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高三第一轮复习——排列、组合、二项式定理PPT课件

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排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件

排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!

1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理

高三数学一轮复习课件：排列、组合、二项式定理、概率 新人教A

高三数学一轮复习课件：排列、组合、二项式定理、概率 新人教A

第61讲 │ 知识要点
第61讲 │ 知识要点
第61讲 │ 双基固化 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第61讲 │ 双基固化
第62讲 │ 规律总结
第63讲 │ 二项式定理的综合应用
第63讲 二项式定理的综合应用
第63讲│ 编读互动 编读互动
第63讲 │ 知识要点 知识要点
第63讲 │ 知识要点
第63讲 │ 知识要点
第63讲 │ 双基固化 双基固化
第63讲 │ 双基固化
第63讲 │ 双基固化
第63讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 双基固化
第62讲 │ 能力提升 能力提升
第62讲 │ 能力提升
第62讲 │ 能力提升
第62讲 │ 规律总结 规律总结
第66讲 │ 知识要点
第66讲 │ 知识要点
第66讲 │ 双基固化 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化
第66讲 │ 双基固化

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分

高三数学 第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件11-3

高三数学 第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件11-3
• 【解析】 注意到二项式(1－x2)10的展开式的通项是Tr＋1 ＝C10r·110－r·(－x2)r＝C10r·(－1)r·x2r，因此(1－x2)10的 展开式中，x4的系数等于C102·(－1)2＝45.
• 【答案】 45
(2)(2010·全国卷Ⅱ)若(x－ax)9 的展开式中 x3 的系数是 －84，则 α＝________.
• 法三：(基本原理法)将(1＋x＋x2)8写成八个因式乘积的形 式(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·(1＋x＋ x2)·…·(1＋x＋x2)(共8个)．
• 这八个因式中乘积展开式中形式x5的来源有三：①有两个 括号各出一个x2，其余六个括号中恰有一个括号出一个x， 这种方式共有C82C61种；②有一个括号出一个x2，其余七 个括号中恰有三个括号各出一个x，共有C81C73种；③没 有一个括号出一个x2，恰有五个括号各出一个x，共有C85 种．
【答案】 －5
• (4)求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数． • 【解析】 法一：(通项公式法)(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋
x2)]8展开后的通式公式是Tr＋1＝C8r(x＋x2)r，则x5的系数 由(x＋x2)r决定，而(x＋x2)r的展开通项公式是T′k＋1＝Crkxr －kx2k＝Crkxr＋k，所以(1＋x＋x2)8展开式的通项公式是 C8rCrkxr＋k，其中0≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈N.
答案
7n－1 6
5．(2010·江西卷，理)(2－ x)8 展开式中不含 x4 项
的系数的和为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
• 答案 B
• 解析 由通项公式可得展开式中含x4项为T8＋1＝C88x4＝x4， 故含x4项的系数为1，令x＝1，得展开式的系数和S＝1， 故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.

高三一轮复习二项式定理.pptx

高三一轮复习二项式定理.pptx

＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
第10页/共43页
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
第23页/共43页
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
第29页/共43页
第30页/共43页
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第31页/共43页
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习

二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
A.−
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −

的展开式的通项为+

= −

− ，

= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的



D.50

] 求解.

思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：

+




)
−
求解.

− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.


解析：方法一： + −

=[ − +

] ,



通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅

( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所

以 = ，解得 = .

−
展开式的通项为

−


+ =
−
=

⋅ −

⋅ − ⋅ − ，

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件

解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n

二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习

二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习

1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .

2021版新高考数学一轮复习第十一章11.2排列组合与二项式定理课件新人教B版

2021版新高考数学一轮复习第十一章11.2排列组合与二项式定理课件新人教B版

3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下: 当n为偶数时,n!!=n·（n 2）（n 4）……6·4·2, 当n为奇数时,n!!=n·（n 2）（n 4）……5·3·1, 现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!, ②(2n)!!=2n (n!),③2018!!的个位数字是8,
2.各二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即 C0n＋C1n＋Cn2 …＋Cnn 2n. (2)(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和， 都等于2n-1，即 C0n＋Cn2＋Cn4＋…＝C1n＋C3n＋C5n +…=2n-1.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
【解析】展开式的通项为Tr+1=C7r (ax)r， 因为x5与x6系数相等，所以C57a5= C67a6，解得a=3. 答案：3
5.(选修2-3P12例6改编)由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字
的两位数的个数为_________.(用数字作答)
【解析】问题转化为求从8个不同元素中选取2个元素的排列数，
小于43 521的数共有 ( )
A.56个
B.57个
C.58个
D.60个
3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共
有________种安排办法.
4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一 共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 世纪金榜导学 号
【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有 C34A12=A433 8(种);A不参加时参赛方案
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定
Hale Waihona Puke 义第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同点 做一件事或完成一项工作的方法数
不同点
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
2020年10月2日
3
1.排列和组合的区别和联系：
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
P
m n
C
m n
P n m n (n 1 )(n m 1 )
Pnm
n! (n m)!
Pnn n!
0!
1
CC nm n mm n(!n (n n!1)m)m !(!n Cm n0 11)
PnmCn mPm m
性质
， C C m n
nm n
Cnm 1CnmCnm1
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
排列、组合、二项式定理
2020年10月2日
1
第10章 排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
2020年10月2日
二项式定理 二项式系数的性质 基础练习
2
两个原理的区别与联系：
名称 内容
加法原理
乘法原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
有2全020排年10列月2的日 个数，即：PP nn nn n (n 1 ) (n 2 ) 2 1
4
二项式定理（公式）
N
(a+b) n= C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
（n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ，
③
n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 )
p
4 n
2020年10月2日
8
练习3
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P1
2 2
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C
2 12
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重
复数字的正整数
2020年10月2日
其中 C rn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
Crnanrbr 叫做二项展开式的通项，
通项是指展开式的第 r+1 项，
展开式共有 n+1 个项.
2020年10月2日
5
性性质质复复习习
性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等.
性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
，④
p
5 5
=120
，
3=360
，
p
3 3
⑤p 66 =720
=6p 2
，2
2=
C
0 n
1
C
1 n
n
C
2 6
15
C
4 6
15
C72 C73 56
C 97 100
161700
2.用排列数表示下列各式：
C
3 8
56
① 1 0 9 8 7 6
p
5 10
② 2 2 4 2 3 1 3 2 1 24!
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
P41P42P43P44
9
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项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
性质3性：质数3最：大；
性质3： C n 0 C n 1 C n 2 C n k C n n 2 n
性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系
2020年10月2日 数的和等于偶数项的二项式系数和.
6
练习1
1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，
①从中任取一本，有多少中不同的取法？
②从中任取数学书与语文书各取一本，有多6少+种5=不11同的取法？
6×5=30
2. 若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个
3.
数有多少？
5×5=25
2020年10月2日
7
练习2
1.计算：
①
p
3 8
=336 ，
②
p
3 16
③p
4 4
2=4