湖南省邵阳市区八年级数学上学期期中联考试题 新人教版

湖南省邵阳市某校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题一、单选题1. 上复习课时李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了: ，，其中正确的个数为().A.2B.3C.4D.52. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围为()A. B. C. D.且3. 若分式的值为0，则等于()A.1B.1或−3C.−1或1D.−14. 已知买千克苹果共花了元，则买2千克苹果要花()元.A. B. C. D.5. 方程的解为().A.；B.；C.；D..6. 下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2>0，那么x>0．A.1个B.2个C.3个D.4个7. 若线段分别是边上的高线和中线，则( )A. B. C. D.8. 关于x的分式方程有增根，则a的值为()A.2B.3C.4D.59. 若分式的值是正整数，则m可取的整数有( )A.4个B.5个C.6个D.10个10. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）A.5B.4C.3D.2二、填空题下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有________个．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有________．化简得________．计算：+＝________．若等腰三角形的两边的边长分别为3cm和7cm，则第三边的长是________cm．如图，已知，，，则________．等腰三角形的一个内角为100∘，则顶角的度数是________．如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若，则的周长是________.三、解答题计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）先化简，再求值：，其中.某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳，已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费了750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．如图，若△OAD≅△OBC，且∠O=65∘，∠BEA=135∘，求∠C的度数．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE // BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35∘，求∠A的度数．如图，△ABC是等边三角形，DE // BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≅△AEC．如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.（1）图1中，连接、，相交于点，设，那么________；（2）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？请说明理由.参考答案与试题解析湖南省邵阳市某校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题一、单选题1.【答案】B【考点】命题与定理分式的定义轴对称图形【解析】根据分式定义：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A8叫做分式进行分析即可．【解答】解：在1x ,12,x2+12,3xyπ,3x+y,1m中1x,3x+y,1m是分式，只有3个，故选：B．2.【答案】B【考点】分式有意义、无意义的条件【解析】根据分式有意义的条件：分母不等于零，即可得x的取值范围．【解答】解：当分母x−1≠0，即x1时，分式xx−1在实数范围内有意义，故选：B．3.【答案】D【考点】分式值为零的条件【解析】根据分式的值为零的条件是：分子为零且分母不等于零进而得出答案．【解答】解：若分式|x|−1(x+3)(x−1)的值为0，则x|−1=0且(x+3)(x−1)≠0解得：x=−故选：D．4.【答案】B【考点】列代数式【解析】根据单价、总价、数量间的关系列出代数式即可．【解答】解：买n千克苹果共花了m元，则买2千克苹果要花2mn元，故选：B．5.【答案】C【考点】解分式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：23x−1=3x2xx(3x−1)=3(3x−1) x(3x−1)∴2x=9x−3∴x=37将检验x=37是方程的根，…方程的解为x=37故选：c．6.【答案】A【考点】真命题，假命题【解析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故A错误，为假命题；B、如果z和(2是对顶角，那么∠1=±2，故B正确，为真命题；C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故C错误，为假命题；D、如x=−2时，x2>0，但是x<0，故D错误，为假命题，故选A．7.【答案】D【考点】垂线段最短等腰三角形的性质：三线合一三角形的高三角形综合题【解析】画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各选项可得答案．【解答】解：如图，AP是△ABC的高，A0是△ABC的中线，B^AP≤AO________．当△ABC为等腰三角形，且AB=AC时，等号成立．故4．B．C错误，D正确，故选：D8.【答案】D【考点】解分式方程分式方程的解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：x+1=a由分式方程有增根，得到x−4=0，即x=4代入整式方程得：a=5故选：D．9.【答案】A【考点】整式的加减分式的值有理数的概念【解析】根据题意，得到m −2是6的约数，计算即可． 详解：若分式6m−2的值是正整数，得到m −2是6的约数，且m −2>0. 由6的约数为±6,±3,±2,±1得m −2=6或m −2=3或m −2=2或m −2=1 即”的值为：8或5或4或3．共4个． 故选A ． 【解答】 此题暂无解答 10. 【答案】 A【考点】 三角形综合题 三角形的高 【解析】如图所示：满足条件的C 点有5个． C 2 C ⅠBl C 5C, C,故选A ． 【解答】 此题暂无解答 二、填空题 【答案】 ①④ 【考点】 最简分式 【解析】根据最简分式的定义逐式分析即可． 【解答】 ①a+3a 2+3是最简分式；ωx−y x 2−y2=1x+y，不是最简分式；③m2m 2n=12mn，不是最简分式；④2m+1是最简分式．故答案为2. 【答案】 3【考点】分式方程的定义 【解析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程——判断，得出结果即可．【解答】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程；方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；故答案为：3．【答案】x—3^【考点】约分【解析】试题分析：原式=2(x+3)(x+3)(x−3)=2x−3【解答】此题暂无解答【答案】−1【考点】有理数的加法有理数的减法合并同类项【解析】利用零指数幂及负指数幂的运算法则求解即可．【解答】原式=1−2=−【答案】7【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】①当7cm为底边时，第三边长为3cm，因为3+3<7，故不能构成三角形；②当3cm为底边时，第三边长为7cm,7−3<7≤7+3，故能构成三角形，所以第三边长为7cm，故答案为7．【解答】此题暂无解答【答案】20∘【考点】平行线的判定三角形内角和定理【解析】由AE//BD，得∠AEC=∠2=30∘，结合∠1=130∘，即可得到答案．【解答】∵ AE/BD∠2=30∘∠AEC=∠2=30∘∠1+∠AEC+C=180∘∴20∘−130∘−30∘=20∘故答案是：20∘【答案】100∘【考点】等腰三角形的判定三角形内角和定理【解析】试题分析：100∘>90∘，∴100∘的角是顶角，故答案为100∘【解答】此题暂无解答【答案】15【考点】线段垂直平分线的性质【解析】：DE是BC的垂直平分线，DB=DC,△ABD的周加=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15故答案为15．【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】（1）−22；（2）−9；（3）4；（4）5；（5）−26；（6）−13【考点】正数和负数的识别有理数的减法轴对称图形【解析】（1）原式利用加减法法则，计算即可求出值；（2）先计算乘除法运算，再算减运算即可求出值；（3）先计算乘方和括号内的运算，再计算减运算即可求出值；（4）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算减运算即可求出值；（5）先将除法变乘法，再利用乘法分配律计算即可求出值；（6）逆用乘法分配律计算即可求出值．【解答】（1）原式=−11−8+9−12=22（2）原式=−12+3=−9（3）原式=−1−[9×(−23)+1]=−1+5=4（4）原式=4+8×18=5（5）原式=(−34−59+712)×36=−27−20+21=−26（6）原式=314×(5−6−3)=134×(−4)=−13【答案】1x+13【考点】去括号与添括号整式的加减——化简求值列代数式【解析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可．【解答】(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1=x−x+1x−1⋅(x+1)(x−1)(x+1)2=1 x+1当x=2时，原式=13【答案】15元【考点】分式方程的应用一元一次不等式的运用由实际问题抽象为分式方程【解析】首先设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，根据题意可得等量关系：750元购进的跳绳个数∼900元购进的排球个数=30，依此列出方程，再解方程可得答案．【解答】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为3x元，依题意得：750x −9003x=30)，解方程，得x=15经检验：x=15是原方程的根，且符合题意．答：跳绳的单价是15元．【答案】359【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠D,∠OBC=∠OAD，再根据三角形的内角和等于180∘表示出20BC，然后利用四边形的内角和等于360∘列方程求解即可．【解答】ΔC=∠D,OBC=∠OAD20=65∘∴∠OBC=180∘−65∘−∠C=115∘−2C在四边形AOBE中，20+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360∘65∘+15∘−∠C+135∘+145∘−260∘解得∠C=35∘.【答案】（1）见解析：（2）40∘【考点】等腰三角形的判定与性质平行线的判定与性质角平分线的性质【解析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DEIIBC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出ADE=CE（2）由（1）可得出∠ECD=∠EOC=35∘，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70∘，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】（1）：CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECDDEIIBC，∴∠EDC=∠BCD，…∠EDC=∠ECD．∴DE=CE（2）∵ ECD=∠EDC=35∘，…∴ ACB=2∠ECD=70∘∵ AB=AC，∠ABC=∠ACB=70∘ΔA=180∘−70∘−70∘=40∘【答案】见解析【考点】等边三角形的判定方法等边三角形的性质等腰三角形的判定与性质【解析】先由等边三角形的性质得到∠A=∠B=CC=60∘．然后根据平行线的性质得到∠ADE=2B∠AED=2C从而证明△ADE是等边三角形．【解答】△ABC是等边三角形，∴∴ A=∠B=4C=60∘DEIIBC，∴2ADE=2B,AED=2C∠ADE=∠AED=∠A△ADE是等边三角形．【答案】证明见解析【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】试题分析：根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论试题解析：∠BAC=∠DAE∵ BAC−BAE=∠DAE⋅∠EAE即2BD==∠CAE又∴ AB=AE,AC=AD△ABD≅ΔEC((AA)【解答】此题暂无解答【答案】（1）α=60∘；（2）此时α的大小不会发生改变，始终等于60∘，理由见解析【考点】旋转的性质角的计算全等三角形的性质与判定【解析】（1）首先证得△APD=△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；（2）旋转的过程中，（1）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．【解答】（1）α=60∘，理由：△APC是等边三角形，PA=PC△APC=60∘△BDP是等边三角形，PB=PD,∠BPD=60∘∴ APC=∠BPD∴ APD=2CPB△APD≅△CPB∠PAD=∠PCB2AP++AC+∠ACP=120∘∠OCP+∠OAC+∠ACP=120∘∴ AQC=180∘−120∘=60∘（2）此时α的大小不会发生改变，始终等于60∘理由：△APC是等边三角形，PA=PC∠APC=60∘△BDP是等边三角形PB=PD,∠BPD=60∘∠APC=∠BPD∠APD=∠CPB△APD≅△CPB∠PAD=∠PCB∠OAP+∠OAC+∠ACP=120∘∠QCP+∠QAC+∠ACP=120∘∠AQC=180∘−120∘=60∘￢DA图1。

湖南省邵阳市八年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分） (2019八上·桂林期末) 下列实数中，无理数是（）A .B .C .D .2. （2分）下列计算中，正确的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017八下·君山期末) 一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是（）A . 8B . 9C . 10D . 114. （2分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点坐标为（）A . （2，﹣3）B . （3，2）C . （﹣2，3）D . （﹣2，﹣3）5. （2分） (2019九上·萧山期中) 已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016八上·绍兴期末) 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（）A . y=2x+3B . y=x﹣3C . y=2x﹣3D . y=﹣x+3二、填空题 (共6题；共6分)7. （1分）计算：= ________．8. （1分） (2017八上·灌云月考) 计算： ________9. （1分）如果将一张“8排3号”的电影票记为（8，3），那么电影票（3，8）表示的实际意义是________ ．10. （1分） (2019八下·睢县期中) 如图，每个小正方形的边长为1，的各点都在网格的格点上，点为的中点，则线段的长________.11. （1分）若1＜x＜2，则|x﹣1|+ 的值为________．12. （1分） (2019九上·高州期末) 如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝________．三、解答题 (共11题；共130分)13. （20分） (2017八下·钦州期末) 计算下列各题：（1）（2）（2 ﹣3 ）÷（3）﹣（﹣）（4）（ +3）（ +2）14. （10分）(2012·来宾) 计算（1）计算：π0+2﹣1﹣﹣|﹣ |；（2），其中x=4，y=﹣2．15. （10分）求下列各式中x的值．（1） 4（x+1）2﹣81=0；（2）（x﹣2）3=64．16. （15分） (2017八上·萍乡期末) 如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC=∠OCA；（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC= ∠AOC，∠PCE= ∠ACE，求∠P的大小；（3）如图3，在（2）中，若射线OP、OC满足∠POC= ∠AOC，∠PCE= ∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）17. （10分）(2017·青浦模拟) 已知直线y=﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点．（1）求∠ABO的正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C，直线l过点C且与直线y=﹣ x+3平行，求直线l的解析式．18. （15分） (2017八上·安庆期末) 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．19. （10分）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求折痕EF的长．20. （15分） (2019八下·桂林期末) 蒙蒙和贝贝都住在M小区，在同一所学校读书．某天早上，蒙蒙7：30从M小区站乘坐校车去学校，途中停靠了两个站点才到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车在每个站点之间行驶速度相同；当天早上，贝贝7：38从M小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，结果比蒙蒙乘坐的校车早2分钟到学校站点．他们乘坐的车辆从M小区站出发所行驶路程y（千米）与校车离开M小区站的时间x （分）之间的函数图象如图所示．（1）求图中校车从第二个站点出发时点B的坐标；（2）求蒙蒙到达学校站点时的时间；（3）求贝贝乘坐出租车出发后经过多少分钟追上蒙蒙乘坐的校车，并求此时他们距学校站点的路程．21. （5分） (2016七上·龙口期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？22. （5分）计算－|－3|＋.23. （15分）(2017·江津模拟) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B （﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．参考答案一、选择题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共6题；共6分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共11题；共130分)13-1、13-2、13-3、13-4、14-1、14-2、15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、。

湖南省邵阳市邵东创新初中部初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 下列各式是分式的是( )A.x2B.xx+1C.x2+y D.−x32. 根据分式的基本性质，分式−aa−b可以变形为（）A.a−a−b B.aa+bC.−aa−bD.−aa+b3. 2011年3月，英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.000 000 05米的光学显微镜，其中0.000 000 05米用科学记数法表示正确的是( )A.0.5×10−9米B.5×10−8米C.5×10−9米D.5×10−7米4. 化简m2−3m9−m2的结果是( )A.−mm+3B.mm+3C.mm−3D.m3−m5. 若关于x的分式方程xx−3+1=mx−3有增根，则m的值是( )A.2B.3C.−3D.16. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD // BC，若∠1=70∘，则∠BAC的度数为( )A.40∘B.30∘C.70∘D.50∘7. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是( )A.a=−2B.a=2C.a=−1D.a=18. 如图，已知∠BAC =∠DAC ，则添加下列条件不能判断△ABC ≅△ADC 的是( )A.∠B =∠DB.∠BCA =∠DCAC.AB =ADD.CB =CD9. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，∠B =15∘，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交BC 于E ，则∠CAE 的度数为( )A.30∘B.60∘C.45∘D.75∘10. 如图，已知△ABC 的面积为1，延长AB 到点D ，延长BC 到点E ，延长CA 到点F ，使BD =AB ，CE =BC ，AF =CA ，则△DEF 的面积为( )A.4B.6C.7D.9 二、填空题当x ＝________时，分式x 2−1x+1的值为0．计算(13)−2+(−12)−3+(π−3)0=________.计算： (ab −b 2)÷a−b ab =________.△ABC 中，已知∠A =60∘，∠B =80∘，则与∠ACB 相邻的外角的度数是________．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35∘，则这个等腰三角形的顶角的度数是________．如图(1)所示，称△AOB 和△DOC 为“对顶三角形”，其中， ∠A +∠B =∠C +∠D ，利用这个结论，我们可以求出图(2)中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为________.如图，在△ABC 中， AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点E ，AD ，CE 相交于点F ，已知EF =EB =3，AE =4，则CF 的长为 ________.如果记y =x 21+x 2=f(x)，并且f(1)表示当x =1时y 的值，即f(1)=121+12=12；f(12)表示当x =12时y 的值，即f(12)=(12)21+(12)2=15；…… 那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(n)+f(1n )=________（结果用含n 的代数式表示）.三、解答题计算：(1)3b 216a ÷bc 2a 2⋅(−2a b )；(2)a 2−1a 2+4a+4÷a+1a+2．解方程：1−x 1(2)x−2x+2+4x2−4=1.先化简，再求值：a+1a−3−a−3a+2÷a2−6a+9a2−4，其中a=−3．已知，如图，△ABC中，∠B=30∘，外角∠ACD=100∘，CE平分∠ACD，AF//CE交BC于点F，试求∠BAF的度数．如图，在四边形ABCD中，AB // DC，点E为DC的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．李老师家距离学校2400米，一天早上，李老师到学校时发现教科书忘在家中，此时距第一节课开始还有45分钟，于是他马上步行回家取教科书，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行平均速度的3倍．(1)李老师步行的平均速度（单位：米/分）是多少？(2)李老师能否在第一节课开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）如图，在△ABC中，AE平分∠CAB，交BC于点E，延长AE到点D，使ED=EC，连接BD，若∠AEC=60∘ .求证：AC+BD=AB.已知，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AD是BC边上的中线．(1)如图1，点E在AB上，点F在AC上，∠EDF=90∘，观察DE与DF有什么样的数量关系？证明你的结论．(2)如图2，点G在AD延长线上，点E在AB上，点F在AC上，∠EGF=90∘，观察GE与GF有什么样的数量关系？证明你的结论．参考答案与试题解析湖南省邵阳市邵东创新初中部初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】分式的定义【解析】根据分式的定义进行解答即可．【解答】解：A，x2分母中不含未知数，是整式，故本选项错误；B，xx+1分母中含未知数，是分式，故本选项正确；C，x2+y分母中不含未知数，是整式，故本选项错误；D，−x3分母中不含未知数，是整式，故本选项错误．故选B.2.【答案】C【考点】分式的基本性质【解析】分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【解答】解：依题意得：−aa−b =−aa−b.故选C．3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．故0.000 000 05米用科学记数法表示为5×10−8米．故选B.4.【答案】A【考点】约分【解析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉．【解答】解：m 2−3m9−m2=m(m−3)(3+m)(3−m)，=−mm+3.故选A．5.【答案】B【考点】分式方程的增根解分式方程——可化为一元一次方程【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出 m的值．【解答】解：方程两边都乘x−3，得：x+x−3=m，∵ 原方程有增根，∴ 最简公分母x−3=0，解得：x=3，当x=3时，3+3−3=m．解得：m=3．故选B．6.【答案】A【考点】等腰三角形的性质平行线的性质【解析】根据AD // BC可得出∠C＝∠1＝70∘，再根据AB＝AC即可得出∠B＝∠C＝70∘，结合三角形的内角和为180∘，即可算出∠BAC的大小．【解答】解：∵AD // BC，∴∠C=∠1=70∘.∵AB=AC，∴∠B=∠C=70∘，∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=40∘．故选A.7.【答案】A【考点】真命题，假命题【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例可以是：a=−2，∵(−2)2>1，但是a=−2<1，∴A正确.故选A．8.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．【解答】解：A，∵在△ABC和△ADC中，{∠B=∠D,∠BAC=∠DAC, AC=AC,∴△ABC≅△ADC(AAS)，故本选项不符合题意；B，∵在△ABC和△ADC中，{∠BAC=∠DAC, AC=AC,∠BCA=∠DCA,∴△ABC≅△ADC(ASA)，故本选项不符合题意；C，∵在△ABC和△ADC中，{AB=AD,∠BAC=∠DAC, AC=AC,∴△ABC≅△ADC(SAS)，故本选项不符合题意；D，根据CB=CD，AC=AC，∠BAC=∠DAC，不能推出△BAC和△DAC全等，故本选项符合题意.9.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】先根据直角三角形的性质求出∠BAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠EAB 的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，∴∠BAC=90∘−∠B=90∘−15∘=75∘．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE=15∘，∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=75∘−15∘=60∘．故选B.10.【答案】C【考点】三角形的面积【解析】分别连接AE、DC、FB，利用△EFA与△ACE等底同高，求出S△FAE=S△ACE．然后利用△ABC与△ACE等底同高，求出S△ACE=1．同理可求出S△ABF=S△FBD=S△BDC=S△DCE=1，即可得出答案．【解答】解：分别连接AE，DC，FB，∵△EFA与△ACE等底同高，∴S△FAE=S△ACE．∵△ABC与△ACE等底同高，∴S△ABC=S△ACE=1．同理S△ABF=S△FBD=S△BDC=S△DCE=1，∴S△DEF=7．故选C.二、填空题【答案】1【考点】分式值为零的条件根据分式值为零的条件可得x2−1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2−1=0，且x+1≠0，解得：x=1.故答案为：1.【答案】2【考点】零指数幂、负整数指数幂【解析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=9+(−8)+1=2．故答案为：2.【答案】ab2【考点】分式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(ab−b2)÷a−bab=b(a−b)×ab a−b=ab2.故答案为：ab2.【答案】140∘【考点】三角形的外角性质【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠A=60∘，∠B=80∘，∴∠ACB的外角=∠A+∠B=60∘+80∘=140∘．故答案为：140∘．【答案】125∘或55∘【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为125∘，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为55∘．【解答】解：①此等腰三角形为钝角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35∘，∴此三角形的顶角=90∘+35∘=125∘，②此等腰三角形为锐角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35∘，∴此三角形的顶角=90∘−35∘=55∘．故顶角的度数为125∘或55∘．故答案为：125∘或55∘．【答案】180∘【考点】对顶角三角形内角和定理【解析】本题利用“对顶三角形”的性质，(2)中∠1，∠2的和与∠D，∠E的和相等，利用多边形内角的即可得到答案.【解答】解：如图：(2)，连接AC，∵∠1+∠2=∠D+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAE+∠B+∠BCD+∠1+∠2=180∘.故答案为：180∘.【答案】1【考点】全等三角形的性质与判定【解析】先根据AAS判定△AEF≅△CEB，根据全等三角形的性质可得出AE=CE，从而得出CF. 【解答】解：在△ABC 中，AD ⊥BC ， CE ⊥AB ，∴ ∠AEF =∠ADB =90∘，∴ ∠EAF +∠AFE =90∘， ∠DFC +∠BCF =90∘，∵ ∠EFA =∠DFC （对顶角相等），∴ ∠EAF =∠DCF （等量代换）,在△BCE 和△FAE 中，{∠BEC =∠FEA ∠BCE =∠FAE BE =FE =3,∴ △AEF ≅△CEB (AAS )，∴ AE =CE ，∵ EF =EB =3，AE =4，∴ CF =CE −EF =AE −EF =4−3=1.故答案为：1．【答案】n −12【考点】列代数式求值【解析】根据题意，求出f(x)与f(1x )的和，从而得到规律，然后根据规律求解即可． 【解答】解：∵ f(x)=x 21+x 2，∴ f(1x )=(1x )21+(1x )2=11+x 2， ∴ f(x)+f(1x )=x 21+x 2+11+x 2=1，∴ f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(n)+f(1n )=f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+...+f(n)+f(1n) =n −12．故答案为：n −12．三、解答题【答案】解：(1)原式=3b 216a ×2a 2bc ×(−2a b ) =−3a 24c .(2)a 2−1a 2+4a +4÷a +1a +2=(a+1)(a−1)(a+2)2×a+2a+1=a−1a+2．【考点】分式的乘除运算【解析】把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解．【解答】解：(1)原式=3b 216a ×2a2bc×(−2ab)=−3a24c.(2)a2−1a2+4a+4÷a+1a+2=(a+1)(a−1)(a+2)2×a+2a+1=a−1a+2．【答案】解：(1)1−xx−2+2=12−x，1−x x−2+2=−1x−2，1−x+2(x−2)=−1，1−x+2x−4=−1，x=2.经检验x=2是增根，则原方程无解.(2)x−2x+2+4x2−4=1，x−2 x+2+4(x−2)(x+2)=1，(x−2)2+4=(x−2)(x+2)，x2−4x+4+4=x2−4，x=3，经检验x=3是原方程的解.【考点】解分式方程——可化为一元一次方程【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：(1)1−xx−2+2=12−x，1−x x−2+2=−1x−2，1−x+2(x−2)=−1，1−x+2x−4=−1，x=2.经检验x=2是增根，则原方程无解.(2)x−2x+2+4x2−4=1，x−2 x+2+4(x−2)(x+2)=1，(x−2)2+4=(x−2)(x+2)，x2−4x+4+4=x2−4，x=3，经检验x=3是原方程的解. 【答案】解：原式=a+1a−3−a−3a+2⋅(a+2)(a−2)(a−3)2=a+1a−3−a−2a−3=a+1−a+2a−3=3a−3.当a=−3时，原式=3−3−3=−12．【考点】分式的化简求值【解析】先将a 2−6a+9a2−4的分子分母分别因式分解，再将除法转化为乘法，然后进行加减运算．【解答】解：原式=a+1a−3−a−3a+2⋅(a+2)(a−2)(a−3)2=a+1a−3−a−2a−3=a+1−a+2a−3=3a−3.当a=−3时，原式=3−3−3=−12．【答案】解：∵∠ACD=100∘ ,∠B=30∘ ,∠ACD=∠B+∠BAC,∴∠BAC=70∘.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=50∘,∵AF//CE,∴∠CAF=∠ACE=50∘,∴∠BAF=∠BAC−∠CAF=20∘.【考点】三角形的外角性质平行线的性质角平分线的定义【解析】根据三角形的外角的性质求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠ACE的度数，根据平行线的性质得出∠CAF,即可解答.【解答】解：∵∠ACD=100∘ ,∠B=30∘ ,∠ACD=∠B+∠BAC,∴∠BAC=70∘.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=50∘,∵AF//CE,∴∠CAF=∠ACE=50∘,∴∠BAF=∠BAC−∠CAF=20∘.【答案】证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵AB // DC，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△BCE中，{DE=CE，∠DEA=∠CEB，AE=BE，∴△ADE≅△BCE(SAS)，∴∠D=∠C．【考点】全等三角形的性质与判定平行线的性质等腰三角形的性质【解析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA＝∠CEB，由SAS证明△ADE≅△BCE，即可得出结论．【解答】证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵AB // DC，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△BCE中，{DE=CE，∠DEA=∠CEB，AE=BE，∴△ADE≅△BCE(SAS)，∴∠D=∠C．【答案】解：(1)设李老师步行的速度为x米/分，则骑电瓶车的速度为3x米/分，由题意得：2400 x −24003x=20，解得：x=80．经检验x=80是原方程的解，且符合题意．答：李老师步行的平均速度为80米/分．(2)李老师步行回家的时间为2400÷80=30（分），李老师骑电瓶车到学校的时间为2400÷240=10（分）．∵30+10<45，∴李老师能在第一节课开始前赶到学校．【考点】分式方程的应用【解析】无无【解答】解：(1)设李老师步行的速度为x米/分，则骑电瓶车的速度为3x米/分，由题意得：2400 x −24003x=20，解得：x=80．经检验x=80是原方程的解，且符合题意．答：李老师步行的平均速度为80米/分．(2)李老师步行回家的时间为2400÷80=30（分），李老师骑电瓶车到学校的时间为2400÷240=10（分）．∵30+10<45，∴李老师能在第一节课开始前赶到学校．【答案】证明：在AB上截取AF=AC，证得△ACE≅△AFE（SAS），∴EC=EF=ED，∠AEC=∠AEF=∠BEF=∠BED=60∘．证得△BEF≅△BED（SAS）．∴BD=BF．∴AC+BD=AF+BF=AB．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】无【解答】证明：在AB上截取AF=AC，证得△ACE≅△AFE（SAS），∴EC=EF=ED，∠AEC=∠AEF=∠BEF=∠BED=60∘．证得△BEF≅△BED（SAS）．∴BD=BF．∴AC+BD=AF+BF=AB．【答案】证明：(1)DE=DF，理由如下：由题意得∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，∴BD=AD．由∠BDE+∠ADE=∠ADF+ADE=90∘得∠BDE=∠ADF．证得△BDE≅△ADF（ASA），∴DE=DF．(2)GE=GF理由如下，过点G作GH//BC交AB延长线于点H，∵GH//BC，AD⊥BC，∴AD⊥HG，故∠AGH=90∘.由∠HGE+∠AGE=∠AGF+AGE=90∘得∠HGE=∠AGF．∵AD是等腰三角形底边上的中线，∴∠BAG=∠CAG=45∘，AD=BD，∴∠H=∠ABC=∠BAG=45∘，∴HG=AG，证得△HGE≅△AGF（ASA），∴GE=GF．【考点】全等三角形的性质与判定等腰三角形的性质：三线合一【解析】无无【解答】证明：(1)DE=DF，理由如下：由题意得∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，∴BD=AD．由∠BDE+∠ADE=∠ADF+ADE=90∘得∠BDE=∠ADF．证得△BDE≅△ADF（ASA），∴DE=DF．(2)GE=GF理由如下，过点G作GH//BC交AB延长线于点H，∵GH//BC，AD⊥BC，∴AD⊥HG，故∠AGH=90∘.由∠HGE+∠AGE=∠AGF+AGE=90∘得∠HGE=∠AGF．∵AD是等腰三角形底边上的中线，∴∠BAG=∠CAG=45∘，AD=BD，∴∠H=∠ABC=∠BAG=45∘，∴HG=AG，证得△HGE≅△AGF（ASA），∴GE=GF．。

2023_2024学年湖南省邵阳市新邵县八年级上册11月期中数学模拟测试卷温馨提示：（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分120分；（2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上；（3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效.一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．计算21()3-的结果是( )A ．9-B ．9C ．19D ．19-2．下列各式中，正确的是( )A ．a m ab m b +=+B ．221x y x y x y -=-+C ．0a ba b+=+D ．1111ab b ac c --=--3．小丽在化简分式2*111x x x -=-+时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是( )A ．221x x -+B ．221x x ++C ．21x -D ．221x x --4．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+．A ．①B ．②C ．③D ．④5．给出下列4个命题：①相等的角是对顶角；②垂直于同一直线的两条直线平行；③两个锐角的和是钝角；④平行于同一直线的两条直线平行，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，若x 为正整数，则表示分式22(2)(1)x xx x +++的值落在( )A ．线①处B ．线②处C ．线③处D ．线④处7．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x 米/分，则下列方程正确的是（ ）A ．B ．x 800−1.2x 400=4 1.2x 800−x400=4C ．D ．4001.2x −800x=48001.2x −400x=48．若某三角形的三边长分别为3，4，m ，则m 的值可以是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．99．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，∠B ＝∠ADB ．若AB ＝4，则DC 的长是 （）．A ．2B ．3C ．4D ．不能确定10．如图，△ABC 中，D 点在BC 上，且BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，已知△ABC 的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（ ）A ．∠1＝∠3，∠2＝∠4B ．∠1＝∠3，∠2≠∠4C ．∠1≠∠3，∠2＝∠4D ．∠1≠∠3，∠2≠∠4二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为 ．12．观察下列分式，探究其规律：4x y ，72x y ，103x y ，134x y，⋯⋯，按照上述规律，第n 个分式是 ．13．若13b a =，则分式aa b-的值为 ．14．定义一种新运算1a n n n bnx dx a b -=-⎰，例如222kmxdx k m =-⎰．则224x dx --=⎰．15．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角△ABC 的高，则BD （BC）．当=12+AB 2−AC 2BC AB ＝7，BC ＝6，AC ＝5时，CD ＝　　．16．如图，等边三角形ABC 的边长为6cm ，动点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交边AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧，当点D 落在BC 边上时，点P 需移动 　s ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ．若BE ＝4，CF ＝1，则EF 的长度为 　．18．如图，已知点D 、点E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的中点，6AD =，点F 是线段AD 上的动点，则BF EF +的最小值为 ．三、解答题19．计算：（1）15301()22( 3.142020)2π---÷+-+；（2）22()x y y xyx x x--÷+．20．先化简，再求值：（1），其中x ＝3．1x−1+÷x 2−1x 2−2x +121．解方程：5．（2）0．3x−1=+3x1−x 5x 2+x−1x 2−x=22．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 都在边BC 上，且BE ＝CD ，求证：AD ＝AE ．24．综合与实践：问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC ＝OD ，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是∠AOB 的平分线．请写出OE 平分∠AOB 的依据： ；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE ＝DE 即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是∠AOB 的平分线，请说明此做法的理由；25．（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACDEBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．答案：一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案BBABABDBCC二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11、79.510-⨯． 12、31n n x y+． 13、12．14、1-4．15、1． 16、1s ． 17、3． 18、6．三、解答题19．计算：（1）15301()22( 3.142020)2π---÷+-+； （2）22(x y y xy x x x --÷+．20．先化简，再求值：（1），其中x ＝3．1x−1+÷x 2−1x 2−2x +1解：原式•=1+x−1x−1(x−1)2(x +1)(x−1)•=xx−1x−1x +1，=x x +1当x ＝3时，原式．=33+1=3421．解方程：5．3x−1=+3x1−x 解：原方程两边同乘（x ﹣1），去分母得：3＝5（x ﹣1）﹣3x ，去括号得：3＝5x ﹣5﹣3x ，移项，合并同类项得：﹣2x ＝﹣8，系数化为1得：x ＝4，检验：将x ＝4代入（x ﹣1）中得4﹣1＝3≠0，则原分式方程的解为：x ＝4．（2）解分式方程：0．5x 2+x−1x 2−x=解：原方程变形为：0，5x(x +1)−1x(x−1)=两边同乘x （x +1）（x ﹣1），去分母得：5（x ﹣1）﹣（x +1）＝0，去括号得：5x ﹣5﹣x ﹣1＝0，移项，合并同类项得：4x ＝6，系数化为1得：x ，=32检验：将x代入x （x +1）（x ﹣1）中可得：（1）×（1）0，=3232×32+32−=158≠则原方程的解为：x．=3222．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？解：设该商店3月份这种商品的售价为x 元，则4月份这种商品的售价为0.9x 元，根据题意得：240024001056300.9x x+=-，解得：48x =，经检验，48x =是原分式方程的解，且符合题意，答：该商店3月份这种商品的售价是48元．23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 都在边BC 上，且BE ＝CD ，求证：AD ＝AE．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABE 和△ACD 中，，{AB =AC ∠B =∠C BE =CD ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AD ＝AE ．24．综合与实践：问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC ＝OD ，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是∠AOB 的平分线．请写出OE 平分∠AOB 的依据：　SSS ；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE ＝DE 即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是∠AOB 的平分线，请说明此做法的理由；解：（1）∵△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE，又∵OC ＝OD ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE （SSS ），∴∠COE ＝∠DOE ，∴OE 是∠AOB 的平分线，故SSS ；（2）∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，OC ＝OC ，∴△OCM ≌△OCN （SSS ），∴∠AOC ＝∠BOC ，∴射线OC 是∠AOB 的平分线；25．（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACDEBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．【正确答案】（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD ≌△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE +BM ＞EM 即可得出结论；（3）如图③，延长AE ，DF 交于点G ，根据平行和角平分线可证AF ＝FG ，易证△ABE ≌△GEC ，据此知AB ＝CG ，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图①所示，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，∵BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ＝4，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，∴6﹣4＜AE ＜6+4，即2＜AE ＜10，∴1＜AD ＜5；故1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ；证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所示．同（1）得：△BMD ≌△CFD （SAS ），∴BM ＝CF ，∵DE ⊥DF ，DM ＝DF ，∴EM ＝EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE +BM ＞EM ，∴BE +CF ＞EF ；（3）AF +CF ＝AB ．如图③，延长AE ，DF 交于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG ＝∠G ，在△ABE 和△GCE 中 CE ＝BE ，∠BAG ＝∠G ，∠AEB ＝∠GEC ，∴△ABE ≌△GEC （AAS ），∴CG ＝AB ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG ＝∠GAF ，∴∠FAG ＝∠G ，∴AF ＝GF ，∵FG +CF ＝CG ，∴AF +CF ＝AB ．。