中考数学专题训练(附详细解析)：材料阅读题、定义新

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中考数学专题复习(有答案)阅读理解

专题三阅读理解类型一新定义1．对非负实数x ”四舍五入”到个位的值记为(x )，即当n 为非负整数时，若n －0.5≤x ＜n ＋0.5，则(x )＝n .如(1.34)＝1，(4.86)＝5.若(0.5x －1)＝6，则实数x 的取值范围是 13≤x ＜15 ．2．阅读材料：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4＋i )＋(6－2i )＝(4＋6)＋(1－2)i ＝10－i ；(2－i )(3＋i )＝6－3i ＋2i －i 2＝6－i －(－1)＝7－i ；(4＋i )(4－i )＝16－i 2＝16－(－1)＝17；(2＋i )2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i .根据以上信息，完成下面计算：(1＋2i )(2－i )＋(2－i )2＝ 7－i ．3．(2020宁波节选)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E .(2)如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ︵＝BD ︵，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O于点F ，连接BF 并延长交CD 的延长线于点E .求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．解：(1)∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝12∠ABC ，∠ECD ＝12∠ACD . ∴∠E ＝∠ECD －∠EBD ＝12(∠ACD －∠ABC )＝12∠A ＝12α. (2)如图2，延长BC 至点T .∵四边形FBCD 内接于⊙O ，∴∠FDC ＋∠FBC ＝180°.又∵∠FDE ＋∠FDC ＝180°，∴∠FDE ＝∠FBC ．∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC．∴BE是∠ABC的平分线．∵AD︵＝BD︵，∴∠ACD＝∠BFD.∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线．∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．类型二新运算1．(2020十堰)对于实数m ，n ，定义运算m *n ＝(m ＋2)2－2n .若2*a ＝4*(－3)，则a ＝－13 ． 2．定义一种新运算ʃa b n ·x n －1dx ＝a n －b n ，例如ʃk n 2xdx ＝k 2－n 2，若ʃm 5m x －2dx ＝－2，则m ＝( B )A ．－2B ．－25C ．2D ．25 3．(2020青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算”⊕”如下：a ⊕b ＝a ＋b a －b ，如：3⊕2＝3＋23－2＝5，那么12⊕4＝ 2 ． 4．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a ，b 中的较大值，如max {－3，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，－x }＝3x ＋2x 的解为 x ＝3＋172或x ＝－1或x ＝－2 ．5．(2020潍坊)若定义一种新运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b （a ≥2b ），a ＋b －6（a <2b ），例如：3⊗1＝3－1＝2；5⊗4＝5＋4－6＝3.则函数y ＝(x ＋2)⊗(x －1)的图象大致是( A ),A) ,B),C) ,D) 6．给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，求方程y ′＝12的解．解：由函数y ＝x 3，得n ＝3，∴y ′＝3x 2.∵y ′＝12，∴3x 2＝12，解得x 1＝2，x 2＝－2.类型三新方法(2020扬州节选)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x ，y 满足3x －y ＝5①，2x ＋3y ＝7②，求x －4y 和7x ＋5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x －4y ＝－2，由①＋②×2可得7x ＋5y ＝19.这样的解题思想就是通常所说的”整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，则x －y ＝－1 ，x ＋y ＝ 5 ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？解：(2)设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋3n ＋2p ＝32，①39m ＋5n ＋3p ＝58，② 由①×2－②可得m ＋n ＋p ＝6，∴5m ＋5n ＋5p ＝5×6＝30(元)．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．。

2023年中考数学专题《函数中的新定义问题》原卷

考点1 一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与正比例函数y ＝x 的交点称为一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的“不动点”．例如求y ＝2x ﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y ＝2x ﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y ＝3x +2的“不动点”为；（2）若一次函数y ＝mx +n 的“不动点”为（2，n ﹣1），求m 、n 的值；（3）若直线y ＝kx ﹣3（k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线y ＝kx ﹣3上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S △ABP ＝3S △ABO ，求满足条件的P 点坐标．例题精讲➢变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．考点2 反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为．➢变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M 与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC 于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B 之间的距离是，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？考点3 二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．➢变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．32．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y ＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b 的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向平移个单位而得到．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质：下列说法不正确的是A．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝；n＝；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝时，y有最大值为；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M 为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是否存在一点Q，使得S△APM＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P 与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OP A＝∠OBP，求t的最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c 的解析式．。

初中数学中考模拟复习专题51 新定义和阅读理解型问题考试卷及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）=．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ；（2）若5※m=，则m= ．（3）函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）评卷人得分试题2:我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△A CE是直角三角形时，求∠AOC的度数．试题3:阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立.结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2. 根据上述内容，回答下列问题：（1）若m＞0，只有当m＝时，m＋有最小值；若m＞0，只有当m＝时，2m＋有最小值 .（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.试题4:如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。

中考数学专题系列1材料阅读题、定义新

中考专题系列1材料阅读题、定义新1、对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（）. A.40 B.45 C.51 D.56答案：C ．2、（5-&函数的综合与创新·2013东营中考）若定义：(,)(,)f a b a b =-， (,)(,)g m n m n =-，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（） A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--6.B.3、（2013四川宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1； ③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4；④点（，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④ 故选C ． 4、（2013•舟山）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：A⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2）．例如，A （﹣5，4），B （2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C ，D ，5、（2013达州）已知()()11f x x x =⨯+，则()()11111112f ==⨯+⨯()()11222123f ==⨯+⨯……已知()()()()1412315f f f f n ++++=，求n 的值。

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大．其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算．例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离．解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ，当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°，在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ，由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3，令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。

2020湖南省中考数学专题复习新定义阅读理解题含答案

新定义阅读理解题1. 材料：解形如(x ＋a )4＋(x ＋b )4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a ＋b 2，然后设y ＝x ＋a ＋b 2，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12)4＝1. 去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋14)2＝1. y 4＋y 2＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3＋12y 2－12y ＝1. 整理得2y 4＋3y 2－78＝0.(成功地消去了未知数的奇次项) 解得y 2＝14或y 2＝－74(舍去)． ∴y ＝±12，即x －52＝±12.∴x ＝3或x ＝2. (1)用阅读材料中这种方法解关于x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130；(2)用这种方法，求解方程(x ＋1)4＋(x ＋3)4＝706.2. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝35，56－35＝21，35－21＝14，21－14＝7，14－7＝7，所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．4.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b ＝2n 2＋2n ，c ＝2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a ＝12(m 2－n 2)，b ＝mn ，c ＝12(m 2＋n 2)(m 、n 为正整数，m ＞n )时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论．．，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．5. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．6.大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家．化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：∴26445÷123＝215. ∴(x3＋2x2－3)÷(x－1)＝x2＋3x＋3.请用以上方法解决下列问题：(1)计算：(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)；(2)若关于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．7.阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除．如：593814，814－593＝221，221是13的17倍，所以593814能被13整除．(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；(2)已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位以前的数为n＝10(x＋1)＋y(其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．8.对任意的一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n1；把n的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n2；把n的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)．我们把n1、n2、n3的和记作F(n)．例如n＝345，则n1＝645，n2＝345，n3＝342，F(n)＝645＋345＋342＝1332；又知n＝839，则n1＝439，n2＝949，n3＝832，F(n)＝439＋949＋832＝2220.(1)计算：F(212)，F(739)；(2)如果一个“三角形数”t：t＝100x＋10y＋z(2≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数)，满足x ＋y＋z＝17，正整数s＝100x＋30y＋109和正整数m＝204＋10y，满足s－m得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)＝|t－t2t－t1|，求k(t)的最大值．参考答案新定义阅读理解题1.解：(1)4，4，1，1；(2)∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为(y＋1)4＋(y－1)4＝706.去括号整理得y4＋6y2－352＝0.解得y2＝16或y2＝－22(舍去)．∵y＝±4，即x＋2＝±4，∴x＝－6或x＝2.2.解：(1)∵108－45＝63，63－45＝18，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9，∴108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，104－78＝26，78－26＝52，52－26＝26，∴104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，143－26＝117，117－26＝91，91－26＝65，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13，∴26与143的最大公约数是13，∴78、104、143的最大公约数是13.3. (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n ＋2k)＋1000(n＋3k)，它与个位数的差为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋3210k＝6(185n＋535k)，∵6(185n＋535k)是6的倍数，∴6(185n＋535k)能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n ，则该四位阶梯数表示为：n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )，2[n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )]－10m －2＝2222n ＋6420k －10m －2＝11(202n ＋583k )＋7k －10m －2，7k －10m －2是11的倍数；(1111n ＋3210k )÷3与(10m ＋2)÷3的余数相同．易得k 可取－1，－2，1，2，当m ＝1，2，3，4时，无论k 取何值，7k －10m －2都不是11的倍数，当m ＝5时，k ＝－2，此时四位k 阶数为1357，当m ＝6时，k ＝1，此时四位k 阶数为8765，5432.综上，这个四位数是1357，8765，5432.4. (1)证明：由题意知，c 2＝(2n 2＋2n ＋1)2＝(2n 2＋2n )2＋2(2n 2＋2n )＋1＝(2n 2＋2n )2＋4n 2＋4n ＋1＝(2n 2＋2n )2＋(2n ＋1)2.即c 2＝b 2＋a 2，∴满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)解：当n ＝5时，a ＝12(m 2－25)，b ＝5m ，c ＝12(m 2＋25)，当a ＝37时，解得m ＝311，非正整数，不合题意，舍去，当b ＝37时，解得m ＝375，非正整数，不合题意，舍去，当c ＝37时，解得m ＝7，满足题意，此时a ＝12，b ＝35，∴该直角三角形的另外两边的长为12，35.5. 解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，∴2019不是“纯数”．∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，∴2020是“纯数”；(2)由题意，当“纯数”n 为一位数时，n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝3n ＋3＜10，∴0≤n ＜73，故n ＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，当“纯数”n 为两位数时，设n ＝10b ＋a (其中1≤b ≤9，0≤a ≤9，且a ，b 为自然数)，则n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝30b ＋3a ＋3.此时a ，b 应满足的条件分别为：3a ＋3＜10，即a ＝0，1，2；1≤b ≤3，即b ＝1，2，3.∵3×3＝9(个)，∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，∴3＋9＋1＝13(个)．∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.6.解：(1)(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；（2）列除式：∴(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；(2)列除式如下：∵多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，∴余式b＋4(a－2)＝0，即4a＋b＝8.∵a，b是自然数，∴当a＝0时，b＝8，此时多项式为2x4＋5x3＋8，商为2x3＋x2－2x＋4；当a＝1时，b＝4，此时多项式为2x4＋5x3＋x2＋4，商为2x3＋x2－x＋2；当a＝2时，b＝0，此时多项式为2x4＋5x3＋2x2，商为2x3＋x2.7. (1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，由题意可令t－s＝13k(k为整数)．ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13(77t－k)，∴这个七位数一定能被13整除；(2解：)①当1≤y≤4时，m＝500＋10(5＋y)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m′＝100(5＋y)＋52，m′－n＝100(5＋y)＋52－10(x＋1)－y＝99y－10x＋542＝13(42＋8y －x )－(4＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，1≤y ≤4，且x ，y 都为整数，∴－21≤－(4＋5y －3x )≤15.∴－(4＋5y －3x )的值为13或0或－13.Ⅰ.若－(4＋5y －3x )＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2.（舍去）. Ⅱ.若－(4＋5y －3x )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴这个五位数为94592，41562.Ⅲ.若－(4＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴这个五位数为33582.②当5≤y ≤9时，m ＝600＋10(y －5)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100(y －5)＋62，m ′－n ＝100(y －5)＋62－10(x ＋1)－y＝99y －10x －448＝13(8y －x －34)－(6＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，5≤y ≤9，且x ，y 都为整数，∴－48≤－(6＋5y －3x )≤－7.∴－(6＋5y －3x )的值为－39，－26，－13.Ⅰ.若－(6＋5y －3x )＝－39，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9. ∴这个五位数为59642.Ⅱ.若－(6＋5y －3x )＝－26，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7. ∴这个五位数为67622.Ⅲ.若－(6＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5. ∴这个五位数为75602.综上所述：这个五位数为：94592，41562，33582，59642，67622，75602.8. 解：(1)由题得，当n ＝212时，n 1＝112，n 2＝232，n 3＝211， ∴F (212)＝112＋232＋211＝555；当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，∴F(739)＝539＋839＋731＝2109；(2)s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100(x－1)＋20y＋5，①当1≤y≤4时，x－1＋2y＋5＝18，∴x＋2y＝14，∴x＝14－2y，把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，∴z＝y＋3，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，∵1≤y≤4，∴2.5≤y≤4，∵y为整数，∴y＝3或4，当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；②当5≤y≤9时，x－1＋1＋2y－10＋5＝18，x＋2y＝23，∴x＝23－2y，把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，∴7≤y≤10.5且7≤y≤15，∵5≤y≤9，∴7≤y≤9，∵y为整数，∴y＝7或8或9，当y＝7时，z＝1，x＝9，不是三角形数，应舍去；当y＝8时，z＝2，x＝7，∴t＝782；当y＝9时，z＝3，x＝5，不是三角形数，应舍去，综上，t＝836或647或782，当t＝836时，t1＝136，t2＝916，∴k (836)＝|836－916836－136|＝435，当t ＝647时，t 1＝547，t 2＝697，∴k (647)＝|647－697647－547|＝12，当t ＝782时，t 1＝382，t 2＝712，∴k (782)＝|782－712782－382|＝740， ∵12>740>435， ∴k (t )的最大值为12.。

中考数学材料阅读题

中考数学材料阅读题1．定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若﹣x﹣2dx＝﹣，则m为（）A．﹣1+B．﹣1﹣C．±1D．﹣1±【解析】：由题意可得：（m2﹣1）﹣1﹣（m﹣1）﹣1＝﹣，故﹣＝﹣，整理得：m2+2m﹣1＝0，解得：m＝﹣1±，故选：D．2．若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2020＝（）A．3B．﹣2C．D．【解析】：∵a1＝3，∴a2＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，……发现规律：这些数每四个数循环一次，∵2020÷4＝505，∴a2020＝a4＝，故选：D．3．如图，图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】：①是相反数是，故该同学判断正确；②|﹣（﹣2）|＝2，故该同学判断错误；③1，2，2，3的众数是2，故该同学判断错误；④（a2）3＝a6，故该同学判断正确；⑤（﹣a）3÷a＝﹣a2，故该同学判断错误；所以他做对的题数是①④共2个．故选：A．4．（2019秋•东阳市期末）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max＝81．当max时，则x的值为（）A．B．C．D．【解析】：当max时，①＝，解得：x＝，此时＞x＞x2，符合题意；②x2＝，解得：x＝；此时＞x＞x2，不合题意；③x＝，＞x＞x2，不合题意；故只有x＝时，max．故选：C．5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程【解析】：A、解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，所以A选项的说法正确，不符合题意；B、解方程得x1＝2，x2＝﹣，当﹣＝2×2，则4m+n＝0；当﹣＝×2，则m+n＝0，所以B选项的说法错误，符合题意；C、解方程得x1＝2，x2＝﹣，而m+n＝0，则x2＝1，所以C选项的说法正确，不符合题意；D、解方程得x1＝﹣m，x2＝n，而2m+n＝0，即n＝﹣2m，所以x2＝2x1，所以D选项的说法正确，不符合题意．故选：B．6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y＝2x2+4x﹣4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丁【解析】：y＝2x2+4x﹣4＝2（x2+2x﹣2），故甲错误；y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3，故乙正确；y＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故丙正确；y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为为（1，﹣3），故丁错误；故选：D．7．中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当n＝6时，π≈＝＝3，则当n＝12时，π≈＝ 3.11．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259，sin75°═cos15°≈0.966）【解析】：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°，∵AO＝BO＝r，∵Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，∴l＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°，又∵d＝2r，∴π≈．故答案为：3.11．8．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB ＝BC＝CD，点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有6个．【解析】：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的可能最多有6个．故答案为6．9．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C 开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m的值为1，n的最大值为5．【解析】：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，5），∵点B（1，5）在y＝（k≠0）的图象上，∴k＝5，∵点C在y＝的图象上，点C的横坐标为5，∴点C的纵坐标是1，∴点C的坐标为（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在抛物线y＝﹣4x2+8x+1的图象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，∴n的最大值是5，故答案为：1，5．10．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．【解析】：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵顶点都在直线y＝x上，设，∴OC1＝m，，∴，∴∠B1OC1＝30°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1＝2＝A1B2，∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，，∴OC1＝OA1+A1C1＝3，∴，A2（4，0），设T1的解析式为：，则，∴，∴T1：，同理，T2的解析式为：，T3的解析式为：，…则T n的解析式为：，故答案为：．11．我国明代数学家程大位在他六十岁时终于完成了《算法统宗》的编撰．这是﹣﹣木简明实用的数学书，书中列出了许多应用题的数字计算请从A，B两题中任选一题作答．A．有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤，设所分银子共x两．根据题意列出的方程是．（注：明代时1斤＝16两．故有“半斤八两”这个成语）B．用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果．其中四文钱可以买甜果七个，十一文钱可以买苦果九个，设买了x个甜果，根据题意列出的方程是．【解析】：A、由题意，得．B、由题意，得．故答案是：；．12．在2019年全国信息学奥利匹克联赛中，重庆八中学子再创辉煌，竞赛成绩全市领先，共56人获得全国一等奖，同时摘下高一年级组冠军，高二年级组第二名，包揽初二年级组冠、亚、季军．在校内选拔赛时，某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分，最终该同学获得144分．请问这位同学答对多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的是AB．（多选）A．设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144B．设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144C．设答对题目得a分，则可列方程：+＝40D．设答错题目扣b分，则可列方程﹣＝40【解析】：A、若设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144，故本选项符合题意；B、若设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144，故本选项符合题意；C、若设答对题目得a分，则可列方程：+＝40，故本选项不符合题意；D、设答错题目扣b分，则可列方程+＝40，故本选项不符合题意．故答案是：AB．13．数学课上李老师让同学们做一道整式的化简求值题，李老师把整式（7a3﹣6a3b）﹣3（﹣a3﹣2a3b+a3﹣1）在黑板上写完后，让一位同学随便给出一组a，b的值，老师说答案．当刘阳刚说出a，b的值时，李老师不假思索，立刻说出了答案．同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？【解析】：原式＝7a3﹣6a3b+3a3+6a3b﹣10a3+3＝3，由多项式化简可知：多项式的值跟a和b无关，∴无论多项式中a和b的值是多少，多项式的值都是3．14．滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费+总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费．时间段里程费（元/千米）时长费（元/分钟）起步价（元）06：00﹣10：00 1.800.8014.0010：00﹣17：00 1.450.4013.0017：00﹣21：00 1.500.8014.0021：00﹣6：000.800.8014.00（1）小明早上7：10乘坐滴滴快车上学，行车里程6千米，行车时间10分钟，则应付车费多少元？（2）小云17：10放学回家，行车里程2千米，行车时间12分钟，则应付车费多少元？（3）下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，20：45在学校上车，由于堵车，平均速度是a 千米/小时，15分钟后走另外一条路回家，平均速度是b千米/小时，10分钟后到家，则他应付车费多少元？【解析】：（1）由题意得，应付车费＝1.8×6+0.8×10＝18.8（元）＞14元，答：应付车费18.8元；（2）由题意得，1.5×2+0.8×12＝12.6（元）＜14元，∴应付车费＝14元，答：应付车费14元；（3）根据题意得，他应付车费＝1.5×a a+0.8×15+0.8×a b+0.8×10＝（元）．答：他应付车费（）元．15．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“广善数”，如34的“广善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“广美数”，如34的“广美数”为39．（1）26的“广善数”是156，“广美数”是31．（2）求证；对任意一个两位正整数A，其“广善数”与“广美数”之差能被45整除．【解析】：（1）有定义可得：26的“广善数”是256，26的，“广美数”是26+5＝31，故答案为156，31；（2）设A的十位数字是x，个位数字是y，则A的“广善数”是100x+50+y，A的“广美数”是10x+y+5，∴100x+50+y﹣（10x+y+5）＝90x+45＝45（2x+1），∴45（2x+1）能被45整除，∴A的“广善数”与“广美数”之差能被45整除．16．若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y 是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．（1）判断：9是“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”．若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解．【解析】：（1）∵9＝52﹣42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为是；（2）∵N是“明礼崇德数”，∵x＞y+1，∴x+2＞y+3，∴N＝x2﹣y2+4x﹣6y+4﹣9＝（x+2）2﹣（y+3）2，∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x+2）2﹣（y+3）2，∴k＝﹣5；（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，这个三位数是178，∴m＝178＝2×89，此时m不是“明礼崇德数”；当x＝2时，这个三位数是279，∴m＝279＝3×93＝9×31，∴m＝482﹣452＝202﹣112，∴48与45是m的平方差分解；21与11是m的平方差分解．17．定义：关于x的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“田家炳式”．例如，式子3x+4与4x+3互为“田家炳式”．（1）判断式子﹣5x+2与﹣2x+5不是（填“是”或“不是”）互为“田家炳式”；（2）已知式子ax+b的“田家炳式”是3x﹣4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B．①化简|x+a|+|x+b|的值为7，则x的取值范围是﹣3≤x≤4；②数轴上有一点P到A、B两点的距离的和P A+PB＝11，求点P在数轴上所对应的数．（3）在（2）的条件下，①若A点，B点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，且3秒后，2OA＝OB，求点A的速度．②数轴上存在唯一的点M，使得点M到A、B两点的距离的差MA﹣MB＝m，求m的取值范围．（直接写出结果）【解析】：（1）∵﹣5x+2与﹣2x+5的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项，∴它们不互为“田家炳式”，故答案为：不是；（2）①∵式子ax+b的“田家炳式”是3x﹣4，∴a＝﹣4，b＝3，∵|x+a|+|x+b|＝7，∴|x﹣4|+|x+3|＝7，当x＜﹣3时，4﹣x﹣x﹣3＝7，解得x＝﹣3（舍去）；当﹣3≤x≤4时，4﹣x+x+3＝7，解得，x为﹣3≤x≤4中任意一个数；当x＞4时，x﹣4+x+3＝7，解得x＝4（舍去）．综上，﹣3≤x≤4．故答案为：﹣3≤x≤4．②∵P A+PB＝11，∴当P点在A作左边时，有P A+P A+AB＝11，即2P A+7＝11，则P A＝2，于是P为﹣4﹣2＝﹣6；当P点在A、B之间时，有P A+PB＝AB＝7≠11，无解；当P点在B点右边时，有2PB+AB＝11，则PB＝2，于是P为3+2＝5，综上，点P在数轴上所对应的数是﹣6或5；（3）①设A点运动的速度为x个单位/秒，∵A点的速度是B点速度的2倍，且3秒后，2OA＝OB当点A在原点左边时，有2（4﹣3x）＝3+3×x，解得，x＝当点A在原点右边时，有2（3x﹣4）＝3+3×x，解得，x＝，∴点A的速度为个单位/秒或个单位/秒；②由题意可知，当M点在AB的中点与B之间（包括中点，不包括B点），则存在唯一一点M，使得MA﹣MB＝m，此时0＜MB≤3.5，∵m＝MA﹣MB＝AB﹣MB﹣MB＝7﹣2MB，∴0≤m＜7．故答案为：0≤m＜7．18．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．【解析】：设买美酒x斗，普通酒y斗，依题意，得：，解得：．答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．19．已知a，b，c，d都是有理数，现规定一种新的运算：，例如：（1）计算；（2）若，求x的值．【解析】：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣2×5﹣3×5＝﹣10﹣15＝﹣25；（2）由题中的新定义化简得：2x﹣（﹣3）×（1﹣x）＝6，去括号得：2x+3﹣3x＝6，移项合并得：﹣x＝3，解得：x＝﹣3．20．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解析】：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．21．在平面直角坐标系中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图①中，点C的坐标为（﹣1，3）．（2）改变图①中点A的位置，其余条件不变，则点C的纵坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为3．（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．判断：结论“若点C落在x轴上，则点D一定落在第一象限内．”错误（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图②中画出一个反例．（4）若a＝4，b＞0，且抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2恰好经过点C时，求m的取值范围．【解析】：（1）如图1，过点C作CE垂直x轴，垂足为E，∴∠CEB＝∠BOE＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠ABO＝90°，∴∠BCE＝∠ABO，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝BO＝3，∴C（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）；（2）∵△BCE≌△ABO，∴CE＝BO＝3，∴改变图1中的点A的位置，其余条件不变时，点C的纵坐标总是3，故答案为：纵，3；（3）结论“若点C落在x轴上，则点D一定落在第一象限内．”错误，反例如图2；点C在x轴上，当点D在第三象限；故答案为：错误．（4）如图，若a＝4，b＞0时，与（1）同理可证△BCE≌△ABO，∴CE＝BO＝b，BE＝OA＝4，∴点C（b+4，b），∴点C在直线y＝x﹣4（x＞4）上，作直线y＝x﹣4（x＞4），交坐标轴于M，N两点，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，∴M（0，﹣4），N（4，0），①当抛物线经过N点时，如图3，有m2﹣8m+14＝0，解得：（舍去），，②当抛物线与直线y＝x﹣4只有一个交点时，如图4，有﹣x2+2mx﹣m2+2＝x﹣4，△＝（1﹣2m）2﹣4（m2﹣6）＝0，解得：m＝．∴．22．问题探究：（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是等腰直角三角形．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面积．问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】：（1）如图1中，△OP1P2是等腰直角三角形．理由：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠EAC＝∠BAC＝15°，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝15°，∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，DE＝x，∵AD＝2+，∴2x+x＝2+，∴x＝1，∴BC＝2CD＝2，∴S△ABC＝•BC•AD＝×2×（2+）＝2+．（3）如图3中，不存在．理由：∵点P关于AB，BC的对称点分别为M，N，∴PB＝BM＝BN＝10，∠PBA＝∠ABM，∠PBC＝∠CBN，∵∠ABC＝60°，∴∠MBN＝2（∠ABP+∠PBC）＝120°，∴△BNM是顶角为120°，腰长为10的等腰三角形，∴MN为定值，∵PM+PN≥MN，∴当点P落在AB或BC上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△PMN不存在，∴△PMN的周长不存在最小值．23．综合与实践：折纸中的数学问题情境：在矩形纸片ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P．将△NCF沿NF折叠，点C 的对应点为点Q．数学思考：（1）如图①，若点P，Q分别落在边BC，AD上，则四边形PNQM的形状是平行四边形．（2）如图②，若点P，Q均落在矩形ABCD的内部，其他条件不变，你认为（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展探究：（3）如图③，在（2）的条件下，若AD＝2AB＝4，当四边形PNQM为菱形时，求AE的长度．【解析】：（1）结论：四边形PNQM是平行四边形．理由：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∵AE＝CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME＝∠CNF，∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ，∴∠AMP＝∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AQN＝∠CNQ，∴∠AMP＝∠AQN，∴PM∥QN，∵MQ∥PN，∴四边形PNQM是平行四边形．故答案为平行四边形．（2）成立．理由如下：如图②中，延长NQ交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∴PM＝NQ，∵AE＝CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME＝∠CNF，∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ，∴∠AMP＝∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AHN＝∠CNH，∴∠AMP＝∠AHN，∴PM∥NH，∴四边形PNQM是平行四边形．（3）如图③中，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．∵四边形PNQM是菱形，∴MN⊥PQ，∵PQ∥AD∥BC，∴AG＝DK＝OM＝AB＝AD＝1，∵PM＝AM＝2，∴sin∠MPO＝，∴∠MPO＝30°，∵∠EPM＝90°，∴∠EPG＝90°﹣30°＝60°∴OP＝OM＝，∵OG＝2，∴EG＝PG•tan60°＝2﹣3，∴GP＝2﹣，∴AE＝AG﹣EG＝1﹣（2﹣3）＝4﹣2．24．在探究三角形内角和等于180°的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，然后把这个角进行平移，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：（1）小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明，请你帮助小明完成证明过程．证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M∵BN∥AC∴∠NBM＝∠A（两直线平行，同位角相等；）∠CBN＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义）∴∠CBA+∠A+∠C＝180o（等量代换）（2）小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平角中去，只不过平角的顶点放到了AB边上，如图所示：请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．（3）小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试，如图所示：小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．【解答】（1）证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M，∵BN∥AC，∴∠NBM＝∠A（两直线平行，同位角相等），∠CBN＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义），∴∠CBA+∠A+∠C＝180o（等量代换）．故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；（2）证明：过点O作ON∥AC，交BC于点D，过点O作OM∥BC，∵ON∥AC，∴∠NOB＝∠A，∠ODB＝∠C，∵OM∥BC，∴∠MOA＝∠B，∠MON＝∠ODB，∵∠AOM+∠MON+∠NOB＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180o．（3）小兰第三次成功的关键：将△ABC沿点C所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB 的交点为H，使点C与点H重合，确定折痕MN，将△MAH沿点M所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为E，将△NBH沿点N所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为F．证明思路：∵△CMN翻折得到△HMN，∴CH⊥AB，△CMN≌△HMN，MN是CH的垂直平分线，∴MN∥AB，∠CMN＝∠A，∠CDM＝∠MEA，CD＝ME，∴△CMD≌△MAE（AAS），∴CM＝MA＝MH，同理CN＝NB＝NH，∴△MAE≌△MHE，△NBF≌NHF，∵∠MHN+∠MHE+∠NHB＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180o．25．阅读下列材料，完成相应的任务数学活动课上，老师提出如下问题：如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC 边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少．小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝+．但没有办法继续求解．小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长．由△A′BP∽△DCP，得＝＝所以BP＝．过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10．所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．任务：（1）类比探究：对于函数y＝+，当x＝1时，y有最小值，最小值为4．（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．【解析】：（1）∵y＝+＝+，如图，取BC＝4，AB＝1，CD＝3，AB⊥BC于B，CD⊥CB于C，设BP＝x，则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，AP+DP＝+＝y，要y最小，则AP+DP最小，作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，当点A'，P，D在同一条线上时，AP+DP最小＝A'D，∵∠A'BP＝∠DCP＝90°，∠A'PB＝∠DPC，∴△A′BP∽△DCP，∴，∴，∴x＝1，过点A'作AH∥BC交DC的延长线于H，则四边形BA'HC是矩形，∴CH＝A'B＝AB＝1，A'H＝BC＝4，∠H＝90°，∴DH＝CD+CH＝4，在Rt△A'HD中，根据勾股定理得，A'D＝＝4，故答案为1，4；（2）设BD＝a，则CD＝BC﹣BD＝5﹣a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝++5，要△ABC的周长最小，则有（+）最小，同（1）的方法得，（+）最小＝＝，即：△ABC的周长最小为+5．。

2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》 (含解析)

2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．=S△AB P的Q点(异于点P)的（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线。

2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》 (含解析)

2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（学生版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。

②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。

1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD ，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①S =1S 2S +；②S 3S 4S +“十字形”ABCD 的周长为10．2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=⋅，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若O的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且2BD AD=，作DE OA⊥，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求BED∠的余弦值．4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在ABC 中，AD 为边BC 上的中线，ABD △与ABC 相似，那么称ABC 为关于边BC 的“华益美三角”．(1)如图2，在ABC 中，BC =，求证：ABC 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC 边BC 的中点，以BD 为直径的⊙O 恰好经过点A ．①求证：直线CA 与O 相切；②若O 的直径为，求线段AB 的长；(3)已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC 的面积．5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知CD 是ABC 边AB 上的中线，若ABC ACD ∽，那么ABC 就是“华益三角”，中线CD 是ABC 的“华益中线”，边AB 就是ABC 的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在ABC 中，45,1AB A AC ∠=︒+，求证：ABC 是“华益三角”；(3)如图3，已知ABC 是“华益三角”，边AB 是ABC 的“华益边”，ABC 的外接圆O 的半径是2．①若A ∠是一个锐角，求sin BC A的值；②记2,AB x BC ==，若1x =，求y 的值．6．（北雅）如图1，⊙O 的半径为r （0r >），若点P '在射线OP 上，满足2OP OP r '⋅=，则称点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”．(1)若点A 关于⊙O 的“反演点”是本身，那么点A 与⊙O 的位置关系为（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外(2)如图1，若⊙O 的半径为4，点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”，且6PP '=，过点P 的直线与⊙O 相切于点Q ，求PQ 长．(3)如图2，若⊙O 的半径为4，点Q 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且2OA =，点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，过点A '作A B A O '⊥'且A B A O '='，连接BQ '，Q A ''，求12BQ Q A ''+'的最小值．7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则△ABC 和DEF 是“青竹三角形”．45BAC ACD ∴∠=∠=︒（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△ABC ，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），设AD 、BD 、CD 的长分别为a 、b 、c ，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a 、b 的式子来表示2c ；（3）如图3，⊙O 的半径为4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且△ABC 和△ADC 是“青竹三角形”．①求22AD BC +的值；②若BAC ACD ∠=∠，75ABC ∠=︒，求△ABC 和△ADC 的周长之差．8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝43x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a，b，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜12，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝C的横坐标m DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，3sin5C ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形ABCD 是“雅系四边形”，则四边形ABCD 是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形ABCD 内接于圆，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，且ADP PBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，3BD =，且AB =．①当DC =时，求AC 的长度；②当DC 的长度最小时，请直接写出tan ADP ∠的值．11．（青竹湖）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．(1)如图1，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且对角线BD 平分ABC ∠，四边形ABCD _______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若90ABC ∠=︒，且2AD =，则O 的直径为；(2)如图2，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，AD BE AE +=．求证：四边形ABCD 为“完美四边形”；(3)如图3，在“完美四边形”ABCD 中，AB AD =，8AC =，60BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点P ，设BC x =，CP y =，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值．12．（师大附中）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60︒，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD 是“美丽四边形”，且3AB =，则BC =；(2)如图1，“美丽四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，15AP PC ==，，求另一条对角线BD 的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD 的四个顶点()()3020A C -，、，，B在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，且四边形ABCD 的面积为函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（解析版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。

中考数学重难点突破专题十二：阅读理解、新定义问题(含答案)

专题十二阅读理解、新定义问题类型1 新定义问题1．在平面直角坐标系中，任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，规定运算：①A ⊕B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②A ⊗B ＝x 1x 2＋y 1y 2；③当x 1＝x 2且y 1＝y 2时，A ＝B ，有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A ⊕B ＝(3，1)，A ⊗B ＝0；(2)若A ⊕B ＝B ⊕C ，则A ＝C ；(3)若A ⊗B ＝B ⊗C ，则A ＝C ；(4)对任意点A 、B 、C ，均有(A ⊕B)⊕C ＝A ⊕(B ⊕C)成立．其中正确命题的个数为( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：(1)A ⊕B ＝(1＋2，2－1)＝(3，1)，A ⊗B ＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(1)正确；(2)设C(x 3，y 3)，A ⊕B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，B ⊕C ＝(x 2＋x 3，y 2＋y 3)，而A ⊕B ＝B ⊕C ，所以x 1＋x 2＝x 2＋x 3，y 1＋y 2＝y 2＋y 3，则x 1＝x 3，y 1＝y 3，所以A ＝C ，所以(2)正确；(3)A ⊗B ＝x 1x 2＋y 1y 2，B ⊗C ＝x 2x 3＋y 2y 3，而A ⊗B ＝B ⊗C ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 2x 3＋y 2y 3，不能得到x 1＝x 3，y 1＝y 3，所以A ≠C ，所以(3)不正确；(4)因为(A ⊕B)⊕C ＝(x 1＋x 2＋x 3，y 1＋y 2＋y 3)，A ⊕(B ⊕C)＝(x 1＋x 2＋x 3，y 1＋y 2＋y 3)，所以(A ⊕B)⊕C ＝A ⊕(B ⊕C)，所以(4)正确．2．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m ，n)，规定以下两种变换：(1)f(m ，n)＝(m ，－n)，如f(2，1)＝(2，－1)；(2)g(m ，n)＝(－m ，－n)，如g(2，1)＝(－2，－1)按照以上变换有：f[g(3，4)]＝f(－3，－4)＝(－3，4)，那么g[f(－3，2)]＝__(3，2)__．解：∵f(－3，2)＝(－3，－2)，∴g[f(－3，2)]＝g(－3，－2)＝(3，2)．3．平面直角坐标系中有两点M(a ，b)，N(c ，d)，规定(a ，b)⊕(c ，d)＝(a ＋c ，b ＋d)，则称点Q(a ＋c ，b ＋d)为M ，N 的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C 的坐标是__(1，8)__．解析：已知以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点C 的坐标为(2－1，5＋3)，即C(1，8)4．已知抛物线y 1＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，y 2＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2，且满足a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＝k(k ≠0，1)．则称抛物线y 1，y 2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法正确的是( D )A ．y 1，y 2开口方向，开口大小不一定相同．B ．y 1，y 2的对称轴相同．C ．如果y 1与x 轴有两个不同的交点，则y 2与x 轴也有两个不同的交点．D ．如果y 2的最大值为m ，则y 1的最大值为km.解析：由已知可知：a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，A 、a 1、a 2的符号不一定相同，故错误；B 、因为a 1/a 2＝b 1/b 2＝k ，代入－b/2a 得到对称轴相同，故错误；C .因为开口方向、开口大小不一定相同，所以如果y 1与x 轴有两个不同的交点，则y 2与x 轴不一定有两个不同的交点，故错误；D .如果y 2的最值是m ，则y 1的最值是4a 1c 1－b 214a 1＝k 4a 2c 2－b 224a 2＝km ，故正确． 5．(2017·临沂)在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为(m ，n)，向量OP →可以用点P 的坐标表示为OP →＝(m ，n)．已知：OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，如果x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，那么OA →与OB →互相垂直，下列四组向量：①OC →＝(2，1)，OD →＝(－1，2)；②OE →＝(cos 30°，tan 45°)，OF →＝(1，sin 60°)；③OG →＝(3－2，－2)，OH →＝(3＋2，12)； ④OM →＝(π0，2)，ON →＝(2，－1)．其中互相垂直的是__①③④__(填上所有正确答案的符号)．解：①因为2×(－1)＋1×2＝0，所以OC →与OD →互相垂直；②因为cos 30°×1＋tan 45°·sin 60°＝32×1＋1×32≠0，所以OE →与OF →不互相垂直；③因为(3－2)(3＋2)＋(－2)×12＝3－2－1＝0，所以OG →与OH →互相垂直；④因为π0×2＋2×(－1)＝2－2＝0，所以OM →与ON →互相垂直．综上所述，①③④互相垂直．类型2 阅读理解型问题6．已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算．例如：求点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离．解：因为直线y ＝x ＋1可变形为x －y ＋1＝0，其中k ＝1，b ＝1，所以点P(－2，1)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1×（－2）－1＋1|1＋12＝22＝ 2. 根据以上材料，求：(1)点P(1，1)到直线y ＝3x －2的距离，并说明P 与直线的位置关系；(2)点P(2，－1)到直线y ＝2x －1的距离；(3)已知直线y ＝－x ＋1与y ＝－x ＋3平行，求两条直线的距离．解：(1)∵直线y ＝3x －2，其中k ＝3，b ＝－2，∴点P(1，1)到直线y ＝3x －2的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×1－1－2|1＋32＝0，∴点P 在直线y ＝3x －2上；(2)∵直线y ＝2x －1，其中k ＝2，b ＝－1，∴点P(2，－1)到直线的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|2×2－（－1）－1|1＋22＝45＝455；(3)在直线y ＝－x ＋1上取点P(0，1)(点P 的坐标是满足该直线的任意点)，直线y ＝－x ＋3，其中k ＝－1，b ＝3，则点P 到直线y ＝－x ＋3的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|0－1＋3|1＋（－1）2＝22＝ 2.所以两平行线间的距离为 2.7．阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α·tan β. 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30° ＝1－331＋1×33＝（3－3）（3－3）（3＋3）（3－3）＝12－636＝2－ 3. 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题．(1)计算：sin 15°；(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1)，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A 距离7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．(精确到0.1米，参考数据3＝1.732，2＝1.414)解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝64－24＝6－24；(2)在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝75°，DE ＝AC ＝7米，∴BE ＝DE·tan ∠BDE ＝DE·tan 75°.∵tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋3，∴BE ＝7(2＋3)＝14＋7 3.∴AB ＝AE ＋BE ＝1.62＋14＋73≈27.7(米)．答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．8．学习感知：在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．初步运用：填空：(1)已知筝状四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(5，1)，C(8，2)，则顶点D 的坐标为__(5，3)__；(2)如果筝状四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A(－6，－3)，B(－4，－6)，C(－2，－3)，则顶点D 纵坐标y 的取值范围是__y ＞－3__．延伸拓展：已知面积为30的筝状四边形ABCD 相邻两个顶点的坐标分别为A(3，1)，B(6，3)，其中一条对角线长为6，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，P 为对角线上一动点，连结MN ，MP ，NP ，试求△MNP 周长的最小值．解：延伸拓展：∵筝形四边形ABCD 的面积为30，其中一条对角线长为6，则可得另一条对角线的长为10，以下分两种情况：①当AC ＝6，BD ＝10时，a.如图，若动点P 在对角线BD 上，则△MNP 的周长不存在最小值；b.若动点P 在对角线AC 上，∵A(3，1)，B(6，3)，∴由题意M 、N 分别是AB 、BC的中点，故可得：C(9，1)，M(92，2)，N(152，2)，作M 点关于直线AC 的对称点M′，则M′(92，0)，连结M′N 交AC 于点P ，此时的△MNP 的周长最小．∵MN ＝3，MP ＋NP ＝M′P ＋NP ＝M′N.而M′N ＝（152－92）2＋22＝13，∴△MNP 周长的最小值为13＋3.②当AC ＝10，BD ＝6时．a.如图，若动点P 在对角线BD 上，则△MNP 的周长不存在最小值；b.若动点P 在对角线AC 上，∵A(3，1)，B(6，3)，∴由题意M 、N 分别是AB 、BC的中点，故可得：C(3，11)，M(92，2)，N(92，7)．作M 点关于直线AC 的对称点M′，则M′(32，2)，连结M′N 交AC 于点P ，此时△MNP 周长最小．∵MN ＝5，MP ＋NP ＝M′P ＋NP ＝M′N.而M′N ＝（92－32）2＋（7－2）2＝34，∴△MNP 周长的最小值为34＋5.综上，△MNP 周长的最小值为13＋3.。

新定义与阅读理解问题九年级数学专项训练(含解析)

新定义与阅读理解问题一、单选题A．1B．4C．6D()(A．113︒B．92二、填空题16．定义一种新的运算：a☆三、解答题17．若定义一种运算：a b∆()(32-=--+⨯-2Δ32(3)23参考答案：1．A【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出4-※2的值．【详解】解：根据新定义得：4-※22422=-⨯+84=-+4=-，故选：A 2．B【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★，()336x +⨯=-解方程即可．【详解】解：根据新定义得()31012x =★★()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★()3104x +=★()36x =-★()336x +⨯=-5x =-故选：B 3．D【分析】据提供的“F ”运算，对正整数n 分情况(奇数、偶数)循环计算，由于449n =为奇数应先进行F ①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F ”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F ”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：344951352⨯+=，故选：A．8．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由10．12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．11．5【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x 的值即可．【详解】解：当4x ≥时，则1629x +=，解得13x =，不符合题意；当4x <时，则2429x +=，解得15=x ，25x =-（舍去），综上，x 的值为5．故答案为：5．12．3-【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数21y x =-+的“衍生函数”是解题的关键．【详解】解：由定义知，一次函数21y x =-+的“衍生函数”为()()210210x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∵点()2,P m -在一次函数的“衍生函数”图象上，20x =-<，∴()2213m =⨯-+=-．故答案为：3-．13．1【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键．由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，即()3434120a ⨯+++=，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O就是三角形的内心，过C时，且在等腰直角三角形∴当O、、过点O分别作弦CG CF DE。

中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)

中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。

（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。

以圆的新定义为背景阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题(解析版)

以圆的新定义为背景阅读材料压轴题1.考向分析1(2023春•兴化市月考)如图，已知⊙O 的半径为1，P 是平面内一点．(1)如图①，若OP =2，过点P 作⊙O 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，连接EF ．则∠EPO =30°，EF =　3　．(2)若点M 、N 是⊙O 上两点，且存在∠MPN =90°，则规定点P 为⊙O 的“直角点”．①如图②，已知平面内有一点D ，OD =2，试说明点D 是⊙O 的“直角点”．②如图③，直线y =23x -2分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，若线段AB 上所有点都是半径为r 的圆的“直角点”，求r 的最小值与该圆心的坐标．【分析】(1)由切线的性质得出∠PEO =90°，由勾股定理求出OE =3，证明△PEF 为等边三角形，得出EF =PE =3；(2)①过点D 作⊙O 的两条切线DE ，DF ，切点分别为E ，F ，证出∠FDE =90°，则可得出结论；②证出AB 是圆的直径，由勾股定理可得出答案．【解答】解：(1)∵PE 为⊙O 的切线，∴PE ⊥EO ，∴∠PEO =90°，∵OE =1，OP =2，∴OE =12OP ，PE =OP 2-OE 2=3，∴∠EPO =30°，∵PE 和PF 为⊙O 的两条切线，∴PE =PF ，∠EPO =∠FPO ，∴∠EPF =2∠EPO =60°，∴△PEF 为等边三角形，∴EF =PE =3．故答案为：30，3；(2)①过点D 作⊙O 的两条切线DE ，DF ，切点分别为E ，F ，在Rt △DEO 中，OD =2，OE =1，∴∠EDO =45°，同理可得∠FDO=45°，∴∠FDE=90°，∴点D是⊙O的“直角点”；②由①可知“直角点”在以O为圆心2r为半径的圆上及圆内的所有点．∵线段AB上的所有点都是圆的“直角点”，∴AB是在该圆及圆的内部，又∵半径最小，∴AB是圆及圆的内部最长线段，∴AB是圆的直径，∵直线y=23x-2分别与x轴、y轴相交于点A、B，∴x=0时，y=-2，y=0时，x=3，∴OB=2，OA=3，由勾股定理得AB=22+32=13，∴最小半径为132×2=264，．∴圆心为AB的中点，其点的坐标为32，-1【点评】本题是圆的综合题，主要考查了与圆有关的概念、新定义圆的“直角点”，直角三角形的性质、勾股定理、图形与点的坐标等知识，熟练掌握新定义直角点及直角三角形的性质是解题的关键．2(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为⊙T的“限角点”．，③P3(-1，-1)，④P4(2，(1)在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，在①P1(1，0)，②P2-1，12-1)中，⊙O的“限角点”是②③；(填写序号)(2)如图2，⊙A的半径为2，圆心为(0，2)，直线l：y=-34x+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个⊙A的“限角点”，求b的值．(3)如图3，E(2，3)、F(1，2)、G(3，2)，⊙D的半径为2，圆心D从原点O出发，以2个单位/s的速度沿直线l：y=x向上运动，若△EFG三边上存在⊙D的“限角点”，请直接写出运动的时间t(s)的取值范围．【分析】(1)根据定义可知当P为圆O的“限角点”时，1<OP≤2，再由两点间距离公式进行判断即可；(2)由题意可知，当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ，-34m +b ，当PA =2，此时AP ⊥BC ，利用tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，先求出CP =32，再求AC =52，最后根据|b -2|=52，求出b 的值即可；(3)由题意可知移动后D 点坐标为(t ，t )，设△EFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，DF =2时，△EFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，△EFG 边上最后一个⊙D 的“限角点”消失，当圆D 再次移动到点E 在圆上时，DF =2，△EFG 三边上又开始要出现⊙D 的“限角点”；求出直线y =x 与直线EG 的交点设为H 52，52，当DH =2时，△EFG 边上存在最后一个⊙D 的“限角点”．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ，-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0，b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ，t )，设△EFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，△EFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，△EFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，△EFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H，∴2k +b =33k +b =2，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x ，解得x =52y =52 ，∴H 52，52 ，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，△EFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，△EFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，△EFG 边上存在⊙D 的“限角点”．【点评】本题考查圆的综合应用，理解定义，找到圆心与“限角点”的距离的取值范围，数形结合，分类讨论是解题的关键．3(2023•海淀区校级开学)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形M ，若图形M 上存在点Q ，使得直线PQ 经过第四象限，则称点P 是图形M 的“四象点”．已知点A (-2，4)，B (2，1)．(1)在点P 1(-4，-2)，P 2(-1，-2)，P 3(1，-2)中，P 2，P 3　是线段AB 的四象点；(2)已知点C (t ，0)，D (t +4，0)，若等边△CDE (C ，D ，E 顺时针排列)上的点均不是线段AB 的四象点，求t 的取值范围；(3)已知以T -52，0为圆心且半径为2的⊙T ，若线段AB 上的点P 是⊙T 的四象点，请直接写出点P 的横坐标x P 的取值范围．【分析】(1)利用“四象点”的定义逐一判断即可；(2)依题意画出图形，当直线BO经过等边三角形的顶点E时，等边△CDE(C，D，E顺时针排列)上的点恰好均不是线段AB的四象点，求得直线BO的解析式，令y=-23，解关于x的方程求得此时点E的坐标，依据题意结合图形即可求得结论；(3)利用分类讨论的方法分两种情形解答：①设⊙T交x轴于点C，分别过点A，C作y轴的平行线，依据题意结合图形解答即可得出结论；②过点B作出⊙T的切线BG，作出⊙T的平行于x轴的一条切线FH，交线段AB于点F，依据题意结合图形解答即可得出结论．【解答】解：(1)∵点P1(-4，-2)与点B(2，1)在直线y=12x上，又直线y=12x经过原点，不经过第四象限，∴点P1(-4，-2)不是线段AB的四象点；∵点P2(-1，-2)，B(2，1)在直线y=x-1上，而直线y=x-1经过第四象限，∴P2(-1，-2)是线段AB的四象点；∵P3(1，-2)在第四象限，与线段AB上的任意一点连接所得直线都经过第四象限，∴P3(1，-2)是线段AB的四象点．∴P2(-1，-2)，P3(1，-2)是线段AB的四象点．故答案为：P2，P3；(2)过点E作EF⊥x轴于点F，如图，∵C(t，0)，D(t+4，0)，∴CD=4，∵△CDE是等边三角形，∴EC=ED=CD=4．∵EF⊥x轴，∴CF=FD=2，∴EF=EC2-CF2=23．设直线BO的解析式为y=kx，∴2k=1，∴k =12．∴直线BO 的解析式为y =12x．当直线BO 经过等边三角形的顶点E 时，等边△CDE (C ，D ，E 顺时针排列)上的点恰好均不是线段AB 的四象点，令y =-23，则12x =-23，∴x =-43，∴点E (-43，-23)，∴C (-43-2，0)．∴等边△CDE (C ，D ，E 顺时针排列)上的点均不是线段AB 的四象点，t 的取值范围为t ≤-43-2；(3)①设⊙T 交x 轴于点C ，分别过点A ，C 作y 轴的平行线，分别交x 轴于点D ，C ，过点C 直线与AB 交于点E ，如图，∵T -52，0为圆心且半径为2，∴C -12，0，D (-2，0)．由图形可以看出当点P 在线段AE 上(不含点E )时，点P 是⊙T 的四象点，∴点P 的横坐标x P 的取值范围为：-2≤<x P <-12；②点B 作出⊙T 的切线BG ，由图形可知，直线BG 经过第四象限，作出⊙T 的平行于x 轴的一条切线FH ，切点为H ，交线段AB 于点F ，连接TH ，则TH =2，TH 垂直于x 轴，设直线AB 的解析式为y =ax +b ，∴-2a +b =42a +b =1 ，解得：a =-34b =52 ，∴直线AB 的解析式为y =-34x +52．令y =2，则-34x +52=2．∴x =23．∴F 23，2．由图形可以看出当点P 在线段FB 上(不含点F )时，点P 是⊙T 的四象点，∴点P 的横坐标x P 的取值范围为：23<x P ≤2．综上，点P 的横坐标x P 的取值范围为：-2≤<x P <-12或23<x P ≤2．【点评】本题主要考查了点的坐标的特征，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的性质，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用是解题的关键．2.压轴题速练1(2022秋•泗阳县期末)概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC ，⊙O 经过点A ，并与点A 的对边BC 相切于点D ，则该⊙O 就叫做△ABC 的切接圆．根据上述定义解决下列问题：理解应用(1)已知，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，BC =10．①如图2，若点D 在边BC 上，CD =254，以D 为圆心，BD 长为半径作圆，则⊙D 是△ABC 的“切接圆”吗？请说明理由．②在图3中，若点D 在△ABC 的边上，以D 为圆心，CD 长为半径作圆，当⊙D 是Rt △ABC 的“切接圆”时，求⊙D 的半径(直接写出答案)．思维拓展(2)如图4，△ABC 中，AB =12．AC =BC =10，把△ABC 放在平面直角坐标系中，使点C 落在y 轴上，边AB 落在x 轴上．试说明：以抛物线y =116x 2+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C 的△ABC 的“切接圆”．【分析】(1)①过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则△CDE ∽△CBA ，由此可得DE 的长，根据“切接圆”的定义可得出结论；②根据题意作出图形，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，可证明△BDF ∽△BCA ，根据“切接圆”的性质可知，DE =DC =r ，根据比例得出方程，求解即可得出结论；(2)根据题意作出图形，设点D 的横坐标为m ，可表达点D 的坐标，进而可表达CD 及点D 到x 轴的距离，根据“切接圆”的定义可得出结论．【解答】(1)解：①是，理由如下：∵BC =10，CD =254，∴BD =154，即圆D 的半径为154，如图2，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∴∠DEC =∠A =90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CD ：BC =DE ：AB ，即254：10=DE ：6，∴DE =154，∴BD =DE ，即圆D 是△ABC 的“切接圆”；②在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，BC =10，∴AC =8；当点D 在AC 上时，∵AC ⊥AB ，∴点A 为切点，则r =CD =4；当点D 在BC 上时，如图3，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∴∠BDF =∠C ，∴△BDF ∽△BCA ，∴BD ：BC =DF ：AC ，根据“切接圆”的性质可设，DF =DC =r ，∴BD =10-r ，∴(10-r )：10=r ：8，解得r =409；∴圆D 的半径为409；综上，圆D 的半径为409或4；(2)证明：根据题意作出图形，如图4所示，∵AC =BC =10，AB =12，∠AOB =90°，∴AO =OB =6，∴OC =8，即C (0，8)；设点D 的横坐标为m ，∴D m ，116m 2+4 ，∴CD 2=m 2+116m 2+4-8 2=116m 2+4 2，即CD =116m 2+4，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，∴DE =116m 2+4，∴CD =DE ，根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y =116x 2+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C 的△ABC 的“切接圆”．【点评】本题是在圆背景下的新定义问题，主要考查相似三角形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征，切线的性质，两点间的距离公式等相关知识，理解“切接圆”的定义是解题关键．2(2022秋•平谷区期末)如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD ，其中A (1，0)、B (4，0)、C (4，2)、D (1，2)，定义如下：若点P 关于直线l 的对称点P '在矩形ABCD 的边上，则称点P 为矩形ABCD 关于直线l 的“关联点”，(1)已知点P 1(-1，2)、点P 2(-2，1)、点P 3(-4，1)，点P 2(-3，-1)中是矩形ABCD 关于y 轴的关联点的是P 1，P 3　；(2)⊙O 的圆心O -72，1 半径为32，若⊙O 上至少存在一个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点，求t 的取值范围；(3)⊙O 的圆心O (m ，1)(m <0)半径为r ，若存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点，写出r 的取值范围，并写出当r 取最小值时t 的取值范围(用含m 的式子表示)．【分析】(1)分别求出所给的点关于y 轴的对称点，再结合矩形进行判断即可；(2)当圆上的点(-5，1)关于直线x =t 的对称点(2t +5，1)在AD 上时，t =-2，当圆上的点(-2，1)关于直线x =t 的对称点(2t +2，1)在BC 上时，t =1，则-2≤t ≤1时，⊙O 上至少存在一个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点；(3)当圆O 关于直线x =t 的对称圆O '与BC 相切，同时圆O '经过A 、D 两点时，此时不存在4个交点；当圆心O '在AD 边上时，O '(1，1)，此时t =12m +12，圆O '与矩形有两个交点，当圆心O '(2，1)，此时t =12m +1，圆O '与矩形有三个交点，则12m +12<t <12m +1时，存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点；当圆心O '(3，1)，此时t =12m +32，圆O '与矩形有三个交点，当圆心O '(4，1)，此时t =12m +2，圆O '与矩形有两个交点，则12m +32<t <12m +2时，存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点．【解答】解：(1)点P 1(-1，2)、点P 2(-2，1)、点P 3(-4，1)，点P 2(-3，-1)关于y 轴的对称点分别为点(1，2)、(2，1)、(4，1)，(3，-1)，∴P 1(-1，2)的对称点与D 点重合，P 3(-4，1)的对称点在BC 边上，∴关联点是P1，P 3，故答案为：P 1，P 3；(2)当圆上的点(-5，1)关于直线x =t 的对称点(2t +5，1)在AD 上时，∴2t +5=1，解得t =-2，当圆上的点(-2，1)关于直线x =t 的对称点(2t +2，1)在BC 上时，∴2t +2=4，解得t =1，∴-2≤t ≤1时，⊙O 上至少存在一个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点；(3)∵AD =2，∴r 最小值为1，∴r ≥1，当圆O 关于直线x =t 的对称圆O '与BC 相切，同时圆O '经过A 、D 两点时，过点O '作MN ⊥AD ，交于M ，交BC 于点N ，连接O 'D ，在Rt △MDO '中，MO '=3-r ，DO '=r ，DM =1，∴(3-r )2+1=r 2，解得r =53，∴r ≥1且r ≠53，当r =1时，当圆心O '在AD 边上时，O '(1，1)，此时t =12m +12，圆O '与矩形有两个交点，当圆心O '(2，1)，此时t =12m +1，圆O '与矩形有三个交点，∴12m +12<t <12m +1时，存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x =t 的关联点；当圆心O '(3，1)，此时t =12m +32，圆O '与矩形有三个交点，当圆心O '(4，1)，此时t =12m +2，圆O '与矩形有两个交点，∴12m +32<t <12m +2时，存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点；综上所述：12m +12<t <12m +1或12m +32<t <12m +2时，存在t 值使⊙O 上恰好存在四个点是矩形ABCD 关于直线x =t 的关联点．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线的位置关系，弄清定义，将所求问题转化为已知圆关于直线x =t 对称的圆与矩形的交点问题是解题的关键．3(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1，-2)，B (5，-2)，C (-1，4)．(1)在点D (-4，0)，E (2，2)，F (6，0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0，t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【分析】(1)分别求出A 、B 点关于D 点、E 点、F 点的对称点，在求出A 点、B 点关于O 点的对称点，存在重合点的即为所求；(2)①设K (k ，0)，分别求出A 点关于K 点对称点G 为(2k +1，2)，T 点关于K 点对称点H 为(2k ，-t )，由题意可知点A 关于点K 的对称点在以G 点为圆心，1为半径的圆上，点T 关于点K 的对称点在以H 为圆心，1为半径的圆上，当圆G 与圆H 有交点时，点A 与点T (0，t )关于⊙K 双对合再由GH =1+(t +2)2，可得1+(t +2)2≤2，求出t 的值即可；②分别求出A 点关于K 点的对称点F (2k +1，2)，B 点关于K 点的对称点E (2k -5，2)，C 点关于K 点的对称点G (2k +1，-4)，△ABC 上的点的对称点在△EGF 边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，当此区域与圆K 有公共交点时，△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，画出图形，分别求解即可．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2，-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14，-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4，-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8，-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8，-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4，-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2，-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10，-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K (k ，0)，∵A (-1，-2)，T (0，t )，∴A 点关于K 点对称点G 为(2k +1，2)，T 点关于K 点对称点H 为(2k ，-t )，∵点A 与点T (0，t )关于⊙K 双对合，∴A 点关于点K 的对称点在以G 为圆心，∵⊙K 的直径为1，∴点A 关于点K 的对称点在以G 点为圆心，1为半径的圆上，点T 关于点K 的对称点在以H 为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A 与点T (0，t )关于⊙K 双对合，∴当圆G 与圆H 有交点，∵GH =1+(t +2)2，∴1+(t +2)2≤2，解得-2-3≤t ≤-2+3；②∵A (-1，-2)，B (5，-2)，C (-1，4)，K (k ，0)，∴A 点关于K 点的对称点F (2k +1，2)，B 点关于K 点的对称点E (2k -5，2)，C 点关于K 点的对称点G (2k +1，-4)，∴△ABC 上任意一点关于K 点对称点在阴影区域，∵△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，∴阴影区域与圆K 有公共交点，∵阴影部分是由△EGF 边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k -(2k +1)=12+1，解得k =-52；如图2时，2k +1-k =12+1，解得k =12；∴-52≤k ≤12时，△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合；过点K 作KN ⊥EG 交于N ，直线EG 交x 轴于点M ，设直线EG 的解析式为y =k 'x +b ，∴(2k -5)k '+b =2(2k +1)k '+b =-4 ，解得k '=-1b =2k -3，∴y =-x +2k -3，∴M (2k -3，0)，∵直线y =-x 与y =-x +2k -3平行，∴∠KMN =45°，∴KM =2KN =322，如图3时，k -(2k -3)=322，解得k =3-322，如图4时，2k -3-k =322，解得k =3+322，∴3-322≤k ≤3+322时，△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合；综上所述：-52≤k ≤12或3-322≤k ≤3+322时，△ABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合．【点评】本题考查圆的综合应用，弄懂定义，根据定义能去确定对称点的轨迹，再结合两圆的位置关系数形结合解题是关键．4(2022秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时针旋转90°得到点P '，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．(1)已知点A (1，1)，B (3，1)，C (3，2)．①在点P 1(-1，0)，P 2(-1，1)，P 3(-1，2)中，点P 2，P 3　是线段AB 关于原点O 的“伴随点”；②如果点D (m ，2)是△ABC 关于原点O 的“伴随点”，求m 的取值范围；(2)⊙E 的圆心坐标为(1，n )，半径为1，如果直线y =-x +2n 上存在⊙E 关于原点O 的“伴随点”，直接写出n 的取值范围．【分析】(1)①分别求出个点绕O 点旋转后的对应点，旋转后的对应点在线段AB 上的即为所求；②由三角形全等可知D'(2，m)，当D'在AC上时，m=32，当D'在AB上时，m=1，则1≤m≤32时，点D(m，2)是△ABC关于原点O的“伴随点”；(2)圆E上的点顺时针旋转90°后的对应点在以E'(-n，1)，半径为1的圆上，由直线y=-x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，可知当圆E'与直线y=-x+2n有交点，过E'作E'G垂直直线y =-x+2n交于点G，由E'G≤1，可知E'R≤2，求出R(2n-1，1)，则E'R=|2n-1+n|≤2，解得1-23≤n≤1+23．【解答】解：(1)①∵A(1，1)，B(3，1)，∴AB∥x轴，∵OP1顺时针旋转90°后，得到点(0，1)，∴P1不是线段AB关于原点O的“伴随点”；∵OP2顺时针旋转90°后，得到点(1，1)，∴P2是线段AB关于原点O的“伴随点”；∵OP3顺时针旋转90°后，得到点(2，1)，∴P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；∴P2，P3是线段AB关于原点O的“伴随点”；故答案为：P2，P3；②过点D作DP⊥x轴交于点P，过点D'作D'Q⊥x轴交于点Q，∵∠DOD'=90°，∴∠DOP+∠D'OQ=90°，∵∠DOP+∠DOP=90°，∴∠D'OQ=∠DOP，∵DO=D'O，∴△DOP≌△OD'P(AAS)，∴DP=OQ，OP=D'Q，∵D(m，2)，∴OQ=DP=2，D'Q=OP=|m|，∵△ABC在第一象限，∴D'(2，-m)，设直线AC的解析式为y=kx+b，∴k+b=13k+b=2，解得k=12b=12，∴y=12x+12，当D'在AC上时，m=-3 2，当D'在AB上时，m=-1，∴-32≤m≤-1时，点D(m，2)是△ABC关于原点O的“伴随点”；(2)∵E(1，n)在直线x=1上，圆E的半径为1，将圆E绕点O逆时针旋转90°得到圆E'，∴圆E关于原点的“伴随点”在圆E'的内部及其边界上，∴E'(-n，1)，∴E'在直线y=1上，∵直线y=-x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，∴当圆E'与直线y=-x+2n有交点，过E'作E'G垂直直线y=-x+2n交于点G，∵y=-x+2n与直线y=-x平行，∴∠GE'R=45°，∵E'G≤1，∴E'R≤2，令y=-x+2n=1，解得x=2n-1，∴R(2n-1，1)，∴E'R=|2n-1+n|≤2，解得1-23≤n≤1+23，∴1-23≤n≤1+23时，直线y=-x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”．【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握切线的性质，勾股定理，能够确定⊙E关于原点O的“伴随点”的轨迹是解题的关键．5(2022秋•石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．(1)如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(4，3)，则d=5．在点P1(-1，0)，P2(2，8)，P3(3，1)，P4(-21，-2)中，矩形AOBC的“关联点”是P2，P4　；(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为(1，1)．若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；(3)已知点M(1，0)，N(0，3)．图形W是以T(t，0)为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．【分析】(1)根据所给的定义，对每一个点进行判断即可；(2)由题意可得d=DF=22，过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，当ME=22时，ON= 6，则-6≤b≤6时，直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；(3)由题意可得d=2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL =2时，TM=23，此时T(1-23，0)；当TM=3时，T(-2，0)，则1-23≤t≤-2时，线段MN 上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；当T点在x轴正半轴上时，当TM=3时，此时T(4，0)，当NT=3时，3=t2+3，解得t=6或t=-6(舍)，则6≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P 为⊙T的“关联点”．【解答】解：(1)∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(4，3)，∴OC=5，∴d=5，∵P1(-1，0)，∴P1O=1，∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；∵P2(2，8)，∴P2到AC的距离为5，∴P2是矩形AOBC的“关联点”；∵P3(3，1)，∴P3到OB的距离为1，∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；∵P4(-21，-2)，∴P4O=5，∴P4是矩形AOBC的“关联点”；故答案为：P2，P4；(2)∵D(1，1)，四边形DEFG是正方形，∴d=DF=22，过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，当ME=22时，OM=32，∵∠MNO=45°，∴ON=6，∴-6≤b≤6时，直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；(3)∵⊙T是T(t，0)为圆心，1为半径的圆，∴d=2，当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，当KL=2时，TL=3，∵M(1，0)，N(0，3)，∴ON=3，OM=1，∴tan∠OMN=3，∴∠OMN=60°，∴TM =332=23，此时T (1-23，0)，当TM =3时，OT =2，∴T (-2，0)，∴1-23≤t ≤-2时，线段MN 上存在点P ，使点P 为⊙T 的“关联点”；当T 点在x 轴正半轴上时，当TM =3时，此时T (4，0)，当NT =3时，3=t 2+3，解得t =6或t =-6(舍)，∴6≤t ≤4时，线段MN 上存在点P ，使点P 为⊙T 的“关联点”；∴1-23≤t ≤-2或6≤t ≤4时，线段MN 上存在点P ，使点P 为⊙T的“关联点”．【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，圆的性质，属性结合解题是关键．6(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60°<∠MPN <180°，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在P 1(2，2)，P 2(2，0)，P 3(2，1)中，⊙O 的环绕点是P 1　；②直线y =3x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；(2)⊙T 的半径为2，圆心为(0，t )，以-m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．【分析】(1)①如图，PM ，PN 是⊙T 的两条切线，M ，N 为切点，连接TM ，TN ，当∠MPN =60°时，可证TP =2TM 、以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．首先说明当60°≤∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，利用这个结论解决问题．②如图2中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，求出两种特殊位置的b 的值，结合图形根据对称性解决问题．(2)如图3中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，利用(1)中结论，画出圆环，当圆环与∠MON 的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的t 的值可解决问题．【解答】解：(1)①如图，PM ，PN 是⊙T 的两条切线，M ，N 为切点，连接TM ，TN ，当∠MPN =60°时，∵PT 平分∠MPN ，∴∠TPN =∠MPT =30°，∵TM ⊥PM ，TN ⊥PN ，∴∠TNP =∠PMT =90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0，b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM =33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0，8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0，-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识．解题的关键是理解题意，学会用转化思想，学会用特殊位置考虑问题．7(2022秋•海淀区期末)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3，0)，B (5，0)，①在点P 1(6，0)，P 2(1，-2)，P 3(3，2)中，线段AB 的融合点是P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ，0)，B (a +1，0)，直线l 过点T (0，-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A 'B '．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A 'B '的融合点，直接写出a 的取值范围．【分析】(1)①分别求出P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3，0)，再根据定义判断即可；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，当y =t 与圆有交点时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A 'B '的融合点在以A '、B '为圆心，A 'B '为圆心的圆及内部，圆O 与圆A '、圆B '的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，由此可求a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．【解答】解：(1)①∵P 1(6，0)，A (3，0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1，-2)，B (5，0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ，0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3，2)，B (5，0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ，0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3，0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3，0)，B (5，0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A 'B '的融合点在以A '、B '为圆心，A 'B '为圆心的圆及内部，∵A (a ，0)，B (a +1，0)，∴AB =A 'B '=1，∵⊙O 上有A 'B '的融合点，∴圆O 与圆A '、B '有交点，∴圆O 与圆A '、圆B '的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键．8(2022秋•北京期末)对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W 上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．(1)已知点A(0，4)，B(4，4)，①在点M1(-2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是M1，M3　；②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；(2)直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为T(t，0)．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=2，直接写出t的取值范围．【分析】(1)①根据“旋垂点”的定义判断即可；②当∠AM1O=90°，AM1=M1O时，m=-2，当∠BM2O=90°，BM2=M2O时，m=4，即可求出m 的取值范围；(2)由题可知，Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，当D点与Q点重合时，TD=4，t=-23；当Q点与C点重合时，OT=2，t=-2，则-23≤t≤-2；当Q点与C点重合时，OT=6，t=6；当TQ⊥CD时，TQ=2，t=2-22，则2-22≤t≤6．【解答】解：(1)①∵A(0，4)，∴OA=4，设点O关于点A的“旋垂点”是M，∴AM=OM=22，∵M1(-2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)，∴AM1=OM1=22，AM2=OM1=2，AM3=OM1=22，∴M1，M3是点O关于点A的“旋垂点”，故答案为：M1，M3；②∵点A(0，4)，B(4，4)，∴AB∥x轴，当∠AM1O=90°，AM1=M1O时，m=-2，当P点从A到B移动时，-2≤m≤0；当∠BM2O=90°，BM2=M2O时，m=4，当P点从A到B移动时，2≤m≤4；∴-2≤m≤0或2≤m≤4时，点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”；(2)当x=0时，y=2，∴D(0，2)，当y=0时，x=2，∴C(2，0)，∵PQ=2，∠PQN=90°，PQ=QN，∴PN=2，∵圆T的半径是10，∴TQ=2或TQ=4，∴Q点在以T为圆心半径为2或4的圆上，当D点与Q点重合时，TD=4，∴TO=23，∴t=-23；当Q点与C点重合时，OT=2，∴t=-2，∴-23≤t≤-2；当Q点与C点重合时，OT=6，∴t=6；当TQ⊥CD时，TQ=2，∴OT=22-2，∴t=2-22；∴2-22≤t≤6；∴t的取值范围为：-23≤t≤-2或2-22≤t≤6．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练等腰直角三角形的性质，圆的垂径定理，弄清定义，数形结合是解题的关键．9(2022秋•朝阳区校级期中)在平面直角坐标系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转90°得到点Q，称点Q为弦MN的“中点对应点”．设⊙W是以W(-3，0)为圆心，半径为2的圆．(1)已知弦MN长度为2，点Q为弦MN的“中点对应点”．①如图1：当MN∥x轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段OQ的长度；②当MN在圆上运动时，直接写出线段WQ的取值范围．(2)已知点M(-5，0)，点N为⊙W上的一动点，设直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．。

中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)

新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解．【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--．故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．其中，正确的有（） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解．【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论．【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时，即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+，则213x +>，解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >；当212x x +<-时，即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-，则23x ->，解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-．故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可．【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在，当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意，此时，=1b a -．故选：Ｃ【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。

2023年中考数学真题(全国通用)：专题30 新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(解析版)

专题30新定义与阅读理解创新型问题（31题）∵ 0,30A ， 20,10,B ∴130203002ABO S V ∵OA 上有31个格点，OB 上的格点有 2,1，A． B．3【答案】B【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式【详解】解：∵等边三角形ABCA．3【答案】C【答案】5【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】15065 180180n rl故填：5 ．统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：∴2CD OD OC ∴222CD s AB OA9022360l ，在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要OABC 4【答案】712或2512 【分析】根据题意求得点【详解】由(y x三、解答题指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、G ，进而以FG 为直径画圆，则问题得解；如图所示：【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∥，对角线BD 平分ADC ．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．(3)如图3，四边形ABCD 是邻等四边形，90DAB ABC ，BCD 为邻等角，连接AC ，过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E ．若8,10AC DE ，求四边形EBCD 的周长．（3）如图，过C 作CQ ∵90DAB ABC ，我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 1654，－Varingnon Pierre①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图证明：如图2，连接．∵DG∴DN DGNM GC∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∥，即HG∥∵HG AC【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）(2)答案不唯一，见解析(3)平行四边形EFGH 的周长等于对角线（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的两条对角线AC 证明如下：∵点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，∴11,22EF AC GH AC ．∴EF GH AC ．19．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y 称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y 称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x ；2l 的解析式为15y x ；(2)①10,20x m y m ；②3l 的解析式为30y x ，图象见解析；(3)538a c b【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ，再得出点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b ，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b ，解得：16k b，∴1l 的解析式为6y x ；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x ；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了 10m 次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为 2,m m ；∴点 2,m m 按照乙方式移动 10m 次后得到的点的横坐标为21010m m m ，纵坐标为21020m m m ，∴10,20x m y m ；②由于102030x y m m ，∴直线3l 的解析式为30y x ；函数图象如图所示：（3）∵点,,A B C 的横坐标依次为,,a b c ，且分别在直线123,,l l l 上，(1)如图2，在53 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ，AC AP ，延长AP 至点B ，使AB AC ，作A PBD ．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．NE （2）①PCF 是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C 作CN BE 交BE 的延长线于N ．由折叠得AC CM ，CMP AC AB ∵，A PBD N 四边形ABNC 为正方形CN AC CM又CE CE ∵，于Q，FR ②过点F作FQ BE∵，155690，16是等腰直角三角形知：由PCF△△，≌APC RFPAAS，而AC AP FR，AC PR(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 33,3M 中，是矩形ABCD “梦之点”的是___________；(2)点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个___________，直线GH 的解析式是2y ___________．当12y y 时，x 的取值范围是(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线21922y x x 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接BC ，判断ABC 的形状，并说明理由．由图可得，当12y y 时，故答案为： 2,2H ，（3）ABC 是直角三角形，理由如下：∵点A ，B 是抛物线y 19(1)如图，点 1,0A ，1B ①在点 11,1C ，20()2,C ②若点C 是弦2AB 的“关联点(2)已知点 0,3M ，65,05N种情况，分别位于点相切，AC经过点O，a、若12C B与O①当S 位于点 0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ∵ 0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ，证明：设BE k ，∵1tan 2，∴易证AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ，(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan tan BAM NAE 、的值；任务2利用0 t 时，30h ；t 【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务减少偏差．通过查阅资料后知道：应h 的观察值之差的平方和．．．．．．，记为任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的（2）请确定经过 0,30的一次函数解析式，使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4请你简要写出时间刻度的设计方案．【答案】任务1：见解析；任务2：0.130h t ；任务3：（1）0.05，（2）0.10230h t ；任务4：见解析【分析】任务1：根据表格每隔10min 水面高度数据计算即可；任务2：根据每隔10min 水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h 与流水时间t 的是一次函数关系，由待定系数法求解；任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w 值；（2）设30h kt ，然后根据表格中数据求出此时w 的值是关于k 的二次函数解析式；由此求出w 的值最小时k 值即可；任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min 可以代替单位长度要素．【详解】解：任务1：变化量分别为， 29301cm ； 28.1290.9cm ；2728.1 1.1cm ； 25.827 1.2cm ；任务2：设h kt b ，∵0 t 时，30h ，10t 时，29h ；∴301029b k b ，．∴水面高度h 与流水时间t 的函数解析式为0.130h t ．任务3：（1）当0 t 时，0.13030h t ，当10t 时，0.13029h t ，当20t 时，0.13028h t ，当30t 时，0.13027h t ，当40t 时，0.13026h t ，∴ 22222303029292828.127272625.8w 0.05 ．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；（2）①由已知ABE的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．27．（2023·吉林长春·统考中考真题）的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形ABC的外接圆，．小明发现，延长C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB PC通过证明PBC EBA△△，可推得PBE是等边三角形，进而得证．≌下面是小明的部分证明过程：，连结至点E，使AE PC的内接四边形，O180 ．180 ，．是等边三角形．(SAS)请你补全余下的证明过程．O是ABC的外接圆，PB、PC．若22，则PB PA；探究：见解析；应用：【分析】感知：由圆周角定理即可求解；，连结至点E，使AE PC故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ．180BAP BAE ∵，BCP BAE ．ABC ∵ 是等边三角形．BA BC ，(SAS)PBC EBA ≌，∴PB EB ，PBC EBA ，60EBA ABP PBC ABP ABC ，PBE 是等边三角形，PB PE ，PB PE PA AE PA PC ，即PB PA PC ；应用：延长PA 至点E ，使AE PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ．180BAP BAE ∵，BCP BAE ．AB CB ∵，(SAS)PBC EBA ≌，∴PB EB ，PBC EBA ，90EBA ABP PBC ABP ABC ，PBE 是等腰直角三角形，222PB BE PE ，222PB PE ，【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造进行转换求解．28．（2023·广西·统考中考真题）折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．请完成：(1)观察图1中1 ，2 和3 ，试猜想这三个角的大小关系(2)证明（1）中的猜想；AB请完成：的一条三等分线．(3)证明BB 是NBC【答案】(1)123(2)见详解(3)见详解【分析】（1）根据题意可进行求解；≌(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点 4,0M 的直线l y 轴，作ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图2，ABCD Y 中， 090BAD ，P 为直线AB 下方一点，作点（2）①2 ，理由如下，连接1AP ，。

中考数学专题31新定义与阅读理解创新型问题(全国通用解析版)

新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N.则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100.则2＝lg100.100＝1.则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0.N＞0时.lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15.则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式.然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号.加括号后仍只有减法运算.然后按给出的运算顺序重新运算.称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z ﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n.x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n.…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”.使其运算结果与原多项式相等.②不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知.当只给x﹣y加括号时.和原式相等.因为不改变x.y的运算符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.因为z.m.n中只有加减两种运算.求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n.与原式相等.故①正确.②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.无法改变x.y的符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.故②正确.③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.加括号后只有加减两种运算.∴2×2×2＝8种.所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3.＝3.＝3.….＝3.一般地.对于正整数a.b.如果满足＝a时.称（a.b）为一组完美方根数对．如上面（3.6）是一组完美方根数对.则下面4个结论：①（4.12）是完美方根数对.②（9.91）是完美方根数对.③若（a.380）是完美方根数对.则a＝20.④若（x.y）是完美方根数对.则点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】将（4.12）.（9.91）代入验证即可判断①②.将（a.380）代入公式.建立方程可得出结论.若（x.y）是完美方根数对.则满足给出公式.化简可得出结论．【解析】将（4.12）代入＝4.＝4.＝4.….∴（4.12）是完美方根数对.故①正确.将（9.91）代入＝10≠9.＝.∴（9.91）不是完美方根数对.故②错误.③∵（a.380）是完美方根数对.∴将（a.380）代入公式.＝a.＝a.解得a＝20或a＝﹣19（舍去）.故③正确.④若（x.y）是完美方根数对.则＝x.＝x.整理得y＝x2﹣x.∴点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.故④正确.故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a.b.规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1.则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形.解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1.解得：x＝．经检验.x＝是原方程的根.∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y ＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标.（2）若a＞0.过x轴上一点P.作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N．①当MN＝6a时.求点P的坐标.②当a﹣4≤x≤a﹣2时.C2的最大值与最小值的差为2a.求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式.再将该解析式化成顶点式.可得出C2的顶点坐标.（2）①设点P的横坐标为m.则可表达点M和点N的坐标.根据两点间距离公式可表达MN的长.列出方程.可求出点P的坐标.②分情况讨论.当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.分别得出C2的最大值和最小值.进而列出方程.可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a ﹣3.∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3.∴C2的顶点坐标为（﹣2.﹣3）.（2）①设点P的横坐标为m.∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N.∴M（m.4am2+am+4a﹣3）.N（m.am2+4am+4a﹣3）.∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|.∵MN＝6a.∴|3am2﹣3am|＝6a.解得m＝﹣1或m＝2.∴P（﹣1.0）或（2.0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3.∴当x＝﹣2时.y＝﹣3.当x＝a﹣4时.y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3.当x＝a﹣2时.y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3.根据题意可知.需要分三种情况讨论.Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.0＜a≤2.且当0＜a≤1时.函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝2﹣或a＝2+（舍）.当1≤a≤2时.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝或a＝﹣（舍）.Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.a≥2.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3.∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a.解得a＝（舍）.Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.a≤0.不符合题意.舍去.综上.a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y.当t﹣≤x≤t+时.函数y的最大值为M.最小值为N.令函数h＝.我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x.当t＝1时.求函数y的“共同体函数”h的值.②若函数y＝kx+b（k≠0.k.b为常数）.求函数y的“共同体函数”h的解析式.（2）若函数y＝（x≥1）.求函数y的“共同体函数”h的最大值.（3）若函数y＝﹣x2+4x+k.是否存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在.求出k的值.若不存在.请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066.N＝2022.再由定义可求h的值.②分两种情况讨论：②当k＞0时.M＝kt+k+b.N＝kt﹣k+b.h＝k.当k＜0时.M＝kt﹣k+b.有N＝kt+k+b.h＝﹣k.（2）由题意t﹣≥1.M＝.N＝.则h＝.所以h有最大值.（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时.M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝t﹣2.②当t+≤2时.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝2﹣t..③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.h ＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.h＝（t﹣）2.画出h的函数图象.结合图象可得＝4+k.解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1.∴≤x≤.∵函数y＝4044x.∴函数的最大值M＝6066.函数的最小值N＝2022.∴h＝2022.②当k＞0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b.有最小值N ＝kt﹣k+b.∴h＝k.当k＜0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b.有最小值N ＝kt+k+b.∴h＝﹣k.综上所述：h＝|k|.（2）t﹣≥1.即t≥.函数y＝（x≥1）最大值M＝.最小值N＝.∴h＝.当t＝时.h有最大值.（3）存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值.理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k.∴函数的对称轴为直线x＝2.y的最大值为4+k.①当2≤t﹣时.即t≥.此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝t﹣2.此时h的最小值为.②当t+≤2时.即t≤.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝2﹣t.此时h的最小值为.③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.即≤t＜2.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.h的函数图象如图所示：h的最小值为.由题意可得＝4+k.解得k＝﹣.综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N.若N能被它的各数位上的数字之和m整除.则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19.∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4.∴214不是“和倍数”．（1）判断357.441是否是“和倍数”？说明理由.（2）三位数A是12的“和倍数”.a.b.c分别是数A其中一个数位上的数字.且a＞b＞c．在a.b.c中任选两个组成两位数.其中最大的两位数记为F（A）.最小的两位数记为G（A）.若为整数.求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A）.代入中.根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12.∴357不是“和倍数”.∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49.∴441是9的“和倍数”.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.由题意得：F（A）＝.G（A）＝.∴＝＝＝.∵a+c＝12﹣b.为整数.∴＝＝＝＝7+（1﹣b）.∵1＜b＜9.∴b＝3.5.7.∴a+c＝9.7.5.①当b＝3.a+c＝9时.（舍）..则A＝732或372.②当b＝5.a+c＝7时..则A＝156或516.③当b＝7.a+c＝5时.此种情况没有符合的值.综上.满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素.展现了我国古代数学的文化魅力.其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统.有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021.表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022.（2）小华设计了一个n进制数143.换算成十进制数是120.求n的值．（1）根据已知.从个位数字起.将八进制的每一位数分别乘以80.81.82.83.【分析】再把所得结果相加即可得解.（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程.解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022.（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120.解得n1＝9.n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心.相邻横线的间距为半径画圆.然后半径依次增加一个间距画同心圆.描出了同心圆与横线的一些交点.如图1所示.他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察.提出猜想：按此步骤继续画圆描点.所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验.以圆心O为原点.过点O的横线所在直线为x轴.过点O且垂直于横线的直线为y轴.相邻横线的间距为一个单位长度.建立平面直角坐标系.如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时.其坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0.m）.m为正整数.以OP为直径画⊙M.是否存在所描的点在⊙M上．若存在.求m的值.若不存在.说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4.利用勾股定理.即可求出该点的横坐标.进而可得出点的坐标.【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n ﹣1）.结合点横、纵坐标间的关系.可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上.进而可证出小明的猜想正确.【深度思考】设该点的坐标为（±.n﹣1）.结合⊙M的圆心坐标.利用勾股定理.即可用含n的代数式表示出m的值.再结合m.n均为正整数.即可得出m.n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意.可知：所描的点在半径为5的同心圆上时.其纵坐标y＝5﹣1＝4.∵横坐标x＝±＝±3.∴点的坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.∴该点的横坐标为±＝±.∴该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1.n﹣1＝.∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上.∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±.n﹣1）.⊙M的圆心坐标为（0. m）.∴＝m.∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m.n均为正整数.∴n﹣1＝1.∴m＝1+2+1＝4.∴存在所描的点在⊙M上.m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中.如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数.则称该点为“黎点”．例如（﹣1.1）.（2022.﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”.（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.当a＞1时.求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.构建方程求解即可.（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.则有﹣m＝.∴m＝±3.经检验.m＝±3的分式方程的解.∴双曲线y＝上的“黎点”为（3.﹣3）或（﹣3.3）.（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.∴ac＝9.∴a＝.∵a＞1.∴0＜c＜9．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中.P（a.b）是第一象限内一点.给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6.2）的“倾斜系数”k的值.（2）①若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.请写出a和b的数量关系.并说明理由.②若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.且a+b＝3.求OP的长.（3）如图.边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动.P（a.b）是正方形ABCD上任意一点.且点P的“倾斜系数”k＜.请直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可.（2）①根据“倾斜系数”k的的定义分情况得出结论即可.②根据“倾斜系数”k的的定义求出P点坐标.进而求出OP的值即可.（3）根据k的取值.分情况求出a的取值范围即可．【解析】（1）由题意知.k＝＝3.即点P（6.2）的“倾斜系数”k的值为3.（2）①∵点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.∴＝2或＝2.即a＝2b或b＝2a.∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a.②由①知.a＝2b或b＝2a∵a+b＝3.∴或.∴OP＝＝.（3）由题意知.当P点与D点重合时.且k＝时.a有最小临界值.如下图：连接OD.延长DA交x轴于E.此时＝.则.解得a＝.当P点与B点重合时.且k＝时.a有最大临界值.如下图：连接OB.延长CB交x轴于F.此时＝.则＝.解得a＝3+.综上所述.若点P的“倾斜系数”k＜.则+1＜a＜3+．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中.已知点M（a.b）.N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度.再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度.得到点P′.点P′关于点N的对称点为Q.称点Q为点P的“对应点”．（1）如图.点M（1.1）.点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2.0）.点Q 为点P的“对应点”．①在图中画出点Q.②连接PQ.交线段ON于点T.求证：NT＝OM.（2）⊙O的半径为1.M是⊙O上一点.点N在线段OM上.且ON＝t（＜t＜1）.若P为⊙O外一点.点Q为点P的“对应点”.连接PQ．当点M在⊙O上运动时.直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）①根据定义.先求出P'的坐标.从而得出Q的位置.②连接PP'.利用三角形中位线定理得NT＝PP'.从而证明结论.（2）连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.利用三角形中位线定理得QT的长.从而求出SQ的长.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.则PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.从而解决问题．【解析】（1）①由题意知.P'（﹣2+1.0+1）.∴P'（﹣1.1）.如图.点Q即为所求.②连接PP'.∵∠P'PO＝∠MOx＝45°.∴PP'∥ON.∵P'N＝QN.∴PT＝QT.∴NT＝PP'.∵PP'＝OM.∴NT＝OM.（2）如图.连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.∴TQ＝2MN.∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t.∴TQ＝2﹣2t.∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.∴PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①.在△ABC和△A'B'C'中.AD.A'D'分别是BC和B'C'边上的高线.且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①.用S△ABC.S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积.则S△ABC＝BC•AD.S△A'B'C′＝B′C′•A′D′.∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②.D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3.DC＝4.则S△ABD：S△ADC＝3：4.（2）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2.CD：BC＝1：3.S△ABC＝1.则S△BEC＝.S△CDE＝.（3）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m.CD：BC＝1：n.S△ABC＝a.则S△CDE＝．【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比.直接求出答案.（2）同（1）的方法即可求出答案.（3）同（1）的方法即可求出答案．【解析】（1）∵BD＝3.DC＝4.∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4.故答案为：3：4.（2）∵BE：AB＝1：2.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2.∵S△ABC＝1.∴S△BEC＝.∵CD：BC＝1：3.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3.∴S△CDE＝S△BEC＝×＝.故答案为：..（3）∵BE：AB＝1：m.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m.∵S△ABC＝a.∴S△BEC＝S△ABC＝.∵CD：BC＝1：n.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n.∴S△CDE＝S△BEC＝•＝.故答案为：．14．（2022•常州）在四边形ABCD中.O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD.则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）.（2）如图.在四边形ABCD中.边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4.OA＝5.BC＝12.连接AC.求AC的长.（3）在四边形EFGH中.EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.求的值．【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD.则∠OAB＝∠C＝90°.而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”.（2）作AH⊥BO于H.由△OAB≌△OCD.得AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.求出x的值.再利用勾股定理求出AC的长即可.（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH.则∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.再由平行线性质得OE＝OH.从而推出OE＝OH＝OG.从而解决问题．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠C＝90°.∵△OAB≌△OCD.∴∠OAB＝∠C＝90°.∵O是边BC上的一点．∴正方形不存在“等形点”.故答案为：不存在.（2）作AH⊥BO于H.∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.∴△OAB≌△OCD.∴AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.∵BC＝12.∴BO＝7.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.解得.x＝3.∴OH＝3.∴AH＝4.∴CH＝8.在Rt△CHA中.AC＝＝＝4.（3）如图.∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.∴△OEF≌△OGH.∴∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.∵EH∥FG.∴∠HEO＝∠EOF.∠EHO＝∠HOG.∴∠HEO＝∠EHO.∴OE＝OH.∴OH＝OG.∴OE＝OF.∴＝1．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形.如果具有公共的顶角的顶点.并把它们的底角顶点连接起来.则形成一组全等的三角形.把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1.若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.BC.DE分别是底边．求证：BD＝CE.（2）解决问题：如图 2.若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∠ACB＝∠DCE＝90°.点A.D.E在同一条直线上.CM为△DCE中DE边上的高.连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM.AE.BE之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.证明△ABD≌△ACE（SAS）.即可得BD＝CE.（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.可得△ACD≌△BCE（SAS）.即有AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°.即知∠AEB ＝∠BEC﹣∠CED＝90°.由CD＝CE.CM⊥DE.∠DCE＝90°.可得DM＝ME ＝CM.故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.∴AB＝AC.AD＝AE.∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC.即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.（2）解：∠AEB＝90°.AE＝BE+2CM.理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∴AC＝BC.DC＝EC.∠ACB＝90°＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.∵△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE＝∠CED＝45°.∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°.∴∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°.∵CD＝CE.CM⊥DE.∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°.∴DM＝ME＝CM.∴DE＝2CM.∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1）.用直尺和圆规作AB上的一点P.使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2.以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.再以点A为圆心.AC长为半径作弧.交线段AB于点P.点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP.点D为线段AC上的动点.点E在AB的上方.构造△DPE.使得△DPE∽△CPB．①如图3.当点D运动到点A时.求∠CPE的度数．②如图4.DE分别交CP.CB于点M.N.当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）.猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明.再利用AC＝AP.即可得出结论.（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°.∠CPB＝112.5°.证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°.从而可得答案.②先证明△ADP∽△ACB.可得∠APD＝45°.DP∥CB.再证明MP＝MD＝MC ＝MN.∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.从而可得出结论．【解析】（1）赞同.理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形.∴AC＝BC.∠A＝∠B＝45°.∴cos45°＝.∵AC＝AP.∴.∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.∴＝67.5°.∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°.∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°.∵△DPE∽△CPB.D.A重合.∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°.∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°.②点N是线段ME的趣点.理由如下：当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD）.∴.∵AC＝AP.∴.∵.∠A＝∠A.∴△ADP∽△ACB.∴∠ADP＝∠ACB＝90°.∴∠APD＝45°.DP∥CB.∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE.∴DM＝PM.∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°.∴MD＝MC.同理可得MC＝MN.∴MP＝MD＝MC＝MN.∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°.∠E＝∠B＝45°.∴∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.∴＝.∴点N是线段ME的“趣点”．17．（2022•兰州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝3cm.BC＝4cm.M为AB 边上一动点.BN⊥CM.垂足为N．设A.M两点间的距离为xcm（0≤x≤5）.B.N 两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时.B.N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验.对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程.请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A.M两点间的距离x进行取点、画图、测量.分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55 y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算.补全表格：a＝ 3.2.（2）描点、连线：在平面直角坐标系中.描出表中各组数值所对应的点（x.y）.并画出函数y关于x的图象.（3）探究性质：随着自变量x的不断增大.函数y的变化趋势：y随x的增大而减小.（4）解决问题：当BN＝2AM时.AM的长度大约是 1.67cm．（结果保留两位小数）【分析】（1）先求出AB边上的高.进而求出AM'.判断出点M与M'重合.即可得出答案.（2）先描点.再连线.即可画出图象.（3）根据图象直接得出结论.（4）利用表格和图象估算出AM的长度．【解析】（1）如图.在Rt△ABC中.AC＝3.BC＝4.根据勾股定理得.AC＝5.过点C作CM'⊥AB于M.∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'.∴CM'＝.在Rt△ACM'中.根据勾股定理得.AM'＝＝1.8.当x＝1.8时.点M与点M'重合.∴CM⊥AB.∵BN⊥CM.∴点M.N重合.∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2.故答案为：3.2.（2）如图所示.（3）由图象知.y随x的增大而减小.故答案为：y随x的增大而减小.（3）借助表格和图象得.当BN＝2AM时.AM的长度大约是1.67cm.故答案为：1.67．18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2.先向上平移6个单位.再向右平移3个单位.用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0.0）（3.m）（1.2）（4.8）（2.8）（5.14）（﹣1.2）（2.8）（﹣2.8）（1.14）（1）m的值为6.（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标.（3）点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.若y1＞y2.则x1＜或＞x2．（填不等号）【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标.（2）利用描点法画函数图象.联立方程组求得两函数的交点坐标.（3）结合二次函数图象的性质分析求解．【解析】（1）将（0.0）先向上平移6个单位.再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3.6）.∴m＝6.故答案为：6.（2）平移后的函数图象如图：联立方程组.解得.∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（.）.（﹣.）.（3）∵点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.当P.Q两点同在对称轴左侧时.若y1＞y2.则x1＜x2.当P.Q两点同在对称轴右侧时.若y1＞y2.则x1＞x2.故答案为：＜或＞．19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展.小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据.分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度.横轴表示年度.纵轴表示年产量）.如图．小亮认为.可以从y＝kx+b（k＞0）.y＝（m＞0）.y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型.模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由.（2）请从小亮提供的函数模型中.选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.并求出函数表达式.（3）根据（2）中你选择的函数模型.请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【分析】（1）由当m＞0时.y＝的性质可得答案.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟①号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.根据二次函数性质可得答案．【解析】（1）认同.理由是：当m＞0时.y＝中.y随x的增大而减小.而从图中描点可知.x增大y随之增大.故不能选y＝（m＞0）.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.把（1.1.5）.（2.2.0）代入y＝kx+b得：.解得.∴y＝0.5x+1.把（1.1.9）.（2.2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：.解得.∴y＝﹣0.1x2+x+1.答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.由（2）知.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.∵﹣0.1＜0.抛物线对称轴为直线x＝7.5.而x为整数.∴当x＝7或8时.w取最大值.最大值为7.6.答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大.最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”.老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1.﹣1）.且不经过第一象限.写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业.并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同.请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多.老师不方便批阅.于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a.b.c的关系.得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法.写出探究过程．【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可.【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可.【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.抛物线的图象一定在x轴的下方.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.则b＝2a+m.c＝a+m﹣1.由a＜0.c≤0.a﹣b+c＝﹣1.可得b＜1．【解析】y＝﹣x2（答案不为唯一）.【观察发现】如图：【思考交流】∵抛物线的对称轴为x＝﹣.a＜0.∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.例如：y＝﹣x2.∴小亮的说法不正确.∵抛物线不经过第一象限.∴抛物线的图象一定在x轴的下方.∴小莹的说法不正确.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.∴y＝ax2+（2a+m）x+a+m﹣1.∵y＝ax2+bx+c.∴b＝2a+m.c＝a+m﹣1.∵二次函数的图象不经过第一象限.∴a＜0.c≤0.∵经过点（﹣1.﹣1）.∴a﹣b+c＝﹣1.∴a+m﹣1≤0.∴a+m≤1.∴b＝2a+m＝a+a+m≤a+1.∴b＜1.综上所述：a＜0.b＜1.c≤0且a﹣b+c＝﹣1．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）.小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）.确定支点O.并用细麻绳固定.在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩.作为秤钩.第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中.把重物挂在秤钩上.秤砣挂在支点O右侧的B处.秤杆平衡.就能称得重物的质量．当重物的质量变化时.OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式.若0＜y＜48.求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置.把秤砣挂在秤钩上.重物挂在支点O右侧的B处.使秤杆平衡.如图2．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm.写出y关于x的函数解析式.完成下表.画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……421……【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可.（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式.然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【解析】（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴重物×OA＝秤砣×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2x＝0.5y.∴y＝4x.∵4＞0.∴y随x的增大而增大.∵当y＝0时.x＝0.当y＝48时.x＝12.∴0＜x＜12.（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴秤砣×OA＝重物×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2×0.5＝xy.∴y＝.当x＝0.25时.y＝＝4.当x＝0.5时.y＝＝2.当x＝1时.y＝1.当x＝2时.y＝.当x＝4时.y＝.故答案为：4.2.1...作函数图象如图：22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a.b|.当a≥b时.min|a.b|＝b.当a＜b时.min|a.b|＝a．例如：min|﹣1.3|＝﹣1.min|﹣1.﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4．（2）如图.已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2.求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据定义运算的法则解答即可.（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．【解析】（1）由题意可知：①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4.故答案为：1.﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3.∵一次函数y2＝﹣2x+b.∴b＝﹣3.∴y2＝﹣2x﹣3.当x＝﹣2时.y＝1.∴A（﹣2.1）将A点代入y1＝中.得k＝﹣2.∴y1＝﹣．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境.某学校根据地形情况.要对景观带中一个长AD＝4m.宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①.改造后的水池ABNM仍为长方形.以下简称水池1）．同时.再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②.以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0）.加长后水池1的总面积为y1（m2）.则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）.设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6）.面积为y2（m2）.则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6）.上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小.则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位）.水池2面积的最大值是9m2.（2）在图③字母标注的点中.表示两个水池面积相等的点是C.E.此时的x （m）值是1或4.（3）当水池1的面积大于水池2的面积时.x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6.（4）在1＜x＜4范围内.求两个水池面积差的最大值和此时x的值.（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m）.其他条件不变（这个加长改。

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习(附解析)

2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习热点解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别地重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题。

如果对这类题型了解不清楚的情况下，很多同学直接就选择了放弃，其实其难度并不是特别大部分，分值拿到手还是非常轻松的。

解题思路解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。

所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。

分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。

在历年的考题当中，以下的三大类阅读型的题型值得大家在复习当中明确其考查的方式和方法，对于大家对阅读型理解题型的了解迈出重要的一步。

首先，阅读试题所提供的新定义，新定理，解决新问题。

这类题型的解决方法以及做题的规律都从题目当中进行寻找，题目已经给出，只要结合题目中的方法进行简单的推理，那么就可以得到我们解决问题的方法，其中计算的方式是大家比较困难的，所以题目中所给的例子一定要研读清楚，搞清楚其变化的规律，就能掌握其解题的技巧。

针对练习1、（2024·陕西西安·二模）完成下列各题(1)【问题提出】如图1，为的一条弦，点C 在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我AB O AB 们知道的度数______（填“变”或“不变”）；若，则______度．即：若ACB ∠100AOB ∠=︒ACB =∠∵60BE AD A ⊥∠=︒，，∴，315sin 5322BE AB A =⨯=⨯=设经过圆心O 时的线段为，则PC 11PC 1PC∵90BAD BCD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒∴180BAD BCD ∠+∠=∴四点共圆，A B C D ，，，∴45BAC CDB ∠=∠=︒∴2MON MAN ∠=∠=则ADC PBC ≌，∴90CP CA ACP =∠=，，．∵180BAD BCD ∠+∠=∴180D ABC ∠+∠=︒，∴180ABC CBP ∠+∠=∴三点共线，A B P ，，∴为等腰直角三角形，ACP △，2290,2EAG EG AE ∴∠=︒=∵，2222AE BE DE =+222,EG BE DE ∴=+∴，222EG DG DE =+90,EDG ∴∠=︒∴，180EAG EDG ∠+∠=︒，180AED AGD ∴∠+∠=︒∴，180AED AEB ∠+∠=︒点在对角线上．∴E BD 3、（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相O ABC BC O AB AC 、切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知．D E 、OC F DF ，AC G 8cm AB =(1)求的长；DE (2)求证：；CFG CGF ∠=∠(3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积．D G 、E G DE 【正确答案】(1)2πcm(2)见解析点分别为与的切点，D E 、O AB AC 、，且OD AB OE AC ∴⊥⊥，OD OE =为等腰直角的斜边，BC ABC ，，90A ∴∠=︒45B ∠=︒则1142422DEG S EG OE =⨯⨯=⨯⨯ ()2290π44πcm 360DOE S S ︒=⨯⨯=︒扇形，阴影部分的面积为DEG DOE S S +- 扇形设，则dm EF y =MF =(1)观察猜想如图①，四边形是对补四边形，且对角线平分ABCD BD 关系是________．(2)深入探究如图②，在直角三角形中，，ACB 90ACB ∠=︒60cm AB =于点D ，E 为边上的一点，连接，作与交于点AC DE DF DE ⊥BC【分析】（1）过点作，，通过证明即可求解；D DE AB ⊥DF BC ⊥()AAS DCF DAE ≌（2）①过点D 作于点G ，于点H ，利用全等三角形的判定与性质，求解即可；DG AC ⊥DH BC ⊥②过点D 作，交于点G ，通过证明求解即可；DG AB ⊥BC ()ASA ADE GDF △≌△（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：AD CD =过点作，，如下图：D DE AB ⊥DF BC ⊥则，90DEA DFC ∠=∠=︒由题意可得：，180A BCD ∠+∠=︒180DCF BCD ∠+∠=︒∴，DCF A ∠=∠又∵平分BD ABC∠∴DF DE=∴()AAS DCF DAE ≌∴DA DC=（2）解：①如图②，过点D 作于点G ，于点H ．DG AC ⊥DH BC ⊥又平分，∴．CD ACB ∠DG DH =又∵90ACB ∠=︒∴四边形为矩形，DGCH 又∵CD 平分，，ACB ∠DG AC ⊥DH BC⊥∴DG DH=∴矩形是正方形．DGCH ∵，90ACB EDF ∠=∠=︒∴，．180DEC DFC ∠+∠=︒DEC DEA ∠+∠=180︒∴．DEA DFC ∠=∠又，90DGE DHF ∠=∠=︒∴．DGE DHF ≌∴DGCHCFDE S S =正方形四边形∵，，DG BC ∥:1:3AD AB =∴．:1:3DG BC =设，则，，，，cm DG x =3cm BC x =2cm BH x =cm DH x =40cm BD =在中，，Rt DHB △222DH BH BD +=∴．222(2)40x x +=∴．2320x =∴．2320cm DGCH S =四边形∴．2320cm CFDE S =四边形∴四边形的面积为．CFDE 2320cm ②如图③，过点D 作，交于点G ．DG AB ⊥BC由（1）可知，．DE DF =DEA DFG ∠=∠∵，EDF ∠=90ADG ∠=︒∴．ADE GDF ∠=∠∴．()ASA ADE GDF △≌△【正确答案】图中阴影部分面积的最小值为【分析】设，DM EM a ==BN 有最大值，则图中阴影部分面积有最小值，当CMN S 【详解】解：设与的切点为MN BD∴，AD AE AB ==ADM ∠=∴，Rt Rt ADM AEM ≌△△Rt ∴，，=DM EM BN EN =设，DM EM a ==BN EN =∵，222MC NC MN +=则都是等腰直角三角形，CFM CFN 、△△在正方形中，ABCD AD CD ==∴，424FC =-∴，48322CMN S =-△【正确答案】（1）①；（【分析】（1）求出函数y（2）求出函数y x c =+（1）取，的中点D ，E ，在边上作；AB AC BC MN DE =（2）连接，分别过点D ，N 作，，垂足为G ，H ；EM DG EM ⊥NH EM ⊥（3）将四边形剪下，绕点D 旋转至四边形的位置，将四边形BDGM 180︒ADPQ E 旋转至四边形的位置；180︒AEST （4）延长，交于点F ．PQ ST[任务3]的方法画出示意图如图由【任务2】可得PQ BC ∥过点D 作，垂足为DR BC ⊥在中，Rt DCR sin DCB ∠=∴4sin 95DR CD DCB =⋅∠=⨯(12GEST ABCD S S ==⨯正方形梯形（3）方法迁移：ABCD用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：E小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得2设，则DG x =2AG =-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，52EH =-理由如下，连接，设正方形的边长为GE设，则DG x =4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，174EH =-设，则DG x =1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC EB =∴，211EH m =+-在中，Rt ,Rt AEG GHE(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形ABCD 4(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边ABCD AB 的度数；ACB ∠(3)如图2，在四边形中，，与ABCD AC BD =AD 请说明理由．∵四边形为“可旋四边形ABCD ∴，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠由方法1可知，不等式故；23x -<<（2）解：由题意知，故选：D ；（3）解：如图2，作函数由图像可得，的解集为260x x --<综上，的解集为260x x --<2-本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题∵四边形为平行四边形，若，ABCD ,AB a BC b ==∴，,,AB DC a AD BC AD BC b ====∥∵，，AE BC ⊥DF BC ⊥∴，AE DF =∴，()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△∴，BE CF =∴222222AC BD AE CE BF DF+=+++()()()22222AB BE BC BE BC CF DF =-+-+++222222222AB BE BC BC BE BE BC BC BE BE AE =-+-⋅+++⋅++22222AB BC BC BE AE =++++2222AB BC BC AB =+++()222AB BC =+；()222a b =+拓展提升：延长到点C ，使，BO OD BO =∵为的一条中线，BO ABC ∴，OA CO =∴四边形是平行四边形，ABCD ∵．,,AB a BC b AC c ===(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）A B d (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；B A d t (3)在整个往返过程中，若，求的值．18d =t 【正确答案】(1)由负到正(2)12234d t =-+(3)当或时，6t =18t =18d =【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；12d l l =-（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当AB n 121l l n ++=12d l l =-181t n =-+和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得4.5s t = 5.5s d 5t =0d =91d =滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；()()91115=6m/s -÷()2612l t =-12d l l =-（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，18d =010t ≤≤1227t ≤≤18d =进而即可求解．【详解】（1）∵，12d l l =-当滑块在点时，，，A 10l =2d l =-0<当滑块在点时，，，B 20l =1d l =0>∴的值由负到正．d 故由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，AB n ∵，121l l n ++=∴，211l n l =--∴()12111221291181d l l l n l l n t n t n =-=---=-+=⨯-+=-+∴是的一次函数，d t ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；4.5s t =5.5s d ∴当时，，5t =0d =∴，18510n ⨯-+=∴，91d =∴滑块从点到点所用的时间为，A B ()911910-÷=()s ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，27s B 2s ∴滑块从点到点的滑动时间为，B A 27102=--15s ∴滑块返回的速度为，()()91115=6m/s -÷∴当时，，1227t ≤≤()2612l t =-∴，()12911906121626l l t t =--=--=-∴，()12162661212234l l t t t -=---=-+∴与的函数表达式为；d t 12234d t =-+（3）当时，有两种情况，18d =由（2）可得，①当时，，010t ≤≤1891118t -+=解得：；6t =②当时，，1227t ≤≤1223418t -+=解得：，18t =综上所述，当或时，．6t =18t =18d =本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．91n =17、（2023·江苏连云港·中考真题试卷）【问题情境建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设ABCD 4,AB M =CD AE BM ⊥E ，试用含的代数式表示．,BC x AE y ==x y【由数想形新知初探】y x（2）在上述表达式中，与是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图【数形结合深度探究】x（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：y增大；②函数值的取值范围是∽∽∽在图像上存在四点A B C__________．（写出所有正确结论的序号）（3）根据函数图象可得①函数值②由(1)可得函数值，故函数值的范围为y AB <③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点四边形，故④正确；或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻ABC A ADE V ADE V A l 折，得到，则与成自位似轴对称．AFG ABC AFG(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①ABC 90ACB ∠=︒AC BC <CD AB ⊥D 与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是ABC ACD BAC BCD △DAC △DCB △________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，ABC ADE V Q DE P 使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；P Q (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连ABC D BC E ABC ABE C ∠=∠BAE CAD ∠=∠接，求证：．DE DE AC ∥【正确答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；②与成自位似轴对称，对称轴为BAC BCD △ ③与不成自位似轴对称，DAC △DCB △故①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取AC AB AE '=（3）证明：延长交于点BE AC本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19、（2022·江苏南通·中考真题试卷）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于。

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中考数学专题训练（附详细解析）材料阅读题、定义新1、（专题潍坊市）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（）.A.40B.45C.51D.56 答案：C ．考点:新定义问题.点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题，分析问题，解决问题的能力.2、（专题东营中考）若定义：(,)(,)f a b a b =-， (,)(,)g m n m n =-，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，则((2,3))g f -=（）A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)D ．(2,3)--6.B.解析：由题意得f(2,3)=(-2,-3),所以g(f(2,-3))=g(-2,-3)=(-2,3),故选B.3、（专题四川宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1； ③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4；④点（，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理．专题：新定义．分析：根据新定义得到1⊗3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x ⊗1=0得到x 2+x ﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得，解得﹣1＜x ＜4，可对③进行判断；根据新定义得y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，然后把x =代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．解答：解：1⊗3=12+1×3﹣2=2，所以①正确； ∵x ⊗1=0， ∴x 2+x ﹣2=0，∴x 1=﹣2，x 2=1，所以②正确；∵（﹣2）⊗x ﹣4=4﹣2x ﹣2﹣4=﹣2x ﹣2，1⊗x ﹣3=1+x ﹣2﹣3=x ﹣4， ∴，解得﹣1＜x ＜4，所以③正确；∵y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，∴当x =时，y =﹣﹣2=﹣，所以④错误．故选C ．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组． 4、（专题•舟山）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2）．例如，A （﹣5，4），B （2，﹣3），A ⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，则C ，D ，E ，F 四点（） A ．在同一条直线上 B ．在同一条抛物线上 C ．在同一反比例函数图象上 D ．是同一个正方形的四个顶点考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义运算得出（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），则x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，若令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上．解答：解：∵对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A ⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2），如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），那么C ⊕D=（x 3+x 4）+（y 3+y 4）， D ⊕E=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）， E ⊕F=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）， F ⊕D=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），又∵C ⊕D=D ⊕E=E ⊕F=F ⊕D ，∴（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， ∴x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上， ∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．故选A ．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．5、（专题达州）已知()()11f x x x =⨯+，则()()11111112f ==⨯+⨯()()11222123f ==⨯+⨯……已知()()()()1412315f f f f n ++++=，求n 的值。

解析：由题知f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n) =211⨯+321⨯+431⨯+…+)1(1+n n =1-21+21-31+31-41+…+n 1-11+n=1-11+n ………………………(4分）=1+n n .………………………(4分）又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)=1514,∴1+n n =1514. 解得n=14.………………………(6分）经检验，n=14是上述方程的解. 故n 的值为14.………………………(7分）6、 (专题临沂) 对于实数a,b,定义运算“﹡”：a ﹡b=22(),).a ab a b ab ba b ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩（例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡224428=-⨯=.若12,x x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则1x ﹡2x = 答案：3或-3解析：（1）当12x =，2x ＝3时，1x ﹡2x =2233⨯-＝－3；（2）当13x =，2x ＝2时，1x ﹡2x =2332-⨯＝3；7、（专题•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是 ﹣1或4 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：新定义．分析：根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．解答：解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1，则实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或4点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．8、（专题•牡丹江）定义一种新的运算a﹠b=a b，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= 81．考点：有理数的乘方．专题：新定义．分析：首先根据运算a﹠b=a b，把所求的式子转化为一般形式的运算，然后计算即可求解．解答：解：（3﹠2）﹠2=（32）2=92=81．故答案是：81．点评：本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是关键．9、（专题菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）（写出1个即可）．考点：等边三角形的性质．专题：新定义；开放型．分析：根据等边三角形的性质，（1）最长的面径是等边三角形的高线；（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．解答：解：如图，（1）等边三角形的高AD是最长的面径，AD=×2=；（2）当EF∥BC时，EF为最短面径，此时，（）2=，即=，解得EF=．所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）．故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．10、（专题成都市）若正整数n 使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，个数位上均不产生进为现象，则称n 为“本位数”，例如2和30是 “本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为____. 答案：711解析：各位数上均不进位，那么n 的个位数上只能是0,1,2，否则就要在个位上发生进位，在大于0小于100的数中，一位数的本位数有1,2.两位数中十位数字不能不超过3，否则向百位进位，所以有3×3=9个，分别为10,11,12,20,21,22,30,31,32,其中偶数有7个，共有11个本位数，所以其概率为71112、（专题达州）选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。

例如①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--； ②选取二次项和常数项配方：(()22422224x x x x -+=+，或((22422422x x x x -+=+-+ ③选取一次项和常数项配方：2224222xx x -+=-根据上述材料，解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值。

解析：：（1）284x x -+＝x 2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或284x x -+＝（x-2）2-4x(2)2)2(432)2(3322=-++=+-++yyxyyyxxX=-1,y=2.因此x y=(-1)2=113、（专题济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程﹣=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．（1）求m和k的值；（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根．考点：解分式方程；根与系数的关系．专题：阅读型．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．解答：解：（1）分式方程去分母得：m﹣1﹣x=0，由题意将x=1代入得：m﹣1﹣1=0，即m=2，将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=﹣5；（2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3．点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14、（专题•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2专题的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+2专题，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+2专题+22014将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+2专题=22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．考点：同底数幂的乘法．专题：计算题．分析：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；（2）同理即可得到所求式子的值．解答：解：（1）设S=1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）．点评：此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．15、（专题•十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[﹣π]=﹣4．（1）如果[a]=﹣2，那么a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：（1）根据[a]=﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出a的解即可；（2）根据题意得出3≤[]＜4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．解答：解：（1）∵[a]=﹣2，∴a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1，（2）根据题意得：3≤[]＜4，解得：5≤x＜7，则满足条件的所有正整数为5，6．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．16、（专题河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2⨯(2－5)+1＝2⨯(－3)+1＝－6+1＝－5（1）求（－2）⊕3的值（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图13所示的数轴上表示出来.解析：（1）(2)32(23)1-⊕=-⨯--+2(5)1=-⨯-+=10+1 =11 （2）∵3x ⊕<13 ∴3(3)113x -+<93113x -+< 33x -< 1x >-数轴表示如图1所示17、（专题济宁）阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b ≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a ﹣+b ≥0． ∴a+b ≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y 最小=4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升． ∴y=x ×（+）=（70≤x ≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升，点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料． 18、（专题•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4+2=（1+1）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？考点：二次根式的混合运算．分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．解答：解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．点评：本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．19、（专题•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．考点：相似形综合题．分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．20、（专题•益阳）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为．注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可；（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可．解答：（1）解：由，解得：，．则A，B两点的坐标分别为：A（，3﹣），B（，3+），∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3），又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，∴C点坐标为（，）．（2）证明：由两点间距离公式得：AB==5，PC=|3﹣|=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形．（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，3﹣），∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，∴CG=AH=|﹣|=．又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，根据数形结合得出H 点坐标是解题关键． 21、(专题黄石)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。

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