GIS中的计算几何
GIS是一个图形系统，必然会涉及到几何学上理论应用，比如，图形的可视化，空间拓扑分析，GIS图形编辑等都需要借助几何。向量几何是用代数的方法来研究几何问题，首先，请大家翻一翻高等数学里有关向量的章节，熟悉一下几个重要的概念：向量、向量的模、向量的坐标表示、向量的加减运算、向量的点积、向量的叉积...下面我们将用这些基本概念来解答GIS中一些几何问题。
一，点和线的关系。
点是否在线段上，这样的判断在图形编辑，拓扑判断(比如，GPS跟踪判
断是否跑在线上)需要用到这样的判断。通常的想法是：先求线段的直线
方程，再判断点是否符合这条直线方程，如果符合，还要判断点是否在
线段所在的矩形区域(MBR)内，以排除延长线上的可能性，如果不符合，
则点不在线段上。这种思路是可行的，但效率不高，涉及到建立方程，
解方程。借助向量的叉积（也叫向量的向量积，结果还是向量，有方向
的）可以很容易的判断。设向量a=(Xa,Ya,Za) b=(Xb,Yb,Zb) 向量叉积
a X b如下：
二维向量叉积的模|a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb| （α是向量a,b之间的夹角），向量叉积模的几何意义是以向量a,b为邻边的平行四边
形的面积。可以推测：如果两向量共线，向量叉积模(所代表的平行四边
形的面积为零) 则|a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb|=0,否则不共线，叉
积的模为非零，根据这样条件可以很轻松的判断点和线的关系，避免了
建立方程和解方程的麻烦。
向量叉积的模|AB X AC|=0即可判断C点在AB所确定的直线上，再结合
C点是否在AB所在的MBR范围内，就可以最终确定C是否在AB线段
上。关于点和线段的其他关系，都可以通过叉积的求得，比如判断点在
线的哪一侧，右手法则，可以通过 a X b=(Xa*Yb-Ya*Xb)*k中的
（Xa*Yb-Ya*Xb）正负来判断。留给大家思考，很简单的，呵呵…
二，线和线的关系
判断两条线段是否相交，在很多拓扑判断和图形编辑(比如，线的打断来
构建拓扑，编辑线对象，叠置分析，面与面关系的判断等) 中都需要用到
线线相交的判断，如果两条线段相交，一条线段的两端点必然位于另一
条线段的两侧（不考虑退化情况，也就是一条线段的端点在另一条线段
上，这个很容易判断）
两向量的叉积a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k ，分别判断AB X AC的方向与
AB X AD的方向是否异号，再判断CD X CA 的方向与CD X CB的方向
是否异号即可判断两线段是否相交。
退化情况，一条线的端点在另一条线上，则AB X AC、 AB X AD 、CD
X CA、CD X CB 是否存在有一个为零的，存在则表明肯定有一条线的端
点在另一个线上或者共用一个端点。详细区分留给大家思考。呵呵…
利用向量的方向还可以判断线段的转向，这个在道路导航中有所应用
三，点和面的关系
在各种拓扑判断中（比如，面对象的选取，包含关系的判断等）有时
需要判断一个点是否位于某个面内，经典的方法就是“垂线法”，在直
角坐标系中，从这个点向X轴作射线，判断射线与多边形的交点个数
（不考虑退化情况，退化情况下，判断点或者射线与多边形端点或者
边的关系），如果为奇数，则点在面内，为偶数，则点在面外。
四，线和面的关系
线面关系的判断相对比较复杂，线在面内，线和面相交，相离，相接等关
系。线段在面内，第一个必要条件是，线段的两个端点都要在内。但由于
多边形可能为凹，所以这不能成为判断的充分条件，于是有第二个必要条
件线段与多边形的边，没有内部交点。
线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如
果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否
包含于多边形内部，如果在面内，则线段在面内，否则不在面内。
所以，算法思路如下（本算法引用网络上一篇文章）：
if 线端PQ的端点不都在多边形内
then return false;
点集pointSet初始化为空;
for 多边形的每条边s
do if 线段的某个端点在s上
then 将该端点加入pointSet;
else if s的某个端点在线段PQ上
then 将该端点加入pointSet;
else if s和线段PQ相交// 这时候已经可以肯定是内交了
then return false;
将pointSet中的点按照X-Y坐标排序;
for pointSet中每两个相邻点pointSet[i] , pointSet[ i+1]
do if pointSet[i] , pointSet[ i+1] 的中点不在多边形中
then return false;
return true;
注：X-Y坐标排序，X坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐标小
的排在前面，这种排序准则也是为了保证水平和垂直情况的判断正确
点在面内，线段相交情况的判断见上面的思路。
这个过程中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数目n，所以最
多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。因此算法的时间复杂度也是
O(n)。
有了线段和面的关系，再判断折线与面的关系，也就可以for循环，同理
进行判断了。
五，面和面的关系
面面的空间关系，可能要更复杂一些，在拓扑判断，多边形叠置分析，面
对象的编辑中，有着广泛的应用。这个将在以后的章节中介绍一种时间复
杂度为O（nlogn）的算法“平面扫描算法”。
六，点到线段的距离
点到线段的距离，在各种测量，拓扑判断(比如，线对象的选取中需要比较
距离)中都需要用到。大家对点到直线的距离，都很熟悉，那点到线段距离
又该怎么计算呢？
问题的关键是判断a、r的角度，向量的点积能判断一个角是钝角还是锐角，
先复习一下向量的点积，也叫向量的数量积,结果是一个数，没有方向。设
向量a=(Xa,Ya,Za) b=(Xb,Yb,Zb)
a . b=|a|*|b|*cosα=Xa*Xb+Ya*Yb+Za*Z
b 向量点积的几何意义是，高中物
理中，求作用力在一个方向上所作的功。如果a . b>0，则α为锐角，a . b<0,
则α钝角。
熟悉了利用向量的点积来判断角度，A C·AB 判断夹角a，B A·BC判断夹
角r，即可确定三种情况中，具体是哪一种。至于第一种情况，求点到垂
足的距离，可以饶开建立方程求垂足，再求两点距离的思路，因为运算就
复杂了，多耗了CPU资源。利用向量叉积的几何意义来求，向量的叉积表
示两向量为邻边的平行四边形的面积|AC X AB|为⊿ABC的面积的两倍，求
平行四边形的高,只要用面积除以底边AB的长度，高CD的长度=|AC X
AB|/distance(AB)。
这些复杂的几何判断，都将在空间索引的过滤下，在少量数据集(侯选集)上进行。计算几何算法，通常是比较复杂，比较耗CPU的运算，而且还要考虑各种退化的情况，在这里，并不试图向大家穷举各种情况，只想起一个抛砖引玉的作用，或许还有人会有这样的疑问：有没考虑“投影”的问题？关于投影将在相应的章节中给予解释，但有一点是可以肯定的，空间分析计算几何算法，都是在直角平面上运算的，不会在球面上。
参考文献：计算机地图制图蔡先华东南大学 2000.08
作者：陈玉进geochenyj@https://www.doczj.com/doc/6f11196452.html,
07.01.30
并行计算综述 姓名：尹航学号：S131020012 专业：计算机科学与技术摘要：本文对并行计算的基本概念和基本理论进行了分析和研究。主要内容有：并行计算提出的背景，目前国内外的研究现状，并行计算概念和并行计算机类型，并行计算的性能评价，并行计算模型，并行编程环境与并行编程语言。 关键词：并行计算；性能评价；并行计算模型；并行编程 1. 前言 网络并行计算是近几年国际上并行计算新出现的一个重要研究方向，也是热门课题。网络并行计算就是利用互联网上的计算机资源实现其它问题的计算，这种并行计算环境的显著优点是投资少、见效快、灵活性强等。由于科学计算的要求，越来越多的用户希望能具有并行计算的环境，但除了少数计算机大户（石油、天气预报等）外，很多用户由于工业资金的不足而不能使用并行计算机。一旦实现并行计算，就可以通过网络实现超级计算。这样，就不必要购买昂贵的并行计算机。 目前，国内一般的应用单位都具有局域网或广域网的结点，基本上具备网络计算的硬件环境。其次，网络并行计算的系统软件PVM是当前国际上公认的一种消息传递标准软件系统。有了该软件系统，可以在不具备并行机的情况下进行并行计算。该软件是美国国家基金资助的开放软件，没有版权问题。可以从国际互联网上获得其源代码及其相应的辅助工具程序。这无疑给人们对计算大问题带来了良好的机遇。这种计算环境特别适合我国国情。 近几年国内一些高校和科研院所投入了一些力量来进行并行计算软件的应用理论和方法的研究，并取得了可喜的成绩。到目前为止，网络并行计算已经在勘探地球物理、机械制造、计算数学、石油资源、数字模拟等许多应用领域开展研究。这将在计算机的应用的各应用领域科学开创一个崭新的环境。 2. 并行计算简介[1] 2.1并行计算与科学计算 并行计算（Parallel Computing），简单地讲，就是在并行计算机上所作的计算，它和常说的高性能计算（High Performance Computing）、超级计算（Super Computing）是同义词，因为任何高性能计算和超级计算都离不开并行技术。
第1章概述与安装 1.1 概述 MAPGIS 是中国地质大学(武汉)开发的、通用的工具型地理信息系统软件。它是在享有盛誉的地图编辑出版系统MAPCAD 基础上发展起来的，可对空间数据进行采集，存储，检索，分析和图形表示的计算机系统。MAPGIS 包括了MAPCAD的全部基本制图功能，可以制作具有出版精度的十分复杂的地形图、地质图，同时它能对图形数据与各种专业数据进行一体化管理和空间分析查询，从而为多源地学信息的综合分析提供了一个理想的平台。 MAPGIS 地理信息系统适用于地质、矿产、地理、测绘、水利、石油、煤炭、铁道、交通、城建、规划及土地管理专业，在该系统的基础上目前已完成了城市综合管网系统、地籍管理系统、土地利用数据库管理系统、供水管网系统、煤气管道系统、城市规划系统、电力配网系统、通信管网及自动配线系统、环保与监测系统、警用电子地图系统、作战指挥系统、GPS 导航监控系统、旅游系统等一系列应用系统的开发。 1.2安装 1）系统要求： 硬件：CPU 486 以上、16M RAM、200M 硬盘、256 色以上显示器； 操作系统：Win9x、Win2000、WinNT 、WinXP或Win7系统； 输入设备：本单位主要使用的是GRAPHTEC—RS200Pro型扫描仪； 输出设备：本单位主要使用的是Canon—IPF700型出图打印机。 2) 硬件的安装： MAPGIS 硬件部分有加密狗，ISA 卡、PCI 卡三种，本单位主要为MAPGIS USB 软件狗，在确保机器BIOS 设置中USB 设备未被禁止的条件下，Windows 98 和Windows2000 自带的标准USB 驱动程序均可支持MAPGIS USB 软件狗工作。 3）软件的安装： MAPGIS 安装程序的安装过程为：找到MAPGIS 系统安装软件，双击SETUP 图标，系统自动安装软件，在WIN2000/NT/XP 下安装时，应先运行WINNT_DRV,提示成功后才可选择SETUP 开始MAPGIS 程序的安装； 对于MAPGIS6.1 及MAPGIS6.5，则无关键字和安装选择，但须根据实际需要选择安装组件。 从上述组件中选择实际运用中需要的选项，根据提示即可完成安装。
第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
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8、系统弹出（如下图）对话框。在此对话框中选择我们新建好的空白文件夹。
此文件夹即为 新建好的空白 文件夹
9、选择要裁剪的文件。这儿有两种情况： ①如果（左面窗口中）所有的文件都需要进行裁剪时，我们直接点击“添加全部”即可。 ②如果（左面窗口中）只有一部分文件需裁剪时，我们要将所需裁剪的文件全部选中（即将 其选为蓝色） 。然后点击“添加”→选择全部→设置“参数” （参数的设置参照下图即可）→ →单击“参数应用” （此时左下角的窗口中会显示出我们将要进行裁剪的图形文件）→单击 “装入裁剪框” （即我们在“输入编辑”中新建好的区文件）→单击“开始裁剪”→在右下 角窗口中的任意位置单击右键，在弹出的下拉菜单中选择“复位窗口” 。这时裁剪后新的图 形文件就显示在此窗口中→退出。
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此处为裁剪 范围。 此图为裁剪 后的新文件。
10、最后，我们可以在“输入编辑”中打开裁剪后的文件。 （如下图）
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本次操作结束，如发现有不清或不对的地方请与我们联系（sxmapgis@https://www.doczj.com/doc/6f11196452.html,） ，我们 会及时改正，谢谢！ 这里只是讲一些快速的入门法， 如果想更深入的了解 MAPGIS 知识， 请看 MAPGIS 相关书 籍。
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(作者：sxmapgis) 功能:打印出图. 当一张图绘制完后，我们需要把它打印出来，具体步骤如下：
如果在准备出图的过程中，如果还要进行一些修改，在菜单栏上单击“返回编辑” 。
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五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？
6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。
2020届高考数学（理）热点猜押练一致胜高考必须掌握的 20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题 1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值. 2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.
3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M 为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值. 6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
Monte Carlo Methods in Parallel Computing Chuanyi Ding ding@https://www.doczj.com/doc/6f11196452.html, Eric Haskin haskin@https://www.doczj.com/doc/6f11196452.html, Copyright by UNM/ARC November 1995 Outline What Is Monte Carlo? Example 1 - Monte Carlo Integration To Estimate Pi Example 2 - Monte Carlo solutions of Poisson's Equation Example 3 - Monte Carlo Estimates of Thermodynamic Properties General Remarks on Parallel Monte Carlo What is Monte Carlo? ? A powerful method that can be applied to otherwise intractable problems ? A game of chance devised so that the outcome from a large number of plays is the value of the quantity sought ?On computers random number generators let us play the game ?The game of chance can be a direct analog of the process being studied or artificial ?Different games can often be devised to solve the same problem ?The art of Monte Carlo is in devising a suitably efficient game.
数学运算之几何问题专题 面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h （5）圆的面积=πr2＝1/4πd2 （1）等底等高的两个三角形面积相同； （2）等底的两个三角形面积之比等于高之比； （3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3 (3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2 （2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米 【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案选C。 例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。 A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米 【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。答案选B。 例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
CASS计算土方量的方法（断面法、三角网法、方格网法、两期计算法） 我们在日常的测量工作中，经常都需要计算一些土方量，而计算两期土方是CASS 的特色之一，特别是区域土方平衡施工过程中，或测量了两次结果之后，它能一次性为我们计算出同一区域的填挖方土方量，很是方便。为了使大家深入了解CASS6.1计算两期土方的方法，提出此问题与大家一起讨论学习。 一般来说，下面三种方法均可以计算两期土方： 1、两断面线间土方计算 2、DTM法两期土方计算 3、方格网土方计算（测量推荐） 三角网法、方格网法是常用的方法，断面法是提供给甲方的方量依据，一般三种方法的计算差距不会超过2%---5% 。 三角网法计算方量：点击等高线，选建立DTM或图面DTM完善 点击建立DTM后会显示：
选由图面高程点生成，确定。 此时要注意左下角显示的文字，点击回车键即可。把区域的边界线选中后，就会自动形成三角网，如图所示：
三角网形成后，再点击工程运用中的DTM法计算土方量，选中根据图上三角网，如图所示： 选中后就会显示下图：
注意左下角的提示：输入平场高度（就是设计深度，一般情况要加上超深0.5m）后回车，方量就会在左下角有显示。方量计算完成。 方格网法计算方量：方格网法计算方量首先要采点，点击工程运用鼠标向下，选指定点生成数据文件，如图所示：
然后就会自动跳出一个窗口，如图所示： 先把文件放在自己能够找的道的文件里，如桌面，起好名字，保存即可。 窗口自动关闭后，左下角就会显示指定点：，此时，只要把鼠标放在高程点上左击后，会显示地物代码，代码就是点的行政代码，如边界线就写B，房子就写F，现在采点直接回车即可。回车后，又会显示高程（0.00），这是后，就需要输入你所用鼠标点击的高程点。水深要有负号，当然，正的水深就不需要加号了，直接输入就好。 最后会显示的是输入点号（1），这一步，只要直接回车就可以了。就这样把工作区域的点全部踩完。 重新打开CASS成图软件，点击绘图处理的站高程点如下图： 就会弹出一个窗口，如下图：
几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力……力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1 在生活中需要测量一些球（如足球、篮球…）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°.请你计算出球的直径（精确到1cm） 分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG⊥CB于G，在Rt△ABG中，求出AG即可． 解：作AG⊥CB于G， ∵AD、CB分别与圆相切于E、F， ∴EF⊥FG，EF⊥EA， ∴四边形AGFE是矩形， ∴AG=EF 在Rt△ABG中，AB=41.5，∠ABG=37°， ∴AG=AB·sin∠ABG=41.5×sin37°≈25. ∴球的直径约为25cm. 说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点．这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2．在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在
南方CASS 7.1场地断面土方计算 第一步、展出计算区域内的高程点； 第二步、绘出需平整的边界闭合线（切割边界线），再确定纵断面线的方向和长度，纵断面线的长度应与两端的边界闭合线相交； 第三步、点工程应用->生成里程文件由纵断面线生成新建，按提示选纵断面线，弹出由纵断面线生成里程文件的对话框，选结点，填写横断面间距及左、右长度（横断面长度应超出边界闭合线，这主要是考虑放坡问题），点确定； 第四步、点击工程应用生成里程文件由纵断面线生成添加、变长、剪切，添加是在横断面线上加横断面线；变长是调整横断面线的长短的问题；剪切是把放坡以外的横断面线剪去。在第三步完成后，即可在图面上大概确定放坡的位置，连成闭合线，点剪切后选这根闭合线，长出的横断面线会删除； 第五步、点击工程应用->生成里程文件->由纵断面线生成->设计，按提示栏选择切割边界线（平整的边界闭合线），再按提示选横断面线，这时会在左横断面线与切割边界线相交点上出现设计高程对话框，输入该断面线的设计高程，回车，输入右端的设计高程，回车，再选下一条横断面线，以此类推，输入完毕后退出； 第六步、点击工程应用->生成里程文件->由纵断面线生成->生成，按提示选纵断面线即弹出生成里程文件对话框。第一栏应选第一步展点时的高程数据文件（格式.dat），第二栏应输入并保存生成的里程文件名（格式.hdm）,第三栏应输入并保存相对应的坐 —1—
标数据文件名（格式.dat）。最后输入横断面线插值间距和起始里程后，点确定，这时图中纵断面线与横断面线交点上会标出中桩里程及高程。 第七步、点击工程应用断面法土方计算场地断面，弹出断面设计参数对话框，在选择里程文件栏下打开上步中第二栏所保存的文件，在横断面设计文件栏下打开上步中第三栏所保存的文件，再输入坡度、纵横向比例、行列间距等项，最后点确定，再次弹出绘制纵断面对话框，输入所绘位置和比例后点确定，这时纵断面图就绘制在你给定的位置上。按提示，在屏幕上指定横断面图绘制的起始位置就会绘出所有的横断面图和挖填面积。如果要修改横断面线和设计断面线，点击工程应用断面法土方计算编辑断面线，按提示选择后，弹出编辑对话框，在所需的位置插入距离、高程即可，左断面的距离为－，右为＋。 第八步、点击工程应用断面法土方计算图面土方计算，按提示框选所有横断面，回车，按提示在屏幕上指定土石方计算表左上角位置，即完成全部工作。 场地断面法二期土方计算 分别用第一期工程（开挖前的原始地貌）、第二期工程（开挖平整后）的高程文件分别生成里程文件一和里程文件二。 第一步：第一期工程的里程文件生成可按上面的第一步至第六步完成。第二期工程的里程文件生成可免去第五步的设计工作。第二期工程在上面的第三步中的新键前，把平面图中第一期的横断面线删除，重新建立横断面线，但二期的纵横断面线需重合。第二步：使用其中一个里程文件生成纵横断面图。如绘出第一期的（见上面的第七步），后点击工程应用断面法土方计算图上添加断面线，系统弹出添加断面线对话框，在 —2—
图像处理→图像分析 图像文件的格式转换 点击文件→→→“数据输入”或“数据输出”→→→转换数据类型(选择要转入或转出的图像文件格式如:tif)→→→单击“添加文件”→→→在弹出的对话框中选择要转换的文件→→→单击“打开”按钮→→→单击“转换”按钮，系统提示保存结果文件→→→换名保存→→→关闭→→→点击文件→→→打开影像→→→选择要打开的影像文件→→→点击打开即可!! 标准分幅的影像校正 单击“文件”菜单→→→“打开影像”→→→选择要校正的影像文件→→→点击打开→→→镶嵌融合→→→DRG生产→→→图幅生成控制点→→→单击“输入图幅信息”按钮→→→输入图幅号,网格间距,坐标系→→→确定→→把图像左上角放大一点(鼠标右键选择放大,拉框放大)→→单击“左上角”三个字→→鼠标点击左上角的内图廓交叉点(让红颜色的十字正好放在黑颜色的十字里面)→→单击“右下角”三个字→→鼠标点击右下角的内图廓交叉点→→单击“左下角”三个字→→鼠标点击左下角的内图廓交叉点→→单击“右上角”三个字→→鼠标点击右下角的内图廓交叉点→单击“生成GCP”按钮→→镶嵌融合→→DRG生产→→顺序修改控制点→→鼠标右键放大第一个控制点直到可以清楚的看见红颜色十字是否完全放在黑颜色十字里面→→鼠标右键选择指针→→让红颜色十字完全放在黑颜色十字里面→→点“空格键”确认(直到把所有控制点修改好)→→镶嵌融合→→DRG生产→→逐格网校正→→换名保存结果文件→→输入与原图一样的分辨率→→确定即可 非标准分幅的影像校正 单击“文件”菜单→→“打开影像”→→选择待校正的非标准影像→→点击打开→→单击“镶嵌融合”→→打开参照文件→→参照线文件→→选择做好的图框文件(在实习中用的是误差校正里面的”标准.WL”)→→“镶嵌融合”菜单→→删除所有控制点→→镶嵌融合→→添加控制点→→单击左边影像内一图幅角点→→确定准确位置→→按空格键确认→→单击右边影像内对应位置→→确定准确位置→→按空格键确认→→按照上面操作依次确定四个图幅角点位置(注意要按空格确认)→→镶嵌融合→→校正预览→→镶嵌融合→→影像校正即可 影像镶嵌 单击“文件”菜单→→“打开影像”→→选择左边的影像图→→点击打开→→单击“镶嵌融合”→→打开参照文件→→参照影像文件→→选择右变的影像图→→点击打开→→“镶嵌融合”菜单→→删除所有控制点→→镶嵌融合→→添加控制点→→单击左边影像内一图幅角点→→确定准确位置→→按空格键确认→→单击右边影像内对应位置→→确定准确位置→→按空格键确认(选择明显的地物点方便左右对应)→→按照上面操作依次确定六个点(尽量均
分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE =，PE=5 55 4×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴ 2 1 ==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=5525 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
一、系统环境： （1）操作系统WIN XP ； （2）应用环境：南方CASS7.0 FOR CAD2004 或CAD2006 二、实例数据：坐标高程数据文件：dgx.dat （路径：\Program Files\CASS70\DEMO\dgx.dat ） 三、准备工作： 展绘坐标数据文件dgx.dat 中的测点点号，并绘制等高线。基本操作如下： （1）【绘图处理】菜单--【展野外测点点号】；弹出“输入坐标数据文件名”对话框中，打开dgx.dat文件，展绘出测点点号； （2）【等高线】菜单--【建立DTM】；弹出“建立DTM”对话框中，“选择建立DTM方式”中单选“又数据文件生成”；“坐标数据文件名”中打开dgx.dat文件；“结果显示”中单选“显示建三角网结果”；单击【确定】完成DTM的建立。 （3）【等高线】菜单--【绘制等高线】；弹出“绘制等值线”对话框，修改“等高距”为0.5米；“拟合方式”中单选“三次B样条拟合”；单击【确定】完成等高线的绘制。 （4）【等高线】菜单--【删三角网】。 四、道路断面设计阶段工作： 1. 设计线路走向，即确定纵断面线：在等高线地形图中绘制道路的纵断面剖面线：使用pline绘多段线命令，连接dgx.dat 中测点点号4 21和227，起点测点421，终点测点227。如图所示：
2. 绘制道路的纵断面图，以便下一步中确定“横断面设计文件”中的各个横断面的中桩设计高。基本操作如下： 【工程应用】菜单-【绘断面图】-【根据已知坐标】，弹出“断面线上取值”对话框，在“选择已知坐标获取方式”中单选“由数据文件
生成”；在“坐标数据文件名”中打开dgx.dat文件；注意在“采样间距”中输入25米（该值可输入与横断面间距相同的数值，便于查看横断面个数及其中桩处的地面高程，并最终确定各里程处横断面的中桩设计高程）；单击【确定】按钮。 弹出“绘制纵断面图”对话框，在“断面图比例”中默认横向1：50 0；纵向1：100；在“断面图位置”中单击“···”按钮，用鼠标在绘图区空白处指定纵断面图左下角坐标，返回“绘制纵断面图”对话框后，单击【确定】按钮。 3.在纵断面图中“拉坡”大致确定道路中桩设计高：使用pline多段线从纵断面图图左侧高程标尺1375米处，连接右侧高程标尺1380米处。如图所示： 图中红色曲线即为道路地面断面，白色直线为人工绘制的道路设计断面，每隔25米处有横断面的中桩地面高程，并可大致判断各里程处横断面的中桩设计高程，该纵断面按25米的间距有6个横断面。
MapGIS 10 制图流程操作手册 2014年5 月武汉
第 1 章栅格几何校正 1.1栅格数据标准图幅校正（DRG校正）流程 标准图幅校正主要是对国家绘制的标准地形图进行操作。由于早期标准地形图以纸质档保存，为便于统一管理和分析应用，将其扫描为电子地图后，可利用标准图幅校正操作，将图幅校正为正确的地理坐标的电子图幅，在标准图幅校正的过程中，不仅可以为标准地形图赋上正确的地理坐标，也可对扫描时造成的形变误差进行修正。 步骤1：影像数据入库管理 在实际操作中，为便于统一管理数据，需将影像数据导入到数据库中。可利用GDBCatalog—栅格数据集右键—导入影像数据功能实现数据的入库操作。 步骤2：启动栅格几何校正 在栅格编辑菜单选择标准图幅校正功能，视图显示如下： 注意：在进行标准图幅校正前，需对图幅的信息进行读取，如图幅号、网格间距、坐标系信息。
校正影像显示窗口：控制点全图浏览窗口； 校正文件局部放大显示窗口：控制点确认窗口，放大在校正影像显示窗口中选择的内容； 控制点列表显示窗口：显示图中控制点信息。 步骤3：根据图幅信息生成GCP控制点 1、选择栅格数据 在标准图幅校正设置窗口的校正图层项浏览选择栅格数据（若当前地图已添加待校正的栅格数据则可直接点下拉条选择添加），如图：
2、输入图幅信息 点击[下一步]，设置图幅信息，如图： 在“图幅信息”对话框中各参数说明如下：i.图幅号：读图输入图幅号信息。 ii.网格间距：读图输入格网间距。
iii.坐标系：读图选择选择坐标系信息。 iv.图框类型：加密框是根据图幅信息生成梯形图框，而四点框是直接生成矩形内框，加密框的精度相对较高。此处是对1:1万的图幅进行校正，用四点框即可。 v.最小间隔：添加的控制点的相邻点间距 vi.采用大地坐标：指生成的标准图幅是否采用大地坐标，若采用大地坐标，则单位为米，否则采用图幅自身的坐标单位。 3、定位内图廓点，建立理论坐标和图像坐标的对应关系。 点击[下一步]，在该对话框定位内图廓点，建立理论坐标和图像坐标的对应关系。 利用放大、缩小、移动等基本操作在左侧窗口的图像上确定四个内图廓点的大概位置，使内图廓点位于右侧窗口当前显示范围，然后再利用放大、缩小、移动等基本操作在右侧窗口的图像上确定四个内图廓点精确的位置。以定位左上角的内图廓点为例：点击对话框中的左上角按钮利用放大，缩小，移动等操作找到并点击左上角的内-图廓点的大概位置后，然后再点击图像上左上角的内图廓点即完成该点的设置。
几何计算题 1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ， （1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长； （2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确 ∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2 ∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ， 由翻折可得 AO CO ==90AOE ∠=． ∵在Rt △ABC 中, tan 1BC AB ∠=， 在Rt △AOE 中，tan 1EO AO ∠=. ∴ EO BC AO AB = ， ∴2EO =. 同理：2FO = . EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC == ∴sin 5EH EFC EF ∠= == 2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． D C B A D A B C E F
3、如图7，△ABC 中，AB=AC ， 4 cos ∠(1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. 解：（1）过点 A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A B = ∴B C HC BH 2 1==设x CD AC AB === ∵6=BD ∴6+=x BC ， 2 6+=x BH 在Rt △AHB 中，AB BH ABC =∠cos ，又5 4 cos =∠ABC ∴ 5 426 =+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82 1===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH 在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32 6tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是3 4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°. （2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2 BOC 6048 3603 S ππ?扇形＝ ＝，EOC 1 22 S ??＝∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3
1、先系统设置，把工作目录选成影像路径。 一、用实用服务\启动投影变换（定内图框） 2、标准图框\根据图幅号生成图框（这一步输入正确的老图幅号） （1）把图框文件名输成正确的老图号，点击椭球参数如下 （2） （3）选择北京54，单击确实即可 （4）
（5）这几步点完后直接存盘 3、图框生成后，先把wl,wt两个文件存盘，然后关闭，在打开这两个文件，投影转换――工作区直接投影转换（把软件生成的图框进行大地坐标转换） （1）先：选择文件（把正确路径先好）－当前投影，看（投影中心点经度和投影区内任意点的纬度）这两个工作区的坐标把它记下来
（2）在把目的投影点开，按照下面的界面配置即可 （3）把这些配置好后，点击开始转换，然后在点确定，复位窗口（可看是否已经转换为大地坐标（六位、七位））存盘。 二、图形处理\输入编辑 1、新建工程\单击从文件导入，选择任意一个文件即可 3、（把工程界面打开后，每个文件都要单独打开，单独存储（最好更换颜色以便下一步镶 嵌时能查看误差大小），这一步完后，才能进行下一步，切记）右键\添加项目，打开两个文件，把它们存工程文件，格式为*.mpj
4、 三、启动图像处理\图像分析（图框与影像融合） 1、先把JPG或者TIF转成MSI格式,把文件选好后，点转换即可 2、打开MSI格式――镶嵌融合――打开参照文件――参照线文件――删除所有控制点（如 果以前没有定影像就不用删）；添加控制点，先点影像里面的坐标，后点图框，点一个影像点就对应框里面的点；四个点点好后，校正预览看一下，然后在镶嵌融合――输出文件――RBM文件 四、把以上的准备工作做完后，启动编辑子系统（在步画线了） 1、打开工程文件，在左边窗口里面右键――新建线――然后修改线结构（修改结构必须要 在线文件前面打“∨”） (1)修改线结构：L线编辑――X参数编辑――编辑线属性结构Z（修改点结构也一样） 字段名称字段类型字段长度小数位数界码字符串 5 线地类码字符串 5 宽度浮点型8 1 权属性质字符串10 悬挂字符串 5 2、把生成的图框添加到刚才新建的线文件里面去，先把软件生成好的那个线文件关闭，然 后在工作区――添加文件――添加线文件－打开软件生成好的那个线文件（H-48-127-(19)）.WL,打开后，只留内图框，其余删除，顺便把内图框属性赋了(界码为990)
几何计算题中的求线段长度 几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述． 仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类： 一、 用算术方法直接求解 这一类型题目又有不同层次要求． （1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显． 例如： 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长． 分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的 条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移 至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口 ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求 出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以 中位线长为6.5cm ． （2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了． 例如： 如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠ CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若 AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的 长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C O A B O C D E F 图2 图1