1.极限存在条件
A x f x f A x f x x ==⇔=+
-→)()()(lim 000
2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:
)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim
3.
法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-⇔=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。 性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两
)(,,0lim
)1(αβαβα
β
o ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;,,lim
)2( 较高阶的无穷小是比或者说
较低阶的无穷小是比就说如果βααβα
β
∞= ;),0(lim
)3(是同阶的无穷小与就说如果αβα
β
≠=C C C=1时，为等价无穷小。 无穷小
阶的
的是就说如果k k C C k
αβαβ
),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==
)0()(lim )(lim )()(lim
)3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==•=•=•±=±=±B B
A
x g x f x g x f B A x g x f x g x f B A x g x f x g x f
推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =
则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim [= 例题11lim 22--→x x x 11
lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 22
22--=→→→x x x x x 3
1= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,
,,,0,,lim 0
110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞
→求 )2(lim 2
x x x x -+∞
→x
x x x x x x x ++++-+=∞
→2)
2)(2(lim
2
22
x
x x x ++=∞
→22lim
21212
lim
2++=∞
→x
x =1 9.两个重要的极限
例题nx mx x sin sin lim 0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx
nx mx mx n m x sin sin lim 0⋅
⋅=→
n m nx nx mx mx n m x x =⨯=
→→sin lim sin lim 00
x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1sin lim ∞→1sin lim 0==→t t
t
例题x x x 3)21(lim -∞→求 x
x x
3)21(lim -∞→)3)(2
(2]
)21[(lim x x x
x x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x x
x 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→x
x x )121(lim -+=∞→⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+-+
=-∞→)121(])121[(lim 221
x x x x 221e e =•=
解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])1
1[(lim )1
1(lim e e
e x
x x x x
x ==-+=---∞→∞→
10.函数在一点连续的充分必要条件是
;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0
存在x f x x →).()(lim )3(00
x f x f x x =→
11.
.
)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ⇔
12.
满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.
;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0
不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00
x f x f x f x x x x ≠→→但存在
跳跃间断点
.
)(),(lim )(lim ,
,)(000
断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠
可去间断点
.
)(,)(),()(lim ,
)(00000
的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（x
x 1sin
lim 0
→） 13.例题.)
1ln(lim 0x
x x +→求 x
x x 1
0)1ln(lim +=→原式e ln ==1
14.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(0'
0'x f x f -+=
16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
. .0)(常数的导数是零='C .)(1-='n n nx x cos )(sin x x =' sin )(cos x x -='
a x x a ln 1)(log =
' x
x 1)(ln =' .csc )(cot 2x x -=' .sec )(tan 2
x x =' x x x tan sec )(sec =' .cot csc )(csc x x x -=' a a a x x ln )(=' x x e e =')(
)(arcsin 'x .112
x -=
.11)(arccos 2
x x --
=' ;11
)(arctan 2
x x +=
'
