2012高中数学 1.1.4投影与直观图1教案 新人教B版必修2

高中数学人教B版必修二第一章《1.1.4 投影与直观图》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1、了解表示空间图形的投影方法原理
2、掌握斜二测画法
3、了解中心投影方法
2学情分析
学生基础参差不齐,观察能力差
3重点难点
掌握斜二测画法
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】一、创设情景，揭开课题
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。

不识庐山真面目,只缘身在此山中”。

这是北宋诗人苏轼的一首诗,同学们,苏轼是怎样观察庐山的呢?对,横看,侧看,近看,远看,身处山中看。

这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较真实地反映出物体的结构特征,我们可从多角度观看物体。

在上一节我们认识了空间几何体的结构特征,如何将这些空间几何体画在纸上,并体现立体感呢?这堂课我们主要学习中心投影与平行投影及空间几何体的三视图。

(点出课题:投影和三视图).
活动2【活动】二、新知识探究
1. 中心投影与平行投影:
我们知道,物体在灯光或日光的照射下,就会在地面或墙壁上产生影子,这是一种自然现象。

投影就是由这类自然现象抽象出来的。

所谓投影,是一个不透明物体在光的照射下,在物体后面的屏幕上留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子,如手影表演,皮影戏等。

1.1.4投影与直观图文艺复兴以前的透视图远处的东西画小，方形四角的饭桌画成梯形的，圆盘画成椭圆形的，无论大人、小孩，还是东洋、西洋，自古至今如此。

有在人物画的角落画这种饭桌的，也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的。

这种画与其称之为原始的，不如说是朴素的透视画。

整幅画，基本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物，才能叫做。

透视画。

，现存最古的透视画大概是庞贝的壁画。

人们还不明白当时的画家是怎样画出的。

与庞贝城建筑的同时，罗马的建筑家维特鲁威写了《建筑十书》，其中有所谓。

斯卡伊诺哥拉菲亚。

，可解释成：剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的。

在维特鲁威的书里的很多地方能看到关于光学和视觉的叙述，因此欧几里德有同样说法是可理解的。

虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆，也有与欧几里德相似的叙述，遗憾的是那一时期的透视图，除了朴素透视画以外几乎没有留下别的。

课程学习目标［课程目标］目标重点：平行投影的性质和斜二测画法。

目标难点：正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。

［学法关键］画水平放置的空间图形的直观图，一般采用斜二测画法。

对于斜二测画法，应当牢固掌握画法的规则，再认真地画几个常见图形的直观图，从中领会斜二测画法的要领。

对三视图的学习要紧密地结合实际应用。

可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸，要认真完成教材中的实习作业，可以利用课外活动时间探索与研究本节后面提出的问题，看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图相同，这两个相同的视图中是否都包含有这个旋转体的轴截面。

研习教材重难点研习点1. 平行投影1．点的平行投影：已知图形F，直线l与平面α相交，过F上任一点M作直线l’平行于l，交平面α于点M’，则M’叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影（或像）.2．图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投射线。

1.1.4 投影与直观图自主学习学习目标1．初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质．2．了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图．自学导引1．平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是________或________；(2)平行直线的平行投影是________或________的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．2．水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的__________，叫做空间图形的直观图．(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴或z′轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的________，再借助于所作的__________确定端点在直观图中的位置．3．中心投影一个__________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．对点讲练知识点一平行投影的概念性质例1下列命题中正确的个数为( )①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②矩形的平行投影一定是矩形；③两条相交直线的投影可能平行；④如果△ABC在一投影面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投影面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心．A．1 B．2 C．3 D．4点评本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比．一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形．变式训练1 关于直角AOB在某平面内的平行投影有如下判断：①可能是0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是________________．知识点二水平放置的平面图形的直观图例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．点评此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．变式训练2将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？知识点三将直观图恢复为原平面图形例3如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．点评 由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定．变式训练3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.62a 2D.6a 21．直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍． 3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将( ) A ．逐渐变短 B ．逐渐变长 C ．不变 D ．以上都不对2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a23.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )二、填空题6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为______．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题8．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．9.如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【答案解析】 自学导引1．(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2．(1)平面图形 (2)平行 不变 一半 (3)平行线 平行线 3．点光源 对点讲练例1 A [命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题③错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题④正确，重心的平行投影仍是重心．]变式训练1 ①②③④⑤例2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm ，在y′轴上截取O′A′＝12OA ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．变式训练2 解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为y 轴，以BC 边上的高AO 所在的直线为x 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′A′＝OA ，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝12OC ＝1 cm ，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．显然与例2中既不全等也不相似．例3 解 画法：(1)以点C 为原点，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O′A′，即CA ＝C′A′；(2)在图1中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x 轴上取OD ＝O′D′，过D 作DB∥y 轴，并使DB ＝2D′B′.(3)连接AB 、BC ，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图2.变式训练3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示：则A′D′＝32a ，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a. 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示， AO ＝2A′O′＝6a ，BC ＝B′C′＝a ，∴S △ABC ＝12BC·AO＝62a 2.]课时作业1．B [中心投影的性质．]2．D [先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a.过A′作A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a. ∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2.]3．A 4.C 5.C 6.2.57.22解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为 22·12OA ＝24OA ＝22. 8．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b 所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图a 中，过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB ＝4 cm ，A′E′＝AE ＝323≈2.598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED ，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC ＝2 cm.(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．9．解 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12OD ，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S ＝12×(1＋2)×24＝328.。

D1 A1
C1
B1
A1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
BA
C A
B B
E
D
C
3、斜二测画法
依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规 定了统一的标准，其中一种较为简单的画法 标准是斜二测画法，这种画法的投射线与人 的视线方向不同，我们来通过例子看一下这 种画法的规律：
小结：“横同，竖半,平行不变”
例 2.如右图所示，梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图.
若
A1D1
//
O1 y
，
A1B1
// C1D1
，
A1B1

2 3
C1D1

2
，
A1D1

O ' D1
1.
请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.
练一习个：水平放置的平面图形的斜二测直观图是 一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯 形,则这个平面图形的面积等于() D
l 的__平__行__ 投影 (或 象 )．
如果图形 F 上的所有点在平面形 F 在
α 内关于直线 l 的__平__行__投___影____， 平面 α 叫做_投__射__面___，l 叫做_投__射___线_.
2.平行投影的性质 （直线或线段不平行于投影线）
A.l 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
小结
• 1、平行投影的定义和性质 • 2、中心投影 • 3、直观图的斜二测画法
1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段;
2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线;
3）平行于投射面的线段，它的投影与这条 线段平行且等长; 4）与投射面平行的平面图形，它 的投影与这个图形全等;