基于能量统一格式的多尺度有限元法

有限元多尺度问题
有限元方法是一种用于求解工程和物理问题的数值方法，它将连续的物理系统离散化为有限数量的单元，从而使得复杂的问题可以被分解为简单的部分进行求解。

然而，有限元方法在处理多尺度问题时面临着挑战。

多尺度问题是指在一个系统中存在着多个不同尺度的特征，例如在材料科学中，材料的宏观行为受到微观结构的影响，而这些微观结构通常比较小，因此需要在不同尺度上进行建模和分析。

在有限元方法中，通常会将整个系统划分为相对较小的单元来进行建模，这在处理宏观尺度上的问题时是非常有效的。

然而，当涉及到微观尺度上的问题时，由于单元尺度较大，有限元方法往往难以准确描述微观结构对材料性能的影响。

为了解决多尺度问题，有限元方法需要进行改进和扩展。

一种常见的方法是多尺度有限元方法，它将宏观和微观尺度上的模型进行耦合，以实现对整个系统的准确描述。

另外，还有一些基于统计力学和分子动力学的方法，可以用来模拟材料的微观行为，这些方法可以与有限元方法相结合，从而实现对多尺度问题的全面分析。

总之，有限元方法在处理多尺度问题时面临着挑战，但通过改进和扩展，它可以成为解决多尺度问题的有力工具，为工程和物理问题的求解提供更加准确和全面的方法。

多尺度有限元方法解椭圆方程1.研究背景众所周知，现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述.但绝大部分微分方程(特别是偏微分方程)定解问题的解不能以适用的解析形式来表示，这就产生了理论与实际的矛盾．为了解决上述矛盾，许多研究人员进行了数值解研究，这就促使微分方程的数值方法成为一门学科，它不仅是数学学科，而且是很多其他学科领域的一种重要研究手段和方法．微分方程数值方法主要有有限差分法和有限元方法，另外还出现了边界元、混合有限元、谱方法、有限体积法等．有限元方法是求解各种微分方程的一种重要的数值方法，它本身有着有限差分法无法比拟的优越性．最早用有限元方法处理偏微分方程近似解的是40年代Courant等人，国内最早研究有限元方法的是冯康先生，他的成果当时处于世界先进行列．NT 60年代，有限元方法开始广泛应用于船舶，一般机械，巨型建筑和水利设施(如大坝和桥梁)的设计以及用于解决流体力学，电磁场等非应力问题，并取得了良好的成果，但该方法仅能得到未知函数的近似解．70年代初，Babuska和Brezzi创立了混合有限元方法的一般理论，其主要的结果是B—B稳定条件。

为了使混合有限元方法能解决更多、更广泛的问题，得到更高的计算精度，80年代初，ralk和Osborn提出了一种改进的方法，扩大了混合有限元方法的适用范围，使混合有限元方法得到了进一步的发展．较标准有限元方法，该方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利，且易于数值处理．但另一方面，混合有限元方法要求所构造的}昆合元空间满足LBB相容条件，因而在一定程度上限制了有限元空间的选取．有限差分法也是求解偏微分方程数值解的一个重要方法．其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．1928年。

库朗、弗瑞德里克斯及卢伊证明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础．第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展，1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计的差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926．)及里希特迈尔(R．D．Richtmyer，1910一)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．有限元离散化的思想早在20世纪40年代初就已经被提出(R．Courant，1943)，并于50年代被西方的工程师采用，用于求解简单的结构问题．它作为一种系统的数值方法，则是在60年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的．有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例，主要有以下三大特点：(i)从数学物理的变分问题出发，而不是从微分方程出发，因此是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；(ii)对所考虑问题的区域(以二维情形为例)作三角形(或其他简单多边形)剖分，而不是仅仅作矩形剖分；(iii)用剖分区域上的简单函数(例如分片多项式)去逼近原问题的解，而不是只在剖分节点上的数值逼近．有限元方法的基本过程可以归纳为：(1)把问题转化为变分形式，(2)选定单元的形状，对求解区域进行剖分，一维情形下的单元是小区间，二维情形下的重要单元有两种：四边形(矩形、任意凸四边形)和三角形，(3)构造基函数和单元形状函数，(4)形成有限元方程，(5)提供有限元方程的有效解法，(6)对近似解进行误差分析．2.多尺度有限元法基本原理。

热流体力学问题中的多尺度数值方法研究热流体问题是一类热传导和流体动力学耦合的问题，其具有多尺度特性。

随着科技的不断发展，对于热流体问题的研究越来越深入，对于其数值方法的研究也越来越多。

本文将对于热流体力学问题中的多尺度数值方法进行探讨，从宏观尺度、中间尺度和微观尺度三个角度进行分类讲解。

一、宏观尺度在宏观尺度下，热流体力学问题是一个由Navier-Stokes方程和热传导方程组成的耦合问题。

对于这类问题，传统数值方法选择有限差分或有限元等方法进行离散求解。

然而，这些方法在处理大规模模拟问题时存在困难。

因此，一些新的多尺度数值方法逐渐被应用，如多重尺度有限元法和基于多网格的方法等。

多重尺度有限元法（MSFEM）是一种宏观-微观尺度耦合的方法，它通过预处理微观尺度的信息从而减少了宏观尺度上的计算量。

它是将微观尺度看做是局部的扰动，然后通过计算局部的扰动来确定宏观尺度的解。

然而，这种方法只适用于微观尺度的扰动与宏观尺度有限相差的情况，否则会存在误差。

基于多网格的方法则是一种更加广泛使用的多尺度数值方法，它在宏观尺度和微观尺度之间建立了多个网格层次。

通过建立不同网格层次，可以有效地解决宏观尺度和微观尺度之间的缩放问题。

虽然这种方法在处理大规模问题时具有优势，但是当问题的多尺度特性比较强时，它也很难得到令人满意的结果。

二、中间尺度在中间尺度下，热流体问题的耦合性更加复杂，因为在这个尺度下，流体动力学和热传导属性开始交织在一起。

对于这种多尺度问题，常规的方法常常会忽略一些重要的细节，从而得到不准确的结果。

因此，一些新的多尺度数值方法被提出，如平均场模型和光滑粒子流动方法等。

平均场模型是一种通过对随机微观结构取平均的方法来建模的方法。

它是一种高效的多尺度方法，能够较好地模拟热流体问题中的多尺度效应。

然而，平均场模型基于强假设，它假设微观尺度的结构对于宏观尺度的场有类似于平均场的效应。

光滑粒子流动方法是另一种中间尺度下的多尺度数值方法，它是建立在SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法之上的。

材料科学中的多尺度模拟方法材料科学作为一门研究材料结构与性能的学科，为改善材料性能、设计新材料提供了重要的理论和实验基础。

随着计算机技术的不断发展和进步，多尺度模拟方法逐渐成为材料科学领域中一种强大的工具，能够在原子、分子、晶体、宏观等多个层次上研究材料的结构、性质和行为。

多尺度模拟方法的核心是将材料的原子、分子等微观结构与宏观性能的关联联系起来。

通过从原子层面出发，模拟材料的微观结构、晶体形态等，可以揭示材料的内在性质和行为，并对其性能进行预测。

同时，多尺度模拟方法还可以将各种尺度的模拟结果进行耦合和融合，从而更全面、准确地描述材料的多方面特性。

在多尺度模拟方法中，分子动力学模拟是一种常用的方法。

该方法通过求解分子间的Newton运动定律，模拟材料在原子尺度上的动力学行为。

通过分子动力学模拟，我们可以观察到材料的结构演变、相变行为，以及材料在不同温度和压力下的性能表现。

这种方法在材料研究中的应用广泛，特别是对于热力学性质和材料稳定性的研究有着重要的意义。

另外一种常见的多尺度模拟方法是有限元方法。

有限元方法将宏观材料划分为许多小的单元，通过对临近单元之间的相互作用进行求解，来模拟材料的整体力学性能。

有限元方法基于材料理论和力学原理，可以对材料的力学响应、变形行为和断裂性能进行准确预测。

这种方法的优点是可以考虑不同结构和形态的材料，并且可以模拟不同尺度上的力学响应。

除了分子动力学模拟和有限元方法，材料科学中还有许多其他的多尺度模拟方法。

例如，相场方法可以模拟材料的相变行为和界面现象，蒙特卡洛方法可以模拟材料的随机性和统计性质，间接模拟方法可以通过组合不同尺度的模拟结果来获得更准确的整体性能预测。

多尺度模拟方法的发展不仅提供了一种新的研究手段，还为材料科学的发展带来了许多新的机遇与挑战。

通过多尺度模拟方法，在材料设计和性能改良方面可以进行更精细、更准确的研究。

同时，多尺度模拟方法也需要高性能计算和大规模数据处理的支持，这对计算机技术的创新提出了更高要求。

多尺度有限单元法
多尺度有限元方法（Multiscale Finite Element Method，简称MFEM）是一种用于处理多尺度问题的数值方法。

在许多科学和工程领域，如材料科学、地球科学、生物医学工程和电子设备制造等领域，都存在着多尺度问题。

这些问题通常涉及到不同尺度上的物理现象，例如在微观尺度上存在着各向异性、非线性和不均匀性等现象，而在宏观尺度上则表现出不同的宏观行为。

MFEM方法通过将多尺度问题分解为一个宏观尺度问题和多个微观尺度问题来解决这些问题。

在MFEM方法中，微观尺度问题通过使用局部的有限元法来解决，而宏观尺度问题则通过使用全局的有限元法来解决。

微观尺度问题和宏观尺度问题之间通过一个耦合条件来联系起来，这个耦合条件通常基于适当的均衡条件和连续性条件。

MFEM方法具有许多优点，例如可以处理非线性、非均匀和多尺度问题，并且能够更精确地描述微观尺度上的行为。

然而，MFEM方法的主要缺点是计算成本较高，因为需要解决多个微观尺度问题。

因此，MFEM方法通常用于需要高精度解的问题，例如在材料科学领域中的强化学习问题和微观材料建模问题中。

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跨原子/连续介质（第一类）多尺度分析的各种方法按照其控制方程的类型可分成两类，基于能量的方法和基于力平衡的方法一、基于能量的方法假定系统的总能量由原子区，握手区（可无），连续介质区构成tot A H C ∏=∏+∏+∏其中，握手区和连续介质区的能量是由有限元法近似求得的。

基于能量的方法一个最大的缺陷是很难消除耦合能量的非物理效应“鬼力”。

鬼力产生的原因：假设全区域采用原子进行计算，则其能量为：,,atom atom A atom C ∏=∏+∏对位移进行求导，可得,,atom A atom Cf u u ααα∂∏∂∏=--∂∂ 在平衡时：,,atom A atom Cu u αα∂∏∂∏=-∂∂ 同理，对于无握手区的多尺度能量法，在平衡时，满足方程：A Cu uαα∂∏∂∏=-∂∂ 同时因为在两种方法中，,A atom A ∏=∏ 即对于多尺度能量法需满足方程：,C Atom Cu u αα∂∏∂∏=∂∂ 因为在多尺度能量法的计算中，连续介质区的能量是由有限元法近似求得的，与原子计算的能量不一致，所以会产生“鬼力”。

1. QC 法（1998, Tadmor E B, OrtizMand Phillips R 1996 Quasicontinuum analysis of defectsin solids Phil. Mag. A 73 1529–63）在之前的报告中阐述过，本周的阅读中暂无改进内容2. CLS 法（1999，Broughton JQ, Abraham F F, BernsteinNand KaxirasE1999 Concurrentcoupling of length scales: methodology and application Phys. Rev. B 60 2391–403）提出该方法的作者是基于自身对于MEMS （Micro-Electro-MechanicalSystems）模拟分析的需求，包含了从量子，分子到连续介质三个区域的计算，与QC法的不同一方面由于处理领域的不同，在分子区域的计算上，CLS法采用的是Stillinger–Weber经验模型（适用于硅类半导体），QC法采用的是嵌入原子法（Embedded-Atom Method，EAM，适用于金属）；另一方面，在连续介质的计算中采用线弹性本构关系，计算精度随着不同问题不同权重因子的选择而不同。

多尺度有限元分析建模技术研究随着科技的不断发展，以及各行业的快速发展，人们对于模拟建模技术的要求越来越高。

其中，多尺度有限元分析建模技术的研究，成为当前模拟建模技术发展的一个热点。

本文将从多尺度有限元分析建模技术的基本概念入手，深入探讨其研究内容以及应用前景。

1.多尺度有限元分析建模技术的基本概念多尺度有限元分析建模技术是一种基于有限元模拟的模拟建模技术。

与传统的单一尺度有限元模拟技术不同，多尺度有限元分析建模技术可以在不同的尺度下进行模拟，以获得更为准确的模拟结果。

其中，多尺度有限元分析建模技术主要涉及到以下三个方面的研究：(1)多尺度模型构建，包括宏观模型与微观模型的建立，以及两者之间的关联模型构建。

(2)多尺度模拟方法，包括多尺度分析方法、多尺度有限元方法等模拟方法的研究。

(3)多尺度模型验证，主要针对多尺度模型的准确性进行验证。

2.多尺度有限元分析建模技术的研究内容(1)多尺度模型构建多尺度模型构建是多尺度有限元分析建模技术研究中的一个重要方面。

其主要采用宏观模型与微观模型相结合的方法来构建多尺度模型。

在宏观模型中，考虑的是材料的整体力学特性。

而在微观模型中，考虑的是材料中微观结构的影响。

因此，多尺度模型构建需要对宏观模型与微观模型进行耦合研究。

最终构建出一种能够反映材料宏观力学特性以及微观结构影响的多尺度模型。

(2)多尺度模拟方法多尺度模拟方法是多尺度有限元分析建模技术的核心。

其主要包括多尺度分析方法、多尺度有限元方法等模拟方法。

其中，多尺度分析方法是通过分析不同尺度下的材料力学特性，建立反映不同尺度下的材料行为的多尺度分析模型，最终实现多尺度有限元分析。

而多尺度有限元方法是在有限元方法的基础上，结合材料的多尺度结构特性，建立能够反映材料行为的多尺度有限元模型。

相对于单一尺度有限元模型，多尺度有限元模型在模拟结果的准确性上有较大提升。

(3)多尺度模型验证多尺度模型验证是保证多尺度有限元分析建模技术准确性的重要保障。

材料力学中的多尺度建模与仿真技术研究材料力学是一个研究材料力学性能与结构之间关系的学科。

在材料力学研究中，多尺度建模与仿真技术的应用已经成为一种重要的手段。

本文将探讨材料力学中的多尺度建模与仿真技术研究的背景、方法和应用。

1. 背景材料力学研究的目标之一是理解材料的组织结构与力学性能之间的关系。

然而，材料的力学性能往往受到多个尺度影响，从原子层面到宏观尺度。

传统的宏观力学模型无法完全描述这种多尺度关系，因此需要采用多尺度建模与仿真技术。

2. 多尺度建模方法多尺度建模方法包括从原子/分子尺度到连续介质尺度的过程。

常用的多尺度建模方法包括分子动力学模拟、离散位错模拟、有限元法等。

这些方法可以从不同尺度上描述材料的结构和行为，并将这些描述与实验结果相匹配。

2.1 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种计算方法，可以模拟材料在原子层面上的结构和行为。

通过追踪每个原子的位置和速度，可以模拟材料的力学性能。

分子动力学模拟可以用于揭示材料的纳米尺度力学行为，如材料的强度、韧性和断裂特性等。

2.2 离散位错模拟离散位错模拟是一种模拟材料中位错行为的方法。

位错是材料中晶体缺陷的一种形式，对材料的力学性能有很大影响。

离散位错模拟方法通过模拟位错的生成、移动和相互作用过程，可以研究材料的塑性行为、强化机制等。

2.3 有限元法有限元法是一种常用的宏观力学建模方法，可以将复杂的结构划分为有限大小的元素，通过求解微分方程来模拟材料的力学行为。

有限元法在材料力学中的应用广泛，可以用于分析材料的变形、应力分布等。

3. 多尺度模拟与实验验证多尺度模拟与实验验证是多尺度建模与仿真技术的重要一个环节。

通过对不同尺度模拟结果的比对，可以验证模型的准确性，并进一步优化模型的参数。

同时，实验数据也可以为模拟提供更准确的边界条件和材料参数。

4. 应用与展望多尺度建模与仿真技术在材料力学研究中有着广泛的应用。

它可以用于研究材料的力学性能、材料的失效机理等。

《基于多体动力学和有限元方法对人体下肢生物力学的研究》篇一一、引言人体下肢的生物力学研究在体育科学、医学康复、运动训练等多个领域具有广泛的应用价值。

本文旨在利用多体动力学和有限元方法，对人体下肢的生物力学进行深入研究，以揭示其运动机制、动力学特性和潜在的生物力学问题。

二、研究背景及意义随着科技的发展，多体动力学和有限元方法在生物医学工程领域得到了广泛应用。

多体动力学能够有效地模拟和分析复杂系统的运动学特性，而有限元方法则能够详细地描述材料和结构的力学行为。

将这两种方法应用于人体下肢的生物力学研究，有助于更深入地了解人体下肢的运动学、动力学特性以及在各种生理、病理条件下的响应机制。

这将对提高体育训练效率、预防和治疗运动损伤等方面具有重要的实用价值。

三、研究方法本研究采用多体动力学和有限元方法相结合的方式，对人体下肢进行生物力学研究。

具体步骤如下：1. 建立人体下肢的多体动力学模型。

通过收集相关的人体尺寸数据，建立各关节、肌肉、骨骼等部位的几何模型，并利用多体动力学软件进行模型参数化。

2. 利用有限元方法对人体下肢的骨骼、肌肉等组织进行建模。

根据组织的材料属性，建立相应的有限元模型。

3. 通过多体动力学模拟人体下肢的运动过程，分析其运动学和动力学特性。

同时，将模拟结果与实际实验数据进行对比，验证模型的准确性。

4. 利用有限元方法分析人体下肢在各种生理、病理条件下的力学响应，揭示其潜在的生物力学问题。

四、研究结果1. 通过多体动力学模拟，我们发现人体下肢在运动过程中，各关节的力矩、角度等运动学参数具有明显的规律性。

这些规律性参数对于理解人体下肢的运动机制具有重要意义。

2. 有限元分析表明，人体下肢在承受外力作用时，骨骼、肌肉等组织的应力分布具有明显的特点。

这些特点有助于我们了解人体在各种生理、病理条件下的响应机制。

3. 通过对比多体动力学模拟结果和实际实验数据，我们发现模型具有较高的准确性。

这为进一步研究人体下肢的生物力学提供了可靠的依据。

有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

圆柱电芯膨胀力预测方法圆柱电芯是目前最常见的电动汽车电池，它的能量密度高、重量轻、寿命长等优点使得它成为了电动汽车领域的佼佼者。

然而，由于电池在使用过程中会产生大量的热量，同时充电和放电也会引起电池内部的膨胀和收缩，这些都会对电池的安全性和寿命造成影响。

因此，如何准确预测圆柱电芯的膨胀力成为了一个重要的问题。

圆柱电芯的膨胀力预测方法主要有两种：数值计算方法和试验方法。

数值计算方法是利用数学模型和计算机模拟，对圆柱电芯在不同条件下的膨胀力进行预测。

试验方法则是通过对电池进行实验，测量其在不同条件下的膨胀力，从而得出预测结果。

数值计算方法的优点在于可以快速、准确地预测电池的膨胀力，同时可以针对不同的条件进行优化设计，提高电池的安全性和性能。

常用的数值计算方法包括有限元方法、多尺度模型等。

有限元方法是一种基于数学模型和计算机模拟的模拟方法，它可以将圆柱电芯分成许多微小的单元，通过对这些单元进行分析，得出电池在不同条件下的应力、应变、膨胀力等参数。

多尺度模型则是将电池分成不同的层次，从宏观到微观分析，得出不同尺度下的膨胀力和变形情况。

试验方法的优点在于可以验证数值计算方法的准确性，并且可以得到更加直观的结果。

常用的试验方法包括内部压力测试、倾斜测试、电池热失控测试等。

内部压力测试是通过测量电池内部的压力变化，来确定电池在充放电过程中的膨胀情况；倾斜测试则是将电池倾斜一定角度，观察电池的变形情况；电池热失控测试则是模拟电池在异常情况下的反应，如过充、过放、短路等，从而得出电池的安全性能。

虽然数值计算方法和试验方法各有优缺点，但是它们都可以为圆柱电芯的膨胀力预测提供重要的参考和支持。

在实际应用中，可以结合两种方法，通过数值计算方法优化设计，再通过试验方法验证设计的准确性和可行性，这样可以大大提高电池的安全性和性能。

圆柱电芯的膨胀力预测是电动汽车电池研发中的重要问题，需要采用多种方法进行分析和验证，以保证电池的安全性和性能。

多尺度有限元建模方法及其应用陆新征;林旭川;叶列平【摘要】在有限的计算条件下,为了尽可能的提高结构有限元分析的精度,本文引入了有限元多尺度计算方法.通过寻找有限元微观模型与宏观模型的界面连接方法,从而使精细的有限元模型可以自然地植入宏观模型,有效实现不同尺度模型间的变形协调.通过编制用户子程序,在有限元软件中对界面连接的合理性进行了算例验证,为多尺度有限元计算在结构分析中的应用提供了条件.最后采用多尺度建模方法,给出了钢结构弹塑性时程分析的应用实例.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2008(025)004【总页数】5页(P76-80)【关键词】多尺度计算;界面连接;有限元;工程应用;弹塑性时程分析【作者】陆新征;林旭川;叶列平【作者单位】清华大学土木工程系,北京100084;清华大学结构工程与振动教育部重点实验室,北京100084【正文语种】中文【中图分类】TU311.41随着有限元技术的迅速普及，工程非线性计算已经得到了迅猛发展。

目前常用的工程非线性计算可以分为以下两大类：(1) 基于杆系模型、壳模型、宏模型等宏观模型的整体结构非线性计算；(2) 基于实体单元的复杂构件、节点等局部结构非线性计算。

随着技术的不断发展，上述两类分析都日渐难以满足工程计算更高精细化的要求，各自问题分别阐述如下：对于宏观模型而言，虽然具有计算量小的优势，但却难以反映结构破坏的微观机理，对以下一些微观行为，如①构件的局部失稳破坏；②节点破坏；③接触问题（接触分析往往需要准确了解构件的形状，而宏观单元由于把实际三维结构简化为一维杆件或二维壳体，在接触分析方面也存在困难）；④温度场等多物理场分析（如火灾导致结构破坏分析中，构件截面不同部位存在温度差异和热量传导）等，存在较大困难。

而基于实体单元的微观分析，虽然可以较好把握结构的微观破坏过程，但由于计算机能力和建模工作量的限制，对于实际复杂结构完全依赖微观模型模拟是不现实的。

有限元分析的发展趋势有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程分析方法，通过将连续物体离散化为有限数量的单元，利用数值计算方法对这些单元进行求解，从而得到整个物体的力学行为。

有限元分析在工程领域得到广泛应用，可以用于摹拟和预测结构的应力、应变、挠度等物理特性，对于产品设计、优化和改进具有重要意义。

随着计算机技术的不断发展和硬件性能的提升，有限元分析在近几十年间取得了显著的发展。

以下是有限元分析的几个发展趋势：1. 多物理场耦合分析：传统的有限元分析主要关注结构的力学行为，而现在的趋势是将多个物理场耦合在一起进行分析，例如结构与热传导、电磁场、流体力学等的耦合分析。

这种耦合分析可以更加真实地摹拟实际工程问题，提高分析结果的准确性。

2. 多尺度分析：传统的有限元分析通常是基于宏观尺度进行建模和分析，而现在的趋势是将宏观尺度与微观尺度相结合，进行多尺度分析。

这种分析方法可以更好地研究材料的细观数学模型和微观结构对宏观性能的影响，为材料设计和优化提供更多的参考依据。

3. 优化设计与拓扑优化：有限元分析可以结合优化算法进行结构的优化设计，通过改变结构的形状、尺寸和材料等参数，使得结构在满足特定约束条件下具有更好的性能。

拓扑优化是一种特殊的优化方法，通过改变结构的拓扑结构，使得结构在满足约束条件的前提下具有最佳的性能。

优化设计和拓扑优化可以提高结构的强度、刚度和减重效果，减少材料和成本的消耗。

4. 高性能计算与云计算：有限元分析需要进行大量的计算和存储，传统的计算机往往无法满足分析的需求。

随着高性能计算技术的发展和云计算的兴起，有限元分析可以利用分布式计算和云计算平台进行大规模的并行计算，提高计算效率和分析能力。

5. 可视化与虚拟现实：有限元分析的结果通常以图表和数值的形式呈现，但对于非专业人士来说，这些结果往往难以理解和解释。

因此，可视化和虚拟现实技术在有限元分析中得到了广泛应用，可以将分析结果以图象、动画和虚拟模型的形式展示出来，使得用户能够更直观地理解和分析结果。

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

基于能量统一格式的多尺度有限元法黄均平;彭向和【摘要】为分析简单晶体多尺度有限元计算的能量构成,利用能量最小原理得到在统一理论框架下多尺度有限元计算的统一格式,表明有限元计算可以在微观原子尺度下和在宏观连续介质尺度下进行多尺度有限元计算.基于简单晶体变形的特点说明过渡单元设计应遵守的原则,并指出理想过渡单元应该是类似于晶体结构的单元,对于较复杂的晶体,则应该利用空间群方法充分研究具有230种空间群的过渡单元的性质.引用EIDEL等的纳米压痕计算结果作为算例,表明在计算中无虚拟插值点,多级晶胞单元具有与原单胞相同的点群操作且位移场插值受晶体中原子间键长的约束.【期刊名称】《计算机辅助工程》【年(卷),期】2010(019)004【总页数】6页(P38-43)【关键词】有限元;多尺度有限元计算;能量最小原理;过渡单元;单晶体【作者】黄均平;彭向和【作者单位】重庆大学,工程力学系,重庆,400044;重庆工程职业技术学院机械工程学院,重庆,400037;重庆大学,工程力学系,重庆,400044【正文语种】中文【中图分类】O241.82;O152.80 引言目前，多尺度模拟计算方法被广泛应用于研究不同尺度材料的力学行为和缺陷.［1］相对于原子模拟方法，如分子动力学方法和从头算起的第一性原理方法，多尺度方法能更有效地研究多尺度系统，从而在原子尺度上找出材料破坏的本质特征.用分子动力学方法和第一性原理方法模拟大规模原子系统需对大量的原子区进行重复计算，占用时间多，且对计算机硬件要求高，操作系统须非常稳定，必须在集群计算机上并行运算，计算成本高昂，但计算的材料体积却十分有限.［2-3］为降低计算成本，能在普通PC机上进行模拟计算，出现拟连续介质多尺度分析方法［4］、跨第一原理/原子/宏观多尺度分析方法［5-6］和广义质点动力学方法［7］等.上述方法都建立在统一的理论框架内，均需考虑区域的过渡以达到解的平滑.但是，在晶体结构的计算中除广义质点动力学方法考虑到晶格结构外，多数采用一维过渡单元作为计算算例用于如碳纳米管的模拟计算.［8-13］广义质点动力学方法对体心立方晶格和面心立方晶格的单元级别有较好的描述，但还不能描述密集六角结构，因而不可能模拟出堆垛层错结果.1 对晶体的能量描述对于简单晶格，在变形前的参考构形中，晶体中每个原子的位置坐标［14-15］都可描述为式中:(A1，A2，A3)为未变形晶体晶格的逆变基矢量，其任意1组整数(L1，L2，L3)描述晶格中任意1个阵点的位置.变形后，晶体在当前构形下同一原子的坐标位置可描述为式中:(a1，a2，a3)为变形后晶体晶格的逆变基矢量.对于晶体中第j个原子，在参考构形和当前构形下其坐标位置分别为由N个原子系构成的超晶结构是个多体结构体系，体系的总能量由3部分构成: (1)由原子间形成的化学键所决定的晶体减聚能，记为U1，其键长和键角决定键能的大小，而键长和键角由2个原子间的相对位置决定，其键能为式(5)暗含的基本假设是:晶体受外力作用变形对原子之间的键能不产生任何影响.这部分能量是由最邻近原子间形成的化学键键能;(2)能量是由未形成化学键的最邻近和次邻近原子之间形成的作用势能，记为U2.对于最邻近原子之间的作用势，可由Lennard-Jones势［16］和Morse势［17］等描述.或式中:ε为能量标度参数;σ为碰撞直径参数;rjk为2个原子之间的距离;α为逆长度标度因子;r0为平衡结合长度.对于次邻近原子之间的相互作用势需进行修改，但要假定其遵守相同的作用规律，如Lennard-Jones势可改写为(3)由外力作用在晶体上，在原子间产生附加力和位移引起的势能，记为U3，可表述为式中:为作用在第 j个原子上的外力;=为 N 个原子产生的位移，式中:为参考系原点的位移.因此，系统的总能量式中:ET=U1+U2.2 基于能量最小的统一格式对总能量UT在其平衡位置按Taylor级数展开，得晶体的最小能量态将式(12)代入式(13)，得由式(11)得因此，式(14)可写为式中:K为刚度矩阵;P为非平衡力矢量对于非线性关系，通过迭代直到P=O达到平衡.因此，式(17)与有限元中的控制方程等同.由式(16)和(17)得刚度矩阵式中:KQ为由第一性原理方法确立的刚度矩阵;KMD为由分子动力学确立的刚度矩阵.因此，由式(17)和(18)可知，对于由原子区和分子动力学区建立的控制方程，实际上可在统一的理论框架内(基于能量最小原理)由相同的有限元格式求解.如果将式(17)右边的非平衡力P理解为在连续介质中的非平衡力，则式(17)为涵盖原子区、分子动力学区和连续介质区的统一多尺度有限元计算方程.对于某些材料，当相互作用势远小于化学键能时，可直接将原子区与有限元区进行“握手”计算.3 非局部作用势的非连续介质单元在宏观连续介质条件下，设非局部区域Ω含有N个晶胞对应相应的局部区域，局部区域对应的应变能为E，则每个晶胞的应变能为E0=E/N，晶胞中的应变能由各原子的化学键分配.以体心立方晶格为例，将原子间的化学键模拟为刚度为k1(＜100＞方向)和k2(＜111＞方向)的弹簧，则晶体构成见图1.对于单个晶胞，拥有的原子个数为8×1/8+1=2个，即每个角点原子由8个晶胞共有，每个晶胞有8个角点原子，再加上1个体心原子;弹簧个数为12×1/4+8×1/8=4个，即考虑次邻近原子之间的作用为3个晶格边弹簧和1个体心弹簧，见图2.图1 体心立方晶格图2 单胞中的弹簧个数设晶体沿＜100＞方向产生应变为ε100，键长为l0，沿＜111＞方向产生应变为ε111，则存储在各弹簧中的能量分别为得单个晶胞的总能量式中因此，1个具有l0边长的晶体，单位体积能量由此可得多级晶胞的能量，而这多级晶胞可构成过渡单元.式(22)表明:可基于第一性原理方法计算多级晶胞能量，从而建立基于能量最小的刚度矩阵.4 基于晶格的有向线元变形计算根据 Cauchy-Born 法则［18-19］，将晶体晶格视为无限小材料矢量，按变形梯度进行变换，有式中:a=(a1，a2，a3);A=(A1，A2，A3);F 为 2 阶变形梯度张量.由于从晶体结构观点看，晶体的晶向矢量是有限长度的，而非无限小量，故式(19)为近似式.如果变形场是均匀的位移场，视晶体晶格为无限小材料矢量，则式(19)可认为精确.将晶体变形前、后定义为参考构形和当前构形2个构形，并与1对点(R，r)相对应，F为这2点张量.在参考构形下(即晶体未发生变形前)，若取有向线元为dR=dLiAi，经过变形后在当前构形下有线元dr=dLiai，将式(1)和(2)写为协变基形式，由于且可将有线元dr写为同样将有向线元dR写为得变形梯度由此可以看出，变形梯度张量与材料的晶向矢量相关，而对应有向线元的变形还与晶格常数有关.由式(14)可得将式(29)代入式(30)得由式(27)可写出在参考构形下刚度矩阵表示的控制方程或式中:KR和PR分别为在参考构形下的刚度矩阵和非平衡力;F为变形梯度张量.在式(29)表述的方程中，如果定义则除表达式与式(17)一致外，还由于刚度矩阵在微观原子区和宏观连续介质区表述的不变性，使得在模拟计算中不会出现交界处激波的反射［20］，即从原子区到分子动力学区再到有限元区的平滑过渡.将位移场与变形梯度联系起来，这样在不同的区域进行有限元计算，就类似于在连续介质力学条件下采用不同的单元进行计算.如果将原子区称为非局部区域，将连续介质力学区称为局部区域，那么在局部区和非局部区域交界处必须构建过渡单元.过渡单元不能在力学软件的500多种单元库中选取，而各种软件基于二次开发的用户子程序使单元的设计成为可能，如Abaqus/Standard中的用户单元子程序UEL等.在简单晶体的模拟计算中，充分利用晶格的结构特性设计过渡单元是实现多尺度有限元计算的最佳途径，因为周期排列的简单晶体晶胞是最理想的单元之一.5 基于点群的单元设计算例基于晶格变形的过渡单元设计与常规有限元单元设计不同之处在于过渡单元须反映原简单晶体的特性，对不同晶格具有更强的针对性，即对于确定晶格的过渡单元具有结构设计唯一性.用广义质点动力学方法构建的多级晶胞具有至少存在1个点保持不动的对称操作，满足点群的定义，并且这样的多级晶胞由于在不动点具有实际存在的质点，故在单元插值设计中不会出现虚拟质点，可在数学上简化其方法.在晶体结构中，高阶轴(Cn，n≥3)多于1个的多轴点群晶体具有高度的对称性，如T，O和I点群，涵盖正四面体、立方体、正八面体、正五角十二面体和正三角二十面体等.包含Cn，Dn，T，O和I的第1类点群，由于不存在反演，其变换矩阵行列式不为负;而对于第2类点群，由于存在反演，其变换矩阵为负，单元插值可由广义函数的奇偶性决定.［21］作为算例，EIDEL等［22］以FCC铝单晶材料进行纳米压痕模拟计算，3D块体由64×64×64布拉菲点阵超晶组成.块体侧面原子在垂直于该面方向上固定，底面原子在z方向固定，但可在底面平面内移动.在图3中，坐标系的轴相应于＜001＞方向.半径为R的球型压头被模拟为外部作用势式中:参数 A为压力强度;θ()为分步函数;R=16a0，为压头半径;而c为压头中点位置.在模拟中A=2 000 eV/◦A3，a0=4.032◦A.在计算中采用基于能量的完全非局部拟连续介质方法(QC-eFNL)，原子族半径分别取为Rc=1.0a0(取样原子数为19)，(取样原子数为 381).由图 3［22］可知，所构成的各级单元均为几何相似的FCC形式，属于具有反射操作σ的O点群.图3 FCC铝单晶<001>方向截面［22］模拟首先考虑初始弛豫问题，即在未作用压头情况下平衡构形主要受表面效应影响，非局部QC逐渐受到非常明显的表面效应作用.对于处于顶角的代表原子，由于三面相交，故为高能原子.图4为用晶格静力学和不同的QC-eFNL方法模拟二者在初始弛豫后z方向的位移，Rc=1.0 a0原子族在z方向的收缩计算过大，其值为uz=-3.3◦A，比用晶格静力学方法计算的uz=1.3◦A大2.5倍.但是，对于接近于晶格静力学参考值.图4 初始弛豫位移云图［22］模拟中的另一个问题是压头下铝单晶材料的位错形核.在对各种原子族半径的QC模拟中，力—压深(F-h)曲线中任何半径原子族相应的加载水平都比晶格静力学小，见图5.当 Rc =2 2a0时，与原子决定算法符合得较好.对族半径Rc=1.0a0，取样原子数在自适应精细化过程中，从初始48 000个原子增加到86 000个原子，原子数占晶格静力学的8%，但QC模拟比晶格静力学方法快8倍.［22］图6为由晶格静力学方法模拟的位错微结构，可看到4个沿{111}方向滑移的位错环，即根据在{111}平面上的塑性滑动方向，可知形核位错为不完全位错.［22］图5 晶格静力学和QC-eFNL方法力—压深(F-h)曲线对比［22］图6 晶格静力学模拟位错微结构［22］在QC模拟中，当Rc=1.0a0时与晶格静力学符合得较好，且在{111}上可观察到4个位错环，见图7.用力校正法进行的高精度模拟或增加原子族半径所得结果与晶格静力学相比，有某些偏离.［22］图7 QC-eFNL模拟位错微结构［22］6 结束语如果本文算例采用广义质点法，就可构成多级单元体，而各级单元体从几何构造上看，结构相似.［7］KARPOV 等［23］也提出相似的算例.从晶体学观点分析，周期性规则排列的晶体均可进行类似的质量集中，构成各种适用于不同晶体结构的过渡单元.这些单元有如下性质:(1)无虚拟插值点;(2)多级晶胞单元具有与原单胞相同的点群操作，3个四重旋转轴 3C4垂直于{100}面［100］，［010］和［001］，4个三重旋转轴4C3＜111＞，即沿8个晶向的4个三重旋转轴沿＜110＞的4根二重旋转轴4C2;(3)位移场插值受晶体中原子间键长的约束.由上述分析可知，在统一的理论框架下应用能量最小原理进行多尺度分析计算，各区域的计算必须在过渡区实现无缝连接才能反映正确结果，跨尺度的计算才能光滑;而在非局部区和过渡区，需利用第一性原理方法对位移场插值进行约束.在各种多尺度有限元计算中，众多学者虽然用各种方法构建相应的过渡单元，但基于群论方法研究具有230种空间群性质的各种晶体的过渡单元结构和性质，以及其插值形函数的数学方法是仍需要进一步努力的方向.参考文献:【相关文献】［1］ SHILKROT L E，CURTINA W A，MILLER R E.A coupled atomistic/continuum model of defects in solids［J］.J Mech ＆ Phys Solids，2002，50(10):2085-2106.［2］ SHILKROT L E，MILLER R E，CURTIN W A.Multiscale plasticity modeling:coupled atomistics and discrete dislocation mechanics［J］.J Mech＆ Phys Solids，2004，52(4):755-787.［3］ LIU B，HUANG Y，JIANG H，et al.The atomic-scale finite element method［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(17-20):1849-1864.［4］ MILLER R E，TADMOR E B.The quasicontinuum method:overview，applications and current directions［J］.J Computer-Aided Mat Des，2002，9(3):203-239.［5］ ABRAHAM F，BROUGTON J J，BERNSTEIN N，et al.Spanning the continuum to quantum length scales in a dynamic simulation of brittle fracture［J］.Europhysics Lett，1998，44(6):783-787.［6］ PARK H S，LIU Wing-kam.An introduction and tutorial on multiple-scale analysis in solids［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(17-20):1733-1772.［7］范镜泓.材料变形与破坏的多尺度分析［M］.北京:科学出版社，2008:198.［8］ LU Q，BHATTACHARYA B.The role of atomistic simulations in probing the small-scale aspects of fracture:a case study on a single-walled carbon nanotube［J］.Eng Fracture Mech，2005，72(13):2037-2071.［9］ ZHANG P，JIANG H，HUANG Y，et al.An atomistic-based continuum theory for carbon nanotubes:analysis of fracture nucleation［J］.J Mech＆ Phys Solids，2004，52(5):977-998.［10］ JIANG H，FENG X Q，HUANG Y，et al.Defect nucleation in carbon nanotubes under tension and torsion:Stone-Wales transformation［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(30):3419-3429.［11］ QIAN Dong，WAGNER G J，LIU Wing-kam.A multiscale projection method for the analysis of carbon nanotubes［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(17-20):1603-1632.［12］ GRIEBEL M，HAMAEKERS J.Molecular dynamics simulations of the elastic moduli of polymer-carbon nanotube composites［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(17-20):1773-1788.［13］ ZHANG H W，WANG J B，GUO X.Predicting the elastic properties of single-walled carbon nanotubes［J］.J Mech ＆ Phys Solids，2005，53(9):1929-1950.［14］黄昆，韩汝琦.固体物理学［M］.北京:高等教育出版社，1988:10.［15］黄克智，薛明德，陆明万.张量分析［M］.北京:清华大学出版社，1986:53-54.［16］ BASKES M I.Many-body effects in FCC metals:a Lennard-Jones embedded-atom potential［J］.Phys Rev Lett，1999，83(13):2592-2595.［17］ KOMANDURI R，CHANDRASEKURAN N，RAFF L M.Moleculardynamics(MD)simulation of uniaxial tension of some single-crystal cubic metals at nanolevel［J］.Int J Mech Sci，2001，43(10):2237-2260.［18］ TADMOR E B，ORTIZ M，PHILLIPS R.Quasicontinuum analysis of defects in solids ［J］.Philos Mag A，1996，73(6):1529.［19］ ARROYO M，BELYTSCHKO T.An atomistic-based finite deformation membrane for single layer crystal films［J］.J Mech＆ Phys Solids，2002，50(9):1941-1977.［20］ HAROLD S.P，LIU W K.An introduction and tutorial on multiple-scale analysis in solids［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2004，193(17-20):1733-1772.［21］陶瑞宝.物理学中的群论［M］.上海:上海科学技术出版社，1986:142-166.［22］ EIDEL B，STUKOWSKI A.A variational formulation of the quasicontinuum method based on energy sampling in clusters［J］.J Mech ＆ Phys Solids，2009，57(1):87-108. ［23］ KARPOV E G，YU H，PARK H S，et al.Multiscale boundary conditions in crystalline solids:theory and application to nanoindentation［J］.Int J Solids＆ Structures，2006，43(21):6359-6379.。

有限元技术在基于能量平衡的机床动态设计中的应用徐广晨;翁泽宇;张南南【摘要】结构动态系统的能量平衡是实现机床结构动态设计的主要依据.将有限元技术应用于基于能量平衡的结构动态优化设计中,在介绍结构动态系统能量分析方法的基础上,针对某平面磨床床身进行了结构动态分析.结果表明,该结构动态优化设计方法对找出机械结构的薄弱环节、结构的动态设计优化有指导作用,可推广到其它结构的动态设计中.【期刊名称】《机械制造》【年(卷),期】2015(053)002【总页数】3页(P8-10)【关键词】能量平衡;有限元法;机床结构;动态设计【作者】徐广晨;翁泽宇;张南南【作者单位】营口理工学院机电工程系辽宁营口 115014;浙江工业大学机电工程学院杭州 310014;浙江工业大学机电工程学院杭州 310014【正文语种】中文【中图分类】TH122;TP2731 概述随着机械制造向着高速和精密加工方向的发展，对机床动态性能的要求也越来越高。

在已知工作条件下，为满足机床期望的动态性能，寻找机床最优结构的过程就是机床的动态设计。

美国UCA大学的G Bianchi等［1］将机床的动态设计与控制相结合，进行动态优化设计；衣阿华州立大学的J M Vance与ISU研究中心的T P Yeh等［2］应用虚拟现实技术来进行机床结构的形状优化设计；天津大学的张学玲等［3］运用结构动态设计原理和有限元法的变量化分析技术，提出一种数控机床床身结构的动态设计方法和流程；昆明理工大学的尹志宏等［4］讨论了利用优化准则法优化磨床主轴系统机械性能的基本过程，并探讨了优化准则法对机械结构进行优化设计的优越性。

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