2020年海南省高考数学试卷(新高考全国Ⅱ卷)(原卷版)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (12)(2)i i ++=（ ）A. 45i +B. 5iC. -5iD. 23i + 【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A. 2CD CA +B. 2CD CA -C. 2CD CA -D. 2CD CA +【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞【答案】D【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10. 已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得m y x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， n y =±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +） B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +） D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥ B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥-D. ≤【答案】ABD【解析】【分析】 根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a b ab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【解析】【分析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可.【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14. 3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == 所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n -【解析】 【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】 【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，25OQ r =，27DQ =， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125=， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析： 据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =， 与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22⨯列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80(]75,11510 10 20合计74 26 100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>，即可得到直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 因为QB 2222(1)(01)(10)21m m -+-+-=⇒=设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，则2222226cos ,2310(1)111n PB n PB n PB⋅<>====⨯++-⋅++ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|n PB <>=所以直线PB 与平面QCD 6【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x elna x e lnx +-≥++-≥+转化为,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<, ∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥, 显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。

2020年海南省新高考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}2．（5分）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i3．（5分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+24．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%6．（5分）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种7．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．（5分）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+）B．sin（﹣2x）C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）12．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A﹣NMD1的体积为．14．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．15．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．16．（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝s in B，C＝，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：µg/m3），得下表：[0，50]（50，150]（150，475]SO2PM2.5[0，35]32184（35，75]6812（75，115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为．（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna．（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．2020年海南省新高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}【解答】解：因为集合A，B的公共元素为：2，3，5故A∩B＝{2，3，5}．故选：C．2．（5分）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i【解答】解：（1+2i）（2+i）＝2+i+4i+2i2＝5i，故选：B．3．（5分）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（）A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝＝＝＝2．故选：C．4．（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAO'为40°且OA⊥AH，在Rt△OHA中，O'A⊥OH，∴∠OHA＝∠OAO'＝40°，另解：画出截面图，如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线．l是点A处的水平面的截线，由题意可得OA⊥l，AB是晷针所在直线．m是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m，由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG+∠GAE＝∠BAE+∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与A处的水平面所成角为∠BAE＝40°，故选：B．5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．6．（5分）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：＝6．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．令t＝x2﹣4x﹣5，∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．∴a的取值范围是[5，+∞）．故选：D．8．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．（5分）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量【解答】解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错；由折线的变化程度可见这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确；故选：CD．10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线【解答】解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知＝1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2＝，表示半径为的圆，故B错误；C．若m＜0，n＞0，则方程为＝1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，若m＞0，n＜0，则方程为＝1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，故C正确；D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；故选：ACD．11．（5分）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x+）B．sin（﹣2x）C．cos（2x+）D．cos（﹣2x）【解答】解：由图象知函数的周期T＝2×（﹣）＝π，即＝π，即ω＝2，由五点对应法得2×+φ＝π，得φ＝，则f（x）＝sin（2x+）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x﹣）＝cos（2x+）＝sin（﹣2x﹣）＝sin（）故选：BC．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A﹣NMD1的体积为．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，∴，∴．故答案为：．14．（5分）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝；x1x2＝1，∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．故答案为：．15．（5分）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为3n2﹣2n．【解答】解：将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+＝3n2﹣2n，故答案为：3n2﹣2n．16．（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2．【解答】解：作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，∵A到直线DE和EF的距离均为7cm，∴EM＝AM＝7，又∵EF＝12，MN＝DE＝2，∴NG＝MF＝12﹣7＝5，AN＝AM﹣NM＝7﹣2＝5，∴∠AGD＝45°，∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°，由于AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°，设大圆的半径为R，则AS＝OS＝，OQ＝SN＝5﹣，DQ＝DN﹣QN＝7﹣，∵tan∠ODC＝，∴＝，解得R＝2，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积，所以S阴影＝×π×（2）2+×2×2﹣×π×1＝π+4．故答案为：π+4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝s in B，C＝，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：①ac＝．△ABC中，sin A＝sin B，即b＝，ac＝，∴，cos C＝＝＝，∴a＝，b＝1，c＝1．②c sin A＝3．△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin＝3，∴a＝6．∵sin A＝sin B，即a＝，∴．cos C＝＝＝，∴．③c＝b．∵sin A＝sin B，即a＝，又∵c＝b，cos C＝＝，与已知条件C＝相矛盾，所以问题中的三角形不存在．18．（12分）已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），则，∵q＞1，∴，∴．（2）a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1，＝＝．19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：µg/m3），得下表：[0，50]（50，150]（150，475]SO2PM2.5[0，35]32184（35，75]6812（75，115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【解答】解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P＝＝0.64；（2）根据所给数据，可得下面的2×2列联表：[0，150]（150，475]SO2PM2.5[0，75]6416（75，115]1010（3）根据（2）中的列联表，由＝≈7.484＞6.635，P（K2≥6.635）＝0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过P在平面P AD内作直线l∥AD，由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面P AD和平面PBC的交线，∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵l∥BC，∴l⊥平面PCD；（2）解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，∴PB＝，QP＝1，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），作PQ∥AD，则PQ为平面P AD与平面PBC的交线为l，取Q（1，0，1），则＝（1，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，1，0），设平面QCD的法向量为＝（a，b，c），则，∴，取c＝1，可得＝（﹣1，0，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴PB与平面QCD所成角的正弦值为．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为．（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知直线AM的方程为：y﹣3＝（x﹣2），即x﹣2y＝﹣4，当y＝0时，解得x＝﹣4，所以a＝4，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，3），可得，解得b2＝12，所以C的方程：+＝1．（2）设与直线AM平行的直线方程为：x﹣2y＝m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x﹣2y＝m代入椭圆方程：+＝1．化简可得：16y2+12my+3m2﹣48＝0，所以△＝144m2﹣4×16（3m2﹣48）＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程：x﹣2y＝8，利用平行线之间的距离为：d＝＝，|AM|＝＝3．所以△AMN的面积的最大值：＝18．22．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna．（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝e x﹣lnx+1，∴f′（x）＝e x﹣，∴f′（1）＝e﹣1，∵f（1）＝e+1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1），当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×＝．（2）方法一：由f（x）≥1，可得ae x﹣1﹣lnx+lna≥1，即e x﹣1+lna﹣lnx+lna≥1，即e x﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝e lnx+lnx，令g（t）＝e t+t，则g′（t）＝e t+1＞0，∴g（t）在R上单调递增，∵g（lna+x﹣1）≥g（lnx）∴lna+x﹣1≥lnx，即lna≥lnx﹣x+1，令h（x）＝lnx﹣x+1，∴h′（x）＝﹣1＝，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）＝0，∴lna≥0，∴a≥1，故a的范围为[1，+∞）．方法二：由f（x）≥1可得ae x﹣1﹣lnx+lna≥1，x＞0，a＞0，即ae x﹣1﹣1≥lnx﹣lna，设g（x）＝e x﹣x﹣1，∴g′（x）＝e x﹣1＞0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0，∴e x﹣x﹣1＞0，即e x＞x+1，再设h（x）＝x﹣1﹣lnx，∴h′（x）＝1﹣＝，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）＝0，∴x﹣1﹣lnx≥0，即x﹣1≥lnx∴e x﹣1≥x，则ae x﹣1≥ax，此时只需要证ax≥x﹣lna，即证x（a﹣1）≥﹣lna，当a≥1时，∴x（a﹣1）＞0＞﹣lna恒成立，当0＜a＜1时，x（a﹣1）＜0＜﹣lna，此时x（a﹣1）≥﹣lna不成立，综上所述a的取值范围为[1，+∞）．方法三：由题意可得x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），∴f′（x）＝ae x﹣1﹣，易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，①当0＜a＜1时，f′（1）＝a﹣1＜0，f′（）＝a﹣a＝a（﹣1）＞0，∴存在x0∈（1，）使得f′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（1）＝a+lna＜a＜1，不满足题意，②当a≥1时，e x﹣1＞0，lna＞0，∴f（x）≥e x﹣1﹣lnx，令g（x）＝e x﹣1﹣lnx，∴g′（x）＝e x﹣1﹣，易知g′（x）在（0，+∞）上为增函数，∵g′（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）＝1，即f（x）≥1，综上所述a的取值范围为[1，+∞）．方法四：∵f（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna，x＞0，a＞0，∴f′（x）＝ae x﹣1﹣，易知f′（x）在（0，+∞）上为增函数，∵y＝ae x﹣1在（0，+∞）上为增函数，y＝在0，+∞）上为减函数，∴y＝ae x﹣1与y＝在0，+∞）上有交点，∴存在x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝a﹣＝0，则a＝，则lna+x0﹣1＝﹣lnx0，即lna＝1﹣x0﹣lnx0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）≥f（x0）＝a﹣lnx0+lna＝﹣lnx0+1﹣x0﹣lnx0＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1∴﹣2lnx0﹣x0≥0设g（x）＝﹣2lnx﹣x，易知函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝1﹣0﹣1＝0，∴当x∈（0，1]时，g（x）≥0，∴x0∈（0，1]时，﹣2lnx0﹣x0≥0，设h（x）＝1﹣x﹣lnx，x∈（0，1]，∴h′（x）＝﹣1﹣＜0恒成立，∴h（x）在（0，1]上单调递减，∴h（x）≥h（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，当x→0时，h（x）→+∞，∴lna≥0＝ln1，∴a≥1．方法五：f（x）≥1等价于ae x﹣1﹣lnx+lna≥1，该不等式恒成立．当x＝1时，有a+lna≥1，其中a＞0．设g（a）＝a+lna﹣1，则g'（a）＝1+＞0，则g（a）单调增，且g（1）＝0．所以若a+lna≥1成立，则必有a≥1．∴下面证明当a≥1时，f（x）≥1成立．∵e x≥x+1，把x换成x﹣1得到e x﹣1≥x，∵x﹣1≥lnx，∴x﹣lnx≥1．∴f（x）＝ae x﹣1﹣lnx+lna≥e x﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1．综上，a≥1．。

绝密★启用前 考试时间：2020年7月7日15:00-17:00 2020年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)(新高考全国卷Ⅱ)数学试题(解析版)试卷总分150分， 考试时间120分钟1.设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B ⋃=（ ）A.{|23}x x <≤B.{|23}x x ≤≤C.{|14}x x ≤<D.{|14}x x <<答案：C解析：由题可知{|14}A B x x ⋃=≤<，∴选C. 2.212i i-=+（ ） A.1B.1-C.iD.i -答案：D解析：2(2)(12)512(12)(12)5i i i i i i i i ----===-++-. 3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A.120种B.90种C.60种D.30种答案：C解析：126560C C ⋅=.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A.20︒B.40︒C.50︒D.90︒答案：B解析：如图所示,由题意可知直线l 与AC 夹角α，即为所求角，∴40DAO α=∠=︒，故选B.。

2020年海南省高考数学试卷（新课标Ⅱ）一、选择题1. 设集合A ={2,3,5,7}， B ={1,2,3,5,8}，则A ∩B =( ) A.{2,3,5} B.{1,8} C.{1,2,3,5,8} D.{2,5}2. (1+2i)(2+i)=( ) A.−5 B.−5i C.5 D.5i3. 如果D 为△ABC 的边AB 的中点，则向量CB →=( ) A. 2CD →+CA →B.2CD →−CA →C. 2CA →+CD →D.2CA →−CD →4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A.50∘B.20∘C.90∘D.40∘5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A.46% B.62%C.42%D.56%6. 3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( ) A.6种 B.4种C.8种D.5种7. 已知函数f (x )=log 2(x 2−4x −5)在(a,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A.[2,+∞）B.(−∞,−1]C.[5,+∞)D.(−∞,2]8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x −1)≥0的x 的取值范围是( ) A.[−1,0]∪[1,+∞) B. [−1,1]∪[3,+∞) C.[−1,0]∪[1,3] D.[−3,−1]∪[0,1]二、多选题9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;B.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；C.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；D.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；10. 已知曲线C:mx 2+ny 2=1.( )A.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn x B.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 C.若m =0，n >0，则C 是两条直线 D.若m =n >0，则C 是圆，其半径为√n11. 如图是函数y =sin (ωx +φ)的部分图象，则sin (ωx +φ)=( )A.cos (2x +π6) B.sin (x +π3)C.cos (5π6−2x)D.sin (π3−2x)12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则( ) A.log 2a +log 2b ≥−2 B.a 2+b 2≥12C.√a +√b ≤√2D.2a−b >12三、填空题13. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BB 1，AB 的中点，则三棱锥A 1−D 1MN 的体积为________.14. 斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB|=_________.15. 将数列{2n −1}与{3n −2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC=35，BH//DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2.四、解答题17. 在①ac =√3，②c sin A =3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3=8.(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2−a 2a 3+⋯+(−1)n−1a n a n+1.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度（单位： μg/m 3），得下表：（(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过$150"$的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(0,75] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关？ 附： K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=√2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．22. 已知函数f(x)=ae x−1−ln x+ln a.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年海南省高考数学试卷（新课标Ⅱ）一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用向量的明角轮法则【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】解三角使的实际爱用在实三问葡中建湖三量函数模型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】互三事实清概西加法公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题9.【答案】此题暂无答案【考点】频率验热折视图、发度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气渐近线椭圆较标准划程圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题13.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】与抛较绕有肠军中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和等差都升的确定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】解三角使的实际爱用在实三问葡中建湖三量函数模型扇形常积至式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题17.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】独根性冬验古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果． 因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =， 所以{}2,3,5A B = ． 故选：C【考点】集合交集的运算 2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【考点】复数的计算 3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【考点】向量的加减法 4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠， 由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠． 故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角． 【考点】中国古代数学文化，球体有关计算 5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+ 可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=， 所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-= ，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%． 故选：C【考点】积事件的概率公式 6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法，所以，不同的安排方法共有326⨯=种． 故选：C7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ ， 因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥． 故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =，所以当()(),20,2x ∈-∞- 时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞ 时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3- ． 故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 二、选择题 9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确． 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 【考点】折线图表示的函数的认知与理解 10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确． 故选：ACD【考点】曲线方程的特征 11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A, 当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解． 对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b +=+++=，12a b ==时，等号成立，故D 正确． 故选：ABD【考点】不等式的性质 三、填空题 13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13 14.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果． ∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为()1,0F ，又∵直线AB 过焦点F ，∴直线AB 的方程为：)1y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得113x =，23x =，所以1211633AB x =-=-= 解法二：10036640=-=△＞ 设()11,A x y ，()22,B x y 则12103x x +=， 过A ，B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为C ，D 如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x =+=+=+++=+故答案为：163． 【考点】抛物线焦点弦长 15.【答案】232n n -【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=- ，故答案为：232n n -． 【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+ 【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠， 因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ==∠，所以2125-=，解得r =；等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213π3π24S =⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+. 故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一：由sin A B 可得：ab=不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =． 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin 6A A C A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1sin 2A A C A A =+= ，∴sinA =,∴tanA =,∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ,2,∴1c =；若选②，sin 3c A =,3=,c =;若选③，与条件c 矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩， 整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -== ．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+-()()()322322128215512nn n+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关． 【考点】古典概型的概率公式 20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面P AD ，平面PAD 平面PBC l =， 所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥， 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥ 因CD PD D = 所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC = ，(),0,1DQ m = ，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =，则00DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩， 令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则cos ,n PB n PB n PB ⋅<>====. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于cos ,n PB <>= . 为所以直线PB 与平面QCD . 【考点】立体几何 21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-． 当0y =时，解得4x =-，所以4a =， 椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=， 解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=. （2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=， 可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m =±， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=，直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得AM =所以AMN △的面积的最大值：1182⨯=. 22.【答案】【解析】（1）()e ln 1x f x x =-+ ，()1e x f x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-. ()1e 1f =+ ，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--; （2）解法一：()1e ln ln x f x a x a -=-+ ,()11e x f x a x-'∴=-，且0a ＞. 设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜, ∴存在唯一00x ＞，使得()01001e 0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞， ∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln e ln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e x g x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥， 令()ln 1h x x x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B = A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}2．2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种D ．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为 A ．20° B ．40° C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

『高考真题·真金试炼』『知己知彼·百战不殆』2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A. {x |2<x ≤3}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x <4}D. {x |1<x <4} 2.2i 12i-=+（ ） A . 1B. −1 C iD. −i3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（ ）A . 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ）A. ()2,6-B. (6,2)-C. (2,4)-D. (4,6)-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =，则A B =（ ）A .{}1,3,5,7B .{}2,3C .{}2,3,5D .{}1,2,3,5,7,8 2.()()12i 2i ++=（ ）A .45i +B .5iC .5i -D .23i + 3.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A .2CD CA +B .2CD CA -C .2CD CA -D .2CD CA +4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面。

在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A .62%B .56%C .46%D .42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A .2种B .3种C .6种D .8种 7.已知函数()()2lg 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是 （ ） A .()2,+∞B .[)2,+∞C .()5,+∞D .[)5,+∞ 8.若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）A .[][)1,13,-+∞B .[][]3,10,1--C .[][)1,01,-+∞D .[][]1,01,3-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加B .这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 10.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若0m n =＞，则CC .若0mn ＜，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线11.下图是函数()y sin x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A .πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（ ）A .2212a b +≥B .12a b -＞C .22log log 2a b +-≥D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为 .14.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB = . 15.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 .16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，35tan ODC =∠，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为啊a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，π6C =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =PB 与平面QCD 所成角的正弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN △的面积的最大值.22.已知函数()1e ln ln x f x a x a -=-+.（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果． 因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =， 所以{}2,3,5A B =．故选：C【考点】集合交集的运算 2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【考点】复数的计算 3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【考点】向量的加减法 4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠， 由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠．故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算 5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=，所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%． 故选：C【考点】积事件的概率公式 6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法，所以，不同的安排方法共有326⨯=种． 故选：C 7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞，因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥． 故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =， 所以当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-．故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 二、选择题 9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确． 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 【考点】折线图表示的函数的认知与理解 10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确． 故选：ACD【考点】曲线方程的特征 11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A, 当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解． 对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C，2222221log log log log log224a ba b ab+⎛⎫+===-⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为2112a b=+++=，12a b==时，等号成立，故D正确．故选：ABD【考点】不等式的性质三、填空题13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMNV V--=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，M、N分别为1BB、AB的中点所以11111112323A NMD D AMNV V--==⨯⨯⨯⨯=故答案为：1314.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果．∵抛物线的方程为24y x=，∴抛物线的焦点F坐标为()1,0F，又∵直线AB过焦点F AB的方程为：)1y x=-代入抛物线方程消去y并化简得231030x x-+=，解法一：解得113x=，23x=，所以121163333AB x=-=-=解法二：10036640=-=△＞设()11,A x y，()22,B x y则12103x x+=，过A，B分别作准线1x=-的垂线，设垂足分别为C，D如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x=+=+=+++=+故答案为：163． 【考点】抛物线焦点弦长 15.【答案】232n n -【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=-，故答案为：232n n -． 【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+ 【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OAAG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ==∠，所以212522r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯；扇形AOB 的面积(2213π3π24S =⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+. 故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用 四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一：由sin 3sin AB 可得：ab不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =． 选择条件①的解析：据此可得：2ac m ⨯=1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 22b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin 6A A C A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()31sin 3cos 2AA C AA =+=+， ∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6BC π==,若选①，ac =,∵a =,2=∴1c =； 若选②，sin 3cA =,3=,c =; 若选③，与条件c =矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩， 整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -==．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+-()()()322322128215512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关． 【考点】古典概型的概率公式20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面P AD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥， 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥ 因CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B 设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC =，(),0,1DQ m =，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =， 则0DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则2cos ,1n PB n PB n PB⋅<>====根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6cos ,n PB <>=所以直线PB 与平面QCD . 【考点】立体几何21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-． 当0y =时，解得4x =-，所以4a =，椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=，解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=.（2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m =±，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得AM =所以AMN △的面积的最大值：1182⨯=.22.【答案】 【解析】（1）()e ln 1x f x x =-+，()1e xf x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-. ()1e 1f =+，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--;（2）解法一：()1e ln ln x f x a x a -=-+,()11e xf x a x-'∴=-，且0a ＞. 设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ＜，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜, ∴存在唯一00x ＞，使得()011e 0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞， ∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln eln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于 ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e xg x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥， 令()ln 1h x x x =-+,则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。