021?XX〕设函数 f〔 x〕 =e x﹣ 1﹣ x﹣ax2．（1〕假设 a=0，求 f〔x〕的单调区间；（2〕假设当 x≥0 时 f〔 x〕≥ 0，求 a 的取值X围．【分析】〔1〕先对函数 f〔x〕求导，导函数大于 0 时原函数单调递增，导函数小于 0 时原函数单调递减．〔 2〕根据 e x≥1+x 可得不等式 f ′〔x〕≥ x﹣2ax=〔1﹣2a〕 x，从而可知当 1﹣2a ≥ 0，即时，f〔′ x〕≥ 0判断出函数f〔x〕的单调性，得到答案．【解答】解：〔1〕a=0 时， f〔x〕=e x﹣1﹣x，f ′〔x〕=e x﹣1．当 x∈〔﹣∞， 0〕时， f'〔 x〕＜ 0；当 x∈〔 0， +∞〕时， f'〔x〕＞ 0．故f〔 x〕在〔﹣∞， 0〕单调减少，在〔 0，+∞〕单调增加〔 II〕 f 〔′ x〕=e x﹣1﹣2ax由〔 I〕知 e x≥ 1+x，当且仅当 x=0 时等号成立．故f ′〔x〕≥ x﹣2ax=〔1﹣2a〕x，从而当 1﹣ 2a≥0，即时， f ′〔x〕≥ 0〔x≥0〕，而 f〔0〕=0，于是当 x≥0 时， f〔 x〕≥ 0．由 e x＞1+x〔x≠0〕可得 e﹣x＞1﹣x〔x≠0〕．从而当时， f ′〔x〕＜ e x﹣ 1+2a〔 e﹣x﹣1〕=e﹣x〔e x﹣ 1〕〔e x﹣2a〕，故当 x∈〔 0，ln2a〕时， f'〔 x〕＜ 0，而 f 〔0〕=0，于是当 x∈〔 0，ln2a〕时，f 〔 x〕＜ 0．综合得 a 的取值X围为．22．〔 10 分〕〔2021?新课标〕如图：圆上的弧，过C点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点，证明：〔Ⅰ〕∠ ACE=∠ BCD．〔Ⅱ〕 BC2=BE?CD．【分析】〔I〕先根据题中条件：“ 〞，得∠ BCD=∠ABC．再根据 EC是圆的切线，得到∠ ACE=∠ABC，从而即可得出结论．2．即证．故只须证明△～△即可．〔 II〕欲证 BC=BE x CD BDC ECB【解答】解：〔Ⅰ〕因为，所以∠ BCD=∠ABC．又因为 EC与圆相切于点 C，故∠ ACE=∠ABC所以∠ ACE=∠BCD．〔5 分〕〔Ⅱ〕因为∠ ECB=∠CDB，∠ EBC=∠BCD，所以△ BDC～△ ECB，故．2×．〔分〕即 BC10=BE CD．〔10分〕〔新课标〕直线1〔t 为参数〕，C2232021?C...〔θ为参数〕，〔Ⅰ〕当α=时，求 C1与 C2的交点坐标；〔Ⅱ〕过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当α变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】〔I〕先消去参数将曲线 C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II〕设 P〔x，y〕，利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：〔Ⅰ〕当α=时， C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得 C1与 C2的交点为〔 1，0〕．〔Ⅱ〕 C1的普通方程为 xsin α﹣ycosα﹣sin α=0①．则OA 的方程为 xcosα+ysin α=0②，联立①②可得 x=sin2α， y=﹣cos α sin；αA 点坐标为〔 sin2α，﹣cos α sin〕α，故当α变化时， P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．〔 10 分〕〔2021?新课标〕设函数 f 〔x〕=| 2x﹣ 4|+ 1．〔Ⅰ〕画出函数y=f〔 x〕的图象：〔Ⅱ〕假设不等式f〔 x〕≤ ax 的解集非空，求a 的取值X围．【分析】〔I〕先讨论 x 的X围，将函数f〔x〕写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；21......〔θ为参数〕，〔Ⅰ〕当α=时，求 C1与 C2的交点坐标；〔Ⅱ〕过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当α变化时，求 P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】〔I〕先消去参数将曲线 C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II〕设 P〔x，y〕，利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：〔Ⅰ〕当α=时， C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得 C1与 C2的交点为〔 1，0〕．〔Ⅱ〕 C1的普通方程为 xsin α﹣ycosα﹣sin α=0①．则OA 的方程为 xcosα+ysin α=0②，联立①②可得 x=sin2α， y=﹣cos α sin；αA 点坐标为〔 sin2α，﹣cos α sin〕α，故当α变化时， P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．〔 10 分〕〔2021?新课标〕设函数 f 〔x〕=| 2x﹣ 4|+ 1．〔Ⅰ〕画出函数y=f〔 x〕的图象：〔Ⅱ〕假设不等式f〔 x〕≤ ax 的解集非空，求a 的取值X围．【分析】〔I〕先讨论 x 的X围，将函数f〔x〕写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；21...。

2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(新课标全国卷) 答案详解一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（集合）已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z =∈≤,则A B =I(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}【解析】∵{||2,}{22}A x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{4}{016}B x Z x Z x =∈=∈≤≤，故{0,1,2}A B =I ．【答案】A2．（复数）已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 【解析】解法一：11)(1))84z i i =====，∴111))444z z i i ⋅=-⋅=．解法二：由221221z ====-可得214z z z ⋅==． 【答案】A 3．（函数）曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为 (A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- 【解析】由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++【答案】A4．（三角函数）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为A B C D【解析】通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d，于是可以排除答案A,D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0,排除答案B ，应选C ．【答案】C5．（简单逻辑）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是 （A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q【解析】1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数为真命题，而函数22x x y -=+为偶函数，则22x x y -=+在R 不可能为减函数，2p ：函数22x xy -=+在R 为减函数为假命题，则1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C ． 【答案】C6．（概率统计）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即~(1000,0.1)B ξ,而2X ξ=，则2210000.1200EX E ξ==⨯⨯=．应选B ． 【答案】Btdπ2O7．（框图）如果执行下面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111101223344556S =+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，应选D ．【答案】D8．（函数）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或【解析】解法一：当0x <时，则0x ->，由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得，()()f x f x =-=38x --，则()f x =338(0)8(0)x x x x ⎧-≥⎨--<⎩，(2)f x -33(2)8(2)(2)8(2)x x x x ⎧--≥⎨---<⎩ 令(2)0f x ->，可解得4,0x x ><或．应选B ．解法二：由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-， 则3(2)(2)28f x f x x -=-=--，要使(2)0f x ->， 只需3280,22x x -->->，解得4,0x x ><或．应选B ．【答案】B9．（三角函数）若4cos5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+=-(A)12-(B)12(C) 2 (D) 2-【解析】解法一：由4 cos5α=-，α是第三象限的角可得3sin5α=-．311tan cos sin1sin152224cos21tan cos sin2225αααααααα-+++====----，应选A．解法二：由4cos5α=-，α是第三象限的角可得3sin5α=-．3sin sin52tan3421coscos125ααααα-====-+-，1tan13121321tan2αα+-==-+-．【答案】A10．（立体几何）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2aπ(B) 273aπ(C) 2113aπ(D) 25aπ【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为2227()()22sin6012a aR a=+=o，球的表面积为222774123aR aππ=⋅=，应选B．【答案】B11．（函数）已知函数|lg|,010,()16,10.2x xf xx x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c互不相等,且()()(),f a f b f c==则abc的取值范围是(A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)【解析】作出函数()f x的图象如图A11，图A112不妨设a b c <<，则1lg lg 10(0,1)2a b c -==-+∈ 则(10,12)abc c =∈．应选C ．【答案】C12．（解析几何）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=．应选B ． 【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（函数）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 .【解析】由题意可知11()1f x dx N N≈⎰得110()N f x dx N ≈⎰，故积分10()f x dx ⎰的近似值为1NN．【答案】1NN14．（立体几何）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）.【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等． 【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥（其中任选3个即可）15．（解析几何）过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____. 【解析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则2222221(4)(1),(2)(1),1,2b a b r a b r a --+-=-+-==-- 解得3,0,2a b r ===，故所求圆的方程为22(3)2x y -+=．【答案】22(3)2x y -+=16．（三角函数）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC =_______. 【解析】由△ADC 的面积为33-可得，13sin 603322ADC S AD DC DC ∆=⋅⋅⋅==-o ，13sin (33)22ABC S AB AC BAC ∆=⋅⋅∠=- 解得232DC =-，则31,333BD BC =-=-．∴2222cos120AB AD BD AD BD =+-⋅⋅o24(31)2(31)6=+-+-=，即6AB =． 2222cos 6024123AC AD CD AD CD =+-⋅⋅=-o ，即6(31)AC =-．∴222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=⋅6241239(423)63612266(31)12(31)+----===⋅--，故60BAC ∠=o．图A17【答案】60o三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17. （本小题满分12分）（数列）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S【解析】（I ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-= .而 12a =，所以数列{n a }的通项公式为212n n a -= .（II ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅L △从而22n S ⋅=357211222322n n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ △△-△得(212-)n S ⋅=35212122222n n n -+++++-⋅L ．即n S =211[(31)22]9n n +-+．18. （本小题满分12分）（立体几何）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点. （1）证明：PE BC ⊥.（2）若60APB ADB ∠=∠=o ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.【解析】以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B ．（I ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则(0,,0)D m ,1(,,0)22mE ． 可得 PE uuu r =1(,,)22mn -,BC uuu r =(,1,0)m -．∵0022m mPE BC ⋅=-+=u u u r u u u r ，∴PE ⊥BC .图A18（II ）由已知条件可得,1,33m n C =-=-故 (，1(0,,0),(,(0,0,1)326D E P -- 设 (,,)x y x =n 为平面PEH 的法向量则00HE HP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，即10260x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩.因此可以取=n ，由(1,0,1)PA =-u u u r，可得|cos <,PA uu u r n>|=4，所以直线PA 与平面PEH所成角的正弦值为4.19. (本小题12分)（概率统计）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=． （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯． 由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20. （本小题满分12分）（解析几何）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. （I ）求E 的离心率；（II ） 设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程【解析】（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+，得43AB a =l 的方程为y x c =+，其中c =设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简的()()222222220a b x a cx a c b +++-=.则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b --+==++. 因为直线AB 斜率为1，所以AB=21x -=，得22244,3ab a a b =+故222a b =， 所以E的离心率2c e a===. （II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，得1PN k =-，即0011y x +=-， 得3c =，从而3a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=. 21. （本小题满分12分）（函数）设函数2()1xf x e x ax =---. （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围【解析】（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-．当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加. （II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立．故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-， 从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥． 由1(0)xe x x >+≠可得1(0)xex x ->-≠．从而当12a >时， '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <． 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧»»AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： （I ）ACE ∠=BCD ∠； （II ）2BC =BE ×CD ．【解析】（I ）因为»»AC BC =,所以BCD ABC ∠=∠． 又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠，所以ACE BCD ∠=∠．（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ∆△ECB ∆，故BC CDBE BC=，即2BC BE CD =⨯．23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ： 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （I ）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标： （II ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 【解析】（I ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）12⎛ ⎝⎭，. （II ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=. A 点坐标为()2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21sin 21sin cos 2x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=. 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为14的圆. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =241x -+． （I ）画出函数()y f x =的图像；（II ）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围.【解析】（I ）由于25,2()23,2x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图像如图A24所示.（II ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点. 故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ，，.图A242010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标全国卷)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为A B C Dtdπ2O(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥， 则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π(11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 .(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）(15)过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____ (16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC的面积为3，则∠BAC =_______三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S (18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点（1）证明：PE BC ⊥（2）若60APB ADB ∠=∠=o，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值 (19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要 40 30 不需要160270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（20）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. （1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程（21）（本小题满分12分）设函数2()1xf x e x ax =---. （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧»»AC BD =，过C 点的圆的切线与BA的延长线交于E 点，证明： （I ）ACE ∠=BCD ∠； （II ）2BC =BE ×CD ．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ： 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （I ）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （II ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =241x -+． （I ）画出函数()y f x =的图像：（II ）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B =A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2]D ．{0,1,2} 2．已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A ．14 B ．12C ． 1D ．2 3．曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =--D ．22y x =-- 4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为A B C D5．已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 7．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于A ．54 B ．45C ．65D ．568．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=A ．{|24}x x x <->或B ．{|04}x x x <>或C ．{|06}x x x <>或D ．{|22}x x x <->或9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12- B ．12C ．2D ．2-10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A ．2a π B ．273a πC ．2113a π D ．25a π 11．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,Nx x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点(,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 ．14．正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）15．过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____． 16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC的面积为3，则∠BAC =_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)令n n b na =，求数列的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB CD ∥，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点．(Ⅰ)证明：PE BC ⊥；(Ⅱ)若60APB ADB ∠=∠=，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值． 19．(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要 40 30 不需要160270 (Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(Ⅱ)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (Ⅲ)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列． (Ⅰ)求E 的离心率；(Ⅱ)设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程． 21．（本小题满分12分）设函数2()1x f x e x ax =---． (Ⅰ)若0a =，求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(Ⅰ)ACE ∠=BCD ∠； (Ⅱ)2BC =BE ×CD ．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆2C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． (Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； (Ⅱ)过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x =241x -+． (Ⅰ)画出函数()y f x =的图像； (Ⅱ)若不等式()f x ax 的解集非空，求a 的取值范围．。

2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案( 宁夏、吉林、黑龙江、海南)（新课标）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式： 样本数据nx x x ,,21的标准差锥体体积公式(n s x x =++- 13V Sh = 其中x为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π= 343V R π= 其中S为底面面积，h为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2](C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)i z i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z •=A. 14B.12C.1D.2(3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （5）已知命题1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数，P 0Poyx22p ：函数22xxy -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400（7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x xx =-≥，则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=-(A)12-(B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π（11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A) 22136x y -= (B) 22145x y -=(C)22163x y -= (D)22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2010年全国高考数学试题（黑、吉、海、宁卷）（理科数学）参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{||2,}A x x x R =≤∈},{4,}B x x Z =≤∈,则A B =（ ）A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案：D 解析：考查绝对值、无理不等式的解法、集合的求交集运算，考查运算求解的能力.由已知得{22}A x x =-≤≤，{012341516}B =，，，，，，，，所以{0,1,2}A B =．2．已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则=z z ⋅（ ） A.14 B.12C.1D.2 【答案】A 解析：考查共轭复数的概念，考查复数的加、减、乘、除、乘方运算，考查运算求解能力.（方法一）14z i ====+，所以2211(()44z z ⋅=+=．（方法二）14z i =====，所以2211(()44z z ⋅=+=． 3．曲线2xy x =+在点（1-，1-）处的切线方程为（ ） A ．y=2x+1 B ．21y x =- C ．23y x =-- D ．22y x =--【答案】A 解析：考查函数的导数的几何意义、曲线切线的求法，考查函数的性质，考查运算变形的能力.. （方法一）22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+．（方法二）点(1,1)--在曲线上，为切点代入四个选项验证，可排除B 、D ，而2221222x x y x x x +-===-+++，由反比例函数2y x=-的图象，向左平移两个单位，再向上平移一个单位得到函数2xy x =+的图象，再根据曲线在点(1,1)--处的切线斜率为正，排除C ，从而得A ．4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）【答案】C 解析：考查角的概念、三角函数的图象和性质，考查运算求解能力，考查选择题的解法——特殊值验证法.（方法一）显然，当0t =时，由已知得d =A 、D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C ．（方法二）：根据已知条件得2,1,4A πωϕ===-，再结合已知，得质点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C ．（5）已知命题1p ：函数22xxy -=-在R 为增函数，2p ：函数22xxy -=+在R 为减函数， 则在命题1q ：12p p ∨；2q ：12p p ∧；3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中， 真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q【答案】C 解析：考查指数函数的性质、复合函数单调性的判断，考查命题的逻辑连接词，考查利用导数判读函数的单调性的方法. （方法一）122=2()2xxx xy -=--,易知1p 是真命题，而对命题2p ：（方法1）112ln 2ln 2ln 2(2)22x x x x y '=-=-，当[0,)x ∈+∞时，122x x ≥，又l n 20>，所以0y '≥，函数单调递增；同理得当(,0)x ∈-∞时，函数单调递减，故2p 是假命题；（方法2）基本不等式法：因为20x>，所以22x x y -=+≥（当且仅当2=2xx-，即0x =时，等号成立），所以当0x <或0x >时都有22x x y -=+2>，在R 上不是单调函数的．由此可知，1q 真，2q 假，3q 假，4q 真．（方法二）：对2p 的真假可以取特殊值来判断，如取1212x x =<=，得1251724y y =<=；取3412x x =->=-，得3451724y y =<=即可得到2p 是假命题，下略． 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．400【答案】B 解析：考查二项分布、独立重复试验、期望值，考查运算求解的能力.根据题意知，不发芽的种子数~(0.1,1000)ξ，所以10000.1100E ξ=⨯=，又因为2X ξ=，所以(2)2200EX E E ξξ===；（方法二）补种的种子数为X ，则不发芽的种子数是2X ，且有(0.1,1000)2X，所以()0.110001002XE =⨯=，故200EX =． 7．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（ ） A ．54 B ．45 C ．65 D ．56【答案】D 解析：考查程序框图的循环结构的基础知识，考查识图能力和运算求解能力. 根据题意满足条件得：111122356S =+++⨯⨯⨯ 111(1)()223=-+-+115()566+-=． 8．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ）A ．{|24}x x x <->或B ．{|04}x x x <>或C ． {|06}x x x <>或D ． {|22}x x x <->或【答案】B 解析：考查函数的基本概念、奇偶性、单调性，考查集合的基本概念、简单不等式的解法，考查数形结合的思想方法.（方法一）当0x ≥时，3()802f x x x =->⇒>，又由于函数是偶函数，所以x R ∈时，()0f x >的解集为{2x x <-或2}x >，故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．（方法二）把幂函数3y x =的图象向下平移8个单位得到函数的图象3()8f x x =-，因为0x ≥，所以函数3()8(0)f x x x =-≥的图象与x 轴的交点是（2，0），如图所示，所以3()80f x x =->的解集为{2x x <-或2}x >，函数3()8(0)f x x x =-≥的图象向右平移2个单位，得到函数(2)y f x =-的图象，所以故(2)0f x ->的解集为{0x x <或4}x >．9．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=-（ ）(A) 12-(B)12(C) 2 (D) -2【答案】A 解析：考查三角函数中同角三角函数关系、倍角公式、弦切互化公式，考查化归与转化的思想，考查函数与方程的思想，考查运算求解的能力. （方法一）方程思想，由已知得3sin 5α=-，所以3tan 4α=，又2α属于第二或第四象限，故由22tan2tan 1tan 2ααα=-解得：tan 32α=-，从而1tan1221tan 2αα+=--．（方法二）切化弦：由已知得3sin 5α=-，所以sin211tan cos cos sin 22221tansin cossin22221cos2αααααααααα+++==--+222(cossin )22cos sin 22αααα+=-1sin 1cos 2αα+==-． 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．2a π B ．273a πC ．2113a π D ． 25a π【答案】B解析：考查三棱柱、球的有关性质、球的表面积公式，考查空间想象能力，考查运算求解的能力.如图，P 为三棱柱底面中心，O为球心，易知21,3232AP a a OP a =⨯==，所以球的半径R满足：222217()()3212R a a =+=，故22743S R a ππ==球． 11．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是（ ） A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【答案】C 解析：考查函数（分段函数、对数函数）的图象、性质，考查画图能力，考查化归与转化的思想方法，考查数形结合的思想方法，考查运算（指数运算、对数运算、估算）求解的能力.（方法一）特殊值法：不妨设a b c <<，取特例，如取1()()()2f a f b f c ===，则易得112210,10,11a b c -===，从而11abc =，选C ．（方法二）数形结合法：不妨设a b c <<，则()()f a f b =，即lg lg a b =，所以lg lg a b =-，lg lg 0a b +=，所以1ab =，再根据图象易得1012c <<，故选C ．12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程为（ ）A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 【答案】B 解析：考查双曲线的标准方程的求法，考查直线方程、直线与双曲线的位置关系、中点坐标公式等基础知识，考查待定系数法，考查数形结合的思想方法（本题的图形要靠想象），考查方程的思想，考查运算求解能力. （方法一）运算变形，整体思想：由已知条件易得直线l 的斜率为1FN k k ==，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，1122(,),(,)A x y B x y ，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并结合121224,30x x y y +=-+=-得，21221245y y b x x a-=-，从而22415b a =，即2245b a =，又229a b +=，解得224,5a b ==，故选B ．（方法二）直线AB 过点FN ，所以斜率为1501123--=--，直线AB 的方程是3y x =-，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，1122(,),(,)A x y B x y ，解方程组222213x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得：2222222()690b a x a x a a b -+--=所以21222624a x x a b+==--，即2245a b =，又因为229a b +=， 解得24a =，25b =.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.集合A={}|12x x -≤≤，B={}|1x x <，则()R A C B ⋂=（ D ） A.{}|1x x > B.{}|1x x ≥ C.{}|12x x <≤ D.{}|12x x ≤≤2.复数1iz i=+在复平面上对应的点位于（ A ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是（ B ）A. ()f x 在(,)42ππ上是递增的 B.()f x 的图象关于原点对称C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 的最大值为24. ()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ D ）A.-1B.12C.1D.2 5.已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ C ）A.12B. 45C.2D.9 6.右图是求样本1x ，2x ，…，10x 平均数x 的程序框图， 图中空白框中应填入的内容为（ A ）A.n S S x =+B.nx S S n =+C.S S n =+D.1S S n=+7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ C ）A. 13B. 23C.1D.28.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（ C ）A. 12B. 1C.2D.49.对于数列{}n a ，“1(1...)n n a a n +>=，2，”是“{}n a 为递增数列”的（ B ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为（ B ）A. y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D. 5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则m= -1 . 12.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为 333333212345621+++++= . 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x ，y)，则点M 取自阴影部分部分的概率为 13.14.铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a B(万吨) C （百万元） A 50％ 1 3 B70％0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 15 （万元）.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）不等式x 323x +--≥的解集为 {}1x x ≥ . B. (几何证明选做题)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD DA = 169. C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为 (-1,1),(1,1) . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且139,,a a a 成等比数列 （1） 求数列{}n a 的通项公式 （2） 求数列的前n 项和n S 解：（1）由题设知公差d ≠0由11a =且139,,a a a 成等比数列得12d 18d112d++=+ 解得d=1,d=0（舍去） 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=（2）由（1）知22n a n =，由等比数列前n 项和公式得2312(12)222 (22212)n nn n S +-=++++==--17. （本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：由题意知3)AB=5(3+海里，906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒ 105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠sin 5(33)sin 455(33)sin 45sin sin105sin 45cos60sin 60cos 45AB DAB DB ADB •∠+•︒+•︒∴===∠︒︒•︒+︒•︒=53(13)103(13)2+=+（海里）， 又30(9060)60,203DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒=海里，在DBC ∆中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠= 1300120021032039002+-⨯⨯⨯= CD ∴=30（海里），则需要的时间30130t ==（小时）。

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- 13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{||2,}A x x R =≤∈},{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}(2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z •= A.14 B.12C.1D.2 (3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（5）已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400 （7）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56（8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或(D) {|22}x x x <->或（9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) -2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π （11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。