跟我学《大学物理》(上)_ 狭义相对论(一)_重点难点讲解_

⼤学物理上册（第五版）重点总结归纳及试题详解第⼗五章狭义相对论基础第⼗五章狭义相对论基础⼀、基本要求1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。

2. 了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进⾏计算。

3. 了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。

4. 理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，并能分析计算⼀些简单问题。

⼆、基本内容1.⽜顿时空观⽜顿⼒学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进⾏，但时间的流逝和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。

按⽜顿的说法是“绝对空间，就其本性⽽⾔，与外界任何事物⽆关，⽽永远是相同的和不动的。

”，“绝对的，真正的和数学的时间⾃⼰流逝着，并由于它的本性⽽均匀地与任何外界对象⽆关地流逝着。

”以上就构成了⽜顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系⽆关。

2．⼒学相对性原理所有惯性系中⼒学规律都相同，这就是⼒学相对性原理（也称伽利略相对性原理）。

⼒学相对性原理也可表述为：在⼀惯性系中不可能通过⼒学实验来确定该惯性系相对于其他惯性系的运动。

3. 狭义相对论的两条基本原理（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是⼀样的，不存在任何⼀个特殊的（例如“绝对静⽌”的）惯性系。

爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或⼒学相对性原理）的推⼴，它使相对性原理不仅适⽤于⼒学现象，⽽且适⽤于所有物理现象。

（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。

光速不变原理是当时的重⼤发现，它直接否定了伽利略变换。

按伽利略变换，光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。

这⼀原理是⾮常重要的。

没有光速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成⽴了。

这两条基本原理表⽰了狭义相对论的时空观。

4. 洛仑兹变换()--='='='--='2222211c u xc u t t z z y y c u ut x x （K 系->'K 系）()-'+'='='=-'+'=2222211c u x c u t t z z y y c u t u x x （K 系->'K 系）令u c β=，γ=①当0→β，γ=1得ut x x -='，,',','t t z z y y ===洛仑兹变换就变成伽利略变换。

大学物理1(上)知识点总结一维运动学参考系是用来确定物体位置的物体。

为了进行定量描述，需要在参考系上建立坐标系。

位置矢量（位矢）是从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，用矢量r表示。

位矢用于确定质点在空间中的位置。

位矢与时间t的函数关系为：r = r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中i、j、k是坐标轴的单位向量。

运动方程是指位移矢量Δr = r(t+Δt) - r(t)。

位移矢量是质点在时间Δt内的位置改变。

轨道方程是质点运动轨迹的曲线方程。

速度是质点位矢对时间的变化率。

平均速度定义为单位时间内的位移，即Δr/Δt。

速率是质点路程对时间的变化率，即v = ds/dt。

加速度是质点速度对时间的变化率，即a = dv/dt。

在圆周运动中，有法向加速度和切向加速度。

法向加速度的方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。

切向加速度的方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。

角速度的方向沿轨道切线，反映速度方向的变化。

对于两个相互作平动的参考系，有r'pk = rpk + rkk'，vpk= vpk' + vkk'，apk = apk' + akk'。

掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。

理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。

理解XXX坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。

功是力和位移的标积，即dA = F·dr = Fds·cosθ。

对质点在力作用下的有限运动，力作的功为A = ∫F·dr。

在直角坐标系中，此功可写为。

角动量定理指出，质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。

其中，质点的角动量可以表示为L=r×p=r×mv，其中r为质点到某一固定点的位置矢量，p为质点的动量。

大学物理相对论目录相对论基本概念狭义相对性原理光速不变原理质能关系030201等效原理广义协变原理引力场方程相对论与经典物理关系相对论是经典物理的延伸和发展，解决了经典物理在高速和强引力场下的困境。

相对论和经典物理在低速和弱引力场下是一致的，但在极端条件下存在显著差异。

相对论揭示了时间和空间的相对性，以及质量和能量的等价性，这些概念在经典物理中是没有的。

狭义相对论基本原理洛伦兹变换同时性相对性在一个惯性参考系中同时发生的两个事件，在另同时性相对性是狭义相对论的基本原理之一，与长度收缩和时间膨胀010203广义相对论基本原理等效原理弱等效原理强等效原理引力场与以适当加速度运动的参考系是等价的。

弯曲时空概念时空弯曲测地线爱因斯坦场方程场方程形式$R_{munu} -frac{1}{2}g_{munu}R + Lambda g_{munu} = frac{8piG}{c^4}T_{munu}$，其中$R_{munu}$ 是里奇张量，$g_{munu}$ 是度规张量，$R$ 是标量曲率，$Lambda$ 是宇宙学常数，$G$ 是万有引力常数，$c$ 是光速，$T_{munu}$ 是能量-动量张量。

场方程的物理意义描述了物质如何影响时空的几何结构，以及时空几何结构如何影响物质的运动。

狭义相对论在物理学中应用质能关系及核能计算核反应能量计算质能方程在核反应中，质量亏损对应的能量释放遵循质能方程，可计算核反应释放的能量。

核裂变与核聚变1 2 3放射性衰变粒子衰变动力学衰变产物的检测与分析粒子衰变过程分析高速运动物体观测效应长度收缩效应时间膨胀效应质速关系及质能变化广义相对论在物理学中应用宇宙微波背景辐射广义相对论预测了宇宙微波背景辐射的存在，这是宇宙大爆炸后遗留下来的热辐射，为宇宙大爆炸理论提供了有力证据。

宇宙大爆炸理论广义相对论为宇宙大爆炸理论提供了理论框架，解释了宇宙的起源、膨胀和演化。

暗物质与暗能量广义相对论在解释宇宙大尺度结构形成和宇宙加速膨胀时，提出了暗物质和暗能量的概念，这些物质和能量对于理解宇宙的演化至关重要。

o 第2章 质点动力学一、质点：是物体的理想模型。

它只有质量而没有大小。

平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。

二、力：是物体间的相互作用。

分为接触作用与场作用。

在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。

1、弹性力：（为形变量）2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。

固体间的静摩擦力： （最大值）固体间的滑动摩擦力：3、流体阻力： 或。

4、万有引力：特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。

式中R 为地球半径，M 为地球质量。

在地球上方（较大），。

在地球内部（），。

三、惯性参考系中的力学规律 牛顿三定律牛顿第一定律：时，。

牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了惯性系。

牛顿第二定律：普遍形式：；h经典形式： （为恒量）牛顿第三定律：。

牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。

四、非惯性参考系中的力学规律1、惯性力：惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。

但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。

2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：五、求解动力学问题的主要步骤恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。

变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。

第3章 机械能和功一、功1、功能的定义式：恒力的功：变力的功：2、保守力若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。

或满足下述i关系的力称保守力：3、几种常见的保守力的功：（1）重力的功：（2）万有引力的功：（3）弹性力的功：4、功率二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。

由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。

1、常见的势能有（1）重力势能（2）万有引力势能（3）弹性势能2、势能与保守力的关系（1）保守力的功等于势能的减少（2）保守力为势能函数的梯度负值。

《大学物理》（上） 知识点、重点及难点 质 点 运 动 学知识点：1． 参考系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。

要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。

2． 位置矢量与运动方程 位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。

位矢用于确定质点在空间的位置。

位矢与时间t 的函数关系：k ˆ)t (z j ˆ)t (y iˆ)t (x )t (r r ++==ϖϖ称为运动方程。

位移矢量：是质点在时间△t内的位置改变，即位移：)t (r )t t (r r ϖϖϖ-+=∆∆轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。

3． 速度与加速度平均速度定义为单位时间内的位移，即：t r v ∆∆ϖϖ=速度，是质点位矢对时间的变化率：dtrd v ϖϖ=平均速率定义为单位时间内的路程：ts v ∆∆=速率，是质点路程对时间的变化率：dsdtυ=加速度，是质点速度对时间的变化率：dtvd a ϖϖ=4． 法向加速度与切向加速度加速度 τˆa n ˆa dt vd a t n +==ϖϖ 法向加速度ρ=2n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。

切向加速度dtdva t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。

在圆周运动中，角量定义如下：角速度 dt d θ=ω 角加速度 dtd ω=β 而R v ω=，22n R R v a ω==，β==R dtdv a t 5． 相对运动对于两个相互作平动的参考系，有'kk 'pk pk r r r ϖϖϖ+=，'kk 'pk pk v v v ϖϖϖ+=，'kk 'pk pk a a a ϖϖϖ+=重点：1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。

2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。

《大学物理》（上） 知识点、重点及难点质 点 运 动 学知识点： 1． 参考系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。

要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。

2． 位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。

位矢用于确定质点在空间的位置。

位矢与时间t 的函数关系：k ˆ)t (z j ˆ)t (y i ˆ)t (x )t (r r ++==称为运动方程。

位移矢量：是质点在时间△t 内的位置改变，即位移：)t (r )t t (r r-+=∆∆轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。

3． 速度与加速度平均速度定义为单位时间内的位移，即：t r v ∆∆=速度，是质点位矢对时间的变化率：dtr d v =平均速率定义为单位时间内的路程：tsv ∆∆=速率，是质点路程对时间的变化率：dsdtυ=加速度，是质点速度对时间的变化率：dtv d a =4． 法向加速度与切向加速度加速度 τˆa n ˆa dt vd a t n +==法向加速度ρ=2n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。

切向加速度dtdv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。

在圆周运动中，角量定义如下： 角速度dt d θ=ω 角加速度dtd ω=β 而R v ω=，22n R R v a ω==，β==R dtdv a t5． 相对运动对于两个相互作平动的参考系，有'kk 'pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a+=重点：1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。

2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。

第14章狭义相对论基础自从十七世纪,牛顿的经典理论形成以后,直到二十世纪前,它在物理学界一直处于统治地位.历史步入二十世纪时,物理学开始深入扩展到微观高速领域,这时发现牛顿力学在这些领域不再适用.物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明的基本概念作出根本性的改革.从而出现了相对论和量子理论.本章介绍相对论的基本知识,在下章里将介绍量子理论的基本知识.§14.1 狭义相对论产生的历史背景一、力学相对性原理和经典时空观力学是研究物体运动的.物体的运动就是它的位置随时间的变化.为了定量研究这种变化,必须选择适当的参考系,而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意义的.在处理实际问题时,视问题的方便,我们可以选择不同的参考系.相对于任一参考系分析研究物体的运动时,都要应用基本的力学规律,这就要问对于不同的参考系,基本力学定律的形式是完全一样的吗？同时运动既然是物体位置随时间的变化,那么无论是运动的描述或是运动定律的说明,都离不开长度和时间的测量.因此与上述问题紧密联系而又更根本的问题是：相对于不同的参考系,长度和时间的测量结果是一样的吗？物理学对于这些根本性问题的解答,经历了从牛顿力学到相对论的发展.在牛顿的经典理论中,对第一个问题的回答,早在1632年伽利略曾在封闭的船舱里仔细的观察了力学现象,发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同.他写到：“在这里（只要船的运动是等速的）,你在一切现象中观察不出丝毫的改变,你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止,当你在地板上跳跃的时候,你所通过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同,”.据此现象伽利略得到如下结论：在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中,物体运动所遵循的力学规律是完全相同的,应具有完全相同的数学表达式.也就是说,对于描述力学现象的规律而言,所有惯性系都是等价的,这称为力学相对性原理.对第二个问题的回答,牛顿理论认为,时间和空间都是绝对的,可以脱离物质运动而存在,并且时间和空间也没有任何联系.这就是经典的时空观,也称为绝对时空观.这种观点表现在对时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者,对于任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们日常经验.依据绝对时空观,伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上,得出不同惯性参考系中物体的加速度是相同的.在经典力学中,物体的质量m又被认为是不变的,据此,牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了,这表明牛顿第二定律具有伽利略变换下的不变性.可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是不变的.所以说,伽利略变换是力学相对性原理的数学表述,它是经典时空观念的集中体现.二、狭义相对论产生的历史背景和条件19世纪后期,随着电磁学的发展,电磁技术得到了越来越广泛的应用,同时对电磁规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心,终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立.麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结,它完整的反映了电磁运动的普遍规律,而且预言了电磁波的存在,揭示了光的电磁本质.这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就.光是电磁波,由麦克斯韦方程组可知,光在真空中传播的速率为m/s 1098821800⨯=εμ=.c 它是一个恒量,这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关.按照伽利略变换关系,不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时,所得结果应各不相同.由此必将得到一个结论：只有在一个特殊的惯性系中,麦克斯韦方程组才严格成立,即在不同的惯性系中,宏观电磁现象所遵循的规律是不同的.这样以来,对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系,现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到,例如若能测出地球上各方向光速的差异,就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运动.为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异,人们不仅重新研究了早期的一些实验和天文观察,还设计了许多新的实验.迈克耳孙——莫雷实验就是最早设计用来测量地球上各方向光速差异的著名实验.然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明：在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同,即都等于c.这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果,它曾使当时的物理学界大为震动.为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物理学家,如洛伦兹等,曾提出各种各样的假设,但都未能成功.1905年,26岁的爱因斯坦另辟蹊径.他不固守绝对时空观和经典力学的观念,而是在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,从全新的角度来考虑所有问题.首先,他认为自然界是对称的,包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样,都应满足相对性原理,即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的,因而用任何方法都不能确定特殊的参考系；此外,他还指出,许多实验都已表明,在所有的惯性系中测量,真空中的光速都是相同的.于是爱因斯坦提出了两个基本假设,并在此基础上建立了新的理论——狭义相对论.§14.2 狭义相对论的基本原理一、狭义相对论的两个基本假设爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对论的如下两个基本假设1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,即一切惯性系都是等价的.它是力学相对性原理的推广和发展.2）光速不变原理：在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同一个恒量c,且与光源的运动状态无关.狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单,但却与人们已经习以为常的经典时空观及经典力学体系不相容.确认两个基本假设,就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽利略坐标变换关系和牛顿力学定律等,使之符合狭义相对论两个基本原理的要求.另一方面应注意到,伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的,因此它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似.即狭义相对论应包含牛顿力学理论在内,牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件（低速运动情况）下的近似.尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性.二、洛伦兹变换为简单起见,如图14.1所示,设惯性系S'（O' x'y' z' ）以速度υ相对于惯性系S （O xy z ）沿x （x'） 轴正向作匀速直线运动,x'轴与 x 轴重合,y' 和 z' 轴分别与 y 和 z 轴平行,S 系原点O 与S '系原点O '重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点.设P 为观察的某一事件,在S 系观察者看来,它是在t 时刻发生在（x,y, z ）处的,而在S'系观察者看来,它却在t '时刻发生在（x',y', z'）处.下面我们就来推导这同一事件在这两惯性系之间的时空坐标变换关系.在y (y')方向和z(z')方向上,S 系和S '系没有相对运动,则有：y' =y ，z'=z,下面仅考察(x 、t)和(x'、t')之间的变换.由于时间和空间的均匀性,变换应是线性的,在考虑 t=t'=0 时两个坐标系的原点重合,则x 和(x' +υt' )只能相)'(x x )',','(),,(z y x z y x P y 'y z 'z 'o o 图14.1 洛伦兹坐标变换差一个常数因子,即)''(t x x υ+γ= (14.1)由相对性原理知,所有惯性系都是等价的,对S'系来说,S 系是以速度υ沿x' 的负方向运动,因此,x' 和(x -υt)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有)('t x x υ-γ= (14.2)为确定常数γ,考虑在两惯性系原点重合时(t=t'=0),在共同的原点处有一点光源发出一光脉冲,在S 系和S'系都观察到光脉冲以速率c 向各个方向传播.所以有'',ct x ct x == (14.3)将式(14.3)代入式(14.1)和式(14.2)并消去 t 和 t' 后得2211c /υ-=γ (14.5)将上式中的γ代入式(14.2)得221c tx x /'υ-υ-= (14.6)另由式(14.1)和(14.2)求出t' 并代入γ的值得2222111cc x t t //)('υ-υ-=γυγ-+γ= 于是得到如下的坐标变换关系⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧υ-υ-===υ-υ-=2222211c cx t t zz y y c t x x //'''/' 逆变换−−−−−→−υ-→υ↔↔,','t t x x ϖ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧υ-υ+===υ-υ+=2222211c c x t t z z y y c t x x //''''/'' (14.7) 这种新的坐标变换关系称为洛伦兹(H.A.Lorentz,1853—1928)变换.显然,讨论：1）从洛伦兹变换中可以看出,不仅x' 是 x 、t 的函数,而且 t' 也是x 、t 的函数,并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关,这样洛伦兹变换就集中的反映了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念.这是与牛顿理论的时间、空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的.2）在c <<υ的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换.3）洛伦兹变换中,x'和t'都必须是实数,所以速率υ必须满足c ≤υ.于是我们就得到了一个十分重要的结论：一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c ,或者说真空中的光速c 是物体运动的极限速度.4)时钟和尺子。

五 机械振动知识点： 1、 简谐运动微分方程：0222=+x dtx d ω ,弹簧振子F=-kx,m k=ω, 单摆lg =ω 振动方程：()φω+=t A x cos振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。

πγπω22==T。

周期T, 频率γ。

ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：A=22020ωv x +,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：初始条件：t=0 1） 由得 2）由得 3）由0=x 00<v 0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0sin >ϕAx =000=v ϕcos A A =1cos =ϕAx -=000=v ϕcos A A =-1cos -=ϕ0=ϕ2/πϕ=πϕ=得 4）由得3简谐振动的相位：ωt+φ:1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态； 相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态； （φ取[-π→π]或[0→2π]）4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)加速度：a=)cos(2ϕωω+-t A简谐振动的能量：E=E K +E P = 221kA ,作简谐运动的系统机械能守恒4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：1）两个同向同频率的简谐振动的合成：X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ） 合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）其中 A=()12212221cos 2φφ-++A A A A ,tan 22112211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=。

相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A2极小若0=x 00>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0sin <ϕ)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v )(cos 2121222p ϕω+==t kA kx E 2/3πϕ=121,ϕϕ=>A A2） 两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：x=A 1cos （1φω+t ） ,y=A 2cos （2φω+t ）其轨迹方程为： 如果) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆πϕϕπ2)212<-<其合振动的轨迹为逆时针的椭圆相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。