《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用

《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。

如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。

2）计算式子卜In的值。

3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。

沁宀汨怜的两根（其中—），且沢为实数，当时, 般地：①必一闸区-熄｝<■ Q C斗A脚E <握②I 且i（；T E .③^ r- I 且I囱 E ■r •："「.，；■ ■■特殊地：当时，上述就转化为“『「有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根■（「'，则必有一根一「（卫，‘」为有理数）.⑵若沁"，贝昉程心必有实数根.⑶若…方程肿Ym 如心不一定有实数根.⑷若a-^b^c-0，贝贝曲+肚+ "哄"0）必有一根龙=1 .⑸若u —H，贝y + 必有一根* = -1 .9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△•一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程••的实根情况，可以用判别式'■ ,J来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程' •■「一“有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴占f （徑■为完全平方数；⑵: 「或一!■…， ,其中为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中卫、七已均为有理数）11、一元二次方程的应用1 •求代数式的值；2.可化为一元二次方程的分式方程。

步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。

2）解一元二次方程。

3）检验3•列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答经典讲评板块一一元二次方穆的定文•夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

（1）' ' ■■（2）肯》-】—-'■< - 1；（3）:…垃加论.址（4）（5）；芒「< ，I「例2已知关于T的方程—―亠是一元二次方程，求二的取值范围.例3若一元二次方程片：财：匚” S曲—的常数项为零，则叭的值为 :•能力提升例4关于x的方程咕卩-⑵1是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程凑—y是关于”的一元二次方程，求「、“的值.例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m^ 1B m> OC m>0且m^ 1D m为任何实数•培优训练例7典为何值时，关于；的方程''' * '''是一元二次方程.例8已知方程：亦皿7八「区7是关于，的一元二次方程，求一:、的值.例9关于x的方程（m+3）xm2-7+ （m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：’••该方程为一元二次方程，••m2-7=2，解得m=±3 ；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3 .例10 （2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2 ）x2+mx+仁0是一元二次方程的条件是（）A. m^-1B. m^ 2C m^-1 或m^ 2D m^-1 且m^2•课后练习1、典为何值时，关于工的方程除:—汽兔S翁如尬:是一元二次方程.2、已知关于工的方程1' ' •是一元二次方程，求「的取值范围.3、已知关于的方程:是一元二次方程，求瞋的取值范围.4、若严gn是关于，的一元二次方程，求的值.5、若一元二次方程⑷2疋4如“5”"「1"的常数项为零，则抑的值为_________________板块二一元二次方程的解与解法•夯实基础例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U 6a2-3a的值为（）A. 3B. -3C . 9D . -9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=3X 3=9 故选C .例2 (2011?哈尔滨)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解•则m的值是( )A. 6B. 5C. 2D. -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0 , 解得m=6 .故选A例3用直接开平方法解下列方程(1)匕―(2)〔厂卜济一耳川(3) 1 .：-(4)(5) i ' (6) x "例4先配方，再开平方解下列方程(1)I，一- (2)•：〕：：】一‘」(3)冷} 1 I .X4X--- —V » j ! * JZ〒(4) > (5)」* - - ' V (6) 1' 1例5用公式法解下列方程(1)J -」H (2)二［(3);'---八⑷：’、(5) ：'例6用因式分解法解下列方程(门密飞―色：工(2) 一上丨I' (3) “上 2 —1⑷：7 一.U；- 打丁一识•】’(5)、•「L-.- 1.’⑹ I；'：j佥-L冷亠ij =:--•能力提升例7 (2011?乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+|a|-仁0的一个根是0，则实数a的值为(A )A. -1B. 0C. 1D. -1 或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-仁0的一个根是0，则a值为C ）A. 1B. 0C. -1D. ± 1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0 （a^C有相同的根a,贝U需逐」16：丁方程孟“3«+1=0与盂珂口十（1=€ （a^c）有相同的很4同时籀足方程盟却曲料二时卡知e廿扛D （直丹八f □_a +aa+b=o ・CD・J^a^+ca+d=O，②由針②，得C a~?）（1+11-1=0T即（i-c）d二Va^cs/- sn c 去Oh,d-b-■ u—■3L=G播普秦気：穿.例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8B +6的值为(D）A. -1B. 2C. 22D. 30解普；方蚤5小刃解是J士捫，即心国隍方程的两个实数根，二①当圧1十岳！岸时9J杞附弘=（H<5）3+e（1-45）+乩=16+515+8-84^+6^=30 S②当Ml—岸1 +码时，庄呢嚴"-（i-<5）2+e （1*馮）+e=30.故迦.例11关于x的一元二次方程（m-2）xm A-2+2mx-仁0的根是工严旷-*網答二解：根振一元二衆方程的定咒，甬—[n^—1- 0 ln-2^0贝Ijfi 方程TU J 旷1丸， 即（2^+1） 51 説丄叫”㊁” 故答案対：XI =K2=-5 -例12解方程：'-隔讣心心例13解方程 孤了“珂忘虫© “:： •培优训练例14 （新思维）阅读下面的例题: 解方程:解：（1）当丄[时，原方程化为-1 , 解得（不合题意，舍去），（2）当：一"时，原方程化为•九-注曲 解得’；（不合题意，舍去），7 ••原方程的根是请参照疔十-"卜贝昉程的根是例16 （新思维）设x1、x2是方程1'的两个实数根，求代数式疔：込」的值.例17 （新思维）先请阅读材料：为解方程'"'，我们可以将•视为一个整体，然后设1，则：J L ,原方程化为』八卸忙⑩，解得’「，1.当. 时，，，得「二r 摂；当；I 时，「_〔-，，得• _"；2 = 0.例15解方程:x 242卜 + 2|-4=-0故原方程的解为I \ -\ < :7.在解方程的过程中，我们将厂用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做换元法”体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：(1)¥ _ ■- I ；(-X-=0(2)一二•例18已知关于x的方程汁卜沁一三二龙的一个解与方程…' 的解相同.(1)求k的值；(2)求方程「•曲1 -叮的另一个解.例19 (新思维)若x、y是实数，且—护-恥*吟-—5确定m的最小值.= 6例20 (新思维)已知x、y、z为实数，且满足•［则'的最小值为___________课后练习一、填空：1•一元二次方程的一般形式是__________________。