幂的乘方PPT课件

4 3 3
m 4
=a .
15
动手试一试吧！
1. 填空： （1）(104)3=
1012 a9 -x15 x8
；
（2）(a3)3=
（3）-(x3)5= （4）(x2)3 · x2=
；
； .
2. 下面的计算对不对？如果不对， 应怎样改正？
（1）(a4)3=a7；不对，应是a4×3=a12. （2）(a3)2=a9. 不对，应是a3×2=a6.
结论
(am)n=amn(m，n都是正整数).
于是，我们得到幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘 ．
例4 计算：
（1）(10 ) ；
5 2
（ 2） - ( a ) .
3 4
（1） (105)2 解 (105)2 = 105×2
= 1010. （ 2） 解 -(a3)4 = -a3×4 -(a3)4
法则的逆用： amn =(am)n= (an)m (m，n都是正整数).
(am)2 =am+m =a2m
通过观察，你发现上述式子的 指数和底数是怎样变化的？
底数不变，指数相乘.
我思,我进步
同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即
n
个 am
（幂的意义）
(am)n =am· am·… · am n 个 m =am+m+ … +m
（同底数幂的乘法性质） （乘法的意义）
=amn
2
4
做一做
(62)4 = 62· 62· 6 2· 62 =68 2×4 ; 2+2+2+2 =6 =6
(a2)3 = a2· a 2· a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ;

证 明
=am+m+ … +m （同底数幂的乘法性质）
=amn （乘法的意义）
幂 的 乘 方 法则
(am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方，底数 不变 ， 指数 相乘.
阅读 体验 ☞例题解析
【例1】计算：
(1) (102)3 ;
(2) (b5)5 ;
(4) -(x2)m ; (5) (y2)3 ·y ;
V球
4 3
R3
甲球的半径是乙球的10倍，则 甲球的体积V甲= 36000 cm3 .
V甲 是 V乙 的 1000 倍
即 103 倍
如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球体积是乙球体积的 n3倍。
地球、木星、太阳可以近似地看作球体 。木星、太阳
的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约
是地球的 103 倍和 106 倍. (102)3=106，为什么？
底数 不变 ， 指数 相加 .
作作业业

(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
随随堂堂练练习习
1、计算： (1) (103)3 ; (2) -(a2)5 ; (3) (x3)4 ·x2 ; (4) [(-x)2 ]3 ; (5) (-a)2(a2)2; (6) x·x4 – x2 ·x3 .
解：(1) (62)4 = 62·62·62·62=62+2+2+2 =68 =62×4 ;
(2) (a2)3 = a2·a2·a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ;
(3) (amm)22=am·am =am+m=a2m ;

amn (am )n (an )m
幂的乘方的逆运算：
(1)x20=( x4 )5=(x5)4； (2)a2m =( am)2 =( a2 )m （m为正整数）.
(3) 已知3×9n=37，求：n的值．
课堂小结
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 (a m )n a mn (m、n都是正整数）.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
想一想：你会计算(a4)3和(x3)4吗？
试一试
计算：(1)(23)2 ； (3)(a3)5 ；
(2)(33)2 ； (4)(am)3.
(1) (23)2＝23×23＝23+3=2( 2×3 )；
(2) (32)3＝32×32×32＝3( 2+2+2 )=3(2×3 )；
乘方
不变
指数 相乘
(a m )n a mn (m、n都是正整数）
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等.
来几道吧:
计算 (1)(103)5； (2)(a4)4； (3)(am)2； (4)－(x4)3； (5)(-ym)2； (6)2(a2)6－(a3)4.
1、下列各式对吗？请说出你的观点和理由：
(3) (a3)5＝a3×a3×a3×a3×a3＝a( 3×5 ) (4) (am)3= am·am·am=a( 3m )
看看计算的结果有什么规律？
猜想 ：(a m )n _a_m_n __
(m、n都是正整数）
(am )n amamam （乘方的意义）
n个
n个
a的乘方的运算公式
你能用语言叙述这个 结论吗？
(a m )n a mn (m、n都是正整数）

木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103倍！ 太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的（102）3倍！ 你知道（102）3等于多少吗？
新知讲解
【做一做】 64表示___4___个____6___相乘. (62)4表示___4____个___6_2___相乘.
a3表示____3_____个___a_____相乘. (a2)3表示___3____个___a_2____相乘. （am）n表示___n___个___a_m___相乘.
新知讲解
【例】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m； (2)102n；
【解】(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4；
课堂练习
1.计算 (1)(a3)4;
(2)(xm－1)2； (3)[(24)3]3; (4)[(m－n)3]4.
猜想：(am)n=_a_m__n_.
新知讲解
验证猜想：一般的，对于任意底数a与任意正整数m,n,
n个am
n个m
（am）n= am·am·…·am = am+m+……+m =amn
即：(am)n= amn (m，n都是正整数） 幂的乘方，底数_不__变___，指数_相__乘___.
新知讲解
【比一比】
解： (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = －a2·a2·a6＋a10 = －a10＋a10 = 0.
课堂练习
3.已知10x＝m，10 y＝n，则102x＋3y等于( D )
A．2m＋3n
B．m2＋n3
C．6mn
D．m2n3
拓展提高
4. 比较3500,4400,5300的大小. 解析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过 观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.

2
2
16
（4）（3a4bm）n＝3n（a4）n（bm）n＝3na4nbmn.
经典例题
题型一 几种幂的综合运算
例1 计算:（1）（-2x2）3＋（-3x3）2＋（-x）6； （2）x2·x4·x6＋（x3）2＋［（-x）4］3. 、
题型一 几种幂的综合运算
例1 计算:（1）（-2x2）3＋（-3x3）2＋（-x）6； （2）x2·x4·x6＋（x3）2＋［（-x）4］3. 分析 按照先算乘方，再算乘除，最后算加减，若 有小括号先算小括号里的原则进行计算. 、
题型二 幂的运算法则的逆用
例2 计算:（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值； （2）已知2m＝3，2n＝4，求22m＋n的值.
题型二 幂的运算法则的逆用
例2 计算:（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值； （2）已知2m＝3，2n＝4，求22m＋n的值.
解析 （1）因为2×8x×16x＝222， 所以2×（23）x×（24）x＝222， 所以2×23x×24x＝222，所以,21＋3x＋4x＝222， 所以1＋3x＋4x＝22，解得x＝3. （2）因为2m＝3，2n＝4， 所以22m＋n＝（2m）2·2n＝9×4＝36.
题型一 几种幂的综合运算
例1 计算:（1）（-2x2）3＋（-3x3）2＋（-x）6； （2）x2·x4·x6＋（x3）2＋［（-x）4］3. 分析 按照先算乘方，再算乘除，最后算加减，若 有小括号先算小括号里的原则进行计算. 解析（1）原式＝-8x6＋9x6＋x6＝2x6. （2）原式＝x12＋x6＋x12＝2x12＋x6. 、
（3）
1
3
3
1
9
.
3 3
（4）（x4）3-2（x3）4＝x12-2x12＝-x12.

a33333
a35 a15
7
也就是：
(a4)3a43a12
(a3)5a35a15
8
想一想：幂的乘方，底数变不变？ 指数应怎样计算？
9
(a4)3a43a12
(a3)5a35a15
10
幂的乘方，底数不变， 指数相乘。
11
试计算：
(am)n ?
其中m , n都是正整数
12
幂的乘方法则：
(am )n amn
其中m , n都是正整数
13
这就是说， 幂的乘方，底数不变，
指数相乘。
14
例1 计算：
(1)1( 07)2;(2)(b3)3;(3)(a2m)4; (4)(y3)2;(5)[(2)2]3
15
解：
(1)1( 07)210721014
(4)(y3)2
16
[(y3)]2 ( y 3 ) 2
y23 y6
27
解：
[x (y)2]4(xy)24
(x y)8
28
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法 则有什么相同点和不同点？
29
幂的乘方法则：
(am )n amn
同底数幂的乘法法则：
am • an amn
其中m , n都是正整数
30
同底数幂相乘
am • an amn
指数相加Biblioteka 底数不变指数相乘其中m , n都是正整数
1
回忆:
同底数幂的乘法法则：
am • an amn
其中m , n都是正整数
2
练习
am • am a3 •a3 •a3
3
思考：怎样计算
(a ) , (a )

优生必做！ 应用提高、拓展创新 问题 如果甲球的半径是乙球的n倍，那 么甲球的体积是乙球的n 3 倍.地球、木星、太 阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径 分别约是地球的10倍和10 2 倍，它们的体积分 别约是地球的多少倍？
)m （m为正整数）.
2.填空：
(1) a6y3=( )3;
(2)81x4y10=( )2 ;
(3)若(a3ym)2=any8, 则m=
, n=
;
;
1 2004 (4) ) = 3 (5) 28×55= .
32004×(－
拓展延伸
(1)0.125
a b
2005
(8)
2006
(2)若10 2,10 3, 求10
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
幂的乘方法则顺口溜：
幂乘方，要牢记， 底不变，指数积。
作业
拓展训练
幂的乘方法则的逆用 mn m n
a
(a ) (a )
n m
1、幂的乘方的逆运算：
(1)x13·7=x（2 ）=( x4 )5=( x5 )4=( x2 )10； x
0
(2)a2m =( am )2 =( a2
幂的乘方的运算公式
你能用语言叙述这个 结论吗？
(a ) a
m n
mn
(m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
在幂的乘方运算中，指数运算降了一级，也就是 多重乘方也具有这一性质.如 m n p mn p 将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算，使问题简 [( a ) ] a （其中 m、n、p都是正整数）.
14.1.2 幂的乘方
反馈一:

点拨：102a＋103b＝(10a)2＋(10b)3＝52＋63＝241.
【规律总结】对于幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算， 先算乘方，再算同底数幂的乘法；幂的乘方与加减混合运算时， 先乘方，后加减，注意合并同类项．
幂的乘方法则的逆用 amn＝(am)n＝(an)m，即 x6＝(x2)3＝(x3)2. 例 2：已知 ax＝3，ay＝2，试求 a2x+3y 的值． 解：a2x＋3y＝a2x·a3y＝(ax)2·(ay)3＝32·23＝9×8＝72.
例 1：计算：
幂的乘方法则(重点)
(1)(x2)3；
(2)－(x9)8；
(3)(a3)2－(a2)3;
(4)(a2)3·a5.
思路导引：运用幂的乘方法则，运算时要先确定符号．
解：(1)(x2)3＝x2×3＝x6. (2)－(x9)8＝－x9×8＝－x72. (3)(a3)2－(a2)3＝a6－a6＝0. (4)(a2)3·a5＝a2×3·a5＝a6＋5＝a11.
第2课时 幂的乘方
幂的乘方 探究：1．64表示__4____个__6____相乘； (62)4表示____8__个____6__相乘． 2．a3表示___3___个___a___相乘； (a2)3表示____6__个____a__相乘． 归纳：幂的乘方，底数__不__变__，指数__相__乘__．用字母表示 为“(am)n＝___a_m_n___(m、n 为正整数)”．
1．(m2)3·m4等于( B )
A．m9
B．m10
C．m12
D．m14
Байду номын сангаас
2．计算： (1)[(x＋y)2]6＝____(_x_＋__y)_1_2__； (2)a8＋(a2)4＝_____2_a_8_____.

14.1.2 幂的乘方
第1页，共19页。
学习目标
1.根据同底数幂的乘法法则及乘方的定义推 导出幂的乘方的运算法则。 2.能利用幂的乘方的运算法则进行相应的计
算和化简。
3.进一步体会利用已学知识解决新问题的 化归思想。
第2页，共19页。
神奇的数学演变
加（减）→乘（除）→乘方（开方）
→
→
加 法
3+3+3+3=3×4 a+a+a+a+a=5a
面积S=
.
比较340与430的大小。
加（减）→乘（除）→乘方（开方）
（其中m，n都是正整数）
能利用幂的乘方的运算法则进行相应的计算和化简。
(3)(a3)2－(a2)3;
神奇的数学演变
3×3×3×3=34
a·a·a·a·a·a·a= a7
谢
第18页，共19页。
检测五：
已知 am=2，an=3, 求：a2m ，a3n的值；
amn =(am)n =(an)m
第14页，共19页。
检测四：
1、若(x2)n=x8，则n=_____4__
2、若[(x3)m]2=x12，则m=_____2__
3、若xm•x2m=2，求x9m的值.
8
第15页，共19页。
检测五
课堂小结
1.幂的乘方的法则
语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 (am)n amn(m、n都是正.整数）
先算乘方，再算同底数幂的乘法；幂
的乘方与加减混合运算时，先乘方，后加 减，注意合并同类项．
第10页，共19页。
检测一：
计算下列各式，结果用幂的形式表示:

2.1 整式的乘法
——2.1.2 幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
动脑筋 幂的意义:
n个a a·a·… ·a
= an
同底数幂乘法的运算性质： am ·an = am+n(m，n都是正整数)
am ·an = (a ·a·… ·a) (a ·a ·… ·a)
推导过程
m个a
n个a
= a ·a ·… ·a = a m+n
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发，你能想到一般的公式
吗？
(ab)3=ab·ab·ab
=a·a·a ·b·b·b
=a3·b3
猜想
(ab)n=anbn
说一说 (4) 在(ab)3运算过程中你用到了哪些知识？
(ab)3 =(ab)·(ab)·(ab) (幂的意义)
3个ab =(a ·a ·a)(b ·b ·b) (乘法交换律和结合律)
(2)(-4xyቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ；
(4)
.
-
1 2
xy2z3
4
(1) (-2x)3 解：(-2x)3 =(-2)3x3 = -8x3 ；
(2) (-4xy)2 解：(-4xy)2 = (-4)2x2y2 = 16x2 y2 ；
(3) (xy2)3 解： (xy2)3
= (x)3(y2)3 =x3 y6 ；
结论
积的乘方法则
(ab)n = an·bn (m，n都是正整数)
积的乘方
乘方的积
结论
用自己的语言叙述一 下积的乘方法则？
积的乘方法则
积的乘方，等于把积的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘.
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗？
公式的拓展 (7)三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面 的性质？ (8)怎样用公式表示？

积的乘方：(a*b)^m = a^m * b^m
单击添加标题
幂的乘方与积的乘方混合 运算：(a^m * b^n)^p
= a^(mp) * b^(np)
单击添加标题
幂的乘方与积的乘方运算 法则：a^(m+n) = a^m
* a^n，(a*b)^m = a^m * b^m，(a^m * b^n)^p = a^(mp) *
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 幂 的 定 义 和 性 质 03 幂 的 乘 方 规 则 04 幂 的 乘 方 运 算 05 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 06 幂 的 乘 方 运 算 注 意 事 项
化学反应速率： 幂的乘方用于描 述化学反应速率
化学反应平衡： 幂的乘方用于描 述化学反应平衡
化学反应热力学： 幂的乘方用于描 述化学反应热力 学
化学反应动力学： 幂的乘方用于描 述化学反应动力 学
b^(np)
底数不能为0，否则运算无意义 底数可以为负数，但结果可能为负数 底数可以为分数，但结果可能为分数 底数可以为无理数，但结果可能为无理数
指数运算中，底数不能为0，否则无意义 指数运算中，指数可以为任何实数，包括负数 指数运算中，指数为负数时，底数必须大于0 指数运算中，指数为0时，结果等于1，无论底数是多少
幂的除法：a^m / a^n = a^(mn)
幂的乘方规则： a^m * a^n =
a^(m+n)
推导过程：设 a^m = b， a^n = c，则 a^m * a^n =
b*c= a^(m+n)
证明：通过数 学归纳法证明
应用：在数学、 物理、工程等 领域广泛应用

幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
要点精析：(1)幂的乘方法则在推导过程中运用了乘方的 意义和同底数幂的乘法法则．
(2)运用此法则时要明白，底数a可以是一个单项式，也可 以是一个多项式．
(3)幂的乘方法则可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m. (4)幂的乘方与同底数幂的乘法都是底数不变，但容易出
12.1 幂的运算
幂的乘方
幂的乘方法则 幂的乘方法则的应用
知识点 1 幂的乘方法则
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空: （1）(23)2 = 23 ×23 = 2( ); （2）(52)3 = 52 x 52 x 52 = 5( ); （3）(a3)4 = a3•a3•a3•a3=a（ ）.
知识点 2 幂的乘方法则的应用
幂的乘方运算性质的推广： [（am）n ] p＝amnp(m，n，p都是正整数)．
例3 若am＝an(a＞0且a≠1，m，n是正整数)，则m＝n. 你能利用上面的结论解决下面的两个问题吗？试试
看， 相信你一定行！ (1)如果2×8x×16x＝222，求x的值； (2)如果(27x)2＝312，求x的值．
导引：按实数的混合运算顺序进行运算． 解：(1)a4·(－a3)2＝a4·a6＝a10；
(2)x2·x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6； (3)[(x－y)n]2·[(x－y)3]n＋(x－y)5n
＝(x－y)2n·(x－y)3n＋(x－y)5n ＝(x－y)5n＋(x－y)5n ＝2(x－y)5n.
总结
在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按实数的 混合运算顺序进行运算；如果底数互为相反数，就 要把底数统一成相同的，然后再进行计算；计算中 不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．