数学建模论文---减肥计划
摘要
随着经济的增长，国人初步过上了小康生活，但由于过度饮食和缺乏运动也使不少自己感觉肥胖的人纷纷奔向减肥产品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥产品是达不到减肥目标的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。现在我们要建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过控制饮食与适度运动制定合理有效的减肥计划。
关键字：减肥计划控制饮食合理运动
一、背景
BMI指数（身体质量指数，简称体重指数，英文为Body Mass Index，简称BMI），是用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字，即体质指数(BMI)=体重(kg)/身高m2 (m)是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准。其中中国成年人身体质量指数：18.530,肥胖。我们要通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下来的目标。
二、模型分析
1、体重的变化是由于体内能量守恒破坏所引起的
2 、饮食（吸收热量）导致体重的增加
3 、代谢和运功（消耗能量）导致体重的减少
三、模型假设
1 、体重增加正比于吸收热量，平均每8000千卡增加体重1kg；
2 、正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一
般在200千卡至320千卡之间，且因人而异，这相当于体重70kg的
人每天消耗2000千卡~3200千卡;
3 、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；
4 、为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不
要小于10000千卡；
四、减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；
第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划
3）给出达到目标后维持体重的方案
五、基本模型
记第k周末体重为w(k),第k周吸收的热量c(k)，热量转换系数a=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数b(因人而异)，在不考虑运动情况下体重变化的基本模型为
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)，k=0,1,2,3……
1、不运动情况下两阶段的减肥计划
1）确定甲的代谢系数
因为目前甲每周吸收20000千卡热量，体重维持不变，所以令w(k+1)=w(k)=w，c=20000
即w=w+ac-bw, b=ac/w=（20000/8000）/100=0.025
2）第一阶段要求体重每周减少m=1kg，吸收热量减至下限min c=10000千卡,即
w(k) –w(k+1)=m=1, w(k)=w(0)-mk=w(0)-k，
又
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
化简得
c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a
代入数值计算得：c(k+1)=12000-200k>=min c=10000 得k<=10,即第一阶段共10周，每周减减1kg,所以第10周末体重达到90kg。
吸收热量为
c(k+1)=12000-200k, k=0,1,2 (9)
3）第二阶段要求每周吸收热量保持下限min c, w(k)减至75kg,由基本模型
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)
可得
W(k+1)=(1-b)w(k)+a min c
将此式递推并代入数据可得
w(k+n)= 0.975n[w(k)-50]+50
又已知w(k)=90,要求w(k+n)=75,求n。则
75=0.975n (90-50)+50
得到
n=19
即每周吸收热量保持下限10000千卡，再有十九周体重可减至75kg
体重按w(n)=40×0.975n+50 n=1,2……19 减少到75kg
2 、第二阶段增加运动的减肥计划 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/
分)
7.0 3.0 4.4 2.5 7.9
将基本模型改为
w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-（b+a γt ）w(k)
取a γt=0.003，即γt=24.则代谢系数b+a γt=0.025+0.003=0.028
令'
β=b+a γt=0.028
解得n=14 即运动 γt =24 (每周跳舞8小时或骑自行车10小时), 14周就可成功减肥。
3、达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c (k )保持某常数C ，使体重w 不变
w=w+ac-(b+a γt)w 解得 c=（b+a γt ）w/a 代入数据可以算出
不运动c=8000×0.025×75=15000千卡
若运动（内容同前）则c=8000×0.028×75=16800千卡.
所以说人的体重变化是有规律可循的，减肥也应该科学化，定量化。体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢消耗系数b ，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同的环境下也会有所改变。所以在应用这个模型是要对代谢系数b 做仔细的核对。
六、具体操作
1、第一阶段要求体重每周减少m=1kg ，吸收热量减至下限min c=10000千卡。根据所建立的模型知道，甲每周吸收的热量为c(k+1)=12000-200k, k=0,1,2……9。这个我们需要靠均衡的饮食来达到。
所谓均衡的饮食[3]，是指每餐吃齐四类食物里的七大养分，这四类食物是指五谷、蔬果、乳类和肉类，每天都吃齐了，人体每天所需的全部维他命和矿物质就不缺，这四类食物，合起来提供人体每天需要的七大养分水份、糖类、蛋白质、脂肪酸(来自蔬果和豆类)、维他命、矿物质和纤维，但热量和油脂不超标，纤维足量，每日以五谷和蔬果为主食，作为每日热能的主要来源，维他命和矿物质不缺，水份够，蛋白质也够。均衡的饮食对减肥者的新陈代谢是极为重要的。
下面是根据热量和均衡饮食列出的减肥营养餐[4]：
第一周甲吸收的热量应该为12000千卡
βαβαβ'+'-'-=+m m n C C k w n k w ])([)1()(6.44)6.4490(972.075+-=n )()()1()()1(k w t k c k w k w αγβα+-++=+
