直线的斜截式方程

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课题8.2直线的斜截式方程总课时14
教材分析教学目标：让学生学会斜截式方程
教学重点：了解斜截式的两种特殊情况教学难点：运用斜截式方程解题
教学方法：讲述式
所用课时：
所用课时：11课时
教学内容及步骤 一、 导入 二、 新知 1、 点斜式
已知斜率是k ，过点1
1
1
(,)P x y ，则点斜式方程：11()y y k x x -=-
2、 斜截式方程
一条直线与y 轴交点的纵坐标，叫斜截式方程。

公式：公式：y=kx+b y=kx+b
三、 例题
1、 已知直线L 的倾斜角为4545°，且过点°，且过点A （-2,3-2,3）求直线）求直线L 的方程
直线L 经过12(5,1),(3,3)P
P --两点，求直线L 的方程 求与y 轴交于点（轴交于点（00，-4-4）），且倾斜角为150150°的直线方程°的直线方程
四、 练习
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课
堂
小
结
本节课我们学会了两种直线方程
板书
设
计
8.2直线的斜截式方程
一、斜截式方程
一、斜截式方程
二例题
二例题
作业教学反思。

直线方程的点斜式、斜截式学习目标：1、掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；2、掌握直线方程的点斜式、斜截式3、理解直线方程与一次函数之间的关系知识呈现：1．直线的点斜式方程(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．课前自测1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0. ()(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.()2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．利用点斜式求直线的方程【例1】根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．练习1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.利用斜截式求直线的方程【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.练习2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且在y 轴上的截距为－10.含参数方程问题思考1．对于直线y ＝kx ＋1，是否存在k 使直线不过第三象限？若存在，k 取值范围是多少？2．已知直线l 的斜率为2，在y 轴上的截距为a .(1)求直线l 的方程．(2)当a 为何值时，直线l 经过点(4，－3)?【例3】 已知直线l 经过点P (4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程．练习3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．课堂练习1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )A ．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为12．经过点(－1，1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是________． 3．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________．4．求经过点A (－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．班级 姓名 学号 成绩一、选择题1．下列关于方程y ＝k (x －2)的说法正确的是( )A ．表示通过点(－2，0)的所有直线B ．表示通过点(2，0)的所有直线C ．表示通过点(2，0)且不垂直于x 轴的直线D ．通过(2，0)且除去x 轴的直线2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是图中的( )A B C D3．斜率与直线y ＝2x ＋1的斜率互为负倒数，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x －4C ．y ＝－12x －4D ．y ＝－12x ＋4 4．如图所示，在同一直角坐标系中，正确的表示直线l 1：y ＝ax 与l 2：y ＝x ＋a 图象的大致情况的是( )A B C D5．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)二、填空题6．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是________．7．直线经过点(1，2)，在y 轴上截距的取值范围是(0，3)，则其斜率k 的取值范围是__________．8．直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，则斜率k 和纵截距b 满足的条件为k ________0，b ________0(填“>”或“<”)．三、解答题9．已知△ABC在第一象限中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边，BC边所在直线的方程．10．已知等腰△ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程．。

直线方程的几种表达形式直线是二维空间中最基本的图形之一，它可以用不同的方式来表达其方程。

我们下面将探讨一下几种不同的直线表达形式。

1. 坐标式：直线可由其上两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 来确定。

假设这两点不同，那么直线的坐标式可以表示为：$y-y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)$这个式子可以化简为：$y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) +y_1$。

2. 斜截式：斜截式直线方程使用直线斜率和一条相交直线的截距来描述。

假设我们知道直线上一点 $(a,b)$ 和直线的斜率 $m$，那么直线的斜截式方程为：$y = mx + b$3. 一般式：一般式是表示直线方程的另一种方式，它通常使用 $Ax+By+C=0$ 的格式。

直线方程的一般式可通过化简 $Ax+By+C=0$ 得到。

例如，假设我们知道直线斜率 $m$ 和 $y$ 截距 $b$，那么直线就可以化简为如下的一般式：$y = mx + b$ 可以简化为 $-mx + y - b = 0$。

4. 向量式：向量方程是直线方程的另一种描述方式。

向量可以表示为 $(x,y)$。

直线的向量方程可由一个点 $(x_0, y_0)$ 和斜率向量 $(a,b)$ 给出：$(x,y) = (x_0, y_0) + t(a,b)$，其中 $t$ 是任意实数，表示从该点开始的直线上的任意点。

最后，需要注意的是，这四种直线表达形式是等效的，因此可以相互转换。

综上所述，我们已经介绍了直线的几种表达形式。

了解它们有助于我们更深入地理解直线的性质和特点。

保康职教中心◆中职数学高教版◆导学案 第一章§8.2.22）1、知识与技能：掌握直线的点斜式方程、斜截式方程2、过程与方法：直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b 的意义．3、情感、态度、价值观：培养学生解决问题复习1：直线的复习2：当直线经过点000P 且斜率不存在时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为0x x =．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：截距的定义新知1：如图8－8所示，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b ．则a 叫做直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 叫做直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）． 【想一想】直线在x 轴及y 轴上的截距有 可能是负数吗？试试1：设直线l 的倾角为60°，并且经过点P （2，3）．（1）写出直线l 的方程；（2）求直线l 在x 轴，y 轴的截距． 探究任务二：直线的截距式方程新知2：设直线在y 轴上的截距是b ，即直线经过点(0,)B b ，且斜率为k ．则这条直线的方程为(0)y b k x -=-，即 y kx b =+．方程（8．5）叫做直线的斜截式方程．其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴的截距． 试试2：设直线在y 轴上的截距为2-，斜率为3，则这条直线的点斜式方程和截距式方程分别是什么？※ 典型例题例1一直线l 纵截距为2-，且倾斜角是直线20y -+=的倾斜角的二倍，求直线l 的方程。

20y -+=，得直线的斜率为k =60°。

又由于所求直线的倾斜角为已知直线的2倍，所以所求直线的顷斜角为120︒。

故所求直线的斜率为tan120k ==又因为所求直线的纵截距为2-，故所求直线的截距式方程为2y =-例2 求斜率为3-，且在x轴上截距为2的直线方程。

直线方程直线方程的一般形式与斜截式直线方程是解决几何问题中常见的问题之一，它可以描述平面上两点之间的直线的性质。

在代数学中，我们通常使用两种形式的直线方程：一般形式和斜截式。

本文将详细介绍直线方程的一般形式和斜截式，并对其进行比较和应用。

一、直线方程的一般形式直线方程的一般形式可以写作Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为0。

这是一种较常见和普遍应用的直线方程形式。

通过观察一般形式的直线方程，我们可以得到以下几个关键点：1. 直线的斜率：由于直线的斜率可以根据一般形式的直线方程的系数来确定，我们可以使用下式计算直线的斜率：斜率m = -A/B斜率表示了直线上两个不同点之间的斜率差异。

2. 直线的截距：直线在x轴和y轴上的截距可以通过解方程组得到。

当x = 0时，我们可以得到直线在y轴上的截距，即y-intercept。

当y = 0时，我们可以得到直线在x轴上的截距，即x-intercept。

3. 直线的方向：通过直线方程的系数A和B的正负可以确定直线的方向。

当A和B的正负相同，且不为0时，直线为上升直线。

当A和B的正负相反时，直线为下降直线。

二、直线方程的斜截式直线方程的斜截式也是一种常用的直线方程形式，可以写作y = mx + b，其中m表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。

与一般形式的直线方程相比，斜截式更加简洁明了，容易理解和应用。

下面是斜截式直线方程的关键内容：1. 直线的斜率：在斜截式中，斜率m的值直接体现在方程中，可以直接读取。

2. 直线在y轴上的截距：截距b表示直线与y轴的交点，可以通过观察方程的形式直接得到。

三、直线方程的应用直线方程的一般形式和斜截式可根据实际问题的不同选择适合的形式进行应用。

1. 一般形式的应用：一般形式适合于解决直线方程问题，如确定直线的斜率、截距和方向等。

2. 斜截式的应用：斜截式适合于表达直线的斜率和截距，便于对直线进行图像分析和计算。

直线的点斜式、斜截式方程直线是平面几何中的基本概念，它是由无数个点连结而成的一条无宽度的线段。

在代数中，我们可以通过点斜式和斜截式方程来表示直线。

本文将详细介绍这两种表示直线的方法。

一、点斜式方程点斜式方程是一种表示直线的方法，它使用直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。

点斜式方程的一般形式为：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。

举个例子，假设直线上有一点A(2, 3)，斜率为2。

那么根据点斜式方程，直线的方程可以表示为：y - 3 = 2(x - 2)。

我们可以根据这个方程来确定直线上其他点的坐标。

点斜式方程的优点是可以直接获得直线的斜率，从而能够快速了解直线的性质。

但是它的缺点是不够直观，需要通过计算来确定直线的方程。

二、斜截式方程斜截式方程是另一种表示直线的方法，它使用直线在y轴上的截距和直线的斜率来确定直线的方程。

斜截式方程的一般形式为：y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

举个例子，假设直线的斜率为1，截距为2。

那么根据斜截式方程，直线的方程可以表示为：y = x + 2。

我们可以根据这个方程来确定直线上其他点的坐标。

斜截式方程的优点是直观易懂，通过y轴截距可以直接了解直线在y轴上与x轴的交点。

但是它的缺点是无法直接获得直线的斜率，需要通过计算来确定。

三、点斜式和斜截式的关系点斜式方程和斜截式方程是两种等价的表示直线的方法，它们之间存在着一一对应的关系。

我们可以通过转换来将一个方程转换成另一个方程。

对于点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)，我们可以将其转换成斜截式方程。

首先，将方程展开得到 y - y1 = kx - kx1，然后移项得到y = kx + (y1 - kx1)。

可以看出，(y1 - kx1)就是直线在y轴上的截距b，因此点斜式方程可以转换成斜截式方程。

对于斜截式方程 y = kx + b，我们可以将其转换成点斜式方程。

y轴直线方程式是一种表示直线在二维坐标系中位置的数学公式。

它的形式可以有多种，根据已知条件的不同而变化。

五种基本形式包括：
1. 点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k (x－x0)。

2. 斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b。

3. 两点式：已知一条直线经过P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)两点，则直线方程可以为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1。

4. 截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1。

5. 一般式：直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。

当B=0时没有斜率；平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。

斜截式方程截距相等一类的题
斜截式方程是一种表达直线的方程形式，其一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是截距。

题目要求截距相等的一类问题，可以考虑以下情况：
1. 斜率相等，截距不等：在斜率相等的情况下，截距不等意味着直线在y轴上的位置不同。

例如，考虑直线y = 2x + 3和y = 2x + 5，它们的斜率都为2，但截距分别为3和5，表示两条直线与y轴的交点分别为(0,3)和(0,5)。

这类问题可以要求求解两条直线的交点坐标。

2. 斜率不等，截距相等：在截距相等的情况下，斜率不等意味着直线的倾斜程度不同。

例如，考虑直线y = 2x + 3和y = 3x + 3，它们的截距都为3，但斜率分别为2和3。

这类问题可以要求比较两条直线的倾斜程度，或者求解它们的交点坐标。

3. 斜率相等，截距相等：在斜率和截距都相等的情况下，意味着两条直线完全重合，即它们是同一条直线。

例如，考虑直线y = 2x + 3和y = 2x + 3，它们的斜率和截距都完全相等。

这类问题可以要求证明两条直线完全重合。

以上是针对截距相等一类问题的一些拓展，实际题目中可能还会涉及到其他条件，需要根据具体情况进行分析和求解。

两点求斜截式方程我们需要了解斜截式方程的一般形式。

斜截式方程表示为 y = mx + c，其中 m 是直线的斜率，c 是截距。

斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与 y 轴的交点。

因此，要求解斜截式方程，我们需要先确定直线的斜率和截距。

假设我们已经给定了两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)。

我们可以利用这两个点来求解直线的斜率。

直线的斜率可以通过两个点之间的纵向变化量与横向变化量的比值来表示。

即 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

有了直线的斜率，我们还需要确定截距。

截距可以通过直线与 y 轴的交点来确定。

我们可以选择任意一个给定的点（A 或 B）来计算截距。

假设我们选择点 A(x1, y1)，截距 c 就等于 y1 - mx1。

现在我们已经得到了直线的斜率 m 和截距 c，我们可以将它们代入斜截式方程 y = mx + c 中，得到最终的斜截式方程。

举个例子来说明这个过程。

假设我们有两个点 A(2, 3) 和 B(5, 7)。

我们首先计算斜率 m = (7 - 3) / (5 - 2) = 4 / 3。

然后选择点A 来计算截距 c = 3 - (4 / 3) * 2 = 3 - 8 / 3 = 1 / 3。

最终的斜截式方程为 y = (4 / 3) * x + 1 / 3。

通过这个例子，我们可以看到如何利用给定的两点求解斜截式方程。

这种方法简单直观，适用于大多数情况下。

但需要注意的是，当两个给定的点在同一条竖直线上时，即 x1 = x2，斜截式方程将无法表示直线，因为斜率为无穷大。

在实际应用中，斜截式方程可以用来描述许多直线的特性。

例如，我们可以利用斜截式方程来确定直线的斜率，从而判断直线的倾斜方向和程度。

我们还可以通过斜截式方程来确定直线与坐标轴的交点，从而确定直线在坐标平面上的位置。

通过给定的两点可以求解直线的斜截式方程。

我们只需要计算斜率和截距，然后将它们代入斜截式方程中即可得到最终的方程。