相对论与量子力学基础习题

量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。

答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。

答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。

答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。

答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。

答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。

答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。

2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。

答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。

相对论、量子理论练习题解一．选择题1．D ．2．D ．3．A ．4．B ．5.A 6.B 7.A 8.A 二．填空题1． 光速不变，真空中的速度是一个常量，与参考系和光源的运动无关。

狭义相对性，物理规律在所有惯性系中具有相同的形式。

2． 同时，不同时。

3． 与物体相对静止的参考系中所测量的物体，本征长度最长，绝对。

4． 同一地点，本征时间最短。

5． 等效，弱，引力场同参考系相当的加速度等效；广义相对性原理；物理学规律对任何以加速度抵消掉该处引力场的惯性系都具有相同的形式。

6． 引力红移；雷达回波延迟 ； 水星近日点的进动，或光线在引力场中偏折。

7． 1.33X10-23 .8． 德布罗意波是概率波，波函数不表示实在物理量在空间的波动，其振幅无实在物理意义。

9． 自发辐射，受激辐射，受激辐射。

10． 受激辐射，粒子数反转分布，谐振腔。

11． 相位 ,(频率, 传播方向, 偏振态。

12． 能量，能量，动量。

三．小计算题 1.cv c v c v x t cv x c v t t 6.0541451145450's 4'11)''(22222222=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-====∆=∆-=∆+∆=∆γγγγγcv l l c v l l c v l l 8.0531531.222202=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=－光年光年c v c v v c v c v c v c v c v c v t c t v c v x x tcx t S 171616171616)1(1611641'1'164''.322222222222=∴=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆∆==∆=∆光年原长年（原时）系32m 075.03.05.05.0m3.06.05.01=⨯⨯==⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=V c v l l 沿运动方向长度收缩5. MeV49.1eV 1049.11051.01000.2eV 1051.0J 102.81099.811091011.966620261415163120=⨯=⨯-⨯=-=⨯=⨯≈⨯=⨯⨯⨯=---c m mc E c m K6.c v c v c v c v c v c v c v c m c m mc E K 359413211123111211115.04111122222220202=∴=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=7.120201020102010202002201010011222)(221)4()3()4()()2()3()()1(ννννννννννννννννννννννν-=-=--=-=--=-+==-+=eU h h eU h eU h h eU h8.120201020102010202002201010011222)(221)4()3()4()()2()3()()1(ννννννννννννννννννννννν-=-=--=-=--=-+==-+=eU h h eU h eU h h eU h9.13)(44431212323212121020222022======v v nn v v n r r n r e r m e v r e r v m n n nn n n πεεππε10.aaa a a a aa 2122122145cos 16523cos12265=⋅-=⋅-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ψππψ概率密度四、大计算题1. (1)对不同金属斜率相同。

高二历史相对论与量子论试题1.以下与牛顿相关的是：①作用力与反作用力②万有引力③加速度④量子论A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【答案】B【解析】本题主要考查学生对牛顿在科学方面的贡献，回顾已学知识可知牛顿的经典力学的内容包括，物体运动三大定律：惯性定律、加速度定律、作用力和反作用力定律，万有引力定律，据此①②③均与牛顿有关，符合题意，而④是由普朗克于1900年所提出，不合题意，故选B。

【考点】近代科学技术·经典力学·牛顿经典力学、相对论和量子论2.下列关于爱因斯坦的成就表述有误的是（）A．狭义相对论的提出验证了牛顿力学的时空观念B．广义相对论的提出改变了人们对宇宙的认识C．对光电效应的研究推动了量子力学发展D．在宇宙学、统一场论等物理学的其他领域也取得重大成果【答案】A【解析】本题考查了学生对爱因斯坦在物理学上取得成就的准确记忆，联系已学知识可知德国物理学家爱因斯坦经过多年研究，提出了相对论，包括狭义相对论和广义相对论，而狭义相对论的提出改变了牛顿力学的时空观念，即空间和时间在物体运动时，会随着物体运动速度的变化而变化，由此分析可知A的表述不合史实，其他均符合爱因斯坦的成就，故选A。

【考点】近代科学技术·物理学的重大进展·爱因斯坦3. 20世纪初，提出光量子假说，解决经典物理学无法解释的光电效应问题的科学家是( )A．普朗克B．麦克斯韦C．玻尔D．爱因斯坦【答案】D【解析】 20世纪初，爱因斯坦提出光量子假说，解决了经典物理学无法解释的光电效应问题，由此可知选D项。

普朗克提出了量子假说，麦克斯韦建立了完整的电磁场理论体系，玻尔提出了有关原子的量子理论，故排除A、B、C三项【考点】中外历史人物评说·杰出的科学家·牛顿、爱因斯坦。

4. 1999年12月，在20世纪最后一期的《时代》周刊中，评出了一位“世纪人物”。

该刊物称赞他为“天才、政治难民、人道主义者、原子弹和宇宙迷的开启者”，“以其伟大的思想和无与伦比的形象独占鳌头”。

第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。

[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。

高三历史相对论与量子论试题答案及解析1.爱因斯坦在1935年指出“（甘地的不抵抗）只有在理想的条件下才可实行，在印度实行不抵抗主义来反对英国也许是行得通的，但是在今天的德国却不能用这种办法来反对纳粹。

” 据材料并结合所学指出下列各项中符合史实的是：A．爱因斯坦直接参与原子弹研制，之后反对核战争B．两人都赞成和平斗争，都因条件变化而调整策略C．两人都重视现代科技，并重视其对人类的双刃性D．甘地的非暴力不合作运动是一场特殊的空想运动【答案】B【解析】该题属于史实判断型选择题，旨在考查学生对史实的记忆与理解的准确性。

题中涉及爱因斯坦与甘地二人关于战争的相关思想的比较。

根据相关史实，B项表述正确，二人在历史条件和状况变化之后变成了新的斗争思想。

【考点】现代科学技术·相对论和量子论·爱因斯坦2.某理论以一种全新的模式重建了宇宙体系，认为宇宙是有限的，物体不只是三维空间，而是四维的，长、宽、厚与时间组成四维的“时空连续统一体”。

该理论A．大大加强了人类对微观世界的研究B．为人们发现海王星提供了理论依据C．为经典力学的创立奠定了理论基础D．改变了人们认识世界的角度和方式【答案】D【解析】首先要正确理解材料的内容，材料叙述的是爱因斯坦的相对论的内容，其次对应备选项来筛选答案。

A项是量子力学理论创立的意义，所以排除A项。

B项内容是牛顿的经典力学理论的意义，所以排除B项。

C项明显错误。

【考点】现代科学技术·相对论和量子论·相对论3. 1922年12月，一部名为《爱之光》的剧本基本剧情是：一位科学博士以前认为，时间先生和空间小姐毫无联系、相对独立，所以在科学研究中遇到许多无法克服的困难。

一天，光之神给他带来了重要灵感。

最后，科学博士摘下了他的“有色眼镜”，明白了时间先生和空间小姐的本质联系。

该剧情反映的科学成就A．说明了物体的颜色形成原理，奠定近代光谱学的基础B．是人类对自然界认识上的第一次理论大综合C．成为天文学上的基础定律，可以解释潮汐现象D．是原子能科学、宇宙航行等科学的理论基础【答案】D【解析】本题主要考查学生对材料的理解能力。

高中物理练习题相对论与量子力学高中物理练习题：相对论与量子力学一、选择题1. 相对论和量子力学是物理学的两个重要分支，它们的研究对象分别是：A. 大尺度物体和微观粒子B. 中尺度物体和宏观粒子C. 小尺度物体和微观粒子D. 大尺度物体和宏观粒子2. 相对论的基本假设是：A. 光速是恒定不变的B. 力和质量有关C. 粒子在运动中会发生缩短D. 粒子的能量与其速度无关3. 根据相对论的理论，当物体的速度接近光速时，会出现以下哪种现象：A. 时间变慢B. 质量增加C. 长度缩短D. 以上都是4. 照相机快门曝光时间为1/100秒。

如果某物体的速度接近光速，观察者会发现物体在照片中出现：A. 模糊的轨迹B. 缩短的长度C. 变暗的颜色D. 像静止不动的物体一样5. 量子力学主要用于解释以下哪种现象：A. 微观粒子的性质和行为B. 宏观物体的运动规律C. 光的传播和干涉现象D. 引力和电磁力的作用机制6. 下列哪个原子模型与量子力学的观点一致：A. 托姆孙模型B. 伦琴模型C. 玻尔模型D. 俄歇模型7. 量子力学中的不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量不能同时精确确定B. 粒子的能量和时间不能同时精确确定C. 粒子的质量和电荷不能同时精确确定D. 粒子的自旋和角动量不能同时精确确定8. 以下哪个理论是建立在相对论与量子力学基础上的：A. 热力学B. 牛顿力学C. 引力理论D. 场论二、解答题1. 请解释相对论和量子力学在物理学研究中的地位和作用。

2. 质量、速度和能量之间的关系是相对论和量子力学的重要内容，请解释其关系并给出相关公式。

3. 请简要描述相对论中的时间膨胀和长度收缩现象，并说明其实验证据。

4. 请解释量子力学中的波粒二象性，并结合实验现象进行说明。

5. 不确定性原理是量子力学中的基本原理，请解释其原理内容及其对物理世界的理解产生的影响。

三、应用题1. 假设你是一名物理学家，如果你要进行一项关于量子力学的实验，你会选择什么实验方法和仪器，你希望从实验中获得什么样的结果？2. 请就质子与电子的波粒二象性、位置的不确定性和速度的不确定性进行比较，并说明量子力学的解释。

2024高考物理相对论基础习题集及答案一、选择题1. 相对论的提出是基于下列哪个实验事实？A. 光的传播速度是恒定的B. 物体的质量与速度无关C. 质量与能量的转化关系D. 质量对时间的影响2. 相对论中的洛伦兹变换用于描述什么？A. 物体在运动过程中的能量变化B. 速度趋近于光速时的时间变化C. 光在不同参考系中的传播速度D. 物体速度相对于观察者的变化3. 根据爱因斯坦的相对论，下列哪个命题是正确的？A. 时间是绝对恒定的B. 物体的质量越大，速度越大C. 光在真空中的速度是恒定的D. 空间的长度会随时间变化4. 在相对论中，同时性是相对的概念，这意味着什么？A. 不同参考系中的事件发生时间可能不同B. 运动物体会比静止物体时间快C. 光的速度与参考系无关D. 远离观察者的物体速度越快5. 根据爱因斯坦的质能方程E=mc^2，我们可以得出什么结论？A. 能量与速度成反比B. 质量与能量之间存在等效关系C. 能量可以转化为质量D. 质量可以转化为能量二、填空题1. 爱因斯坦的相对论是基于对光速不变的观察而提出的。

2. 相对论中的洛伦兹变换可以描述运动物体的时空坐标变换。

3. 根据相对论，光的速度在任何参考系中都是恒定的。

4. 相对论中的同时性是相对的，不同参考系中的事件发生时间可能有差异。

5. 爱因斯坦的质能方程E=mc^2描述了质量与能量之间的等效关系。

三、解答题1. 请简要说明相对论的基本概念和原理。

相对论是由爱因斯坦在20世纪初提出的一种物理理论，它主要包括狭义相对论和广义相对论两个部分。

狭义相对论是基于光速不变原理提出的，它指出光的传播速度在任何惯性参考系中都是恒定的。

根据狭义相对论，物体的质量会增加、长度会收缩、时间会变慢等效应将随着物体的速度接近光速而变得显著。

狭义相对论还引入了洛伦兹变换来描述时空坐标的变换。

广义相对论是在狭义相对论的基础上发展起来的，它建立在等效原理的基础上。

广义相对论认为，物体的引力与其所在区域的时空弯曲有关，而不仅仅是质量的作用。

13-12. 如果一个光子的能量等于一个电子的静止能量，问该光子的频率、波长和动量各是多少? 在电磁波谱中属于何种射线?解：设电子的静止质量为m e 0，相应的静止能量为E e 0，一个光子的能量为E 。

则200,e e E m c E h ν==。

由题意有：0e E E =，即有：20e h m c ν=所以该光子的频率为：23182200349.1110(310)Hz=1.2410Hz 6.6310e m c h ν--⨯⨯⨯==⨯⨯ 光子波长为：1232.4310m=2.4310nm cλν--==⨯⨯光子动量为：220 2.7310kg m/s e E hp m c c λ-====⨯⋅ 在电磁波中属于γ射线13-23. 设电子与光子的波长均为λ，试求两者的动量之比以及动能之比。

解：设电子与光子的动量分别为p e 和p o ，动能分别为E e 和E o 。

根据德布罗意关系：λ=h /p ，且λe =λo =λ，则电子与光子的动量之比为：oo 1e ep p λλ== 光子动能可表示为：83416o 9310 6.6310J 3.97810J 2.486KeV 0.5010hE h c cp νλ---⨯⨯⨯====≈⨯≈⨯ 电子的静能为：231821409.1110(310)J 8.2010J 0.512MeV m c --=⨯⨯⨯≈⨯≈电子动能：2022022)(c m c m c p E e -+=，由以上计算知：20c m c p pc e <<=所以电子动能：222222000024001(1)22e p c p E m cm c m c m c m c m =≈+-= 则电子与光子的动能之比为：230o o 00/2 2.431022e e e E p m p hE cp cm cm λ-===≈⨯13-24. 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。

《第6章相对论与量子论初步》试卷(答案在后面)一、单项选择题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）1、以下哪个物理学家是相对论的主要创立者？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 麦克斯韦D. 普朗克2、量子力学中，下列哪个概念描述了电子等微观粒子的波动性？A. 波粒二象性B. 量子态C. 波函数D. 概率波3、在狭义相对论中，如果一个物体的速度接近光速，那么以下哪个现象是不正确的？A. 物体的长度会在运动方向上收缩B. 物体的质量会随速度增加而增加C. 物体的时间间隔会变长D. 物体的速度会超过光速4、在量子力学中，以下哪个概念描述了粒子位置的不确定性？A. 动量B. 波函数C. 能量D. 德布罗意波长5、在狭义相对论中，物体的质量与速度的关系可以用以下哪个公式表示？A. m = m0 / (1 - v2/c2)B. m = m0 * (1 - v2/c2)C. m = m0 + v2/c2D. m = m0 * (1 + v2/c2)6、以下哪个概念与量子力学中的不确定性原理有关？A. 普朗克常数B. 爱因斯坦质能方程C. 洛伦兹因子D. 波粒二象性7、在狭义相对论中，如果一个物体的速度接近光速，那么以下哪个效应最为显著？（）A. 物体的质量会减小B. 物体的长度会变短C. 物体的时间会变慢D. 物体的速度会无限增大二、多项选择题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在狭义相对论中，以下哪个现象说明了时间和空间的相对性？A. 火箭发射时的时钟比地面上的时钟走得慢B. 地面上的钟比高速运动的火箭上的钟走得快C. 光速在所有惯性参考系中都是恒定的D. 地面上的物体在高速运动时质量会减小2、量子力学中，以下哪个原理描述了粒子的波粒二象性？A. 波粒二象性原理B. 不确定性原理C. 海森堡矩阵力学D. 波函数坍缩原理3、在爱因斯坦的狭义相对论中，以下哪个结论是正确的？A. 物体的质量随着速度的增加而增加B. 物体的长度在静止参考系中测量总是比在运动参考系中测量长C. 光速在所有惯性参考系中都是恒定的D. 时间膨胀效应只有在接近光速的情况下才会显著三、非选择题（前4题每题10分，最后一题14分，总分54分）第一题：1.请结合爱因斯坦的狭义相对论和普朗克的量子理论，简要阐述相对论与量子论在物理学发展中的意义及其对现代物理学的影响。

习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。

解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c=+ 可得p ===h p λ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmE h 12220107.722p h -⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。

已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095k λϕ--⨯=== ， 5.48ϕ= 22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。

22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hc v v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kT hc kThc e kT hc ehc λλλλλπρ⇒0115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。