九年级数学下册第27章圆27.1.2圆的对称性第1课时圆心角、弧、弦之间的关系作业课件(新版)华东师大版

2.题型二：圆的对称性质应用
问题：已知圆的半径为r，求证：圆内任意弦的中点到圆心的距离等于半径的一半。
解答：设圆内任意弦为AB，中点为M，连接OM。由于圆是轴对称图形，OM是弦AB的垂直平分线，因此AM=MB。又因为OA和OB都是半径，所以OA=OB=r。在直角三角形OAM中，根据勾股定理，得到OM的长度为√(OA² - AM²) = √(r² - (r/2)²) = r/√2。因此，OM = r/2，即圆内任意弦的中点到圆心的距离等于半径的一半。
教学反思与总结
在本次教学过程中，我采用了讲授法、讨论法和实验法等多种教学方法，旨在帮助学生更好地理解和掌握圆的对称性。从整个教学过程来看，我发现以下几方面的得失和经验教训：
1.在讲解圆的对称性质时，通过动态演示和实物模型，学生能更直观地理解轴对称的概念。这一点在今后的教学中值得继续保持。
2.组织学生进行小组讨论和剪纸实验，有助于提高学生的参与度和动手能力。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中容易偏离主题，需要我在今后的教学中加强对学生的引导和监督。
核心素养目标
本节课通过探究圆的对称性，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、几何直观等核心素养。学生能够理解并掌握圆的轴对称性质，形成对圆的几何特征的深刻认识；通过实际操作和问题解决，提高运用轴对称知识分析、解决问题的能力；同时，在学习过程中，发展学生的空间观念，激发对数学美的感悟，培养严谨、细致的数学学习态度。
（2）针对学生的解答，我会给予及时的反馈和指导，帮助他们巩固知识。
5.课堂小结
我会引导学生总结本节课所学的圆的对称性质，并强调这些性质在实际问题中的应用。
6.作业布置
（1）我会布置一些与圆的对称性质相关的练习题，巩固学生对知识点的掌握。
（2）鼓励学生思考圆的对称性质在其他学科领域的应用，如美术、建筑等。

第27章 圆
2. 圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦的关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★教学目标★ 1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性； 2．掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题．
★情景问题引入★
(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ (2)如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等 量关系？为什么？
B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．如图所示，在⊙O 中，弦 AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等 关系的量共有(不包括 AB＝CD)( A )
A．10 组 B．7 组 C．6 组 D．5 组
︵ 3．如图所示，在⊙O 中，点 C 是AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( A ) A．40° B．45° C．50° D．60°
4．如图所示，AB 为⊙O 直径，点 C、D 在⊙O 上．已知∠BOC＝70°，AD ∥OC，则∠AOD＝_4_0___度．
︵︵ 5．如图所示，AB、CD 是⊙O 的两条直径，弦 BE＝BD.求证：AC＝BE.
证明：∵AB、CD 是⊙O 的两条直径， ∴AB、CD 的交点为圆心 O，
︵︵ ∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD.
归类探究
类型之一 利用圆心角、弧、弦之间的关系计算
︵︵︵ 如图， AB 是⊙O 的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO 的
度数是( A )
A．51°
B．56° C．68° D．78°
︵︵︵ 【解析】∵BC＝CD＝DE，∠COD＝34°， ∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°， ∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°. 又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，

不可以(kěyǐ)，如图.
B D OC A
第十页，共二十三页。
题设
结论
( jiélùn)
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
在
圆心角所对的弦相等
同
圆
弧所对的圆心角相等
或 如果弧相等 等
那么 弧所对的弦相等
圆
中
弦所对应的圆心角相等
如果弦相等
那么 弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
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第十八页，共二十三页。
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD BC
求证:AB＝CD.
证 明 ： 连 接 A O , B O , C O , D O . AD BC，
AO D BO C .
C B
O.
D A
A O D + B O D = B O C + B O D .
即 A O B C O D ，
第二页，共二十三页。
导入新课
情境 (qíngjìng)引
入熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均(píngjūn)分成四块，你会 分吗？
第三页，共二十三页。
讲授(jiǎngshòu)新课
一 圆的对称性
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果(rúguǒ)是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么(zěn me)得出结论的？ 用折叠的方法
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
第二十一页，共二十三页。
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
27.1 圆的认识。课堂小结。1.理解掌握圆的对称性.（重点）。2.运用圆的对称性研究圆心角、弧、 弦之间的关系.。3.掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用.。如果是，它的对称轴是什么。

A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35，
B
75 .

⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ， ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， · O C A
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．

_3_._在__同_.圆（或等圆）中，如果两条弦相等，
那么它们所对的相圆等心角_____，相所等对的B 弧
______.
A ● O′ B′ O A′
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推论
•在同圆或等圆中,如果①两个圆心
角,②两条弧,③两条弦中有一组量
相等,那么它们所对应的其余各组量
都分别相等.
A (O′)
B
●O
圆心旋转任意一
●O
●O′
个角度，都能与
旋转
原来的图形重合.
圆特有的一个性质:
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圆的旋转不变性.
同圆 能够重合的两个圆.
O
等圆 半径相等的两个圆.
同圆或等圆的半径相等. 等弧 在同圆或等
圆中，能够互相重合 O
O'
的两条弧叫做等弧.
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圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角(如 弦∠心A距OB).过圆心作弦的垂线,圆心与垂足
A
⌒⌒
如如由由条条件件::②③AABB==AA′′BB′′
(O′)
B
●O
可推 可出推
①①∠∠AAOOBB==∠∠AA′′OO′′BB′′
出
③②⌒AABB==AA⌒′′BB′′
A′ B′
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结论：
1.在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角相
等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相 等2..在同圆（或等圆）中，如果两条弧相等， 那么它们所对的相圆等心角_____，相所等对的弦
O 形所重以合平.行四边形是中心对称图形.
O是旋转中心.
●
问题：
圆是中心对称图形吗？对称中心在哪里？
圆是中心对称图形,对称中心为圆心.

同圆或等圆中，这个
结论还会成立吗？
试一试你的能力
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
2相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
倍 3相等的弦所对的弧相等。（ ×） B
速 课
二.如图，⊙O中，AB=CD，
1
A
时 学 练
150， 则 25_0_o _._
C
2O
D
1.如图，在⊙O中，A︵B＝A︵C，∠B＝70°.
BE=CE
E
Ｂ
Ｃ
Ｏ
倍
速 课
Ａ
时 学
Ｄ
练
例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,
连结OA,OB,OC。
Ａ (1)∠AOB、∠COB、∠AOC
的度数分别为_1_2_0_0,_1_2_0_0_,1_200 Ｏ
倍 (2)若⊙O的半径为r,则等边 Ｂ
速
Ｃ
课 时
ABC三角形的边长为____3 _r__
学
练
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,
n º的圆心角对着nº的弧,
倍
速 课
性质: n º的弧对着nº的圆心角.
时
学 练
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
探究二： 动手操作：
如何将圆两等分？四等分？八等分？
你还可以将圆
倍
多少等分呢？
速
课
时
学
练
总结
• 1.圆是旋转对称图形、中心对称图形， 它的对称中心是圆心；
• 2.圆心角、弧、弦之间的关系。
连结OA,OB,OC。
Ａ
(3)延长AO，分别交BC于
点P，B⌒C于点D,连结

∵点A和点A′重合，点B与点Ｂ′重合.
∴ AB与AB 重合,弦AB与弦A′B′重合，
∴ ⌒A B = ⌒ .
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A′B′
第十五页，共三十二页。
圆心角、弧、弦之间的关系(guān xì)定理
• 在同圆或等圆 中,相等(xiāngděng)的圆心角所对的弧相
. 等(xiāngděng)，所对的弦相等(xiāngděng)
探究新知
同圆 能够重合(chónghé)的两个圆. 等圆 半径相等(xiāngděng)的两个圆. 同圆或等圆的半径(bànjìng)相等. 等弧 在同圆或等圆中，
能够互相重合的两条弧
叫做等弧.
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第十页，共三十二页。
圆心角 顶点在圆心(yuánxīn)的角叫做圆心(yuánxīn)角 弦(心如距∠AO过B)圆. 心作弦的垂线,圆心与垂足之间
内容(nèiróng)总结
圆的对称性。2.如果是,它的对称轴是什么。圆的对称轴是任意一条经过(jīngguò)圆心的直 线,它有无数条对称轴.。1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.。3.经过(jīngguò)圆心的弦
No 叫做直径(例如：直径AC).。平行四边形绕对角线交点O旋转180度后与原来的平行四边形重合.。
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第二十八页，共三十二页。
︵︵ 7. 如 图 ， 已 知 AD＝BC， 试 说 明 CD=解AB：︵．∵︵︵AD＝︵︵BC︵，
∴︵AD+A︵C＝BC+AC，
∴DC＝AB，
∴CD=AB.
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第二十九页，共三十二页。
8. 如图, 在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.
圆的对称性

数学北师大版 九年级下
2.2 圆的对称性
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. （难点）
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
O.
AD BC，
AOD BOC.
A
D
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
随堂练习
5.如图，已知OA，OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M， N分别为OA，OB的中点，求证：MC=NC.
O
M
N
A
B
C
课堂小结
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_相__等__， 所对的弦_相__等_____； 3.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_相__等___，所对的弧_相__等______．
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相等．
数学北师大版 九年级下
2.2 谢谢大家
想一想
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以
探究
在同圆中，
︵︵
（1）如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
成立吗 ?
（2）如果∠AOB＝∠A′OB′，
那么
︵
︵
AB A ' B '.
成立吗 ?